備戰(zhàn)2024年高考模擬數(shù)學(xué)試卷02(新高考II數(shù)學(xué)試卷專用)(解析版)

PAGEPAGE1備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷02（新高考II卷專用）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．設(shè)全集，集合，，則（

）.A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，又，所以，因?yàn)椋?，故選：C.2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．2 B．3 C．4 D．〖答案〗D〖祥解〗先根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再計(jì)算模長即可．〖解析〗復(fù)數(shù)，有故選：D3．已知向量，，且與方向相反，若，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題意知向量，共線，故，解得或，又因?yàn)榍遗c方向相反，故，所以，而，則在方向上的投影向量是，即在方向上的投影向量的坐標(biāo)是，故選：B4．按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù)：甲組：27，31，37，m，42，49；乙組：24，n，33，44，48，52，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)、第50百分位數(shù)都分別對應(yīng)相等，則（

）A．60 B．65 C．70 D．71〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榧捉M：27，31，37，m，42，49；乙組：24，n，33，44，48，52，由，得第30百分位數(shù)是第2個(gè)數(shù)據(jù)，故,由，得第50百分位數(shù)是第3與4個(gè)數(shù)據(jù)平均值，解得．所以.故選：D．5．已知，，．若，，則（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗由題意可得，因?yàn)?，，則，可得，即，則，令，則，整理得，解得或（舍去），即，解得．故選：B．6．定義在R上的奇函數(shù)，對任意都有，若，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．〖答案〗C〖解析〗，，則，設(shè)，故，在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)，則，為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，，，即，故，故選：C.7．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯所著的八冊《圓錐曲線論（Conics）》中，首次提出了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，其中之一的內(nèi)容為：“若點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn)，、為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)處的切線平分外角”.根據(jù)此信息回答下列問題：已知橢圓，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是點(diǎn)處的切線，過左焦點(diǎn)作的垂線，垂足為，則為（

）A． B． C． D．〖答案〗A〖解析〗如下圖所示：

延長、交于點(diǎn)，由題意可知，又因?yàn)椋瑒t為的中點(diǎn)，且，所以，，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則.故選：A.8．已知點(diǎn)在棱長為2的正方體表面上運(yùn)動(dòng)，是該正方體外接球的一條直徑，則的最小值為（

）A．-2 B．-8 C．-1 D．0〖答案〗A〖解析〗如圖為棱長為2的正方體外接球的一條直徑，為球心，為正方體表面上的任一點(diǎn)，則球心也就是正方體的中心，所以正方體的中心到正方體表面任一點(diǎn)的距離的最小值為正方體的內(nèi)切球的半徑，它等于棱長的一半，即長度為1，的長為正方體的對角線長，為，我們將三角形單獨(dú)抽取出來如下圖所示：，所以的最小值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．B．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C．函數(shù)在的值域?yàn)镈．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位〖答案〗ACD〖解析〗如圖所示：

由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最高點(diǎn)為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項(xiàng)正確；由A選項(xiàng)分析可知，而是的對稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在的值域?yàn)?，故C選項(xiàng)正確；若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，則得到的新的函數(shù)〖解析〗式為，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD.10．如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為正三角形，為的中點(diǎn)，且平面平面是線段上的一點(diǎn)，則以下說法正確的是（

）A．B．C．若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則直線平面D．若，則直線與平面所成角的余弦值為〖答案〗BCD〖解析〗連接，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形，，又為正三角形，為的中點(diǎn)，所以，，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，所以，故B正確；當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，則，且，又為的中點(diǎn)，底面是邊長為的菱形，所以，且，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，故C正確；因?yàn)槠矫嫫矫?，為正三角形，為中點(diǎn)，所以，平面平面，平面，所以平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，顯然與平面不垂直，故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)位置時(shí)，才有，故A錯(cuò)誤；建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，又，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面的夾角為，則，則，所以直線與平面所成角的余弦值為，故D正確；故選：BCD11．下列式子中最小值為4的是（

）A． B．C． D．〖答案〗BC〖解析〗對于選項(xiàng)A：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，但，所以的最小值不為4，故A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為4，故B正確；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故C成立；對于選項(xiàng)D：令，可得，所以4不是的最小值，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12．已知拋物線，過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則下列說法正確的是（

）A．拋物線的方程為 B．C．直線的斜率為 D．直線的方程為〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)樵跍?zhǔn)線上，所以準(zhǔn)線方程為，所以，拋物線的方程為，故A錯(cuò)誤；設(shè)直線，代入，得，當(dāng)直線與相切時(shí)，，即，設(shè)的斜率分別為，易知是上述方程的兩根，故，所以，故B正確；設(shè)，，則分別是方程的根，所以，所以，故C正確；，，所以的中點(diǎn)為，直線的方程為，即，故D正確.故選：BCD.第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則．〖答案〗〖解析〗由冪函數(shù)的定義知，，即，解得或，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，符合題意，所以.故〖答案〗為：14．已知圓M的圓心在直線上，且過，，則圓M的方程為.〖答案〗〖解析〗因?yàn)閳AM的圓心在直線上，且過，，所以設(shè)圓心為，，解得，則圓心為，，所以圓的方程為：，故〖答案〗為：15．已知二項(xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，現(xiàn)從展開式中任取2項(xiàng)，則取到的項(xiàng)都是有理項(xiàng)的概率為.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槎?xiàng)式的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式的總項(xiàng)數(shù)為7項(xiàng)，故，展開式的通項(xiàng)，當(dāng)是偶數(shù)時(shí)該項(xiàng)為有理項(xiàng)，時(shí)，項(xiàng)為有理項(xiàng)，共有4項(xiàng)，所以所有項(xiàng)中任取2項(xiàng)，都是有理項(xiàng)的概率為.故〖答案〗為：16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．〖答案〗〖解析〗當(dāng)時(shí)，，則，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，根據(jù)題意可作出的圖象如下：若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，，則有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，故與都有2個(gè)交點(diǎn)，或者與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)與都有2個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)圖象可得，不滿足，舍去；當(dāng)與有1個(gè)交點(diǎn)，與有3個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，，解得，故，解得或，舍去；故，兩個(gè)實(shí)數(shù)根的范圍為，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故〖答案〗為：．四、解答題17．記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意正整數(shù)n，有，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：.(1)解：由題意對任意正整數(shù)n，有，則時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，則，即，即，故時(shí)，，也適合上式，故；(2)證明：由(1)可得，故，則，故，故，由于，故，故.18．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知(1)求角；(2)是的角平分線，若，，求的面積．解：(1)由，得：，即，又，所以.（2）在中，得：①，又，得：，化簡得：②，由①②得：，所以19．如圖，在直三棱柱中，，，M為AB的中點(diǎn)，D在上且.

(1)求證：平面平面；(2)求直線CM與平面CBD所成角的正弦值；(3)求二面角的余弦值.(1)證明：直三棱柱中,，M為AB的中點(diǎn)，，平面，平面，又，平面，平面，又平面，平面平面；(2)解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)面的法向量，則，取，得，設(shè)直線CM與平面CBD所成角為，；

(3)解：設(shè)面的法向量為，又，，取得，，所以二面角的余弦值為.20．后疫情時(shí)代，為了可持續(xù)發(fā)展，提高人民幸福指數(shù)，國家先后出臺(tái)了多項(xiàng)減稅增效政策.某地區(qū)對在職員工進(jìn)行了個(gè)人所得稅的調(diào)查，經(jīng)過分層隨機(jī)抽樣，獲得500位在職員工的個(gè)人所得稅(單位：百元)數(shù)據(jù)，按，分成九組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：假設(shè)每個(gè)組內(nèi)的數(shù)據(jù)是均勻分布的.

(1)求這500名在職員工的個(gè)人所得稅的中位數(shù)(保留到小數(shù)點(diǎn)后一位)；(2)從個(gè)人所得稅在三組內(nèi)的在職員工中，采用分層抽樣的方法抽取了10人，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)以樣本的頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)所有在職員工中隨機(jī)抽取100名員工，記年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望與方差.解：(1)設(shè)這500名在職員工的個(gè)人所得稅的中位數(shù)為，則由頻率分布直方圖得，解得，所以這500名在職員工的個(gè)人所得稅的中位數(shù)為百元.(2)由題意抽取的10人中，年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為人，若現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人，記年個(gè)稅在內(nèi)的員工人數(shù)為，則的所有可能取值為，所以，，，，所以的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望為：.(3)由頻率分布直方圖可知年個(gè)稅在內(nèi)的概率為，從該地區(qū)所有在職員工中隨機(jī)抽取100名員工，恰有個(gè)員工的年個(gè)稅在內(nèi)的分布列服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望、方差公式可得，即的數(shù)學(xué)期望與方差分別為.21．在中，已知點(diǎn)邊上的中線長與邊上的中線長之和為，記的重心G的軌跡為曲線C．(1)求C的方程；(2)若圓，過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與y軸不重合的任意直線與圓相交于點(diǎn)，直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)，求面積的最大值．解：(1)設(shè)的中點(diǎn)為S，的中點(diǎn)為T，所以，，所以，所以，所以G點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長軸長的橢圓．所以，所以，，所以曲線C的方程為．

.

(2)設(shè)直線為（不妨設(shè)），設(shè)，，

所以，，，解得（舍去），則，由于AB是單位圓的直徑，所以，所以直線EN的斜率為，直線EN的方程為，同理可求得，則，由上述分析可知，，而，所以，所以，令，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為．2