專題06 圓錐曲線大題-【考前100天之新高考風(fēng)向標(biāo)】備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題二輪沖刺復(fù)習(xí)模考真題演練（新教材新高考）含解析

專題06圓錐曲線大題-【考前100天之新高考風(fēng)向標(biāo)】備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)專題二輪沖刺復(fù)習(xí)?？颊骖}演練（新教材新高考）專題06圓錐曲線大題解題秘籍解題秘籍1.利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解2.若直線與圓雉曲線相交于，兩點(diǎn)，由直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得到（）則：則：弦長(zhǎng)或圓錐曲線弦長(zhǎng)萬能公式（硬解定理）設(shè)直線方程為:y=kx+圓錐曲線的方程為:fx可化為ax設(shè)直線和曲線的兩交點(diǎn)為Ax1,y1,Bx2,yAB

(2)若消去x,得aAB處理定點(diǎn)問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).處理定值問題的思路：聯(lián)立方程，用韋達(dá)定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化簡(jiǎn)即可.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、解答題1．（22·23下·無錫·三模）已知，，為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，其中.記中點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)若直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，求證：.2．（22·23·深圳·二模）已知橢圓的離心率，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記橢圓的上頂點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率變化時(shí)，求面積的最大值.3．（22·23下·河北·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，證明：由直線，直線及y軸圍成的三角形為等腰三角形.4．（22·23下·河北·三模）已知橢圓，其焦距為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為6．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為0的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，求證：直線與直線所成的較小角相等．5．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)的直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（不與A，B重合），直線，分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)．(1)記直線，的斜率分別為，，求；(2)記，的面積分別為，，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．6．（22·23下·長(zhǎng)沙·二模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，動(dòng)直線l：與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為（，），（，）．

(1)求k的取值范圍；(2)記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么是定值嗎？證明你的結(jié)論．7．（22·23下·浙江·三模）已知雙曲線為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其右支上一點(diǎn)，在處作雙曲線的切線.(1)若的坐標(biāo)為，求證：為的角平分線；(2)過分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點(diǎn)，交雙曲線于兩點(diǎn)，求和的面積之積的最小值.8．（22·23·寧德·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率，橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離．(1)求橢圓的方程．(2)已知，是橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．試判斷圓與直線的位置關(guān)系并說明理由．9．（22·23·廈門·一模）已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)和的圓與直線：交于，，已知點(diǎn)，且、分別與交于、.試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn).如果有，請(qǐng)求出定點(diǎn)；如果沒有，請(qǐng)說明理由.10．（22·23下·湖北·三模）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上且處于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓C分別相交于兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)N，試求的最大值．11．（22·23下·武漢·三模）已知橢圓過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C外一點(diǎn)，直線，分別與橢圓C交于點(diǎn)C，D（異于點(diǎn)A，B），直線，交于點(diǎn)N，求證：直線的斜率為定值．12．（22·23下·黃岡·三模）如圖，雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，左、右頂點(diǎn)分別為．曲線是以雙曲線的實(shí)軸為長(zhǎng)軸，虛軸為短軸，且離心率為的橢圓，設(shè)在第一象限且在雙曲線上，直線交橢圓于點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)．

(1)求橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)與軸交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得（其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)），若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．13．（22·23下·長(zhǎng)沙·二模）已知圓是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的另一條直線與相交于兩點(diǎn)，且的面積是面積的倍，求直線的方程．14．（22·23下·長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為,焦距與短軸長(zhǎng)均為4.設(shè)過F2的直線l交E于M,N,過M,N分別作E在點(diǎn)M,N上的兩條切線,記它們的交點(diǎn)為P,MN的中點(diǎn)為Q.(1)證明：O,P,Q三點(diǎn)共線；(2)過F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A,B,求的取值范圍.參考結(jié)論：點(diǎn)T(,)為橢圓()上一點(diǎn),則過點(diǎn)T(,)的橢圓的切線方程為.15．（22·23下·長(zhǎng)沙·三模）已知P為圓C：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段PN的垂直平分線交線段PC于點(diǎn)Q．(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)點(diǎn)M在圓上，且M在第一象限，過點(diǎn)M作圓的切線交Q點(diǎn)軌跡于A，B兩點(diǎn)，問的周長(zhǎng)是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.16．（23·24上·永州·一模）已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡E與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），過的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線的交于，證明：在定直線上．17．（22·23下·廣州·三模）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，為橢圓上的一點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，的角平分線所在的直線與直線交于點(diǎn)，記直線的斜率為，試問是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.18．（22·23·廣州·三模）直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)．(1)若，求拋物線的方程；(2)若直線與坐標(biāo)軸不垂直，，證明：的充要條件是．19．（22·23·唐山·二模）已知橢圓，連接E的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為4，是E上一點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，D為線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若E上存在點(diǎn)C，使得，求三角形的面積．20．（22·23·秦皇島·二模）已知雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小值.21．（22·23·滄州·三模）已知為圓：上任一點(diǎn)，，，，且滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)直線：與軌跡相交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過的中點(diǎn)且斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，記，若，求的取值范圍.22．（22·23下·南京·二模）已知拋物線和圓．(1)若拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，是過焦點(diǎn)的弦，求的最小值；(2)已知，，是拋物線上互異的三個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)異于原點(diǎn)．若直線，被圓截得的弦長(zhǎng)都為2，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．23．（22·23下·蘇州·三模）已知點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)定義：兩個(gè)離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的曲線與曲線相似，且焦點(diǎn)在同一條直線上，曲線經(jīng)過點(diǎn).過曲線上任一點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)分別為，這兩條切線分別與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），證明：.24．（22·23下·江蘇·三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，D，，AD與BC相交于P點(diǎn).如圖所示.

(1)當(dāng)A，B恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)說明理由；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求直線AB的斜率.25．（22·23下·常州·一模）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．26．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過的左頂點(diǎn)且不與軸重合的直線交的右支于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過作的平行線，交直線于點(diǎn)，證明：在定圓上.27．（22·23·茂名·三模）已知雙曲線的離心率為2.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若雙曲線的右焦點(diǎn)為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.28．（22·23下·溫州·三模）已知拋物線與雙曲線相交于兩點(diǎn)是的右焦點(diǎn)，直線分別交于（不同于點(diǎn)），直線分別交軸于兩點(diǎn).(1)設(shè)，求證：是定值；(2)求的取值范圍.29．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的漸近線方程為，左右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，直線分別與雙曲線交于兩點(diǎn)（不同于）.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)的面積分別為，若，求直線方程.（寫出一條即可）30．（22·23·三明·三模）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為.當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)與、不重合時(shí)，射線交橢圓于點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，求的最大值.31．（22·23·龍巖·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓K于M，N兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓C與圓內(nèi)切．(1)求橢圓K的方程；(2)過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)Q，與交于點(diǎn)P，是否存在直線使得的面積等于？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．32．（22·23·淄博·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為4，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R，S兩點(diǎn)，且∠RAS＝60°.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)M，Q是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中M位于第一象限，的角平分線記為l，過點(diǎn)M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點(diǎn)記為點(diǎn)N，求的最大值.33．（22·23·山東·二模）已知拋物線，過點(diǎn)的兩條直線、分別交于、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為直線與的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．34．（22·23·菏澤·三模）已知橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，滿足（其中表示兩點(diǎn)連線的斜率），且為橢圓的左、右焦點(diǎn)，面積的最大值為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值．35．（22·23下·武漢·三模）已知雙曲線：的一條漸近線為，橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，其中.過點(diǎn)的動(dòng)直線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)Р的動(dòng)直線交于M，N兩點(diǎn).(1)求雙曲線和橢圓的方程；(2)是否存在定點(diǎn)Q，使得四條直線QA，QB，QM，QN的斜率之和為定值?若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由.36．（22·23下·湖南·二模）已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且該雙曲線離心率小于等于，點(diǎn)和是雙曲線上關(guān)于軸對(duì)稱非重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為雙曲線左右頂點(diǎn)，恒成立．(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線和的交點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程．37．（22·23·梅州·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)分別為，，，，點(diǎn)在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求雙曲線的方程.(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在與不同的定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.38．（22·23·福州·三模）已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線MA與直線垂直，A為垂足且位于第三象限；直線MB與直線垂直，B為垂足且位于第二象限.四邊形OAMB(O為原點(diǎn))的面積為2，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求C的方程；(2)點(diǎn)，直線PE，QE與C分別交于P，Q兩點(diǎn)，直線PE，QE，PQ的斜率分別為，，.若，求△PQE周長(zhǎng)的取值范圍.39．（22·23·德州·三模）已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且雙曲線的漸近線與圓相切．(1)求雙曲線的方程；(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，滿足，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．40．（22·23下·煙臺(tái)·三模）已知雙曲線的焦距為4，點(diǎn)在上．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，斜率為且不過的直線與交于點(diǎn)，若為直線斜率的等差中項(xiàng)，求到直線的距離的取值范圍．專題06圓錐曲線大題解題秘籍解題秘籍1.利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解2.若直線與圓雉曲線相交于，兩點(diǎn)，由直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得到（）則：則：弦長(zhǎng)或圓錐曲線弦長(zhǎng)萬能公式（硬解定理）設(shè)直線方程為:y=kx+圓錐曲線的方程為:fx可化為ax設(shè)直線和曲線的兩交點(diǎn)為Ax1,y1,Bx2,yAB

(2)若消去x,得aAB處理定點(diǎn)問題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).處理定值問題的思路：聯(lián)立方程，用韋達(dá)定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化簡(jiǎn)即可.模擬訓(xùn)練模擬訓(xùn)練一、解答題1．（22·23下·無錫·三模）已知，，為橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，滿足，其中.記中點(diǎn)的軌跡為.(1)求的方程；(2)若直線交于，兩點(diǎn)，交于，兩點(diǎn)，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)計(jì)算和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解；（2）根據(jù)直線和橢圓的方程聯(lián)立以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，，則，，將代入，得將代入，得，即，又因?yàn)榍宜?，所以，所以的方程?即的方程為.（2）

設(shè)中點(diǎn)為，中點(diǎn)為.當(dāng)垂直軸時(shí)，由對(duì)稱性可得；當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)，將直線的方程代入，得，所以，，所以，，即，同理，由此可知.2．（22·23·深圳·二模）已知橢圓的離心率，且點(diǎn)在橢圓上.(1)求橢圓的方程；(2)若經(jīng)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記橢圓的上頂點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率變化時(shí)，求面積的最大值.【答案】(1)(2)16【分析】根據(jù)離心率的值和定義可以求出之間的關(guān)系式，待定系數(shù)法設(shè)出橢圓方程后把已知點(diǎn)代入求解即可.設(shè)出直線方程后，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元化簡(jiǎn)后，可得，利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，再利用點(diǎn)到直線距離公式求出三角形的高，的面積可用直線斜率進(jìn)行表達(dá)，通過換元轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，求出最值即可.【詳解】（1）橢圓的離心率，則，即，所以，橢圓方程為.將點(diǎn)代入方程得，故所求方程為.（2）點(diǎn)在橢圓內(nèi)，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由得.設(shè)，則..點(diǎn)到的距離.令，則則.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，是所求最大值.

3．（22·23下·河北·一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，證明：由直線，直線及y軸圍成的三角形為等腰三角形.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)直線拋物線方程的聯(lián)立以及拋物線的定義即可求解；（2）根據(jù)直線與拋物線方程的聯(lián)立以及坐標(biāo)關(guān)系即可求解.【詳解】（1）

當(dāng)時(shí)，直線，與聯(lián)立消去y，整理可得，由得，即.設(shè)，，可得，所以，由題意可得，準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義可得，，所以，解得，滿足，所以拋物線C的方程為.（2）

直線與聯(lián)立可得，由得，即或（舍）設(shè)，，則；直線與聯(lián)立消去y，整理可得，由得，即或（舍），故，設(shè)，，則；因?yàn)椋?，所以，所以由直線，直線及y軸圍成的三角形為等腰三角形.4．（22·23下·河北·三模）已知橢圓，其焦距為，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為6．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為0的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，求證：直線與直線所成的較小角相等．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而解方程求解即可；（2）設(shè)直線的方程為，，設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理得到、，轉(zhuǎn)化直線與直線所成的較小角相等為，進(jìn)而求證即可.【詳解】（1）由題意得，，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，，設(shè)，，聯(lián)立，整理得，所以，即，且，，，因?yàn)橹本€平行于軸，所以要證直線與直線所成的較小角相等，即證直線的傾斜角互補(bǔ)，即證，下面進(jìn)行證明：，所以直線與直線所成的較小角相等.

5．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過點(diǎn)的直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（不與A，B重合），直線，分別與y軸交于M，N兩點(diǎn)．(1)記直線，的斜率分別為，，求；(2)記，的面積分別為，，當(dāng)時(shí)，求直線l的方程．【答案】(1)見解析(2)或或【分析】（1）設(shè)直線的方程為，將其與雙曲線的方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，再結(jié)合韋達(dá)定理和直線的斜率公式，計(jì)算的值，即可．（2）根據(jù)可得，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求解直線的方程，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理即可代入求值.【詳解】（1）由題意知，，，設(shè)直線的方程為，,,，聯(lián)立，得，，，，，直線的斜率，直線的斜率，，為定值．（2）設(shè),則，,由于,得，設(shè)直線，可得，設(shè)直線，可得，所以，所以由得，當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)直線方程為當(dāng)時(shí)，則，解得，此時(shí)直線方程為故直線方程為或或【點(diǎn)睛】圓錐曲線中求定值的常見求解策略，利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造等量關(guān)系，利用直線與曲線的聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，以及距離公式，弦長(zhǎng)公式，直線方程的交點(diǎn)等關(guān)系式，還要注意向量的應(yīng)用，根據(jù)向量的共線得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入等量關(guān)系中化簡(jiǎn)，即可找到解題突破.6．（22·23下·長(zhǎng)沙·二模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，動(dòng)直線l：與圓相切，且與雙曲線左、右兩支的交點(diǎn)分別為（，），（，）．

(1)求k的取值范圍；(2)記直線P1A1的斜率為k1，直線P2A2的斜率為k2，那么是定值嗎？證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，可得，聯(lián)立直線與雙曲線，根據(jù)可得的范圍；（2）根據(jù)斜率公式以及韋達(dá)定理，將變形化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】（1）與圓相切，，，由，得，，，故的取值范圍為.（2）由已知可得的坐標(biāo)分別為，，，又因?yàn)?，所以，為定?7．（22·23下·浙江·三模）已知雙曲線為其左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為其右支上一點(diǎn)，在處作雙曲線的切線.(1)若的坐標(biāo)為，求證：為的角平分線；(2)過分別作的平行線，其中交雙曲線于兩點(diǎn)，交雙曲線于兩點(diǎn)，求和的面積之積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）易得點(diǎn)處的切線方程，根據(jù)交軸于點(diǎn)，由判斷；（2）過的切線，由時(shí)，得到，聯(lián)立，得到，再由，然后由求解.【詳解】（1）解：由題意點(diǎn)處的切線為，所以過點(diǎn)處的切線方程為，交軸于點(diǎn)，則，即，所以為的角平分線；（2）過的切線，當(dāng)時(shí)，即不為右頂點(diǎn)時(shí)，，即，（或由直線與單支有兩個(gè)交點(diǎn)，則也可）聯(lián)立設(shè)，則所以又所以，，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)為右頂點(diǎn)時(shí)，，所以，所以的最小值為.8．（22·23·寧德·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率，橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離．(1)求橢圓的方程．(2)已知，是橢圓上的兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)，以線段為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．試判斷圓與直線的位置關(guān)系并說明理由．【答案】(1)(2)圓與直線相切，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式以及點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程，可得答案；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立可得一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合直線與圓相切的性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)到直線的距離是，所以，所以．又因?yàn)殡x心率，所以，所以，所以橢圓方程為．（2）圓與直線相切．理由：設(shè)，．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．由，得．，化簡(jiǎn)可得：.所以，，．因?yàn)橐跃€段為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，所以，且，所以圓心到直線的距離．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題知，所以，所以，所以圓心到直線的距離．綜上所述，圓與直線相切．9．（22·23·廈門·一模）已知圓：，點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)和的圓與直線：交于，，已知點(diǎn)，且、分別與交于、.試探究直線是否經(jīng)過定點(diǎn).如果有，請(qǐng)求出定點(diǎn)；如果沒有，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)經(jīng)過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為【分析】（1）利用橢圓的定義即可求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理列出，，，之間的關(guān)系，再利用兩點(diǎn)式寫出直線的方程，求出點(diǎn)，，再寫出以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程經(jīng)過點(diǎn)，得到關(guān)系式，進(jìn)而求得為定值，從而得到直線過定點(diǎn).【詳解】（1）如圖所示，

∵，且，∴點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓方程，則，，∴，.所以點(diǎn)的軌跡方程為：.（2）設(shè)直線的方程為：，由，得設(shè)，，則，.所以，，因?yàn)橹本€的方程為：，令，得，所以，，同理可得，以為直徑的圓的方程為：，即，因?yàn)閳A過點(diǎn)，所以，，得，代入得，化簡(jiǎn)得，，解得或（舍去），所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線與軸重合，直線經(jīng)過點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn).10．（22·23下·湖北·三模）已知分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓C上一點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)是橢圓C上且處于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓C分別相交于兩點(diǎn)，直線，相交于點(diǎn)N，試求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義求出，然后根據(jù)的關(guān)系即可求解；（2）設(shè)，得到，將的方程與曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到，，代入進(jìn)而利用基本不等式即可求解.【詳解】（1）由，得，∴橢圓C的方程是；（2）設(shè)，根據(jù)題意設(shè)的方程為：，由題意知，，

將，代入中，整理得，，又，．，，同理可得，，

（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）的最大值是．11．（22·23下·武漢·三模）已知橢圓過點(diǎn)，左焦點(diǎn)為．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓C外一點(diǎn)，直線，分別與橢圓C交于點(diǎn)C，D（異于點(diǎn)A，B），直線，交于點(diǎn)N，求證：直線的斜率為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知過點(diǎn)和橢圓性質(zhì)即可求解.（2）利用已知求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，解設(shè)出，然后利用斜率并表示出方程，再表示出直線的斜率即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由已知得，解得，．即橢圓C的方程為.（2）由，得，．設(shè)，，則，同理．設(shè)，，則由直線過點(diǎn)得：．

①由直線過點(diǎn)N得：．

②①×②得：．

③同理，由直線過點(diǎn)M得：．

④由直線過點(diǎn)N得：．

⑤④×⑤得：．

⑥③－⑥得：，進(jìn)而．所以直線的斜率為定值．12．（22·23下·黃岡·三模）如圖，雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，左、右頂點(diǎn)分別為．曲線是以雙曲線的實(shí)軸為長(zhǎng)軸，虛軸為短軸，且離心率為的橢圓，設(shè)在第一象限且在雙曲線上，直線交橢圓于點(diǎn)，直線與橢圓交于另一點(diǎn)．

(1)求橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)與軸交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使得（其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)），若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）根據(jù)雙曲線以及橢圓的幾何性質(zhì)即可求解的值，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程得到韋達(dá)定理，結(jié)合坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】（1）由已知可設(shè)雙曲線方程為，橢圓方程，則雙曲線的一條漸近線方程為，即，故，即，又，解得，所以雙曲線方程：，橢圓方程為：；（2）設(shè)，直線，，顯然，由，又因?yàn)樵陔p曲線上，滿足，即，所以，即．同理直線，由于是直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，所以,在雙曲線上，滿足,即可得，所以，若存在，即，而在第一象限，所以，即【點(diǎn)睛】解析幾何簡(jiǎn)化運(yùn)算的常見方法：（1）正確畫出圖形，利用平面幾何知識(shí)簡(jiǎn)化運(yùn)算；（2）坐標(biāo)化，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算；（3）巧用定義，簡(jiǎn)化運(yùn)算.13．（22·23下·長(zhǎng)沙·二模）已知圓是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的另一條直線與相交于兩點(diǎn)，且的面積是面積的倍，求直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意和橢圓的定義即可求解；（2）首先求出直線的方程，以及點(diǎn)的坐標(biāo)，討論直線的斜率存在與否，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立解方程組求出，根據(jù)的面積是面積的倍，化簡(jiǎn)可以得到，進(jìn)一步求出斜率，從而得出答案.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)為線段的垂直平分線與半徑的交點(diǎn)，所以，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，在橢圓中，所以曲線的方程為．（2）由已知得，所以直線的方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，或都與已知不符；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，由得，易知，則，，由的面積是面積的倍可得，化簡(jiǎn)得，即，又，所以，即，也就是，所以，解得，所以直線的方程為．

14．（22·23下·長(zhǎng)沙·三模）已知橢圓E：的左、右焦點(diǎn)分別為,焦距與短軸長(zhǎng)均為4.設(shè)過F2的直線l交E于M,N,過M,N分別作E在點(diǎn)M,N上的兩條切線,記它們的交點(diǎn)為P,MN的中點(diǎn)為Q.(1)證明：O,P,Q三點(diǎn)共線；(2)過F1作平行于l的直線分別交PM,PN于A,B,求的取值范圍.參考結(jié)論：點(diǎn)T(,)為橢圓()上一點(diǎn),則過點(diǎn)T(,)的橢圓的切線方程為.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先求得橢圓方程,再設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓的方程,并化簡(jiǎn)切線方程組可得.再設(shè)的中點(diǎn)為,證明即可；（2）取中點(diǎn),根據(jù)三角形的性質(zhì)有四點(diǎn)共線,再結(jié)合橢圓的對(duì)稱性有即可.【詳解】（1）由題意,,,解得,,故橢圓的方程為.又,顯然的斜率不為0,故設(shè)的方程為,,則,即,故,.聯(lián)立過的切線方程,即,相減可得,即,化簡(jiǎn)可得.代入可得,故.設(shè)的中點(diǎn)為,則,,故.因?yàn)?,故,所以三點(diǎn)共線.（2）由作平行于l的直線分別交于,易得,取中點(diǎn),根據(jù)三角形的性質(zhì)有四點(diǎn)共線,

結(jié)合橢圓的對(duì)稱性有,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系,結(jié)合向量的性質(zhì),聯(lián)立方程利用韋達(dá)定理證明三點(diǎn)共線與求取值范圍的問題.需要根據(jù)題意聯(lián)立直線與橢圓的方程,利用韋達(dá)定理得到P,Q的坐標(biāo),再根據(jù)三角形與向量的性質(zhì)轉(zhuǎn)化所求的量從而進(jìn)行簡(jiǎn)化求解范圍.屬于難題.15．（22·23下·長(zhǎng)沙·三模）已知P為圓C：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段PN的垂直平分線交線段PC于點(diǎn)Q．(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)點(diǎn)M在圓上，且M在第一象限，過點(diǎn)M作圓的切線交Q點(diǎn)軌跡于A，B兩點(diǎn)，問的周長(zhǎng)是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)的周長(zhǎng)為定值【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，可得，滿足橢圓定義，由此可求得點(diǎn)軌跡方程；（2）設(shè)，，分別求出，再根據(jù)，利用勾股定理分別求出，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：圓，則圓心，半徑，設(shè)中點(diǎn)為，則為線段的垂直平分線，則，所以，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，即，，則，所以點(diǎn)軌跡方程為：；

（2）設(shè)，由題意可得，則，故，故，同理可得，因?yàn)?，所以，同理可得，所以，即的周長(zhǎng)為定值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．16．（23·24上·永州·一模）已知點(diǎn)A為圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)軌跡E與軸分別交于兩點(diǎn)（在的左側(cè)），過的直線與軌跡交于兩點(diǎn)，直線與直線的交于，證明：在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意推出，結(jié)合雙曲線定義即可求得答案；（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立雙曲線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，表示出直線和的方程，推得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由得，其半徑為4，因?yàn)榫€段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，

故，則,而，故點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線，則，故點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）證明：由題意知，

若直線l斜率為0，則其與雙曲線的交點(diǎn)為雙曲線的兩頂點(diǎn)，不合題意；故直線l的斜率不能為0，故設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，，故，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為，故，則，即，解得，故直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用雙曲線定義求解雙曲線方程以及直線和雙曲線的位置關(guān)系中的點(diǎn)在定直線上的問題，難點(diǎn)在于證明直線與直線的交點(diǎn)在定直線上，解答時(shí)要設(shè)直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn)，計(jì)算過程比較復(fù)雜，且大都是關(guān)于字母參數(shù)的運(yùn)算，要十分細(xì)心.17．（22·23下·廣州·三模）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，離心率為，為橢圓上的一點(diǎn)，且的內(nèi)切圓半徑最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，的角平分線所在的直線與直線交于點(diǎn)，記直線的斜率為，試問是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）判斷出的內(nèi)切圓半徑最大時(shí)點(diǎn)為橢圓的上（下）頂點(diǎn)，用等面積法列出方程組，解方程組可得；（2）（法一）設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，，又在的角平分線所在的直線上，則，計(jì)算可得出為定值；（法二）齊次化處理橢圓方程后亦通過，計(jì)算可得出為定值.【詳解】（1）因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)等于為定值，所以內(nèi)切圓半徑最大時(shí)，即的面積最大，此時(shí)點(diǎn)為橢圓的上（下）頂點(diǎn)可得；又因?yàn)?，，解得，，，所以橢圓的方程為；（2）（法一）設(shè)點(diǎn)由條件可知直線的斜率，設(shè)點(diǎn)，，由得：所以，（*）由（*）可得①②③由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)位于第四象限，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，當(dāng)直線、直線的斜率均存在時(shí)，則，，，又在的角平分線所在的直線上，則，

可得出，化簡(jiǎn)得，即，將①②③式代入上式得：，則，解得，（舍去），故直線方程為，令得點(diǎn)，則，故為定值；當(dāng)直線、直線有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，此時(shí)，，所以，直線、直線，設(shè)，則，所以（正值舍去），所以，所以；綜上所述，為定值.（法二）由條件可知直線的斜率，當(dāng)直線、直線的斜率均存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為，設(shè)直線：，其中由得即整理得即令，則，其中，為方程的根，所以，由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)位于第四象限，設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，，又在的角平分線所在的直線上，則，由得，代入整理得，則，故（舍去）或者，所以直線的方程為，令得點(diǎn)故，則為定值;當(dāng)直線、直線有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，此時(shí)，，所以，直線、直線，設(shè)，則，所以（正值舍去），所以，所以；綜上所述，為定值.18．（22·23·廣州·三模）直線經(jīng)過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)．(1)若，求拋物線的方程；(2)若直線與坐標(biāo)軸不垂直，，證明：的充要條件是．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)，代入求得，即可求得拋物線的方程；（2）設(shè)直線，，聯(lián)立方程組求得，，當(dāng)時(shí)，求得，得到充分性成立，反之由時(shí)，根據(jù)，求得，得到，得出必要性成立，即可得證.【詳解】（1）解：因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，整理得，則，．當(dāng)時(shí)，直線的斜率之和為，因?yàn)?，所以，即的傾斜角互補(bǔ)，所以．反之，當(dāng)時(shí)，直線的斜率之和為0，即，所以，即，因?yàn)椋裕?，所以，可得?/p>

綜上所述，的充要條件是．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決拋物線問題的方法與策略：1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問題簡(jiǎn)單化．2、涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)注意向量、基本不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中的應(yīng)用.19．（22·23·唐山·二模）已知橢圓，連接E的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為4，是E上一點(diǎn)．(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)斜率為的直線與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，D為線段的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若E上存在點(diǎn)C，使得，求三角形的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由面積和的坐標(biāo)建立方程組待定即可；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，由D為線段的中點(diǎn)，利用韋達(dá)定理得到，即的坐標(biāo)，又，則點(diǎn)坐標(biāo)也可用表示，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，化簡(jiǎn)得到的關(guān)系，由點(diǎn)線距及弦長(zhǎng)公式求解面積，再由比例關(guān)系即可得到三角形的面積.【詳解】（1）由題意知連接E的四個(gè)頂點(diǎn)所得四邊形的面積為，又點(diǎn)在E上，得，解得，，故橢圓E的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，由，消去得，又，得，設(shè)，，，則，．由，可得為三角形的重心，所以，且，，，故由在橢圓E上，得，得，，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以，故．

【點(diǎn)睛】面積計(jì)算的一般方法就是弦長(zhǎng)乘以點(diǎn)到直線距離（高），當(dāng)然注意到弦過定點(diǎn)的話，我們可以將其拆分成鉛錘高或水平長(zhǎng)的計(jì)算，而四邊形面積一般轉(zhuǎn)化為三角形來計(jì)算.而有關(guān)面積比的轉(zhuǎn)化問題，關(guān)鍵則在觀察已知條件中等底或等高或公共邊的特點(diǎn)，化為共線長(zhǎng)度比或點(diǎn)線距離比或夾角正弦比等問題再加以探求.20．（22·23·秦皇島·二模）已知雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用雙曲線的性質(zhì)待定系數(shù)法計(jì)算即可；（2）聯(lián)立方程，根據(jù)弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理可表示三角形面積，利用換元法求最值即可.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的方程為，與漸近線聯(lián)立，得，解之得，即直線與雙曲線的一條漸近線交點(diǎn)為，又直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為，所以，即，因此雙曲線方程為.（2）

設(shè)，把代入，得，則，，，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積為，令，所以，令，則，因?yàn)?，所以，由，得，由，得，由，得，即?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)滿足，所以面積的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.21．（22·23·滄州·三模）已知為圓：上任一點(diǎn)，，，，且滿足.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)直線：與軌跡相交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過的中點(diǎn)且斜率為的直線與軸交于點(diǎn)，記，若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的幾何性質(zhì)由得，進(jìn)而可得，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，進(jìn)而可得軌跡方程；（2）根據(jù)弦長(zhǎng)公式得，根據(jù)中垂線的方程可得，，由函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】（1）

如圖，由，可得，因?yàn)椋?，所以?dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）直線的方程為，聯(lián)立消去并整理，得，，設(shè)，，則，，又，可得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段垂直平分線的方程為，令，可得，對(duì)于直線，令，可得，所以，又，所以，令，則，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，則.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：弦長(zhǎng)公式22．（22·23下·南京·二模）已知拋物線和圓．(1)若拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，是過焦點(diǎn)的弦，求的最小值；(2)已知，，是拋物線上互異的三個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)異于原點(diǎn)．若直線，被圓截得的弦長(zhǎng)都為2，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）首先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，設(shè)方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，再根據(jù)重要不等式計(jì)算可得；（2）設(shè)，，，即可得到、的方程，由點(diǎn)到直線的距離公式得到、為方程的兩根，即可得到，由可得，由斜率之積為，求出，即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，則，設(shè)方程為，，，由，消去整理得，所以，，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.（2）設(shè)，，，則，，圓的圓心為，半徑，所以，則，同理可得，所以、為方程的兩根，所以，又，所以，所以，即，解得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為或.23．（22·23下·蘇州·三模）已知點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)定義：兩個(gè)離心率相等的圓錐曲線為“相似”曲線.若關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的曲線與曲線相似，且焦點(diǎn)在同一條直線上，曲線經(jīng)過點(diǎn).過曲線上任一點(diǎn)作曲線的切線，切點(diǎn)分別為，這兩條切線分別與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合軸對(duì)稱的性質(zhì)及橢圓定義求出方程作答.（2）由（1）及已知求出曲線的方程，驗(yàn)證斜率不存在的情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出它們的方程，再與，的方程聯(lián)立推理作答.【詳解】（1）依題意，，

由橢圓的定義知，交點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為左右焦點(diǎn)的橢圓，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距，則，所以曲線的方程為.（2）由（1）知，曲線的離心率為，且焦點(diǎn)在x軸上，則曲線的離心率為，曲線的焦點(diǎn)在x軸上，而曲線經(jīng)過點(diǎn)，，因此曲線的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，半焦距，短半軸長(zhǎng)有，于是曲線的方程為，設(shè)，

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，的方程為，代入得，此時(shí)、與曲線都相切，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則；當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，同理有；當(dāng)切線和的斜率都存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，分別代入和，化簡(jiǎn)得①，②，依題意，方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，于是，即，則，此時(shí)為的中點(diǎn).同理可證，為的中點(diǎn)，因此，所以.【點(diǎn)睛】求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程．②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，也可設(shè)橢圓的方程為(A>0，B>0，A≠B)．24．（22·23下·江蘇·三模）已知橢圓E：，橢圓上有四個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B，C，D，，AD與BC相交于P點(diǎn).如圖所示.

(1)當(dāng)A，B恰好分別為橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)時(shí)，試探究：直線AD與BC的斜率之積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出該定值；否則，請(qǐng)說明理由；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求直線AB的斜率.【答案】(1)是定值，定值為(2)【分析】（1）由題意求出直線的斜率，再求可設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，然后求解即可；（2）設(shè)，，，記，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，將A，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，化簡(jiǎn)得，再由可得，從而可得，進(jìn)而可得直線的方程，則可求出其斜率.【詳解】（1）由題意知，，，所以，，所以，設(shè)直線CD的方程為，設(shè)，，聯(lián)立直線CD與橢圓的方程，整理得，由，解得，且，則，，所以，故直線AD與BC的斜率之積是定值，且定值為.（2）設(shè)，，，記()，得.所以.又A，D均在橢圓上，所以，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，同理可得，即直線AB：，所以AB的斜率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線CD的方程，代入橢圓方程中消元化簡(jiǎn)，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用直線的斜率公式表示出，結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)計(jì)算可得結(jié)果，考查計(jì)算能力和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.25．（22·23下·常州·一模）已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意得，再結(jié)合可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)，，，，設(shè)的方程為，代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，再結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)可求出關(guān)于的方程，從而可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，因?yàn)?，所以解得，．所以所求橢圓的方程為（2）設(shè)，，，，直線的斜率顯然存在，設(shè)為，則的方程為．因?yàn)?，，，四點(diǎn)共線，不妨設(shè)，則，，，，由，可得，化簡(jiǎn)得．（*）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，消去，得，，得，由韋達(dá)定理，得，．代入（*）化簡(jiǎn)得，即．又，代入上式，得，化簡(jiǎn)得．所以點(diǎn)總在一條定直線上．

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式表示出，代入化簡(jiǎn)，再將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，幾個(gè)式子相結(jié)合可證得結(jié)論.26．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，且到的一條漸近線的距離為.(1)求的方程；(2)過的左頂點(diǎn)且不與軸重合的直線交的右支于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過作的平行線，交直線于點(diǎn)，證明：在定圓上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)到漸近線的距離求出即可得解；（2）由題意可設(shè)PA，的斜率分別為，設(shè)直線AP的方程為，聯(lián)立雙曲線方程，求出，由三角函數(shù)可得，即化為得證.【詳解】（1）根據(jù)題意可知C的一條漸近線方程為，設(shè)到漸近線的距離為，所以，所以的方程為.（2）設(shè)C的左頂點(diǎn)為A，則,故直線為線段的垂直平分線.所以可設(shè)PA，的斜率分別為，故直線AP的方程為.與C的方程聯(lián)立有，設(shè)B），則，即，所以當(dāng)軸時(shí)，，是等腰直角三角形，且易知當(dāng)不垂直于x軸時(shí)，直線的斜率為，故因?yàn)椋运砸驗(yàn)樗运詾槎ㄖ?，所以點(diǎn)Q在以為圓心且半徑為4的定圓上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.27．（22·23·茂名·三模）已知雙曲線的離心率為2.(1)求雙曲線的漸近線方程；(2)若雙曲線的右焦點(diǎn)為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點(diǎn)，過作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過定點(diǎn)，若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2)直線是否過定點(diǎn)，證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意可得，即可得出答案；（2）設(shè)直線的方程，直線與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)，則，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，設(shè)，結(jié)合韋達(dá)定理可得，寫出直線的方程，令，解得,即可得出答案．【詳解】（1）由雙曲線的離心率為2，所以，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程，因?yàn)橹本€與雙曲線的左右兩支分別交于點(diǎn)，則，聯(lián)立，得，設(shè)，則，直線的方程，令，得，所以直線過定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明.28．（22·23下·溫州·三模）已知拋物線與雙曲線相交于兩點(diǎn)是的右焦點(diǎn)，直線分別交于（不同于點(diǎn)），直線分別交軸于兩點(diǎn).(1)設(shè)，求證：是定值；(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，設(shè)出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立即可計(jì)算作答.（2）由（1）求出直線的方程并求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，借助直線求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再列式求出范圍作答.【詳解】（1）由是直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，顯然直線不垂直y軸，點(diǎn)，故設(shè)直線的方程為，由消去并整理得，所以為定值.

（2）由（1）知，直線的斜率，方程為，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)，由消去得，，，而直線的方程為，依題意，令，得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．29．（22·23下·浙江·二模）已知雙曲線的漸近線方程為，左右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)，直線分別與雙曲線交于兩點(diǎn)（不同于）.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)的面積分別為，若，求直線方程.（寫出一條即可）【答案】(1)(2)，或，或，或（寫出一條即可）【分析】(1)由雙曲線的方程求出漸近線方程，再結(jié)合題目已知條件即可求出，代入雙曲線的方程，即可得到答案.(2)先由點(diǎn)的坐標(biāo)得到，把的坐標(biāo)代入得到，再結(jié)合雙曲線的方程，化簡(jiǎn)得.設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合，即可化簡(jiǎn)得到，將韋達(dá)定理代入解得，則可知直線恒過定點(diǎn).把，代入，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可得到，解出，代入直線的方程即可.【詳解】（1）如圖，

由題意知雙曲線的漸近線方程為即，所以，所以雙曲線的方程.（2）由(1)得，所以，所以,設(shè)點(diǎn),即，由得，所以①設(shè)直線，與雙曲線方程聯(lián)立得：，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，所以，所以由①式代入變形得，將韋達(dá)定理代入消去化簡(jiǎn)得，即直線恒過定點(diǎn).由此可得.由于圖像的對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，，所以，將韋達(dá)定理代入后得到，解得或.所以，直線方程為，或，或，或（寫出一條即可）【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：求解直線或曲線過定點(diǎn)問題的基本思路：（1）把直線或曲線方程中的變量x，y當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立，這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn)．（2）由直線方程確定其過定點(diǎn)時(shí)，若得到了直線方程的點(diǎn)斜式，則直線必過定點(diǎn)；若得到了直線方程的斜截式，則直線必過定點(diǎn).30．（22·23·三明·三模）已知是橢圓的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最大值為.當(dāng)時(shí)，的面積為.(1)求橢圓的方程；(2)、為橢圓的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)與、不重合時(shí)，射線交橢圓于點(diǎn)，直線、交于點(diǎn)，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出，分析出，利用勾股定理結(jié)合橢圓的定義、三角形的面積公式可得出，再由可得出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線、的方程，將這兩條直線的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，其中，求出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，利用基本不等式求出的最大值，即可得出的最大值.【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)，則，，因?yàn)?，所以，，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所?即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)榇藭r(shí)，所以，所以，所以.因?yàn)椋?，，所以橢圓的方程為.（2）解：設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，則，解得，所以，

由題知不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消整理得，，設(shè)、，則，.因?yàn)榈姆匠虨椋姆匠虨閮芍本€方程聯(lián)立得：.因?yàn)?所以，解得，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.由橢圓的對(duì)稱性不妨設(shè)，直線、的傾斜角為、，由圖可知，且，因?yàn)?，則，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．31．（22·23·龍巖·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過右焦點(diǎn)的直線交橢圓K于M，N兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓C與圓內(nèi)切．(1)求橢圓K的方程；(2)過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)Q，與交于點(diǎn)P，是否存在直線使得的面積等于？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)存在；或【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合橢圓的定義求出，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知的值，利用，，的關(guān)系可求出的值，從而求出橢圓的方程．（2）依題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，將三角形的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，解方程求出的值即可．【詳解】（1）

設(shè)，為線段的中點(diǎn)，依題意，得：，，所以，，，又，所以，所以橢圓的方程為．（2）

依題意，當(dāng)直線斜率為0時(shí)，不符合題意；當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，易知．設(shè)，，則，，因?yàn)檩S，軸，所以，，所以直線：①，直線②，聯(lián)立①②解得，因?yàn)?，與直線平行，所以，因?yàn)椋?，由，解得，故存在直線l的方程為或，使得的面積等于．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.32．（22·23·淄博·三模）已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為、，焦距為4，右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R，S兩點(diǎn)，且∠RAS＝60°.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點(diǎn)M，Q是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中M位于第一象限，的角平分線記為l，過點(diǎn)M做l的垂線，垂足為E，與雙曲線右支的另一交點(diǎn)記為點(diǎn)N，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，則利用點(diǎn)A到漸近線的距離為列方程組求解；（2）方法①設(shè)點(diǎn)，寫出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理把，表示為點(diǎn)的縱坐標(biāo)的函數(shù)進(jìn)行求解；方法②設(shè)直線的斜率為k，利用角平分線的向量表示，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，參數(shù)間的轉(zhuǎn)化，最終把表示為關(guān)于k的函數(shù)進(jìn)行求解.【詳解】（1）由題意可知：△ARS是正三角形，所以點(diǎn)A到漸近線的距離為

所以，解得，

所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是：（2）方法①：由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，可知點(diǎn)Q處的切線即為的角平分線.設(shè)點(diǎn)，，則設(shè)直線的方程是：，由得：，，解得：，，，，，，即直線：，即：

由點(diǎn)到直線的距離公式得：直線方程：，即：由，得：所以，由都在雙曲線右支上，得：所以所以所以，令，則

當(dāng)，即時(shí)，的最大值為.方法②：如圖，由題意知點(diǎn)Q在雙曲線左支上，設(shè)，則.易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為k，記，又為的平分線，則.因?yàn)椋?，所以，同理，又，代入，得，化?jiǎn)得.又，，所以，由，，得，，所以，.所以直線的方程為，，由點(diǎn)到直線的距離公式得：，又直線MN的斜率為，且過點(diǎn)M，所以直線的方程為：，將其與聯(lián)立得.設(shè)，則，.易知點(diǎn)N在第四象限，所以，得：，.故，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最大值為.

【點(diǎn)睛】33．（22·23·山東·二模）已知拋物線，過點(diǎn)的兩條直線、分別交于、兩點(diǎn)和、兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)為直線與的交點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)直線的斜率為時(shí)，寫出直線的方程，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求出的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線、都不與軸重合，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，設(shè)、，由韋達(dá)定理可得，同理可得出，寫出直線、的方程，求出這兩條直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）解：當(dāng)直線的斜率為時(shí)，直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，因?yàn)?，可得，由韋達(dá)定理可得，，，整理可得，解得或（舍去），因此，拋物線的方程為.（2）證明：當(dāng)直線與軸重合時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線不與軸重合，同理可知直線也不與軸重合，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則可得，設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，同理可得，直線的方程為，即，化簡(jiǎn)可得，同理可知，直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，由拋物線的對(duì)稱性可知，

交點(diǎn)必在垂直于軸的直線上，所以只需證明點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值即可，由，消去，因?yàn)橹本€與相交，則，解得，所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，因此，直線與的交點(diǎn)必在定直線上.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.34．（22·23·菏澤·三模）已知橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，滿足（其中表示兩點(diǎn)連線的斜率），且為橢圓的左、右焦點(diǎn)，面積的最大值為．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)面積的最大值為，得，再利用點(diǎn)差法和斜率公式得，結(jié)合，求出，，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，代入，得，，根據(jù)，求出的最大值，再利用三角形面積關(guān)系，求出內(nèi)切圓半徑，進(jìn)而求出內(nèi)切圓面積的最大值.【詳解】（1）設(shè)，，則，所以，依題意可知，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，由，得，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）易得，設(shè)直線，代入，得，則，設(shè)，，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，所以的內(nèi)切圓面積.所以的內(nèi)切圓面積的最大值為.

35．（22·23下·武漢·三模）已知雙曲線：的一條漸近線為，橢圓：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，其中.過點(diǎn)的動(dòng)直線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)Р的動(dòng)直線交于M，N兩點(diǎn).(1)求雙曲線和橢圓的方程；(2)是否存在定點(diǎn)Q，使得四條直線QA，QB，QM，QN的斜率之和為定值?若存在，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)雙曲線的方程為：；橢圓的方程為：(2)存在，點(diǎn)坐標(biāo)為.【分析】（1）由橢圓及雙曲線的性質(zhì)計(jì)算即可；（2）兩直線與橢圓、雙曲線的交點(diǎn)沒有聯(lián)系，故可分開單獨(dú)計(jì)算各斜率之和即可，設(shè)點(diǎn)A、B、Q坐標(biāo)及直線：與雙曲線聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)計(jì)算得：，待定系數(shù)計(jì)算并檢驗(yàn)可得，再代入驗(yàn)證是否為定值即可.【詳解】（1）已知雙曲線漸近線為，即.因?yàn)闄E圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，即，.所以雙曲線的方程為：.橢圓的方程為：.（2）

當(dāng)直線、的斜率不存在時(shí)，不滿足題意.故直線的方程設(shè)為：，直線過點(diǎn)，即.與雙曲線方程聯(lián)立，得.故，.設(shè)，，有，.設(shè)..化簡(jiǎn)得.代入韋達(dá)定理得：.將代入其中消去化簡(jiǎn)得：.由動(dòng)直線、互不影響可知，要滿足為定值，則為定值，為定值.因此要滿足為定值，則有：①若，，計(jì)算得，.經(jīng)檢驗(yàn)滿足，此時(shí).②若，即，，有.無解.綜上，當(dāng)，.下面只需驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，是否為定值.設(shè)直線方程為：，直線過點(diǎn)，即.橢圓方程聯(lián)立，得.故.設(shè)，，有，..化簡(jiǎn)得.代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)可得：.將代入其中可得：.所以當(dāng)，，，.所以點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問斜率定值問題，關(guān)鍵在于待定系數(shù)化簡(jiǎn)計(jì)算上，即設(shè)點(diǎn)A、B、Q的坐標(biāo)及直線的方程，利用韋達(dá)定理消元化簡(jiǎn)兩斜率之和可得：，待定系數(shù)求值即可確定斜率和為定值時(shí)的Q坐標(biāo)，再確定此時(shí)是否為定值，注意檢驗(yàn).36．（22·23下·湖南·二模）已知為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且該雙曲線離心率小于等于，點(diǎn)和是雙曲線上關(guān)于軸對(duì)稱非重合的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為雙曲線左右頂點(diǎn)，恒成立．(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線和的交點(diǎn)為，求點(diǎn)的軌跡方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用雙曲線的定義可得，然后利用兩邊之和大于第三邊以及可得，即