數(shù)學(xué)-專(zhuān)項(xiàng)13 相似三角形中的母子型相似模型（原版）

專(zhuān)題13相似三角形中的母子型相似模型【模型展示】特點(diǎn)當(dāng)∠ABD=∠ACB時(shí)△ABD∽△ACB性質(zhì)：其中：∠A是公共角AB是公共邊BD與BC是對(duì)應(yīng)邊結(jié)論【模型證明】解決方案特殊母子型——射影定理在Rt△ACB與Rt△ADC中，當(dāng)∠ABC=∠ACD時(shí)，有Rt△ACB∽R(shí)t△ADC∽R(shí)t△CDB射影定理：母子相似證明題一般思路方法：由線(xiàn)段乘積相等轉(zhuǎn)化成線(xiàn)段比例式相等；分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線(xiàn)段乘積相等；第②步不成立，則選擇替換掉線(xiàn)段比例式中的個(gè)別線(xiàn)段，之后再重復(fù)第三步；

【題型演練】一、單選題1．如圖，在中，是斜邊上的高，則圖中的相似三角形共有（

）A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì) D．4對(duì)2．如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD，AD上，于點(diǎn)G，若BC=4，AF=1，則CE的長(zhǎng)為（

）A．3 B． C． D．3．如圖，中，，，，點(diǎn)，分別在，上，，．把繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到，點(diǎn)落在線(xiàn)段上．若點(diǎn)在的平分線(xiàn)上，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．如圖，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AD交AB于點(diǎn)E，M為AE的中點(diǎn)，BF⊥BC交CM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，BD=4，CD=3．下列結(jié)論①∠AED=∠ADC；②；③AC?BE=12；④3BF=4AC，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝CA＝6，D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，把ACDE沿DE翻折，點(diǎn)C落在處，與AB交于點(diǎn)F，連接．當(dāng)時(shí)，BC’的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．二、填空題6．如圖，在中，點(diǎn)D在AB上，請(qǐng)?jiān)偬硪粋€(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使，那么可添加的條件是__________．7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝，那么BC＝_______．8．如圖，在中，，，，，，則CD的長(zhǎng)為

______．9．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)在上，，垂足為，若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_________．10．如圖，在中，平分在延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)____．三、解答題11．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，D為AB上一點(diǎn)，∠ACD＝∠B．求證：AC2＝AD?AB．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在?ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的長(zhǎng)．

12．如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且AC=，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．14．中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，且有，過(guò)F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．15．如圖，在△ABC中，D是BC上的點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，且，∠BAD＝∠ECA．

（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線(xiàn)，求的值．16．如圖，已知矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)作分別交、于點(diǎn)、．（1）求證：；（2）連接，若．求證：．17．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求證：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的長(zhǎng)．18．如圖，銳角△ABC中，CD，BE分別是AB，AC邊上的高，垂足為D，E．（1）求證：△ACD∽△ABE；（2）若將點(diǎn)D，E連接起來(lái)，則△AED和△ABC能相似嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由．19．如圖，是的直徑，是的弦，是的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，，的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線(xiàn)；(2)若的半徑為4，，求的長(zhǎng)．20．如圖1，在菱形ABCD中，AC是對(duì)角線(xiàn)，AB＝AC＝6，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足AE＝BF，連接AF與CE相交于點(diǎn)G．（1）求的度數(shù)．（2）如圖2，作交CE于點(diǎn)H，若CF＝4，，求GH的值．（3）如圖3，點(diǎn)O為線(xiàn)段CE中點(diǎn)，將線(xiàn)段EO繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線(xiàn)段EM，當(dāng)構(gòu)成等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)．21．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為_(kāi)_______．

22．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，CD是邊AB的中線(xiàn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿折線(xiàn)CD-DB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AC于點(diǎn)Q，以PQ為邊作矩形PQMN，使點(diǎn)C、N始終在PQ的異側(cè)，且．設(shè)矩形PQMN與△ACD重疊部分圖形的面積是S，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（t>0）．（1）