【教案】平面幾何中的向量方法++（教學(xué)設(shè)計(jì)）（人教A版2019必修第二冊）

.4.1平面幾何中的向量方法教學(xué)設(shè)計(jì)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容本節(jié)的目的是讓學(xué)生加深對向量的認(rèn)識,更好地體會向量這個(gè)工具的優(yōu)越性.對于向量方法,就思路而言,幾何中的向量方法完全與幾何中的代數(shù)方法一致,不同的只是用“向量和向量運(yùn)算”來代替“數(shù)和數(shù)的運(yùn)算”.這就是把點(diǎn)、線、面等幾何要素直接歸結(jié)為向量,對這些向量借助于它們之間的運(yùn)算進(jìn)行討論,然后把這些計(jì)算結(jié)果翻譯成關(guān)于點(diǎn)、線、面的相應(yīng)結(jié)果.課時(shí)教學(xué)目標(biāo)通過平行四邊形這個(gè)幾何模型,歸納總結(jié)出用向量方法解決平面幾何的問題的”三步曲”；明確平面幾何圖形中的有關(guān)性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示；讓學(xué)生深刻理解向量在處理平面幾何問題中的優(yōu)越性.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：用向量方法解決實(shí)際問題的基本方法：向量法解決幾何問題的“三步曲”；2.教學(xué)難點(diǎn)：如何將幾何等實(shí)際問題化歸為向量問題.教學(xué)過程設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一創(chuàng)設(shè)情境，引入課題思考：你還記得平面向量學(xué)習(xí)了哪些知識嗎？平面向量的定義；2.平面向量的加、減、數(shù)乘三種線性運(yùn)算；3.平面向量的數(shù)量積運(yùn)算；4.平面向量基本定理；5.平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算；前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的概念和運(yùn)算，并通過平面向量基本定理，把向量的運(yùn)算化歸為實(shí)數(shù)的運(yùn)算.本節(jié)我們將學(xué)習(xí)運(yùn)用向量方法解決平面幾何、物理中的問題，感受向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問題中的作用.同時(shí)我們還將借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，把解直角三角形問題拓展到解任意三角形問題。問題1：平面幾何問題與平面向量之間的對應(yīng)關(guān)系如何？完成下表. 幾何元素及其表示向量及其運(yùn)算平行垂直長度夾角 【預(yù)設(shè)的答案】幾何元素及其表示向量及其運(yùn)算平行直線垂直直線長度的長度夾角【設(shè)計(jì)意圖】從向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有的幾何背景出發(fā)，建立平面幾何元素與平面向量之間的對應(yīng)關(guān)系.通過復(fù)習(xí)前幾節(jié)所學(xué)知識，引入本節(jié)新課。建立知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。環(huán)節(jié)二觀察分析，感知概念由于向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算具有鮮明的幾何背景，平面幾何圖形的許多性質(zhì)，如全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來，因此平面幾何中的許多問題都可用向量運(yùn)算的方法加以解決.下面通過兩個(gè)具體實(shí)例，說明向量方法在平面幾何中的應(yīng)用.例1如圖6.4-1，是的中位線，用向量方法證明:,【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，通過線段（直線）平行與向量共線關(guān)系的實(shí)例，讓學(xué)生感受在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，利用平面向量研究平面幾何中平行關(guān)系這一類問題.問題2：如果兩個(gè)向量共線，那么向量所在直線的位置關(guān)系是怎樣的？如何利用平面向量證明線段（直線）平行？【活動預(yù)設(shè)】啟發(fā)學(xué)生初步感知用平面向量表示幾何圖形中的元素，并借助向量運(yùn)算研究圖形中的幾何元素之間的關(guān)系.分析：我們在初中證明過這個(gè)結(jié)論，證明中要加輔助線，有一定難度。如果用向量方法證明這個(gè)結(jié)論，可以取為基底，用表示，證明即可?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生感受利用向量解決平面幾何問題的思路，用基底法表示所求向量是向量表示的一種方法.證明:如圖6.4-2，因?yàn)槭堑闹形痪€，所以，從而又，所以.于是,【設(shè)計(jì)意圖】通過例題讓學(xué)生了解用向量方法證明幾何問題，提高學(xué)生的解決問題、分析問題的能力。環(huán)節(jié)三抽象概括，形成概念平面幾何經(jīng)常涉及距離(線段長度)和角度問題，而平面向量的運(yùn)算，特別是數(shù)量積主要涉及向量的模以及向量之間的夾角，因此我們可以用向量方法解決某些幾何問題用向量方法解決幾何問題時(shí)，通常先用向量表示相應(yīng)的點(diǎn)、線段、夾角等幾何元素，然后通過向量的運(yùn)算來研究點(diǎn)、線段等元素之間的關(guān)系，最后再把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系，便得到幾何問題的結(jié)論。問題4：用向量方法解決平面幾何問題的基本思路和步驟是什么？ 【預(yù)設(shè)的答案】幾何圖形到向量恰當(dāng)?shù)南蛄窟\(yùn)算向量到幾何關(guān)系【設(shè)計(jì)意圖】在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中歸納總結(jié)用向量方法解決平面幾何問題的基本思路.環(huán)節(jié)四辨析理解深化概念用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”:(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系。【設(shè)計(jì)意圖】通過思考，總結(jié)用向量方法做幾何問題的步驟，提高學(xué)生分析問題、概括問題的能力。ADDINCNKISM.UserStyle環(huán)節(jié)五概念應(yīng)用，鞏固內(nèi)化例2如圖6.4-3，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對角線AC和BD的長度與兩條鄰邊AB和AD的長度之間的關(guān)系嗎?【預(yù)設(shè)的答案】.【設(shè)計(jì)意圖】利用向量方法探究平行四邊形的兩條對角線與兩條鄰邊之間的關(guān)系，意圖之一仍是體會基底思想，用基底建立的聯(lián)系，意圖之二是體會涉及兩個(gè)向量的和或差的模的問題時(shí)，只需對向量的和或差的模平方.分析:平行四邊形中與兩條對角線對應(yīng)的向量恰是與兩條鄰邊對應(yīng)的兩個(gè)向量的和與差，我們可以通過向量運(yùn)算來探索它們的模之間的關(guān)系.解:第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題:如圖6.4-4，取為基底為基底，設(shè)，，則，第二步，通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系:，，上面兩式相加，得第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系:【設(shè)計(jì)意圖】通過例題進(jìn)一步熟悉向量的工具作用，提高學(xué)生用向量解決幾何知識解決問題的能力。環(huán)節(jié)六歸納總結(jié),反思提升1.用向量法解決平面幾何問題的兩種方法(1)基底法：選取適當(dāng)?shù)幕?盡量用已知?；驃A角的向量作為基底)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題．一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目用坐標(biāo)法更簡單．2.用向量方法解決平面幾何問題的步驟【設(shè)計(jì)意圖】（1）梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容：用向量方法解決幾何問題的思路；（2）進(jìn)行數(shù)學(xué)文化滲透，鼓勵學(xué)生積極攀登知識高峰，進(jìn)一步體會用向量方法解決幾何問題的必要性.環(huán)節(jié)七 目標(biāo)檢測，作業(yè)布置完成教材：第39頁練習(xí)第1,3題.練習(xí)（第39頁）1.證明:等腰三角形的兩個(gè)底角相等.2.如下頁圖，正方形ABCD的邊長為a，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M,求∠EMF的余弦值.3.如下頁圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M，N.設(shè),,求m+n的值.1.在△ABC中，設(shè)，，且，由，得，把上述兩式兩邊分別平方，得，由于，所以,即所以.因此∠B=∠C.2.如圖，以