2024年高考數(shù)學優(yōu)等生培優(yōu)第36講 等比數(shù)列通項公式及性質(zhì)-原卷版 89

第36講等比數(shù)列通項公式及性質(zhì)通關(guān)一、等比數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示，即要點詮釋：由于等比數(shù)列每一項都可能作分母，故每一項均不為，因此不可能是，（2）“從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)”，這里的項具有任意性和有序性，常數(shù)是同一個.（3）隱含條件，任一項且（4）常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，不為的常數(shù)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（5）證明一個數(shù)列為等比數(shù)列，其依據(jù)是利用這種形式來判定就便于操作了。通關(guān)二、等比中項如果三個數(shù)成等比數(shù)列，那么稱數(shù)為的等比中項，其中。要點詮釋：（1）只有當與與同號即時，才有等比中項，且與有兩個互為相反數(shù)的等比中項，當與異號或有一個為零，即時，與與沒有等比中項。（2）任意兩個實數(shù)，與都有等差中項，且當與確定時，等差中項唯一但任意兩個實數(shù)與不一定有等比中項，且當與有等比中項是等比中項不唯一（3）當時，成等比數(shù)列推不出成等比數(shù)列通關(guān)三、等比數(shù)列的通項公式首項為公比為的等比數(shù)列的通項公式為：推導過程：（1）歸納法根據(jù)等比數(shù)列的定義：，可得，所以當時，上式也成立，所以歸納得出：疊乘法根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：,把以上個等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡得，即，又也符合上式，所以迭代法，所以要點詮釋：（1）通項公式由首項和公比完全確定，一旦一個等比數(shù)列得首項和公比確定，改等比數(shù)列就唯一確定了.（2）通項公式中共涉及四個量，已知其中任意三個量，通過解方程，便可求出第四個量.通關(guān)四、等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列中，，若設，則.（1）當時，，等比數(shù)列是非零常數(shù)列，它的圖像是在直線上均勻排列的一群孤立的點.（2）當且時，等比數(shù)列的通項公式是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)；它的圖像是分布在曲線，且上的一些孤立的點.結(jié)論一、通項公式及其變形等比數(shù)列通項（變形公式），即可以用數(shù)列中的任意一項來表示【例1】等比數(shù)列滿足，則（） A. B. C. D.【變式】已知是等比數(shù)列，，則（） A. B. C. D.結(jié)論二、公比的表示等比數(shù)列中，注意的奇偶性，如為偶數(shù)，則公比為兩個.【例2】在等比數(shù)列中，，則公比的值為（） A. B. C. D.【變式】等比數(shù)列中，，則公比的值為（） A. B. C. D.結(jié)論三、下標和相等，項之積相等等比數(shù)列中，若，則.特別地，若，則.要點詮釋：左面幾項對應右面幾項，即左、右項數(shù)必須相等，如.【例3】對任意等比數(shù)列，下列說法一定正確的是（）A.成等比數(shù)列 B.成等比數(shù)列C.成等比數(shù)列 D.成等比數(shù)列【變式】已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）.A.10 B.20 C.100 D.200結(jié)論四、等差數(shù)列與等比數(shù)列相互轉(zhuǎn)化若為等差數(shù)列為等比數(shù)列；若為正項等比數(shù)列為等差數(shù)列.【例4】等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則.【變式】在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則等于（）.A.6 B.7 C.8 D.9結(jié)論五、等比數(shù)列的構(gòu)造是等比數(shù)列，則，成等比數(shù)列；，是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列；是等比數(shù)列，則每隔相同的項抽項，抽出的項亦成等比數(shù)列，即，仍是等比數(shù)列，公比為.【例5】等比數(shù)列中，，，則等于（）. B. C. D.【變式】設是等比數(shù)列，且，，則（）.A.12 B.24 C.30 D.32結(jié)論六、對稱項設法當?shù)缺葦?shù)列的項數(shù)為奇數(shù)時，可設中間一項為，再以公比為向兩邊分別設項：；當?shù)缺葦?shù)列的項數(shù)為偶數(shù)時，可設中間兩項分別為，，再以公比為向兩邊分別設項：.【例6】已知等比數(shù)列中，，則其前3項的和的取值范圍是（） B. D.【變式】已知-9，，，-1四個實數(shù)成等差數(shù)列，-9，，，-1五個實數(shù)成等比數(shù)列，則的值等于（）.-8 B.8 C. D.結(jié)論七、等比數(shù)列的單調(diào)性當，或，時，是遞增數(shù)列；當，或，時，是遞減數(shù)列；當時，是擺動數(shù)列；當時，是常數(shù)列；【例7】設是等比數(shù)列，則“”是數(shù)列遞增數(shù)列的（）.A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【變式】已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）. B.C.若，則 D.若，則結(jié)論八、等比數(shù)列的判定與證明方法定義法：（為常數(shù)且）數(shù)列是等比數(shù)列.等比中項法：數(shù)列是等比數(shù)列.通項公式法：數(shù)列是等比數(shù)列.前項和公式法：若數(shù)列的前項和，則該數(shù)列是等比數(shù)列.注意：若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.只滿足的數(shù)列未必是等比數(shù)列，要使其成為等比數(shù)列還需要.【例8】設