新教材2023版高中數(shù)學第2章空間向量與立體幾何2.1空間直角坐標系2.1.1建立空間直角坐標系學生用書湘教版選擇性必修第二冊

2．1.1建立空間直角坐標系新知初探·課前預習——突出基礎性教材要點要點一空間直角坐標系空間直角坐標系在空間任取一點O，以O為原點，作三條________的有向直線Ox，Oy，Oz，在這三條直線上選取共同的長度單位，分別建立坐標軸，依次稱為x軸、y軸、z軸，從而組成了一個空間直角坐標系O-xyz?．坐標平面在空間直角坐標系O-xyz中，由兩條坐標軸確定的平面叫坐標平面，分別稱為________平面，________平面，________平面．右手系伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向________正方向，然后讓四指沿握拳方向旋轉90°指向________正方向，此時大拇指的指向即為________正方向．批注?畫空間直角坐標系O-xyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.要點二空間直角坐標系中的坐標有了空間直角坐標系，空間中的點P與有序實數(shù)組(x，y，z)之間就建立了一一對應的關系．有序實數(shù)組(x，y，z)稱為點P的坐標，記作P(x，y，z)，其中x稱為點P的橫坐標，y稱為點P的縱坐標，z稱為點P的豎坐標．點的坐標?原點的坐標為O(0，0，0)，x軸上的點的坐標為________，y軸上的點的坐標為________，z軸上的點的坐標為________．平面上點的坐標?xOy平面內的點的坐標為________，yOz平面內的點的坐標為________，xOz平面內的點的坐標為________．批注?坐標軸上的點的特征：x軸上的點縱坐標和豎坐標都為0；y軸上的點橫坐標和豎坐標都為0；z軸上的點橫坐標和縱坐標都為0.批注?坐標平面上的點的特征：xOy平面上的點豎坐標為0；yOz平面上的點橫坐標為0；xOz平面上的點縱坐標為0.基礎自測1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)空間直角坐標系中的任意一點的坐標是唯一的．()(2)空間直角坐標系中x軸上點的橫坐標x＝0，豎坐標z＝0.()(3)空間直角坐標系中xOz平面上點的坐標滿足z＝0.()2．點(2，0，3)在空間直角坐標系中的()A．y軸上B．xOy平面上C．xOz平面上D．第一象限內3．在空間直角坐標系O-xyz，點A(1，－2，5)關于平面yOz對稱的點B為()A．(1，－2，－5)B．(－1，－2，5)C．(－1，－2，－5)D．(1，2，－5)4．在空間直角坐標系中，自點P(－4，－2，3)引x軸的垂線，則垂足的坐標為________．題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性在空間坐標系下確定點的位置例1在空間直角坐標系O-xyz中，畫出下列各點：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，A′(0，0，2)，B′(2，0，2)，C′(2，3，2)，D′(0，3，2)．方法歸納在空間坐標系下確定點的位置的方法(1)先確定點(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由豎坐標確定點(x0，y0，z0)在空間直角坐標系中的位置；(2)以原點O為一個頂點，構造棱長分別為|x0|，|y0|，|z0|的長方體(三條棱的位置要與x0，y0，z0的符號一致)，則長方體中與O相對的頂點即為所求的點．鞏固訓練1在空間直角坐標系中，標出點M(2，－6，4)．在空間坐標系下求點的坐標例2設正四棱錐S-P1P2P3P4的所有棱長均為a，建立適當?shù)淖鴺讼担簏cS，P1，P2，P3和P4的坐標．方法歸納在空間坐標系下求點的坐標作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的橫坐標x，縱坐標y，即點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為M點的豎坐標z，于是得到M點的坐標(x，y，z)．鞏固訓練2在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝14CD，試建立適當?shù)淖鴺讼?，寫出E，F(xiàn)，G在空間坐標系下求對稱點的坐標例3在空間直角坐標系中，已知點P(－2，1，4)．(1)求點P關于x軸對稱的點的坐標；(2)求點P關于xOy平面對稱的點的坐標；(3)求點P關于點M(2，－1，－4)對稱的點的坐標．方法歸納求空間對稱點的2個策略鞏固訓練3求點(－2，1，4)關于y軸，z軸，yOz面，xOz面的對稱點的坐標．2．1.1建立空間直角坐標系新知初探·課前預習[教材要點]要點一兩兩垂直xOyyOzxOzx軸y軸z軸要點二(x，0，0)(0，y，0)(0，0，z)(x，y，0)(0，y，z)(x，0，z)[基礎自測]1．(1)√(2)×(3)×2．解析：點(2，0，3)的y軸坐標為0，所以該點在xOz平面上．答案：C3．解析：關于平面yOz對稱的點：橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標和豎坐標相同．答案：B4．解析：∵點P(－4，－2，3)，∴自點P引x軸的垂線，垂足坐標為(－4，0，0)．答案：(－4，0，0)題型探究·課堂解透例1解析：點A為原點．點B為x軸上坐標為2的點．點C的豎坐標為0，因此點C就是xOy平面內橫坐標為2、縱坐標為3的點．點D是y軸上坐標為3的點．點A′是z軸上坐標為2的點．點B′是zOx平面內橫坐標為2、豎坐標也為2的點．要作出點C′(2，3，2)，只需過x軸上坐標為2的點B作垂直于x軸的平面α，過y軸上坐標為3的點D作垂直于y軸的平面β，根據(jù)幾何知識可以得出：這兩個平面的交線就是經(jīng)過點C(2，3，0)且與z軸平行的直線l.再過z軸上坐標為2的點A′作垂直于z軸的平面γ，那么直線l與平面γ的交點也是三個平面α，β，γ，的交點，就是點C′.點D′是yOz平面內縱坐標為3、豎坐標為2的點．在同一空間直角坐標系中，畫出以上各點，它們剛好是長方體ABCD-A′B′C′D′的八個頂點(如圖)．鞏固訓練1解析：方法一先確定點M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因為點M的豎坐標為4，則|MM′|＝4，且點M和z軸的正半軸在xOy平面的同側，這樣就可確定點M的位置了(如圖所示)．方法二以O為一個頂點，構造三條棱長分別為2，6，4的長方體，使此長方體在點O處的三條棱分別在x軸正半軸、y軸負半軸、z軸正半軸上，則長方體中與頂點O相對的頂點即為所求的點(圖略)．例2解析：以正四棱錐的底面中心作為坐標原點，棱P1P2，P1P4分別垂直于Oy軸和Ox軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．∵|P1P2|＝a，P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，∴P1(a2，a2，0)，P2(－又P3與P1關于原點O對稱，P4與P2關于原點O對稱，∴P3(－a2，－a2，0)，P4(a2，－a又∵|OP1|＝22a，∴在Rt△SOP1|SO|＝SP12-OP12＝∴S(0，0，22a)鞏固訓練2解析：建立如圖所示的空間直角坐標系．點E在z軸上，它的橫坐標、縱坐標均為0，而E為DD1的中點，故其坐標為(0，0，12)由F作FM⊥AD，F(xiàn)N⊥CD，垂足分別為M，N，由平面幾何知識知FM＝12，F(xiàn)N＝1故F點坐標為(12，1因為CG＝14CD，G，C均在y故G點坐標為(0，34，0)例3解析：(1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸，z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標為P1(－2，－1，－4)．(2)由點P關于xOy平面對稱后，它在x軸，y軸的分量不變，在z軸的分量變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù)，所以對稱點坐標為P2(－2，1，－4)．(3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x＝2