7.3 認識三角形（與三角形有關(guān)的線段） 蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊基礎(chǔ)知識講與練

專題7.17認識三角形（與三角形有關(guān)的線段）（知識講解）【學(xué)習(xí)目標】1.理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法；2.理解并會應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系；3.理解三角形的高、中線、角平分線及重心的概念，學(xué)會它們的畫法及簡單應(yīng)用；4.對三角形的穩(wěn)定性有所認識，知道這個性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用．【要點梳理】要點一、三角形的定義及分類1.定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．特別說明：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡稱三角形的角；③三角形的頂點：即相鄰兩邊的公共端點.（2）三角形定義中的三個要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．2．三角形的分類(1)按角分類：特別說明：①銳角三角形：三個內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個內(nèi)角為鈍角的三角形.(2)按邊分類：特別說明：①等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;②等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點二、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.特別說明：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系.要點三、三角形的高、中線與角平分線1、三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．三角形的高的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；特別說明：（1）三角形的高是線段；（2）三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；（3）三角形的三條高：(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點也在三角形內(nèi)部；(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；(ⅲ)直角三角形三條高的交點是直角的頂點.2、三角形的中線三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．三角形的中線的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.特別說明： (1)三角形的中線是線段； (2)三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；(3)三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫三角形的重心； (4)中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.3、三角形的角平分線三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語言：如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC).特別說明：（1）三角形的角平分線是線段；（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部；（3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心；（4）可以用量角器或圓規(guī)畫三角形的角平分線.要點四、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.特別說明：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個道理．（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．【典型例題】類型一、與三角形有關(guān)線段??三角形的邊段??概念??分類1．如圖所示，（1）圖中有幾個三角形？（2）說出的邊和角．（3）是哪些三角形的邊？是哪些三角形的角？【答案】（1）圖中有：，，，，，共5個；（2）的邊：，，，角：，，；（3）是，，的邊；是，，的角．【分析】（1）分類找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三類即可；（2）根據(jù)組成三角形的三條線段一一找出，利用三角形兩邊的夾角即可找出；（3）觀察圖形，找出含AD的三角形，先找AD左邊的，再找AD右邊的即可，根據(jù)三角形內(nèi)角的定義，角的兩邊是三角形的邊，找到第三邊，在∠C的內(nèi)部在線段看與角的兩邊是否相交即可解：（1）圖中有：以AB為邊的三角形有△ABD，△ABC，以AD為邊的三角形有△ADE，△ADC，再以DE為邊三角形有△DEC，一共有5個三角形分別為，，，，；（2）的邊：，，，角：，，；（3）是，，的邊；是，，的角．【點撥】本題考查三角形的識別，三角形的基本要素，三角形個數(shù)，觀察圖形找出圖中的三角形，三角形的組成，找以固定線段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分類思想找出所有的圖形，三角形的邊與角，共線段三角形以及共角三角形是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，以BD為邊的三角形有哪些？分別寫出來；以∠1為內(nèi)角的三角形有哪些？分別寫出來．【分析】先根據(jù)BD邊找三角形，再根據(jù)∠1找三角形.解：以BD為邊的三角形有：△BDC，△BDO，以∠1為內(nèi)角的三角形有：△EOC，△ACD．【點撥】本題考查了三角形的內(nèi)角和邊的概念，學(xué)會分類的方法找三角形是本題的解題關(guān)鍵.2．已知的三邊長分別為a，b，c．若a，b，c滿足，試判斷的形狀．【答案】的形狀是等邊三角形．【分析】利用平方數(shù)的非負性，求解a，b，c的關(guān)系，進而判斷．解：∵，∴，∴a=b=c，∴是等邊三角形．【點撥】本題主要是考查了三角形的分類，熟練掌握各類三角形的特點，例如三邊相等為等邊三角形，含的三角形為直角三角形等，這是解決此類題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】滿足下列條件的三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形．（1）△ABC中，∠A＝30°，∠C＝∠B；（2）三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1:2:3.【答案】(1)銳角三角形；(2)直角三角形．【分析】根據(jù)角的分類對三角形進行分類即可.解：(1)∵∠A＝30°，∠C＝∠B，∠A＋∠C＋∠B＝180°，∴∠C＝∠B＝75°，∴滿足條件的三角形是銳角三角形．∵三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶2∶3，∴可求得每個內(nèi)角的度數(shù)分別為30°，60°，90°，∴滿足條件的三角形是直角三角形．【點撥】本題主要考查了三角形的分類問題．類型二、與三角形有關(guān)線段??構(gòu)成三角形條件??確定第三邊取值范圍3．判斷下列長度的三條線段能否拼成三角形？為什么？（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm；【答案】（1）不能，因為3cm＋4cm＜8cm；（2）不能，因為5cm＋6cm＝11cm；（3）能，因為5cm＋6cm＞10cm【分析】略舉一反三：【變式】如圖所示三條線段a，b，c能組成三角形嗎？你是用什么方法判別的？【答案】三條線段a，b，c能組成三角形，理由見分析【分析】只需要利用作圖方法證明即可．解：三條線段a，b，c能組成三角形，理由如下：如圖所示，根據(jù)線段的和差可知，∴三條線段a，b，c能組成三角形．【點撥】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，線段的尺規(guī)作圖，證明是解題的關(guān)鍵．4．己知三角形的兩邊長為5和7，第三邊的邊長a．（1）求a的取值范圍；（2）若a為整數(shù)，當a為何值時，組成的三角形的周長最大，最大值是多少？【答案】(1) (2)當時，三角形的周長最大為【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系求解即可得到答案；（2）由（1）取最大值即可得到答案．（1）解：由三角形的三邊關(guān)系可知，即，∴a的取值范圍是；（2）解：由（1）知，a的取值范圍是，a是整數(shù)，∴當時，三角形的周長最大，此時周長為：，∴周長的最大值是23．【點撥】本題考查三角形三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．舉一反三：【變式】已知：中，，，，求的范圍．【答案】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列不等式求解即可．解：∵是的三邊，∴，即：，解得：，故答案為：．【點撥】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、解不等式組；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系以及解不等式組的方法是解題的關(guān)鍵．類型三、與三角形有關(guān)線段??三角形的高??作圖??求值（等面積法）5．在如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點A，點B，點C均在小正方形的頂點上．畫出中邊上的高；直接寫出的面積為___．【答案】(1)見分析 (2)【分析】（1）結(jié)合網(wǎng)格圖，直接利用三角形高線作法得出答案；（2）結(jié)合網(wǎng)格圖，直接利用三角形的面積求法得出答案．（1）解：如圖所示：即為所求；（2）解：．故答案為：【點撥】本題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖以及三角形面積求法，正確得出三角形高線的位置是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖：用三角尺分別作出銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形的各邊上的高線．觀察你所作的圖形，比較三個三角形中三條高線的位置，與三角形的類型有什么關(guān)系？【分析】（1）根據(jù)三角形高的畫法畫圖即可；（2）根據(jù)（1）所作圖形進行求解即可．（1）解；如圖所示，即為所求；（2）解：由（1）可知，銳角三角形的三條高線的交點在三角形內(nèi)部；直角三角形的三條高線的交點為直角頂點；鈍角三角形的三條高線的交點在三角形外部．【點撥】本題主要考查了畫三角形的高，三角形高線的交點，正確畫出三角形的高是解題的關(guān)鍵．6．如圖，分別是的中線和高，，．求和的長．【答案】，【分析】利用，求出，再根據(jù)是的中線，得到，即可得解．解：由題意，得：，∴，∵是的中線，∴，∴．【點撥】本題考查三角形的高線和中線．熟練掌握三角形的中線是三角形的頂點到對邊中點所連線段，是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，分別是的高，若，求的長．【答案】【分析】利用，根據(jù)等面積法即可求解．解：∵分別是的高，∴∵，∴,∴．【點撥】本題考查了三角形面積的計算公式，掌握等面積法求解是解題的關(guān)鍵．類型四、與三角形有關(guān)線段??三角形中線??求線段長??求面積??周長7．如圖，在中邊上的中線把的周長分成和兩部分，求和的長．【答案】【分析】先根據(jù)和三角形的中線列出方程求解，分類討論，注意答案是否滿足條件，即是否滿足題目給出的條件、是否滿足三角形三邊的關(guān)系．解：設(shè)，則，邊上的中線把的周長分成和兩部分，，當時，，解得：，，，，，，滿足三邊關(guān)系，；當時，，解得：，，，，，不滿足三角形三邊關(guān)系，所以舍去，．【點撥】本題考查了三角形中線的性質(zhì)和三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，列出方程．舉一反三：【變式】如圖，已知、分別是的高和中線，，．試求：的面積；的長度；與的周長的差．【答案】(1)； (2)； (3)．【分析】（1）先根據(jù)三角形面積公式計算出，然后利用是邊的中線，得到；（2）利用面積法得到，即可求出的長；（3）由的周長－的周長=，即可求得答案．（1）解：是直角三角形，，，，是上的中線，，，；（2）解：，是上的高，，；（3）解：是邊上的中線，，的周長－的周長=，即和的周長差是．【點撥】本題考查了三角形的面積公式，以及三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與公式是解決此題的關(guān)鍵．8．如圖，中，，，，．若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒2cm．設(shè)運動的時間為t秒．當t=___________時，把的周長分成相等的兩部分？當t=___________時，把的面積分成相等的兩部分？當t為何值時，的面積為12？【答案】(1)6 (2)6.5 (3)2或6.5秒【分析】（1）先求出的周長為24cm，所以當把的周長分成相等的兩部分時，點P在上，此時，再根據(jù)時間=路程÷速度即可求解；（2）根據(jù)中線的性質(zhì)可知，點P在中點時，把的面積分成相等的兩部分，進而求解即可；（3）分兩種情況：①P在上；②P在上．解：（1）中，∵，，，∴的周長，∴當把的周長分成相等的兩部分時，點P在上，此時，∴，解得．故答案為：6；（2）當點P在中點時，把的面積分成相等的兩部分，此時，∴，解得．故答案為：6.5；（3）分兩種情況：①當P在上時，∵的面積=12，∴，∴，∴，；②當P在上時，∵的面積=12=面積的一半，∴P為中點，∴，．故t為2或6.5秒時，的面積為12．【點撥】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，三角形的周長與面積，三角形的中線，難度適中．利用分類討論的思想是解（3）題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】已知的面積為S，根據(jù)下列條件完成填空.圖1

圖2

圖3是的邊BC上的中線，如圖1，則的面積為（用含S的式子表示，下同）；是的邊上的中線，如圖2，則的面積為；是的邊上的中線，如圖3，則的面積為；……在圖2022中，是的邊上的中線，則的面積為.【答案】(1)，， (2)【分析】（1）利用三角形的一條中線把三角形的面積分成相等的兩部分求解即可；（2）根據(jù)（1）中的求解可得規(guī)律，利用規(guī)律即可求解．（1）解：∵是的邊BC上的中線，的面積為S，如圖1，∴；又∵是的邊上的中線，如圖2，∴；∵是的邊上的中線，如圖3，∴，故答案為：，，（2）解：∵，，，，以此類推，可得，∴當時，，故答案為：【點撥】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，熟記三角形的一條中線把三角形的面積分成相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．類型五、與三角形有關(guān)線段??三角形角平分線??求線段長??求面積9．如圖，是的角平分線，，交AC于點F，已知，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)角平分線的定義得到即可得到答案．解：∵，，∴，∵是的角平分線，∴，∴．【點撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形角平分線的定義，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，點為直線上一點，，平分，求證：ABCD．【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解即可．解：平分，，，，∴．【點撥】本題考查了平行線的判定，熟記“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．10．如圖，中，按要求畫圖：的平分線；畫出中邊上的中線；畫出中邊上的高．【分析】（1）畫出的平分線交于D即可；（2）取的中點E，連接，中線即為所求；（3）過點C作交的延長線于F，即為中邊上的高．（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，中線即為所求；（3）解：如圖，高即為所求．【點撥】本題考查了作三角形的角平分線、中線和高線，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．舉一反三：【變式】在邊長為1的正方形網(wǎng)格中：畫出沿方向平移2個單位后的；與的重疊部分面積為多少？【答案】(1)圖見分析 (2)重疊部分面積為10【分析】（1）根據(jù)題意畫出沿方向平移2個單位后的即可；（2）正方形的邊長為1，根據(jù)圖形進行求解即可．解：（1）沿方向平移2個單位后的如圖所示：（2）∵正方形的邊長為1，根據(jù)（1）中的圖形可得，重疊部分的面積為：．【點撥】本題考查了作圖—平移變換，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．類型六、與三角形有關(guān)線段??三角形的穩(wěn)定性??四邊形的不穩(wěn)定性9．下列圖形中哪些具有穩(wěn)定性？【答案】（1）（4）（6）中的圖形具有穩(wěn)定性．【分析】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可直接進行求解．解：具有三角形穩(wěn)定性的有（1）（4）（6）．【點撥】本題主要考查三角形的穩(wěn)定性，熟練掌握三角形的穩(wěn)定性是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（1）下列圖形中具有穩(wěn)定性是