甘肅省2024屆高三上學(xué)期1月高考診斷考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1甘肅省2024屆高三上學(xué)期1月高考診斷考試數(shù)學(xué)試題一?單項(xiàng)選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，由，解得，即，所以.故選：A.2.若復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限.故選：D.3.在等差數(shù)列中，是方程的兩根，若，則的值為（）A. B. C.2 D.6〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所?在等差數(shù)列中，，又，所以，所以，所以，所以.故選：B.4.眾數(shù)?平均數(shù)?中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在如圖所示的分布形態(tài)中，平均數(shù)?眾數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系是（）（由小到大排列）A.眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)B.平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)C.中位數(shù)平均數(shù)眾數(shù)D.眾數(shù)平均數(shù)中位數(shù)〖答案〗A〖解析〗眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)在第二列的中點(diǎn)處.因?yàn)橹狈綀D第二、三列所占數(shù)據(jù)較多，且在右邊拖尾，所以平均數(shù)大于中位數(shù)，在第三?四列的位置，因此有眾數(shù)<中位數(shù)<平均數(shù).故選：A.5.已知函數(shù)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，.畫出函數(shù)的圖象如圖所示：因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，所以與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，由圖知：.所以的取值范圍為.故選：B6.已知平行四邊形，若點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，，直線與相交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如下圖所示：設(shè)，則.設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，所以，?故選：C.7.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所?故選：B8.設(shè)定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，則f(x)()A.有極大值，無極小值 B.有極小值，無極大值C.既有極大值，又有極小值 D.既無極大值，又無極小值〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閤f′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因?yàn)閒()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝(lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上既無極大值，也無極小值，故選D.二?多項(xiàng)選擇題9.已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，圖象與軸的交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最小正周期為B.的最大值為2C.直線是圖象的一個(gè)對(duì)稱軸D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗ABD〖解析〗設(shè)的最小正周期為，由圖象可知，解得故選項(xiàng)A正確；因?yàn)?，所以，解得，?將代入〖解析〗式得，因?yàn)?，則，所以得，故.又因?yàn)閳D象與軸的交點(diǎn)為，所以，得，故的最大值為2，選項(xiàng)B正確；由上述分析知，當(dāng)時(shí)，，則點(diǎn)是函數(shù)的對(duì)稱中心，即直線不是其對(duì)稱軸，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因當(dāng)時(shí)，取，而在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.10.已知，若，則（）A.的最大值為 B.的最小值為1C.的最小值為8 D.的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于，由，即，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以A正確；對(duì)于，因，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，且，即，時(shí)，取等號(hào)，所以C正確；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，取等號(hào)，所以正確.故選：ACD.11.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.過的焦點(diǎn)的最短弦長為4C.當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為D.存在2條直線，使得成立〖答案〗AB〖解析〗由拋物線的定義可得，所以A正確；當(dāng)過拋物線的焦點(diǎn)且與軸垂直時(shí)弦長最短，此時(shí)弦長為4，所以B正確；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，當(dāng)時(shí)，，則，，解得，所以傾斜角不是，所以C錯(cuò)誤；由，則，，，，由，則，可得，化簡可得，由，則，將，代入，則恒成立，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.12.已知直三棱柱內(nèi)接于球，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)A到平面的距離為B.存在點(diǎn)，使得平面C.過點(diǎn)作球的截面，截面的面積最小為D.點(diǎn)的軌跡長為〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，因?yàn)椋?，取的中點(diǎn)，連接，由勾股定理得，，故，由三線合一可得⊥，由勾股定理得，，所以，即點(diǎn)A到平面的距離為，A正確；B選項(xiàng)，以A為原點(diǎn)，所在直線為軸建系，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)，，即，故，無解，故與法向量不平行，所以不存在點(diǎn)，使得平面，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，三棱柱的外接球即為以為鄰邊的長方體的外接球，當(dāng)與過點(diǎn)的截面垂直時(shí)，截面的面積最小，球心，則過點(diǎn)作球的截面，截面半徑的最小值為，所以截面的面積最小為，C正確；D選項(xiàng)，過點(diǎn)作于，則，又⊥平面，平面，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，故，又，則點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓，其圓心角為，點(diǎn)的軌跡長即為，D正確.故選：ACD.三?填空題13.已知是奇函數(shù)，則__________.〖答案〗〖解析〗由函數(shù)可知其定義域?yàn)?，所?因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，解得.故〖答案〗為：14.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等.“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn).在一個(gè)“圓柱容球”模型中，若球的體積為，則該模型中圓柱的表面積為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，母線長為，則球的體積為，所以，所以圓柱表面積為.故〖答案〗為：.15.如圖，點(diǎn)，是雙曲線的左，右焦點(diǎn)，同時(shí)也是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交雙曲線的左，右兩支分別于，兩點(diǎn)，交雙曲線的右支于點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），且與的周長之差為6，則雙曲線的方程為__________．〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)雙曲線的焦距為，因?yàn)榕c的周長之差為6，所以，又點(diǎn)，是雙曲線的左，右頂點(diǎn)，所以，所以，，，所以雙曲線的方程為．故〖答案〗為：．16.某學(xué)校有、兩個(gè)餐廳，已知同學(xué)甲每天中午都會(huì)在這兩個(gè)餐廳中選擇一個(gè)就餐，如果甲當(dāng)天選擇了某個(gè)餐廳，他第二天會(huì)有的可能性換另一個(gè)餐廳就餐，假如第天甲選擇了餐廳，則第天選擇餐廳的概率為__________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)且時(shí)，若甲在第天選擇了餐廳，那么在第天有的可能性選擇餐廳，若甲在第天選擇了餐廳，那么在第天有的可能性選擇餐廳，所以第天選擇餐廳的概率，即，所以.又由題意得，，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故〖答案〗為：.四?解答題17.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角的大小，（2）若的角平分線交邊于點(diǎn)，且，求邊.解：（1）由正弦定理可得，因?yàn)?，所以，可?又，故.（2）如下圖所示：在中，，所以，結(jié)合，所以，所以，可得，所以是等腰三角形，且，所以.18.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）若平面平面，證明平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：因?yàn)榈酌鏋檎叫危?，又平面平面，所以平?又因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫?，所?因?yàn)榈酌嫫矫?，所?又因?yàn)椋矫妫云矫?所以平面.（2）解：因?yàn)榈酌嫫矫?，所以，由?）知，兩兩相互垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即，令，則，，得，又平面的一個(gè)法向量為，所以平面與平面夾角的余弦值是.19.第18屆亞洲杯將于2024年1月12日在卡塔爾舉行，該比賽預(yù)計(jì)會(huì)吸引億萬球迷觀看.為了了解某校大學(xué)生喜愛觀看足球比賽是否與性別有關(guān)，該大學(xué)記者站隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中女生喜愛觀看足球比賽的占女生人數(shù)的，男生有10人表示不喜歡看足球比賽.（1）完成下面列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為喜愛觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián)？男女合計(jì)喜愛看足球比賽不喜愛看足球比賽合計(jì)60（2）在不喜愛觀看足球比賽的觀眾中，按性別用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，再從這8人中隨機(jī)抽取2人參加校記者站的訪談節(jié)目，設(shè)抽到的男生人數(shù)為，求的分布列和期望.附：，其中.0.10050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知抽取的女生共40人，喜歡觀看足球比賽的女生為人，可得得列聯(lián)表如下：

男女合計(jì)喜愛看足球比賽501060不喜愛看足球比賽103040合計(jì)6040100根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，即認(rèn)為喜愛觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián).（2）按照分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，根據(jù)抽樣比可知其中男生2人，女生6人，則的可能取值為，，，所以的分布列為012期望值.20.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，即，所以是首項(xiàng)?公比均為2的等比數(shù)列，故.又，故.（2）因?yàn)?，所以①，②，?②得.所以.不等式對(duì)一切恒成立，轉(zhuǎn)化為對(duì)一切恒成立.令，則，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，則.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，易知，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）令，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，即在上恒成立，也即在上恒成立，令，則，顯然在上恒成立，所以可知在上單調(diào)遞減，；因此只需滿足即可，解得.