2024年高考數(shù)學優(yōu)等生培優(yōu)第48講 空間向量與立體幾何-原卷版13

第48講空間向量與立體幾何通關(guān)一、空間坐標系在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向軸的正方向,食指指向軸的正方向,如果中指指向軸的正方向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系.通關(guān)二、平面法向量的求法(1)設(shè)平面的法向量為;(2)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標，;(3)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程組;(4)解方程組,取其中的一組解,即得法向量.要點詮釋：求平面的法向量時,建立的方程組有無數(shù)組解,利用賦值法,只要給，，中的一個變量賦一特殊值(常賦值,)即可確定一個法向量,賦值不同,所求法向量不同,但不能作為法向量.通關(guān)三、用向量法求空間角1.求異面直線所成的角(1)選好基底或建立空間直角坐標系;(2)求出兩直線的方向向量，；(3)代入公式.兩異面直線所成角的范圍是,兩向量的夾角的范圍是,當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時,就是該異面直線的夾角;當異面直線的方向向量的夾角為直角時,其補角才是異面直線的夾角.2.求線面角(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）;(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.3.求二面角(1)分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小.(2)分別在二面角的兩個平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.結(jié)論一、空間向量的基本定理如果三個向量，，不共面,那么對空間任一向量,存在唯一一個有序?qū)崝?shù)組，，使其中，，叫作空間的一個基底,記作.【例】1如圖所示,在平行六面體中,是的中點,是的中點,是的中點,點在上,且,設(shè),，用基底表示以下向量:(1)；（2）；(3)；(4).【變式】設(shè)點為空間任意一點,點，，是空間不共線的三點,又點滿足等式:,其中,，，求證:，，，四點共面的充要條件是.結(jié)論二、空間向量的坐標運算設(shè),，則(1),；（）;， (2)（），，（）,，;(3).【例2】已知，，.(1)求，;(2)問當實數(shù)的值為多少時,的模最小;(3)問是否存在實數(shù),使得向量垂直于向量;(4)問是否存在實數(shù),使得向量平行于向量.【變式】已知,,,.(1)求線段,的長;(2)求證:這四點,,,共面;(3)求證:,;(4)求向量與所成的角.結(jié)論三、平行的判定和性質(zhì)設(shè)直線，的方向向量分別為,,平面，的法向量分別為,. 1.線線的平行關(guān)系:(或與重合);2.線面的平行關(guān)系:或存在實數(shù),，使（其中，為平面內(nèi)的兩個不共線的向量)；3.面面的平行關(guān)系:（，重合）.【例3】如圖,四棱錐中,底面，,底面為梯形,,，，點在棱上,且.求證:平面.【變式】如圖,正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直,是等腰直角三角形,，，.(1)求證:平面；(2)設(shè)線段的中點為，在直線上是否存在一點,使得平面?若存在,請指出點的位置,并證明你的結(jié)論；若不存在,請說明理由.結(jié)論四、垂直的判定和性質(zhì)設(shè)直線，的方向向量分別為,，平面，的法向量分別為，.1.線線垂直:; 2.線面垂直:;3.面面垂直:.【例4】如圖,四棱錐的底面是正方形,底面，,，點，分別為棱，的中點.(1)求證:平面；(2)求證:平面平面.【變式】如圖,已知長方體中,,,.棱上是否存在點,使平面平面?證明你的結(jié)論.結(jié)論五、點到面的距離求定點到平面的距離,可設(shè)平面的法向量為,面內(nèi)一點,則點到平面的距離.【例5】如圖,在四棱錐中,底面是邊長為的菱形,，底面，，為的中點,為的中點.(1)證明:直線平面；(2)求異面直線與所成角的大??；(3)求點到平面的距離.【變式】如圖,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,側(cè)棱,,分別是與的中點,點在平面內(nèi)的射影是的重心.(1)求與平面所成角的余弦值；(2)求點到平面的距離. 結(jié)論六、線線角設(shè)直線,的方向向量分別為,,則,所成角滿足:,.要點許釋：空間兩條直線所成角的范圍是,異面直線所成角的范圍是,而兩個向量之間的夾角范圍是,這些是求空間中兩條直線所成角時需要注意的地方.【例6】如圖,在棱長為的正方體中,,,分別是,,的中點,建立如圖所示的空間直角坐標系.(1)寫出,,,的坐標;(2)求證:,且;(3)求異面直線與所成角的余弦值.【變式】如圖，正四棱錐的底面邊長與側(cè)面棱長都是2，是的中點.求異面直線和所成角的大小.（2）求異面直線和所成角的余弦值.結(jié)論七、線面角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，則與所成角滿足：.【例7】如圖，已知點在正方體的對角線上，.（1）求與所成角的大小；

（2）求與平面所成角的大小.【變式】如圖，已知長方體中，，，連結(jié)，過點作的垂線交于，交于.求證：平面；

（2）求點到平面的距離；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

結(jié)論八、二面角設(shè)平面的法向量分別為，則所成的二面角滿足：（為平面所成的二面角，）.【例8】如圖，已知矩形所在平面外