2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第36講 等比數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)-解析版88

第36講等比數(shù)列通項(xiàng)公式及性質(zhì)通關(guān)一、等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示，即要點(diǎn)詮釋：由于等比數(shù)列每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為，因此不可能是，（2）“從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)”，這里的項(xiàng)具有任意性和有序性，常數(shù)是同一個(gè).（3）隱含條件，任一項(xiàng)且（4）常數(shù)列都是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列，不為的常數(shù)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.（5）證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列，其依據(jù)是利用這種形式來(lái)判定就便于操作了。通關(guān)二、等比中項(xiàng)如果三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么稱數(shù)為的等比中項(xiàng)，其中。要點(diǎn)詮釋：（1）只有當(dāng)與與同號(hào)即時(shí)，才有等比中項(xiàng)，且與有兩個(gè)互為相反數(shù)的等比中項(xiàng)，當(dāng)與異號(hào)或有一個(gè)為零，即時(shí)，與與沒(méi)有等比中項(xiàng)。（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，與都有等差中項(xiàng)，且當(dāng)與確定時(shí)，等差中項(xiàng)唯一但任意兩個(gè)實(shí)數(shù)與不一定有等比中項(xiàng)，且當(dāng)與有等比中項(xiàng)是等比中項(xiàng)不唯一（3）當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列推不出成等比數(shù)列通關(guān)三、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為：推導(dǎo)過(guò)程：（1）歸納法根據(jù)等比數(shù)列的定義：，可得，所以當(dāng)時(shí)，上式也成立，所以歸納得出：疊乘法根據(jù)等比數(shù)列的定義可得：,把以上個(gè)等式的左邊與右邊分別相乘（疊乘），并化簡(jiǎn)得，即，又也符合上式，所以迭代法，所以要點(diǎn)詮釋：（1）通項(xiàng)公式由首項(xiàng)和公比完全確定，一旦一個(gè)等比數(shù)列得首項(xiàng)和公比確定，改等比數(shù)列就唯一確定了.（2）通項(xiàng)公式中共涉及四個(gè)量，已知其中任意三個(gè)量，通過(guò)解方程，便可求出第四個(gè)量.通關(guān)四、等比數(shù)列中的函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列中，，若設(shè)，則.（1）當(dāng)時(shí)，，等比數(shù)列是非零常數(shù)列，它的圖像是在直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn).（2）當(dāng)且時(shí)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的指數(shù)型函數(shù)；它的圖像是分布在曲線，且上的一些孤立的點(diǎn).結(jié)論一、通項(xiàng)公式及其變形等比數(shù)列通項(xiàng)（變形公式），即可以用數(shù)列中的任意一項(xiàng)來(lái)表示【例1】等比數(shù)列滿足，則（） A. B. C. D.【答案】B【解析】把代入得，得或（舍去），.故選B【變式】已知是等比數(shù)列，，則（） A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)公比為，因?yàn)?，所以，所以，故選C結(jié)論二、公比的表示等比數(shù)列中，注意的奇偶性，如為偶數(shù)，則公比為兩個(gè).【例2】在等比數(shù)列中，，則公比的值為（） A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，所以，故選A【變式】等比數(shù)列中，，則公比的值為（） A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)公比為兩式相除，得，則，所以，故選C結(jié)論三、下標(biāo)和相等，項(xiàng)之積相等等比數(shù)列中，若，則.特別地，若，則.要點(diǎn)詮釋：左面幾項(xiàng)對(duì)應(yīng)右面幾項(xiàng)，即左、右項(xiàng)數(shù)必須相等，如.【例3】對(duì)任意等比數(shù)列，下列說(shuō)法一定正確的是（）A.成等比數(shù)列 B.成等比數(shù)列C.成等比數(shù)列 D.成等比數(shù)列【答案】D【解析】A選項(xiàng)中,，故A選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；B選項(xiàng)中，故B選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；C選項(xiàng)中，故C選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；D選項(xiàng)中，故D選項(xiàng)說(shuō)法正確.故選D.【變式】已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，則的值為（）.A.10 B.20 C.100 D.200【答案】C【解析】與條件聯(lián)系，可將所求表達(dá)式向，靠攏，從而，即所求表達(dá)式的值為100.故選C.結(jié)論四、等差數(shù)列與等比數(shù)列相互轉(zhuǎn)化若為等差數(shù)列為等比數(shù)列；若為正項(xiàng)等比數(shù)列為等差數(shù)列.【例4】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則.【答案】5【解析】.又等比數(shù)列中，，即.故.【變式】在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則等于（）.A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)可得，，所以.故選B.結(jié)論五、等比數(shù)列的構(gòu)造是等比數(shù)列，則，成等比數(shù)列；，是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列；是等比數(shù)列，則每隔相同的項(xiàng)抽項(xiàng)，抽出的項(xiàng)亦成等比數(shù)列，即，仍是等比數(shù)列，公比為.【例5】等比數(shù)列中，，，則等于（）. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，，，，仍然為等比數(shù)列.所以此數(shù)列的公比為.是此數(shù)列的第10項(xiàng)，所以.故選A.【變式】設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）.A.12 B.24 C.30 D.32【答案】D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選D.結(jié)論六、對(duì)稱項(xiàng)設(shè)法當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，可設(shè)中間一項(xiàng)為，再以公比為向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：；當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，可設(shè)中間兩項(xiàng)分別為，，再以公比為向兩邊分別設(shè)項(xiàng)：.【例6】已知等比數(shù)列中，，則其前3項(xiàng)的和的取值范圍是（） B. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，前三?xiàng)可設(shè)為：.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故選D.【變式】已知-9，，，-1四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，-9，，，-1五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則的值等于（）.-8 B.8 C. D.【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的共比為，則有，解得，，所以.故選A.結(jié)論七、等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)，或，時(shí)，是遞增數(shù)列；當(dāng)，或，時(shí)，是遞減數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是擺動(dòng)數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是常數(shù)列；【例7】設(shè)是等比數(shù)列，則“”是數(shù)列遞增數(shù)列的（）.A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，由得；當(dāng)時(shí)，由得，所以是遞增數(shù)列.故選C.【變式】已知為等比數(shù)列，下面結(jié)論中正確的是（）. B.C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，同為正時(shí)，成立，故A選項(xiàng)不正確；，所以，故B選項(xiàng)正確；若，則，所以，所以或，故C選項(xiàng)不正確；若，則，所以，其正負(fù)由得符號(hào)確定，故D選項(xiàng)不正確.綜上，故選B.結(jié)論八、等比數(shù)列的判定與證明方法定義法：（為常數(shù)且）數(shù)列是等比數(shù)列.等比中項(xiàng)法：數(shù)列是等比數(shù)列.通項(xiàng)公式法：數(shù)列是等比數(shù)列.前項(xiàng)和公式法：若數(shù)列的前項(xiàng)和，則該數(shù)列是等比數(shù)列.注意：若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可.只滿足的數(shù)列未必是等比數(shù)列，要使其成為等比數(shù)列還需要.【例8】設(shè)為等比數(shù)列，給出四個(gè)數(shù)列：①，②，③，④其中一定為等比數(shù)列的是（）.①③ B.②④ C.②③ D.①②【答案】D【解析】設(shè)，則有①，所以數(shù)列是等比數(shù)列；②，所以數(shù)列是等比數(shù)列；③不是一個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列；④不是一個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù).綜上數(shù)列①②為等比數(shù)列.故選D.【變式