數(shù)學(xué)-專(zhuān)項(xiàng)11 勾股定理之風(fēng)吹荷花模型綜合應(yīng)用（2大類(lèi)型）（原版）

專(zhuān)題11勾股定理之風(fēng)吹荷花模型綜合應(yīng)用（2大類(lèi)型）解題思路解題思路“印度荷花問(wèn)題”湖靜浪平六月天，荷花半尺出水面;忽來(lái)一陣狂風(fēng)急，吹倒花兒水中偃。湖面之上不復(fù)見(jiàn)，入秋漁翁始發(fā)現(xiàn);殘花離根二尺遙，試問(wèn)水深盡若干?——印度數(shù)學(xué)家拜斯迦羅（公元1114—1185年）【模型】讀詩(shī)求解“出水3尺一紅蓮，風(fēng)吹花朵齊水面，水面移動(dòng)有6尺，求水深幾何請(qǐng)你算”。【思路】利用勾股定理建立方程，求出水深為4.5尺.【解析】設(shè)水深A(yù)P＝x尺，PB＝PC＝（x＋3）尺，根據(jù)勾股定理得：PA2＋AC2＝PC2，x2＋42＝（x＋3）2.解得x=4.5.答∶水深4.5尺.

【典例分析】【典例1】如圖，在水池的正中央有一根蘆葦，池底長(zhǎng)10尺，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面則這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是（）A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【變式1-1】（2021秋?青岡縣期末）在平靜的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一陣強(qiáng)風(fēng)吹來(lái)把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上離開(kāi)原來(lái)的位置2尺遠(yuǎn)，則這個(gè)湖的水深是尺．【變式1-2】如圖，在平靜的湖面上，有一荷花，高出湖水面0.1m，一陣風(fēng)來(lái)，荷花被吹到一邊，花朵齊及水面．已知荷花移動(dòng)的水平距離為0.3m，則這里的水深是m．【典例2】（2019春?南昌期中）如圖是盼盼家新裝修的房子，其中三個(gè)房間甲、乙、丙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作MA，如果梯子的底端P不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB．（1）當(dāng)盼盼在甲房間時(shí)，梯子靠在對(duì)面墻上，頂端剛好落在對(duì)面墻角B處，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，則甲房間的寬度AB＝米．

（2）當(dāng)他在乙房間時(shí)，測(cè)得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房間的寬AB；（3）當(dāng)他在丙房間時(shí)，測(cè)得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度數(shù)；②求丙房間的寬AB．【變式2-1】（2020春?鎮(zhèn)原縣期末）如圖，梯子AB靠在墻上，梯子的底端A到墻根O的距離為3m，梯子的底端A向外移動(dòng)到A′，使梯子的底端A′到墻根O的距離等于4m，同時(shí)梯子的頂端B下降至B′，求BB′的長(zhǎng)（梯子AB的長(zhǎng)為5m）．

【變式2-2】（2022春?寧鄉(xiāng)市期末）如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝1m，將它往前推送4m（水平距離BC＝4m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝3m，若秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長(zhǎng)度．

【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．（2022春?昭化區(qū)期末）如圖，將一根長(zhǎng)為16cm的橡皮筋固定在筆直的木棒上，兩端點(diǎn)分別記為A，B，然后將中點(diǎn)C向上豎直拉升6cm至點(diǎn)D處，則拉伸后橡皮筋的長(zhǎng)為（）A．20cm B．22cm C．28cm D．32cm2．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長(zhǎng)為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度不可能的是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm3．有一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦生長(zhǎng)在它的正中央，高出水面的部分為1尺，如果把該蘆葦?shù)捻敹搜厮剡叴怪钡姆较蚶桨哆?，發(fā)現(xiàn)蘆葦頂端恰與水面齊平，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是尺．4．古詩(shī)贊美荷花：“竹色溪下綠，荷花鏡里香”．平靜的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽見(jiàn)它隨風(fēng)斜倚，花朵恰好浸入水面，仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)荷花偏離原地40cm（如圖）．請(qǐng)問(wèn)荷花入水部分BC長(zhǎng)多少厘米？

5．（2022秋?晉源區(qū)校級(jí)月考）如圖，筆直的公路上A、B兩點(diǎn)相距17km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點(diǎn)A，CB⊥AB于點(diǎn)B，已知DA＝12km．CB＝5km，現(xiàn)在要在公路的AB段上建一個(gè)公交車(chē)站E，使得C，D兩村到公交車(chē)站E的距離相等．則公交車(chē)站E應(yīng)建在離A點(diǎn)多遠(yuǎn)處？6．（2022秋?蒲江縣校級(jí)期中）一架梯子AB長(zhǎng)2.5m，如圖斜靠在一面墻上，梯子底端B離墻0.7m．（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了0.4m．那么梯子底部在水平方向滑動(dòng)了0.4m嗎？為什么？7．（2022春?潼南區(qū)期末）如圖，一架梯子AB

斜靠在某個(gè)過(guò)道豎直的左墻上，頂端在點(diǎn)A處，底端在水平地面的點(diǎn)B處．保持梯子底端B的位置不變，將梯子斜靠在豎真的右墻上，此時(shí)梯子的頂端在點(diǎn)C處．測(cè)得頂端A距離地面的高度AO為2米，OB為1.5米．（1）求梯子的長(zhǎng)；（2）若頂端C距離地面的高度CD比AO多0.4米，求OD的長(zhǎng)．8．（2022春?藁城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在筆直的公路AB旁有一條河流，為方便運(yùn)輸貨物，現(xiàn)要從公路AB上的D處建座橋梁到達(dá)C處，已知點(diǎn)C與公路上的?？空続的直線距離為3km，與公路上另一停站B的直線距離為4km，且AC⊥BC，CD⊥AB．（1）求修建的橋梁CD的長(zhǎng)；（2）橋梁CD建成后，求一輛貨車(chē)由C處途經(jīng)D處到達(dá)B處的總路程．9．（2022?南京模擬）如圖，有人在岸上點(diǎn)C的地方，用繩子拉船靠岸，開(kāi)始時(shí)，繩長(zhǎng)CB＝25米，CA⊥AB且CA＝15米，拉動(dòng)繩子將船從點(diǎn)B沿BA

方向行駛到點(diǎn)D后，繩長(zhǎng)米．（1）試判定△ACD的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求船體移動(dòng)距離BD的長(zhǎng)度；（3）若在BD段拉動(dòng)船的速度為1米/秒，到達(dá)D后增加了人力，拉動(dòng)船的速度變?yōu)?米/秒，求把船從B拉到岸邊A點(diǎn)所用時(shí)間．【能力提升】10．（2022春?慈溪市期末）如圖，一條筆直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的增面上，一端在墻面A處，另一端在地面B處，墻角記為點(diǎn)C．（1）若AB＝6.5米，BC＝2.5米．①竹竿的頂端A沿墻下滑1米，那么點(diǎn)B將向外移動(dòng)多少米？②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距