數(shù)學(xué)-專題14 古代數(shù)學(xué)文化中的二元一次方程組的應(yīng)用（原版）

專題14古代數(shù)學(xué)文化中的二元一次方程組的應(yīng)用（原卷版）專題解讀：因?yàn)橹锌急乜加钟腥?，所以練練很必要！一、《算法統(tǒng)宗》里的二元一次方程組的應(yīng)用1．（2021秋?招遠(yuǎn)市期末）程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家，他60歲時(shí)完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東方古代數(shù)學(xué)名著，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法，書中有如下問題：一百饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚得幾丁，意思是：有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完，大、小和尚各有多少人？請你解決這個(gè)問題．2．（2022春?丹陽市期末）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后兩句的意思是：如果每一間客房都住7人，那么有7人無房可?。蝗绻恳婚g客房都住9人，那么就空出一間房．求該店有客房多少間？該批住店房客多少人？3．（2022春?鄞州區(qū)校級月考）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》中有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，還差8兩．問銀子共有多少兩？4．（2020?蜀山區(qū)校級一模）《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“啞子來買肉，難言錢數(shù)目，一斤少三十，八兩多十八，試問能算者，合與多少肉”，其大意是一個(gè)啞子來買肉，說不出錢的數(shù)目，買一斤（16兩）還差30文錢，買八兩多十八文錢，求肉數(shù)和肉價(jià)，則該問題中，肉價(jià)是每兩多少文？

（2019?潁泉區(qū)模擬）《算法統(tǒng)宗》是中國古代數(shù)學(xué)名著之一，其中記載了這樣的數(shù)學(xué)問題：“用繩子測水井深度，繩長的三分之一比井深多4尺；繩長的四分之一比井深多1尺，問繩長、井深各是多少尺？”．若設(shè)這個(gè)問題中的繩長為x尺，求x的值．《九章算術(shù)》里的二元一次方程組的應(yīng)用6．（2022春?溧陽市期末）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，卷七“盈不足中有題譯文如下：今有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢：每人出7錢，會差3錢．問合伙人數(shù)、羊價(jià)各是多少？7．（2022?安徽模擬）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典北作，書中有這樣一個(gè)記載：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等．交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”意思是：“甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后．甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計(jì)）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？”試求黃金、白銀每枚的重量．8．（2022春?銅山區(qū)期末）《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，值金十九兩；牛二、羊五，值金十六兩．問牛、羊各值金幾何？”譯文如下：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值多少兩銀子？”根據(jù)以上譯文，解決下列問題：（1）求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？（2）某人計(jì)劃用17兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），共有幾種不同的購買方案？請列出所有可能的方案．

9．（2022春?青縣期末）閱讀下列材料：《張丘建算經(jīng)》是一部數(shù)學(xué)問題集，其內(nèi)容、范圍與《九章算術(shù)》相仿．其中提出并解決了一個(gè)在數(shù)學(xué)史上非常著名的不定方程問題，通常稱為“百雞問題”：“今有雞母一值錢三，雞翁一值錢五，雞雛三值錢一．凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何．”譯文：每一只母雞值三文錢，每一只公雞值五文錢，每三只小雞值一文錢．現(xiàn)在用一百文錢買一百只雞，問這一百只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？結(jié)合你學(xué)過的知識，解決下列問題：（1）若設(shè)母雞有x只，公雞有y只，①小雞有只，買小雞一共花費(fèi)文錢；（用含x，y的式子表示）②根據(jù)題意，列出一個(gè)含有x，y的方程：；（2）若對“百雞問題”增加一個(gè)條件：母雞數(shù)量是公雞數(shù)量的4倍多2只，求此時(shí)公雞、母雞、小雞各有多少只？（3）除了問題（2）中的解之外，請你再直接寫出兩組符合“百雞問題”的解．10．（2022?安徽一模）《九章算術(shù)》中有這樣一道題，原文如下：今有上禾六秉，損實(shí)一斗八升，當(dāng)下禾一十秉．下禾十五秉，損實(shí)五升，當(dāng)上禾五秉．問：上、下禾實(shí)一秉各幾何？大意為：今有上禾6束，減損其中之“實(shí)”1斗8升，與下禾10束之“實(shí)”相當(dāng)；下禾15束，減損其中之“實(shí)”5升，與上禾5束之“實(shí)”相當(dāng)．問上、下禾每1束之實(shí)各為多少？11．（2022?包河區(qū)校級一模）《九章算術(shù)》中記載這樣一道問題．原文：“今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕．一雀一燕交而處，衡適平．并燕、雀重一斤．問燕、雀各重幾何？”譯文：“今有5只雀、6只燕，分別聚集而且用衡器稱之，聚在一起的雀重，燕輕．將1只雀、1只燕交換位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的總重量為1斤，問雀、燕每只各重多少斤？”請解答上述問題．

12．（2022?安徽二模）我國古代的優(yōu)秀數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有一道“竹九節(jié)”問題，大意是說：現(xiàn)有一根上細(xì)下粗共九節(jié)的竹子，自上而下從第2節(jié)開始，每一節(jié)與前一節(jié)的容積之差都相等，且最上面三節(jié)的容積共9升，最下面三節(jié)的容積共45升，求第五節(jié)的容積，及每一節(jié)與前一節(jié)的容積之差．請解答上述問題．13．（2021春?同安區(qū)月考）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．”意思是：“5頭牛、2只羊，共值19兩銀子；2頭牛、5只羊，共值16兩銀子．”（1）求1頭牛、1只羊共值多少兩銀子？以下是小慧同學(xué)的解答（請你補(bǔ)充完整）：分析：設(shè)1頭牛值x兩銀子，1只羊值y兩銀子，根據(jù)題意，可列表分析：品種單價(jià)個(gè)數(shù)總價(jià)合計(jì)所付銀兩第一次牛x55x5x+2y19羊y22y第二次牛x216羊y5從而列出方程組：5x+2y=19①(??)②，則①+②，得，所以，x+y＝小慧仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，這種解題思想就是我們通常所說的“整體思想”．（2）運(yùn)用“整體思想”嘗試解決以下問題；對于實(shí)數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x?y＝ax+by﹣1，其中a，b是常數(shù)．已知2?5＝4，2?3＝2，求1?2的值．

《孫子算經(jīng)》里的二元一次方程組的應(yīng)用14．（2022春?滑縣期末）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，繩木各長幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還余4.5尺，將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺，問繩子、長木各長多少尺？請你算一算．15．（2022?藍(lán)田縣二模）《孫子算經(jīng)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中有如下問題：今有人盜庫絹，不知所失幾何，但聞草中分絹，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．問人、絹各幾何？大意是：有幾個(gè)盜賊偷了倉庫里的絹，不知道具體偷盜了多少匹絹，只聽盜賊在草叢中分絹時(shí)說：“每人分6匹，會剩下6匹；每人分7匹，還差7匹．”問有多少盜賊？多少匹絹？16．（2021?安徽二模）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車，一車空：二人共車，九人步，問人與車各幾何？譯文為：今有若干人乘車，每3人共乘一車，最終剩余1輛車：若每2人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？17．（2021?義安區(qū)二模）《孫子算經(jīng)》中記載了一道題，大意是：100匹馬恰好拉了100片瓦，已知一匹大馬能拉3片瓦，3匹小馬能拉1片瓦．問有多少匹大馬、多少匹小馬？18．（2021?雙陽區(qū)二模）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙兩人各有若干錢．如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢48文；如果乙得到甲所有錢的23

19．（2020春?武川縣期中）“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學(xué)趣題之一．大約在1500年前成書的《孫子算經(jīng)》中，就有關(guān)于“雞兔同籠”的記載：“今有雉兔同籠，上有二十五頭，下有七十六足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔關(guān)在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有25個(gè)頭；從下面數(shù)，有76條腿，問籠中各有幾只雞和兔？20．（2018?利辛縣模擬）我國民間流傳著許多趣味算題，它們多以順口溜的形式表達(dá)，其中《孫子算經(jīng)》中記載了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：一群老頭去趕集，半路買了一堆梨，一人一個(gè)多一梨，一人兩個(gè)少二梨，請問君子知道否，幾個(gè)老頭幾個(gè)梨？四、其他古代數(shù)學(xué)文化中的二元一次方程組的應(yīng)用21．（2021?蚌埠模擬）我國古典文學(xué)名著《西游記》講述了孫悟空、豬八戒、沙和尚保護(hù)唐僧西天取經(jīng)，沿途降妖除魔，歷經(jīng)九九八十一難，到達(dá)西天取得真經(jīng)修成正果的故事．現(xiàn)請你欣賞下列描述孫悟空追妖精的數(shù)學(xué)詩：悟空順風(fēng)探妖蹤，千里只行四分鐘，歸時(shí)四分行六百，風(fēng)速多少才稱雄？解釋：孫悟空順風(fēng)去查妖精的行蹤，4分鐘就飛躍1000里，逆風(fēng)返回時(shí)4分鐘走了600里，問風(fēng)速是多少？解答上述問題．22．在我國民間流傳著許多詩歌形式的數(shù)學(xué)算題，這些題目敘述生動(dòng)、活潑，它們大都是關(guān)于方