誤差理論和測(cè)量平差課件

平差數(shù)學(xué)模型與最小二乘原理

2-1測(cè)量平差概述

在測(cè)量工程中，最常見(jiàn)的是要確定某些幾何量的大小。例如，為了求定一些點(diǎn)的高程而建立了水準(zhǔn)網(wǎng)，為了求定某些點(diǎn)的座標(biāo)而建立了平面控制網(wǎng)或三維測(cè)量網(wǎng)。前者包含點(diǎn)間的高差、點(diǎn)的高程等元素，後者包含角度、邊長(zhǎng)、邊的方位角以及點(diǎn)的二維或三維座標(biāo)等等元素。這些元素都是幾何量，以下統(tǒng)稱這些網(wǎng)為幾何模型。為了確定一個(gè)幾何模型，並不需要知道該模型中所有元素的大小，而只需要知道其中部分元素的大小就行了，其他元素可以通過(guò)它們來(lái)確定。例如：（1）在圖2-1的△ABC中，為了確定它的形狀（相似形），只要知道其中任意2個(gè)內(nèi)角的大小就行了，如等。它們都是同一類型的元素（角度）。（2）為了確定ΔABC的形狀和大?。ㄈ刃危灰榔渲腥我獾?角1邊、2邊1角或3邊的大小就行了，如、、,、、,、、，…，等等。

返回目錄

（3）在圖2-2的水準(zhǔn)網(wǎng)中，為了確定A、B、C、D4點(diǎn)之間高度的相對(duì)關(guān)係，只要知道其中3個(gè)高差就行了，如、、或、、或、、…等等。它們是同一類型的元素（高差）。能夠唯一地確定一個(gè)幾何模型所必要的元素，簡(jiǎn)稱必要元素；必要元素的個(gè)數(shù)用t來(lái)表示。對(duì)於上述三種情況，分別是t=2,t=3和t=3。對(duì)於第二種情況，3個(gè)元素中除了角度還至少要包含一個(gè)邊長(zhǎng)，沒(méi)有邊長(zhǎng)仍然只能確定其形狀；返回目錄

而無(wú)法確定其大小，因此，必要元素不僅要考慮其個(gè)數(shù)，而且要考慮以它的類型。由此可知，當(dāng)某個(gè)幾何模型給定之後，能夠唯一確定該模型的必要元素的個(gè)數(shù)t及其類型，t只與幾何模型有關(guān)，與實(shí)際觀測(cè)量無(wú)關(guān)。對(duì)於任一幾何模型，它的t個(gè)必要元素之間必要不存在函數(shù)關(guān)係，亦即其只任一元素不能表達(dá)成其餘（t-1）個(gè)元素的函數(shù)。例如，對(duì)於（1）中的情況，若以和作為必要元素，則與間無(wú)函數(shù)關(guān)係；又如在（2）情況中，選、、，則++=180o

，三者之間存在函數(shù)關(guān)係，就不能說(shuō)t=3，實(shí)際必要元素只選了兩個(gè)，而漏選了一個(gè)。因此必要元素t個(gè)量為函數(shù)獨(dú)立量，簡(jiǎn)稱獨(dú)立量。在一個(gè)幾何模型中，除了t個(gè)獨(dú)立量以外，若再增加一個(gè)量，則必然產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)關(guān)係式。仍以（2）情況中，必要量選為、、，若增加一個(gè)量，則存在++=180o

，若再增加一個(gè)量，則有返回目錄

由此可知，一個(gè)幾何模型的獨(dú)立量個(gè)數(shù)最多為t個(gè)，除此之外，增加一個(gè)量必然要產(chǎn)生一個(gè)相應(yīng)的函數(shù)關(guān)係式，這種函數(shù)關(guān)係式，在測(cè)量平差中稱為條件方程。在測(cè)量工程中，為了求得一個(gè)幾何模型中各量的大小就必須進(jìn)行觀測(cè)。如果總共觀測(cè)了該模型中n個(gè)量的大小，若觀測(cè)個(gè)數(shù)少於必要元素的個(gè)數(shù)，即n<t，顯然它無(wú)法確定該模型，即出現(xiàn)了數(shù)據(jù)不足的情況；若觀測(cè)了t個(gè)獨(dú)立量，n=t，則可唯一地確定該模型。由於它們都是獨(dú)立量，故不存在任何條件方程，在這種情況下，如果觀測(cè)結(jié)果中含有粗差甚至錯(cuò)誤，都將無(wú)法發(fā)現(xiàn)，在測(cè)量工作中是不允許這樣做的。為了能及時(shí)發(fā)現(xiàn)粗差和錯(cuò)誤，並提高測(cè)量成果的精度，就必須使n>t，若令

r=n-t（2-1-1）式中n為觀測(cè)值個(gè)數(shù)，t稱為必要觀測(cè)數(shù)，r稱為多餘觀測(cè)數(shù)。多餘觀測(cè)數(shù)在測(cè)量中又稱“自由度”。返回目錄

一個(gè)幾何模型如果有r個(gè)多餘觀測(cè)，就產(chǎn)生r個(gè)條件方程。由於觀測(cè)值不可避免地存在觀測(cè)誤差，由觀測(cè)值組成上述條件方程必不能滿足，仍以（2）中情況為例，若觀測(cè)了角度L1、L2、L3和邊長(zhǎng)S1、S2，考慮觀測(cè)誤差，有

因r=n-t=5-3=2，可組成2個(gè)條件方程為（2-1-2）

（2-1-3）若用觀測(cè)值組成上述兩個(gè)條件方程，則不能成立，即（2-1-4）返回目錄

造成條件方程不閉合，或者說(shuō)存在閉合差，例如（2-1-4）式中的，就是該三角形角度條件方程的閉合差。由於觀測(cè)不可避免地存在偶然誤差，當(dāng)n>t時(shí)，幾何模型中應(yīng)該滿足r=n-t個(gè)條件方程，實(shí)際存在閉俁差而並不滿足，如何調(diào)整觀測(cè)值，即對(duì)觀測(cè)值合理地加上改正數(shù)，使其達(dá)到消除閉合差的目的，這是測(cè)量平差的主要任務(wù)。一個(gè)測(cè)量平差問(wèn)題，首先要由觀測(cè)值和待求量間組成數(shù)學(xué)模型，然後採(cǎi)用一定的平差原則對(duì)待求量進(jìn)行估計(jì)，這種估計(jì)要求是最優(yōu)的，最後計(jì)算和分析成果的精度。返回目錄2-2測(cè)量平差的數(shù)學(xué)模型

一、條件平差法

二、間接平差法

三、附有參數(shù)的條件平差法

四、附有限制條件的間接平差法

五、平差的隨機(jī)模型返回目錄

在日常生活和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，時(shí)常見(jiàn)到許多模型，一般可將其分為兩大類，一類是將實(shí)物尺寸放大或縮小而得的模型，稱為實(shí)物模型；另一類是用文字、符號(hào)、圖表或者對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行抽象概括，用數(shù)學(xué)關(guān)係式來(lái)描述它的某種特徵或內(nèi)在聯(lián)繫的模型。前者稱為模擬模型，後者稱為數(shù)學(xué)模型?？偡Q為抽象模型。在測(cè)量工程中，涉及的是通過(guò)觀測(cè)量確定某些幾何量或物理量大小等有關(guān)的數(shù)量問(wèn)題，因而考慮的模型總是數(shù)學(xué)模型。平差的數(shù)學(xué)模型與一般數(shù)學(xué)只考慮函數(shù)模型不同，它還要考慮隨機(jī)模型，因?yàn)橛^測(cè)量是一種隨機(jī)變數(shù)。所以平差的數(shù)學(xué)模型同時(shí)包含函數(shù)模型和隨機(jī)模型兩種，在研究任何平差方法時(shí)必須同時(shí)予以考慮。函數(shù)模型是描述觀測(cè)量與待求量間的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)係的模型，是確定客觀實(shí)際的本質(zhì)或特徵的模型。隨機(jī)模型是描述觀測(cè)量及其相互間統(tǒng)計(jì)相關(guān)性質(zhì)的模型。建立這兩種

返回目錄

返回本節(jié)

模型是測(cè)量平差中最基本而首先考慮的問(wèn)題。對(duì)於一個(gè)實(shí)際平差問(wèn)題，可建立不同形式的函數(shù)模型，與此相應(yīng)，就產(chǎn)生了不同的平差方法。函數(shù)模型分為線性函數(shù)模型和非線性函數(shù)模型兩類。測(cè)量平差通常是基於線性函數(shù)模型的，當(dāng)函數(shù)模型為非線性形式時(shí)（例如2-1-3式），總是將其用臺(tái)勞公式展開(kāi)，並取其一次項(xiàng)化為線性形式。下麵簡(jiǎn)述各類基本平差方法的線性函數(shù)模型和隨機(jī)模型，總稱為數(shù)學(xué)模型。一、條件平差法

以條件方程為函數(shù)模型的平差方法，稱為條件平差法?，F(xiàn)以圖2-2所示水準(zhǔn)網(wǎng)為例，說(shuō)明條件平差的函數(shù)模型。圖中A為已知其高程的水準(zhǔn)點(diǎn)，B、C、D均為未知點(diǎn)。網(wǎng)中觀測(cè)向量的真值為，為了確定B、C、D三點(diǎn)的高程，其必要觀測(cè)數(shù)（即必要元素）t=3，故多餘觀測(cè)數(shù)r=n-t=3。應(yīng)列出3個(gè)線性無(wú)關(guān)的條件方程，它們可以是返回目錄

返回本節(jié)

則上式為（2-2-1）又如在圖2-1ΔABC中，觀測(cè)了三個(gè)內(nèi)角，多餘觀測(cè)r=n-t=2-2=1，存在條件方程為令返回目錄

返回本節(jié)

則上式為（2-2-2）一般而言，如果有n個(gè)觀測(cè)值，l個(gè)必要觀測(cè)，則應(yīng)列出r=n-t個(gè)條件方程，即（2-2-3）如果條件方程為線性形式，可直接寫為（2-2-4）

A0為常數(shù)向量，如在（2-2-1）式中，在（2-2-2）式中為-180。將代入（2-2-4）式，並令（2-2-5）則（2-2-4）式為（2-2-6）（2-2-4）或（2-2-6）式為條件平差的函數(shù)模型。條件平差的自由度即為多餘觀測(cè)數(shù)r，即條件方程的個(gè)數(shù)。返回目錄

返回本節(jié)

二、間接平差法

由2-1知，在一個(gè)幾何模型中，最多只能選出t個(gè)獨(dú)立量，如果在進(jìn)行平差時(shí)，就選定t個(gè)獨(dú)立量作為參數(shù)，那末通過(guò)這t個(gè)獨(dú)立參數(shù)就能唯一地確定該幾何模型了。換言之，模型中的所有量都一定是這t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，亦即每個(gè)觀測(cè)量都可表達(dá)成所選t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。選擇幾何模型中t個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù)，將每一個(gè)觀測(cè)量表達(dá)成所選參數(shù)的函數(shù)，即列出n個(gè)這種函數(shù)關(guān)係式，以此為平差的函數(shù)模型，稱為間接平差法，又稱為參數(shù)平差法。在圖2-3的ΔABC中，觀測(cè)量為其中三個(gè)內(nèi)角選定∠A和∠B為平差參數(shù)，設(shè)為，即

因?yàn)橥ㄟ^(guò)這t=2個(gè)參數(shù)可以唯一地確定該三角形的形狀。將每一個(gè)觀測(cè)量均表達(dá)為這兩個(gè)平差參數(shù)的函數(shù)，返回目錄

返回本節(jié)

由圖知

（2-2-7）方程的個(gè)數(shù)等於觀測(cè)值的個(gè)數(shù)。一般而言，如果某平差問(wèn)題有n個(gè)觀測(cè)值，t個(gè)必要觀測(cè)值，選擇t個(gè)獨(dú)立量作為平差參數(shù)，則每個(gè)觀測(cè)量必定可以表達(dá)成這個(gè)t個(gè)參數(shù)的函數(shù)，即有（2-2-8）如果這種運(yùn)算式是線性的，一般為

例如，在（2-2-7）式中

返回目錄

返回本節(jié)

將代入（2-2-9）式，並令

l=L-d

(2-2-10)

則有（2-2-11）考慮E（）=0，上式也可寫成（2-2-12）以上的（2-2-9）或（2-2-11）式就是間接平差的函數(shù)模型。儘管間接平差法是選了t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，但多餘觀測(cè)數(shù)不隨平差不同而異，其自由度仍是r=n-t。返回目錄

返回本節(jié)

三、附有參數(shù)的條件平差法

設(shè)在平差問(wèn)題中，觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，t為必要觀測(cè)數(shù)，則可列出r=n-t個(gè)條件方程，現(xiàn)又增設(shè)了u個(gè)獨(dú)立量作為參數(shù)，而0<u<t，每增設(shè)一個(gè)參數(shù)應(yīng)增加一個(gè)條件方程。以含有參數(shù)的條件方程作為平差的函數(shù)模型，稱為附有參數(shù)的條件平差法。例如，在圖2-3的ΔABC中，觀測(cè)量為三個(gè)內(nèi)角，，選擇∠A為平差參數(shù)，此時(shí)，r=n-t=2-2=1，有一個(gè)條件方程，由於增加了一個(gè)參數(shù)，應(yīng)再增加一個(gè)條件方程?，F(xiàn)列出如下

令

返回目錄

返回本節(jié)

則上式可寫成（2-2-14）一般而言，在某一平差問(wèn)題中，觀測(cè)值個(gè)數(shù)為n，必要觀測(cè)數(shù)為t，多餘觀測(cè)數(shù)r=n-t，再增選u個(gè)獨(dú)立參數(shù)，0<u<t，則總共應(yīng)列出c=r+u個(gè)條件方程，一般形式為（2-2-15）如果條件方程是線性的，其形式為

（2-2-16）將代入上式，並令（2-2-17）則得（2-2-18）（2-2-16）或（2-2-18）式為附有參數(shù)的條件平差法的函數(shù)模型。此平差問(wèn)題，由於選了u個(gè)獨(dú)立參數(shù)，方程總數(shù)由r個(gè)增加到c=r+u個(gè)，故平差的自由度為r=c-u。返回目錄

返回本節(jié)

四、附有限制條件的間接平差法

如果進(jìn)行間接平差，就要選出t個(gè)獨(dú)立量為平差參數(shù)，按每一個(gè)觀測(cè)值所選參數(shù)間函數(shù)關(guān)係，組成n個(gè)觀測(cè)方程。如果在平差問(wèn)題中，不是選t個(gè)而是選定u>t個(gè)參數(shù)，其中包含t個(gè)獨(dú)立參數(shù)，則多選的s=u-t個(gè)參數(shù)必是t個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)，亦即在u個(gè)參數(shù)之間存在著s個(gè)函數(shù)關(guān)係，它們是用業(yè)約束參數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)係。因此，在選定u>t個(gè)參數(shù)進(jìn)行間接平差時(shí)，除了建立n個(gè)觀測(cè)方程外，還要增加s個(gè)約束參數(shù)的條件方程，故稱此平差方法為附有限制條件的間接平差法。一般而言，附有限制條件的間接平差法可組成下列方程：（2-2-19）（2-2-20）線性形式的函數(shù)模型為（2-2-21）（2-2-22）該平差問(wèn)題的自由度r=n-(u-s)。返回目錄

返回本節(jié)

五、平差的隨機(jī)模型

對(duì)於以上四種基本平差方法，最基本的數(shù)據(jù)都是觀測(cè)向量，進(jìn)行平有效期時(shí)，除了建立其函數(shù)模型外，還要同時(shí)考慮到它的隨機(jī)模型，亦即觀測(cè)向量的協(xié)方差陣：（2-2-23）式中D為L(zhǎng)的協(xié)方差陣，Q為L(zhǎng)的協(xié)因數(shù)陣，P為L(zhǎng)的權(quán)陣，Q與P互為逆陣，為單位權(quán)方差。以上各種平差方法的函數(shù)模型連同（2-2-23）式中的隨機(jī)模型，就稱為平差方法的數(shù)學(xué)模型。在進(jìn)行平差計(jì)算之前，必須同時(shí)具備其函數(shù)模型和隨機(jī)模型，前者可以按上述介紹的方法建立，後者則須知道D，Q或P中之一。一般情況下，觀測(cè)向量的協(xié)方差陣D在平差前都是未知的，通常是按第二章仲介紹的方法估計(jì)確定，稱為先驗(yàn)協(xié)方差?？赏ㄟ^(guò)平差計(jì)算求出其估值，然後求得D的估值：（2-2-24）返回目錄

返回本節(jié)2-3函數(shù)模型的線性化

在各種平差中，所列出的檔方程或觀測(cè)方程，有的是線性形式，也有的是非線性形式。在進(jìn)行平差計(jì)算時(shí)，必須首先將非線性方程按臺(tái)勞公式展開(kāi)，取至一次項(xiàng)，轉(zhuǎn)換成線性方程。四種基本平差方法的一般形式的函數(shù)模型為（2-2-3）、（2-2-8）、（2-2-15）和（2-2-19）式。如果是非線性形式，就需要將其線性化。設(shè)有函數(shù)（2-3-1）為了線性化，取的充分近似值Xo，使（2-3-2）同時(shí)考慮到（2-3-3）均要求是微小量，故在按臺(tái)勞公式展開(kāi)時(shí)可以略去二次和二次以上的項(xiàng)，而只取至一次項(xiàng)，於是有返回目錄

若令

（2-3-4）

（2-3-5）則函數(shù)的線性形式為（2-3-6）根據(jù)函數(shù)線性化過(guò)程，很容易將上述四種基本平差方法的非線性方程轉(zhuǎn)換成線性方程。返回目錄

條件平差法：

式中令W=-F（L）（2-3-7）可得其函數(shù)模型為

AΔ-W=0

（2-3-8）此即（2-2-6）式。間接平差法：

式中令（2-3-9）可得其函數(shù)模型為（2-3-10）此即（2-3-11）式。

返回目錄

附有參數(shù)的條件平差法：，式中A，B即（2-3-4）、（2-3-5）式，令（2-3-11）可得其函數(shù)模型為（2-3-12）此即（2-2-18）式。附有限制條件的間接平差法：由（2-2-19）、（2-2-20）式知，一般方程為因?yàn)榉祷啬夸?/p>

令（2-3-13）考慮（2-3-10）式，其函數(shù)模型為（2-3-14）（2-3-15）此即（2-2-21）和（2-2-22）式。式中

（2-3-16）返回目錄2-4參數(shù)估計(jì)與最小二乘原理

平差問(wèn)題是由於測(cè)量中進(jìn)行了多餘觀測(cè)而產(chǎn)生，不論何種平差方法，平差最終目的都是對(duì)參數(shù)和觀測(cè)量（或Δ）作出某種估計(jì)，並評(píng)定其精度。所謂評(píng)定精度，就是對(duì)待估量的方差與協(xié)方差作出估計(jì)。所以，可統(tǒng)稱為對(duì)平差模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。一、參數(shù)估計(jì)及其最優(yōu)性質(zhì)

由於多餘觀測(cè)而產(chǎn)生的平差數(shù)學(xué)模型，都不可能直接獲得唯一解。例如，條件平差的函數(shù)模型（2-2-6）式，條件方程個(gè)數(shù)為r，而待估未知量Δ有n個(gè)，n>r，Δ不能唯一確定。又如間接平差的函數(shù)模型（2-2-1）式，方程個(gè)數(shù)為n，待求參數(shù)和Δ共有t+n個(gè)，同樣，和Δ不能唯一確定。測(cè)量平差中的參數(shù)估計(jì)，是要在眾多的解中，找出一個(gè)最為合理的解，作為平差參數(shù)的最終估計(jì)。為此，對(duì)最終估計(jì)值應(yīng)該提出某種要求，考慮平差所處理的

返回目錄

是隨機(jī)觀測(cè)值，這種要求自然要從數(shù)理統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)去尋求，即參數(shù)估計(jì)要具有最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，從而可對(duì)平差數(shù)學(xué)模型附加某種約束，實(shí)現(xiàn)滿足最優(yōu)性質(zhì)的參數(shù)唯一解。這種約束是用某種準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)的，其中最廣泛採(cǎi)用的準(zhǔn)則是最小二乘原理。數(shù)理統(tǒng)計(jì)中所述的估計(jì)量最優(yōu)性質(zhì)，主要是估計(jì)量應(yīng)具有無(wú)偏性、一致性和有效性的要求，現(xiàn)簡(jiǎn)單引用如下：（1）無(wú)偏性設(shè)為參數(shù)的估計(jì)量，如果估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望等於參數(shù)，即（2-4-1）則稱為的無(wú)偏估計(jì)量。否則估計(jì)量不具有無(wú)偏性。（2）一致性滿足概率運(yùn)算式

(2-4-2)

則稱為的一致估計(jì)量，其中n為子樣容量，是任意小的正數(shù)。返回目錄

若估計(jì)量同時(shí)滿足（2-4-3）

則稱為的嚴(yán)格一致性估計(jì)量。嚴(yán)格一致性估計(jì)量一定是一致性估計(jì)量。（3）有效性若是的無(wú)偏估計(jì)量，具有無(wú)偏性的估計(jì)量並不唯一。如果兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量和，具有（2-4-4）則稱比有效，其中具有方差最小性的估計(jì)量，即，則為的最有效估計(jì)量，稱為最優(yōu)估計(jì)量。數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論證明，具有無(wú)偏性、最優(yōu)性的估計(jì)量必然是一致性估計(jì)量，所以測(cè)量平差中參數(shù)的最佳估值要求是最優(yōu)無(wú)偏估計(jì)量。由於平差模型是線性的，最佳估計(jì)也稱為最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)。返回目錄

二、最小二乘原理

在生產(chǎn)實(shí)踐中，經(jīng)常會(huì)遇到利用一組觀測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)某些未知參數(shù)的問(wèn)題。例如，一個(gè)作勻速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的位置是，可以用如下的線性函數(shù)來(lái)描述：（2-4-5）式中是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的初始位置，是平均速度，它們是待估計(jì)的未知參數(shù)，可見(jiàn)這類問(wèn)題為線性參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題。對(duì)於這一問(wèn)題，如果觀測(cè)沒(méi)有誤差，則只要在兩個(gè)不同時(shí)刻和觀測(cè)出質(zhì)點(diǎn)的相應(yīng)位置和，由（2-4-5）式分別建立兩個(gè)方程，就可以解出和的值了。但是，實(shí)際上在觀測(cè)時(shí)，被觀測(cè)的不是而是，是觀測(cè)誤差。於是有這樣，為了求得和，就需要在不同時(shí)刻來(lái)測(cè)定其位置，得一組觀測(cè)值，返回目錄

這時(shí)，由上式可以得到（i=1,2,…,n）（2-4-6）若令，，，

則（2-4-6）式為（2-4-7）這是間接平差的函數(shù)模型。如果將對(duì)應(yīng)的用圖解來(lái)表示，則可作出如圖2-4所示的圖形，從圖中要以看出，由於存在觀測(cè)誤差的緣故，由觀測(cè)數(shù)據(jù)繪出的點(diǎn)——觀測(cè)點(diǎn)，描繪不成直線，某些“擺動(dòng)”。這裏就產(chǎn)生這樣一個(gè)問(wèn)題：用什麼準(zhǔn)則，來(lái)對(duì)參數(shù)返回目錄

和進(jìn)行估計(jì)，從而使直線“最佳”地?cái)M合於諸觀測(cè)點(diǎn)。這裏的“最佳”一詞要以有不同的理解。例如，可以認(rèn)為：各觀測(cè)點(diǎn)直線最大距離取最小值時(shí)，直線是“最佳”的；也可以認(rèn)為，各觀測(cè)點(diǎn)到直線的偏差的絕對(duì)值之和取最小值時(shí)，直線是“最佳”的，等等。在不同的“最佳”要求下，可以求得相應(yīng)問(wèn)題中參數(shù)和不同的估值。但是，在解這類問(wèn)題時(shí)，一般應(yīng)用的最小二乘原理，按照最小二乘原理的要求，認(rèn)為“最佳”地?cái)M合於諸觀測(cè)點(diǎn)的估計(jì)曲線，應(yīng)使諸觀測(cè)點(diǎn)到該曲線的偏差的平方和達(dá)到最小。設(shè)觀測(cè)值的估值為是觀測(cè)值的改正數(shù)（或稱殘差），是的估值，則由可以寫出所謂最小二乘原理，就是要在滿足（2-4-8）

的條件下解出參數(shù)的估值，若令返回目錄

若令則上式也可寫為

（2-4-9）式中表示參數(shù)的估計(jì)向量，在上述例子中，。滿足（2-4-9）式中估計(jì)稱為X的最小二乘估計(jì)，這種求估計(jì)量的方法就稱為最小二乘法。從以上的推導(dǎo)看出，只要具有（2-4-6）式的線性關(guān)係的參數(shù)估計(jì)因此，這種估計(jì)方法在實(shí)踐中被廣泛地應(yīng)用。測(cè)量中的觀測(cè)值是服從正態(tài)分佈的隨機(jī)變數(shù)，最小二乘原理可用數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的最大似然估計(jì)來(lái)解釋，兩種估計(jì)準(zhǔn)則的估值相同。設(shè)觀測(cè)向量為，L為隨機(jī)正態(tài)向量，其數(shù)學(xué)期望和方差分別為返回目錄

由最大似然估計(jì)準(zhǔn)則知，其似然函數(shù)（即L的正態(tài)密度函數(shù)）為

（2-4-10）由（2-4-7）式並顧及則知（2-4-11）故（2-4-10）式也可寫成返回目錄

或

（2-4-12）按最大似然估計(jì)的要求，應(yīng)選取能使lnG取得極大值時(shí)的作為X的估值量。由於上式右邊的第二項(xiàng)前是負(fù)號(hào)，所以只有當(dāng)該項(xiàng)取得極小值時(shí)lnG才能取得極大值，換言之，的估值量應(yīng)滿足如下條件：（2-4-13）

考慮為常量，上式可寫成（2-4-14）顧及V是的估值，則有（2-4-15）（2-4-14）式可簡(jiǎn)寫成（2-4-16）此即最小二乘原理。返回目錄

由此可見(jiàn)，當(dāng)觀測(cè)值為正態(tài)隨機(jī)變數(shù)時(shí)，最小二乘估計(jì)可由最大似然估計(jì)導(dǎo)出，由以上兩個(gè)準(zhǔn)則出發(fā)，平差結(jié)果完全一致。最小二乘原理中的P陣，稱為權(quán)陣，定義是設(shè)為獨(dú)立觀測(cè)值，其權(quán)為，則有

式中Qii為L(zhǎng)i的的權(quán)倒數(shù)或協(xié)因數(shù)，權(quán)陣及協(xié)因數(shù)陣為如果為相關(guān)觀測(cè)值，則有返回目錄

協(xié)因數(shù)Q與協(xié)方差D統(tǒng)計(jì)含義相同，數(shù)量上僅差一常量，如果，則D=Q。因?yàn)闄?quán)陣返回目錄

雖然仍為的倒數(shù)，但由於，權(quán)陣P中主對(duì)角元素Pii已不再具有權(quán)的意義，P僅表示Q-1，但在運(yùn)算時(shí)具有權(quán)的作用。特別地，當(dāng)為同精觀測(cè)時(shí)，則P=I，則最小二乘原理是

(2-4-17)返回目錄條件平差

第一節(jié)條件平差原理

在第二章已經(jīng)給出條件平差有效期的數(shù)學(xué)模型

(3-1)(3-2)

條件方程個(gè)數(shù)等於多餘觀測(cè)數(shù)r＝n-t，n為觀測(cè)值總數(shù)，t為要觀測(cè)數(shù)。由於r<n,由（3－1）式不能求得V的唯一解，但可按最小二乘原理求V的最或然值，從而求出觀測(cè)量的最或然值，又稱平差值。條件平差法就是要求在滿足r個(gè)條件方程（3－1）下，求函數(shù)VrPV=min的V值，在數(shù)學(xué)中是求函數(shù)的條件極值問(wèn)題。返回目錄

一、條件平差原理

設(shè)有r個(gè)平差值線性條件方程

（3-3）式中aij(i=1,2,…,r;j=1,2,…，n)為條件方程係數(shù)，aio(i=1,2,…r)為條件方程的常數(shù)項(xiàng)。將的平差值=L+V代入上式，得條件方程為

（3-4）返回目錄

式中Wi=(i=1,2,…,r)稱為條件方程的閉分差，或稱不符值，即

（3-5）令

返回目錄

則（3-3）式為（3-6）同樣，（3-4）為（3-7）（3-5）式為（3-8）按求函數(shù)極值的拉格朗日乘數(shù)法，設(shè)其乘數(shù)為k=(k1,k2,…,kr)T，稱為聯(lián)繫數(shù)向量。組成函數(shù)，將Ф對(duì)V求一階導(dǎo)數(shù)，並令其為零，得，

兩邊轉(zhuǎn)置，得

PV=ATK，得改正數(shù)V的計(jì)算公式為

V=P-1ATK=QATK

（3-9）上式稱為改正數(shù)方程。返回目錄

將n個(gè)改正數(shù)方程（3-9）和r個(gè)條件方程（3-7）聯(lián)立求解，就可以求得一組唯一的解：n個(gè)改正數(shù)和r個(gè)聯(lián)繫數(shù)。為此，將（3-7）和（3-9）式合稱為條件平差的基礎(chǔ)方程。顯然，由基礎(chǔ)方程解出的一組V，不僅能消除閉合差，也必能滿足，VTPV=min的要求。解算基礎(chǔ)方程時(shí)，是先將（3-9）式代入（3-7）式，得AQATK+W=0，令（3-10）則有NaaK+W=0(3-11)

上式稱為聯(lián)繫數(shù)法方程，簡(jiǎn)稱法方程。法方程係數(shù)陣Naa的秩R（Naa）=R（AQAT）=R（A）=r，即Naa是一個(gè)r階的滿秩方陣，且可逆。由此可得聯(lián)繫數(shù)K的唯一解。當(dāng)p為對(duì)角陣時(shí)，改正數(shù)方程（3-9）和法方程（3-11）的純量形式分別為（3-12）返回目錄

和

（3-13）式中

（i=j=1,2,…，r）（3-14）當(dāng)P為非對(duì)角陣時(shí)，設(shè)

（3-15)

權(quán)陣P的逆陣為觀測(cè)的協(xié)因數(shù)矩陣Q，返回目錄

設(shè)

（3-16）

因此，改正數(shù)方程（3-9）的純量形式為

（i=1,2,…,n）

(3-17)

法方程係數(shù)

(3-18)

從法方程解出聯(lián)繫數(shù)ki後，將ki值代入改正數(shù)方程，求出改正數(shù)V，再加上觀測(cè)值L，得平差值

=L+V

（3-19）這樣就完成了按條件平差求平差值的工作。返回目錄

二、條件平差計(jì)算步驟與算例

綜合以上所述可知，按條件平有效期求平差值的計(jì)算步驟可歸結(jié)為：1．根據(jù)平差問(wèn)題的具體情況，列出條件方程（3-7）式，條件方程的個(gè)數(shù)等於多餘觀測(cè)數(shù)r。2．根據(jù)條件式的係數(shù)，閉合差及觀測(cè)值的權(quán)組成法方程（3-11）式，法方程的個(gè)數(shù)等於多餘觀測(cè)數(shù)r。3．解演算法方程，求出聯(lián)繫數(shù)K值。4．將K代入改正數(shù)方程（3-9）式，求出V值，並求出平差值=L+V。5．為了檢查平差計(jì)算的正確性，常用平差值重新列出平差值條件方程（3-6）式，看其是否滿足方程。返回目錄第二節(jié)條件方程

從上節(jié)中可以看出，條件方程的組成是關(guān)鍵性的一步，如果這一步有誤，即使在後續(xù)計(jì)算中不發(fā)生錯(cuò)誤，也會(huì)導(dǎo)致平差結(jié)果的不正確，達(dá)不到平差的的最後目的。本節(jié)介紹常規(guī)測(cè)量中遇到的基本圖形條件方程的組成。

一、水準(zhǔn)網(wǎng)

二、測(cè)角網(wǎng)

三、測(cè)邊網(wǎng)

四、邊角網(wǎng)返回目錄

一、水準(zhǔn)網(wǎng)

水準(zhǔn)網(wǎng)平差的主要目的，是確定網(wǎng)中未知點(diǎn)的最或然高程。例如圖3-3的水準(zhǔn)網(wǎng)中，有四個(gè)已知水準(zhǔn)點(diǎn)（圖中以“⊕”表示的點(diǎn)），兩個(gè)未知點(diǎn)（圖中以“O”表示的點(diǎn)），並有六個(gè)觀測(cè)值。從圖中可以看出，要確定E和F點(diǎn)的高程，必須觀測(cè)兩個(gè)觀測(cè)值，如h1和h6，或h4和h3等等?？梢?jiàn)，在有已知點(diǎn)的水準(zhǔn)網(wǎng)中，必要觀測(cè)的個(gè)數(shù)就等於未知點(diǎn)的個(gè)數(shù)。圖3-3中，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t=2，而條件方程個(gè)數(shù)r=n-t=6-2=4。返回目錄

返回本節(jié)

如果水準(zhǔn)網(wǎng)中沒(méi)有已知點(diǎn)，這時(shí)，只能假定某點(diǎn)的高程為已知，並以此為基準(zhǔn)，去確定其他各點(diǎn)的相對(duì)高程。例如圖3-4的水準(zhǔn)網(wǎng)，其中沒(méi)有已知水準(zhǔn)點(diǎn)，這時(shí)，通過(guò)平差計(jì)算，只能確定各點(diǎn)的相對(duì)高程。為此，可先假定某一點(diǎn)高程值為已知，例如高HA=100.00m，並以此為基準(zhǔn)，去確定B、C、D等點(diǎn)的相對(duì)高程。這樣，只要觀測(cè)三個(gè)觀測(cè)值就行了。所以，在沒(méi)有已知點(diǎn)的水準(zhǔn)網(wǎng)中，必要觀測(cè)的個(gè)數(shù)等於網(wǎng)中全部未知點(diǎn)的個(gè)數(shù)減1。圖3-4的水準(zhǔn)網(wǎng)中，必要觀測(cè)個(gè)數(shù)t=4-1=3，而條件方程個(gè)數(shù)為r=6-3=3。水準(zhǔn)網(wǎng)中條件方程的組成方法見(jiàn)例[3-1]和例[3-2]。二、測(cè)角網(wǎng)

圖3-5為一測(cè)角網(wǎng)，其中A、B是座標(biāo)為已知的三角點(diǎn)，C和D為待定點(diǎn)，要確定其座標(biāo)。共觀測(cè)了9個(gè)水準(zhǔn)角，即ai,bi,ci(i=1,2,3)。

返回目錄

返回本節(jié)

根據(jù)角度交會(huì)的原理知，為了確定C、D兩點(diǎn)的平面座標(biāo)，必要觀測(cè)t=4，例如測(cè)量a1和b1可計(jì)算D點(diǎn)座標(biāo)，再測(cè)量a2和c2可確定待定點(diǎn)C。於是，圖3-5的多餘觀測(cè)數(shù)r=n-t=9-4=5。故總共應(yīng)列出5個(gè)條件方程。測(cè)角網(wǎng)的基本條件方程有三種類型，現(xiàn)以此例說(shuō)明。

第一類是三角形內(nèi)角和條件，通過(guò)圖形條件。由圖3-5可列出三個(gè)圖形條件，即（i=1,2,3）其最後形式為（i=1,2,3）返回目錄

返回本節(jié)

第二類是圓周條件或稱水準(zhǔn)條件。由圖3-5可列出一個(gè)圓周條件，即或

第三類是極條件或稱邊長(zhǎng)條件。滿足上述4個(gè)條件方程的角值還不能使圖3-5的幾何圖形完全閉合，例如，由邊長(zhǎng)通過(guò)a2、b2、c2計(jì)算邊長(zhǎng)，通過(guò)a1、b1、c1由計(jì)算邊長(zhǎng)，再由通過(guò)a3、b3、c3計(jì)算邊長(zhǎng)，計(jì)算的結(jié)果，其邊長(zhǎng)不會(huì)相同。為了使其相同，要列出一個(gè)極條件。即或（3-20）返回目錄

返回本節(jié)

此即極條件方程，為非線性形式。按函數(shù)模型線性方法，將上式用臺(tái)勞公式展開(kāi)取至次項(xiàng)，即可得線性形式的極條件方程。將代入（3-20）式，展開(kāi)可得

=返回目錄

返回本節(jié)

經(jīng)化簡(jiǎn)即有

=0,

(3-21)

這就是極條件（3-20）的線性形式。三、測(cè)邊網(wǎng)

和測(cè)角同一樣，在測(cè)邊網(wǎng)中也可分解為三角形，大地四邊形和中點(diǎn)多邊形三種基本圖形。對(duì)於測(cè)邊三角形，決定其形狀和大小的必要觀測(cè)為三條邊長(zhǎng)。所以t=3，此時(shí)r=n-t=3-3=0，即測(cè)邊三角形不存在的條件方程。對(duì)於測(cè)邊四邊形，決定第一個(gè)三角形必須觀測(cè)3條邊長(zhǎng)，決定第二個(gè)三角形只需要再增加2條邊長(zhǎng)，所以確定一個(gè)四邊形的圖形，必須觀測(cè)5條邊長(zhǎng)，即t=5，所以r=n-t=6-5=1，存在一個(gè)條件方程。對(duì)於中點(diǎn)多邊形，例如中點(diǎn)五邊形，它由四個(gè)獨(dú)立三角形組成，此t=3+2×3=9，故有r=n-t=10-9=1。返回目錄

返回本節(jié)

因此，測(cè)邊網(wǎng)中的中點(diǎn)多邊形與大地四邊形個(gè)數(shù)之和，即為該網(wǎng)條件方程的總數(shù)。這類條件稱為圖形條件。圖形條件的列出，可應(yīng)用角度閉合法、邊長(zhǎng)閉合法和麵積閉合法等，本節(jié)僅介紹角度閉合法。測(cè)邊網(wǎng)的圖形條件按角度閉合法列出，其基本思想是：利用觀測(cè)邊長(zhǎng)長(zhǎng)求出網(wǎng)中的內(nèi)角，列出角度間應(yīng)滿足的條件，然後，以邊長(zhǎng)改正數(shù)代換角度改正數(shù)，得到以邊長(zhǎng)改正數(shù)表示的圖形條件。返回目錄

返回本節(jié)

例如，圖3-8的測(cè)邊四邊形中，由觀測(cè)邊長(zhǎng)Si(i=1,2,3…6)精確地算出角值βj(j=1，2，3)，此時(shí)，平差值條件方程為以角度改正數(shù)表示的圖形條件為，（3-25）式中同樣，圖3-9中的測(cè)邊中點(diǎn)三邊形中，以角度改正數(shù)表示的圖形條件為：，（3-26）式中上述條件中的角度改正數(shù)必須代換成觀測(cè)值（邊長(zhǎng)）的改正數(shù)，才是圖形條件的最終形式。為此，必須找出邊長(zhǎng)改正數(shù)和角度改正數(shù)之間的關(guān)係式。返回目錄

返回本節(jié)

下麵（以圖3-10為例）給出角度改正數(shù)與邊長(zhǎng)改正數(shù)之間的關(guān)係式。由余弦定理知微分得

(3-27)返回目錄

返回本節(jié)

由圖（3-10）知

故有（3-28）將上式中的微分換成相應(yīng)的改正數(shù)，同時(shí)考慮到式中dA的單位是弧度，而角度改正數(shù)是以（″）為單位，故上式可寫成：（3-29）這就是角度改正數(shù)與三個(gè)邊長(zhǎng)改正數(shù)之間的關(guān)係式，以後稱該式為角度改正數(shù)方程，上式規(guī)律極為明顯，即任意一角（例如A角）的改正數(shù)等於其對(duì)邊（Sa邊）的改正數(shù)與兩個(gè)夾邊（Sb,Cc邊）的改正數(shù)分別與其鄰角余弦（Sb邊鄰角為C角，Sc邊鄰角為B角）乘積負(fù)值之和，再乘以為分子，以該角至其對(duì)邊之高（ha）為分母的分?jǐn)?shù)。返回目錄

返回本節(jié)

按照上述規(guī)律，可以寫出圖3-8中角β1、β2及β3的角度改正數(shù)方程分別為

（3-30）式中h1、h2及h3分別是從A點(diǎn)向角對(duì)邊所作的高。將上列三式代入（3-25）式，按的順序並項(xiàng)，即得四邊形的以邊長(zhǎng)改正數(shù)表示的圖形條件：

（3-31）返回目錄

返回本節(jié)

如果圖形中出現(xiàn)已知邊時(shí)，在條件方程中，要把相應(yīng)於該邊的改正數(shù)項(xiàng)舍去。對(duì)於圖3-9中的中點(diǎn)三邊形來(lái)說(shuō)，β1、β2及β3的改正數(shù)與各邊改正數(shù)的關(guān)係式為將上述關(guān)係代入（3-26）式，並按的順序並項(xiàng)，即得中點(diǎn)三邊形的圖形條件，即

（3-32）返回目錄

返回本節(jié)

在具體計(jì)算圖形條件的係數(shù)和閉合差時(shí)，一般取邊長(zhǎng)改正數(shù)的單位為cm，高h(yuǎn)的單位為km，取2.062，而閉合差的單位為（″）。由觀測(cè)邊長(zhǎng)計(jì)算係數(shù)中的角值（圖3-10），可按余弦定理或下式計(jì)算

（3-33）式中

而高h(yuǎn)為返回目錄

返回本節(jié)

四、邊角網(wǎng)

在邊角網(wǎng)的條件方程中，一般有與測(cè)角網(wǎng)相同的圖形條件，圓周條件和極條件，以及平差圖形中觀測(cè)角和觀測(cè)邊的平差值應(yīng)滿足的幾何條件，即按正弦定理和余弦定理列立的正弦條件或余弦條件。例如，圖3-11的邊角網(wǎng)中的九個(gè)條件方程，有三個(gè)是角度之間的圖形條件和一個(gè)極條件，其餘五個(gè)條件可列立邊與角之間的正弦條件方程。正弦條件指的是：平差圖形中觀測(cè)角和觀測(cè)邊的平差值應(yīng)滿足正弦定理。例如，圖3-12中，應(yīng)列一個(gè)角度的圖形條件和兩個(gè)正弦條件,返回目錄

返回本節(jié)

即，，。顯然，正弦條件是非線性的，應(yīng)線性化。將非線性條件線性化，可按真數(shù)和對(duì)數(shù)兩種形式進(jìn)行。例如，將上述第二式按真數(shù)形式線性化為：，式中以代入，按臺(tái)勞公式展開(kāi)至一次項(xiàng)，得，（3-34）式中具體計(jì)算時(shí)，（3-34）式中，邊長(zhǎng)改正數(shù)va和vb以秒為單位，邊長(zhǎng)以公里為單位，則取2.062，而閉合差

其單位是釐米。返回目錄

返回本節(jié)

在邊角網(wǎng)中，觀測(cè)了三條邊和一個(gè)內(nèi)角（圖3-13），此時(shí)，應(yīng)列一個(gè)余弦條件，即由三角邊的平差值求出的A角的值，應(yīng)與A角平差值相等，顯然，式中為由三邊觀測(cè)值精確求得的角值，的改正數(shù)，它是由於邊長(zhǎng)有改正數(shù)而引起的，它們之間的關(guān)係見(jiàn)（3-30）式，

返回目錄

返回本節(jié)

即。因此，余弦條件為，即，式中，而分?jǐn)?shù)中的b和c角可按正弦定理求出，高h(yuǎn)a可按（3-33）式求出。實(shí)際計(jì)算時(shí)，Va及W以秒為單位，以釐米為單位，ha以公里為單位，則。返回目錄

返回本節(jié)第三節(jié)精度評(píng)定

在條件平差中，精度評(píng)定包括給出單位權(quán)方差的估值計(jì)算公式和平差值函數(shù)的協(xié)因數(shù)及其中誤差的計(jì)算公式。為此，還要導(dǎo)出有關(guān)向量平差後的協(xié)因數(shù)陣，或稱驗(yàn)後協(xié)因數(shù)陣。在一般情況下，觀測(cè)向量的協(xié)方差陣往往是不知道的，為了評(píng)定精度，還要利用改正數(shù)V計(jì)算單位權(quán)方差的估值，然後才能計(jì)算所需要的各向量的協(xié)方差陣和任何平差結(jié)果的精度。一、計(jì)算單位權(quán)方差的估值公式

計(jì)算任何平差方法中的單位權(quán)方差估值，都是用VTPV除以多餘觀測(cè)值r，即（3-35）返回目錄

有了單位權(quán)方差的估值和某向量的驗(yàn)後協(xié)因數(shù)陣，例如已知平差值的協(xié)因數(shù)陣QLL，即可計(jì)算平差值向量的協(xié)方差陣（3-36）

至於計(jì)算單位權(quán)方差估值的公式為何要用VTPV除以多餘觀測(cè)值r，將在第五節(jié)中予以說(shuō)明。（3-35）中的VTPV可以用已經(jīng)算出的V向量和已知的權(quán)陣P直接計(jì)算，也可以按以下導(dǎo)出的公式進(jìn)行計(jì)算。因?yàn)閂=P-1ATK=QATK，故有（3-37）即二次型VTPV也可以用聯(lián)繫數(shù)K的具有方陣Naa的二次型來(lái)進(jìn)行計(jì)算。此外，因?yàn)?/p>

(3-38)VTPV也可用聯(lián)繫數(shù)K和閉合差W進(jìn)行計(jì)算。返回目錄

當(dāng)P為對(duì)角陣時(shí)，VTPV的純量運(yùn)算式為（3-39）或（3-41）順便指出，改正數(shù)平方和這一二次型函數(shù)是測(cè)量平差中一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)量，在誤差統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)分析中常要用到。二、協(xié)因數(shù)陣

在條件平差中，基本向量為L(zhǎng)、W、K、V、L，通過(guò)平差計(jì)算之後，它們都可表達(dá)成隨機(jī)向量L的函數(shù)，本節(jié)將推求它們各自的協(xié)因數(shù)陣以及兩兩向量間的互協(xié)因數(shù)陣。設(shè)

則Z