高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破-難點(diǎn)21-15

難點(diǎn)21直線方程及其應(yīng)用

直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何最基礎(chǔ)的部分，本章的基本概念：基本公式：

直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合的判定都是解析幾何重要的基礎(chǔ)內(nèi)容.應(yīng)

達(dá)到熟練掌握、靈活運(yùn)用的程度，線性規(guī)劃是直線方程一個(gè)方面的應(yīng)用，屬教材新增內(nèi)容，

高考中單純的直線方程問題不難，但將直線方程與其他知識綜合的問題是學(xué)生比較棘手的.

?難點(diǎn)磁場

(★★★★★)已知1,求證：abc+2>a+b+c.

?案例探究

［例1］某校一年級為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫成果展覽室，為節(jié)約

經(jīng)費(fèi)，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，己知鏡框?qū)ψ烂娴膬A斜

角為。(90°WaV180°)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距am,bm,(a>b).

問學(xué)生距離鏡框下緣多遠(yuǎn)看畫的效果最佳？

命題意圖：本題是一個(gè)非常實(shí)際的數(shù)學(xué)問題，它不僅考查了直線的有關(guān)概念以及對三角

知識的綜合運(yùn)用，而且更重要的是考查了把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，

級題目.

知識依托：三角函數(shù)的定義，兩點(diǎn)連線的斜率公式，不等式法求最值.

錯解分析：解決本題有幾處至關(guān)重要，堤建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使問題轉(zhuǎn)化成解析幾何

問題求解；二是把問題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求tanACB的最大值.如果坐標(biāo)系選擇不當(dāng)，或選擇求

sinACB的最大值.都將使問題變得復(fù)雜起來.

技巧與方法：欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使NAC8取最大值，欲求角的最值，又需求角

的一個(gè)三角函數(shù)值.

解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,為鏡框邊,AB為畫的寬度，

O為下邊緣上的一點(diǎn)，在x軸的正半軸上找一點(diǎn)C(x,0)(x>0),欲使看

畫的效果最佳，應(yīng)使NACB取得最大值.

由三角函數(shù)的定義知：A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為3cosa,asin。)、

3cos。力sin。),于是直線AC.BC的斜率分別為：

,…asin

k-\anxCA----------,

ACacosa-x

bsintz

-tanxCB

bcosa-x

于是tanACB=ki>cFc=(。-匕sina=(a-匕)sina

i+k2

BC-kACab-(a+b)xCosa+x^+x_(a+b).cosa

X

(a-b)-sina，當(dāng)且僅當(dāng)a=x,

由于NACB為銳角，且x>0,則tanACBW即4

-(Q+6)cosaX

疝時(shí)，等號成立，此時(shí)/ACB取最大值，對應(yīng)的點(diǎn)為C(而,0),因此，學(xué)生距離鏡框下

緣疝cm處時(shí)，視角最大，即看畫效果最佳.

［例2］預(yù)算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數(shù)盡

可能的多，但椅子不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的L5倍，問桌、椅各買多少才行？

命題意圖：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問題屬于直線方程的一個(gè)應(yīng)用，本題

主要考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)、準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直觀求得滿足題設(shè)的最

優(yōu)解，屬★★★★★級題目.

知識依托：約束條件，目標(biāo)函數(shù)，可行域，最優(yōu)解.

錯解分析：解題中應(yīng)當(dāng)注意到問題中的桌、椅張數(shù)應(yīng)是自然數(shù)這個(gè)隱含條件，若從圖形

直觀上得出的最優(yōu)解不滿足題設(shè)時(shí)，應(yīng)作出相應(yīng)地調(diào)整，直至滿足題設(shè).

技巧與方法：先設(shè)出桌、椅的變數(shù)后，目標(biāo)函數(shù)即為這兩個(gè)變數(shù)之和，再由此在可行域

內(nèi)求出最優(yōu)解.

解：設(shè)桌椅分別買x,y張，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件

50x+20y<2000200

x=-----

y>x50x+20y=2000

為，由<，解得7

y<1.5xy=x200

y=-----

x>0,y>0「7

”點(diǎn)的坐標(biāo)為手,200

,產(chǎn)5

50x4-20y=2000

11b，解得75

y=i.5x

75

???B點(diǎn)的坐標(biāo)為(25,—)

2

所以滿足約束條件的可行域是以人一'學(xué))，8(25,歲,

72

。(0,0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(如右圖)

由圖形直觀可知，目標(biāo)函數(shù)z=x+y在可行域內(nèi)的最優(yōu)解為(25,y),

但注意到故取y=37.

50*+20y=2000

故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇.

［例3］拋物線有光學(xué)性質(zhì)：山其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對

稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p>0).一光源在點(diǎn)M(上,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行

4

于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P,折射后又射向拋物線上的點(diǎn)。，再折射后，又沿

平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線/：2x—4y—17=0上的點(diǎn)N,再折射后又射回

點(diǎn)M(如下圖所示)

(1)設(shè)P、。兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x〕,yi)、(立九)，證明：y〕?乃=一P?；

(2)求拋物線的方程；

(3)試判斷在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使該點(diǎn)與點(diǎn)M關(guān)于PN所在的直線對稱？若存在,

請求出此點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

命題意圖：對稱問題是直線方程的又一個(gè)重要應(yīng)用.本題是一道與物理中的光學(xué)知識相

結(jié)合的綜合性題目，考查了學(xué)生理解問題、分析問題、解決問題的能力，屬****★★級

題目.

知識依托：韋達(dá)定理，點(diǎn)關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)

式方程.

錯解分析：在證明第⑴問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時(shí).

技巧與方法：點(diǎn)關(guān)于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關(guān)鍵.

(1)證明：由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知

光線PQ必過拋物線的焦點(diǎn)F(-1,0),

設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-g)①

由①式得x=\，+K,將其代入拋物線方程J=2px中，整理，得/一&y—/=(),由韋達(dá)

k2k

定理，力丫2二一

當(dāng)直線尸。的斜率角為90。時(shí)，將代入拋物線方程，得產(chǎn)土P，同樣得到乃?"二

2

-P-

(2)解：因?yàn)楣饩€QN經(jīng)直線/反射后又射向M點(diǎn)，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線/

41

對稱，設(shè)點(diǎn)M(上，4)關(guān)于/的對稱點(diǎn)為")，則

A----，_2_

4解得｛=3

，+號,4y，=T

2x——^--4x^~--17=0

22

直線QN的方程為y=-\,Q點(diǎn)的縱坐標(biāo))，2=-1，

由題設(shè)尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)力=4,且由(1)知:力?力=—貝！14?(―1)=—

得片2,故所求拋物線方程為y2=4x.

(3)解：將y=4代入)?=4x,得x=4,故P點(diǎn)坐標(biāo)為(4,4)

13

將y=-1代入直線/的方程為2x—4y—17=0,得x=—,

故N點(diǎn)坐標(biāo)為(一，-1)

2

由P、N兩點(diǎn)坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y—12=0,

設(shè)M點(diǎn)關(guān)于直線NP的對稱點(diǎn)

^?x(_2)=T

則《解得

41

2*”+1+弘+4為二一1

-12=0

22

又的坐標(biāo)是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(diǎn)(L,-1)與點(diǎn)M

44

關(guān)于直線PN對稱.

?錦囊妙計(jì)

1.對直線方程中的基本概念，要重點(diǎn)掌握好直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問

題；直線平行和垂直的條件：與距離有關(guān)的問題等.

2.對稱問題是直線方程的一個(gè)重要應(yīng)用，中學(xué)里面所涉及到的對稱一般都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)

于點(diǎn)或點(diǎn)關(guān)于直線的對稱.中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具.

3.線性規(guī)劃是直線方程的又一應(yīng)用.線性規(guī)劃中的可行域，實(shí)際上是二元一次不等式(組)

表示的平面區(qū)域.求線性目標(biāo)函數(shù)z=ax+by的最大值或最小值時(shí)，設(shè)U內(nèi)+力,則此直線往右(或

左)平移時(shí)，“直隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優(yōu)解.

4.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式、復(fù)數(shù)等代數(shù)問題往

往借助直線方程進(jìn)行，考查學(xué)生的綜合能力及創(chuàng)新能力.

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

102000+11()2岫+1_

1(★★★★★)設(shè)M=—而——,N=—赤——>則歷與N的大小關(guān)系為()

1O2001+12O2002+1

A.M>NB.M=NC.M<ND.無法判斷

2.(*****)三邊均為整數(shù)且最大邊的長為11的三角形的個(gè)數(shù)為()

A.15B.30C.36D.以上都不對

二、填空題

3.(****)直線2》一)-4=0上有一點(diǎn)尸，它與兩定點(diǎn)A(4,-1),8(3,4)的距離之差

最大，則尸點(diǎn)坐標(biāo)是.

4.(★★★★)自點(diǎn)4-3,3)發(fā)出的光線/射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直

線與圓/+/一4x—4y+7=0相切，則光線I所在直線方程為.

5.(****)函數(shù)八6)='吃。的最大值為_______,最小值為__________.

cos。一2

6.(*****)設(shè)不等式2x—1>皿/—1)對一切滿足麻W2的值均成立，則x的范圍為

三、解答題

7.(★★★★★)已知過原點(diǎn)0的一條直線與函數(shù)廠log*的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過

點(diǎn)A、8作y軸的平行線與函數(shù))=log2］的圖象交于。、D兩點(diǎn).

(1)證明：點(diǎn)C、。和原點(diǎn)。在同一直線上.

(2)當(dāng)8C平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

8.(★★★★★)設(shè)數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和Sft=na+n(n—l)b,…),a、b是常數(shù)且8#0.

(1)證明：｛〃〃｝是等差數(shù)列.

(2)證明：以(斯，、-1)為坐標(biāo)的點(diǎn)尸,。=1,2,…)都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程.

n

(3)設(shè)a=l力=；,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r>0),求使得點(diǎn)修、匕、都落在圓

C外時(shí)，，?的取值范圍.

參考答案

難點(diǎn)磁場

證明：設(shè)線段的方程為廣加0=(儀:-1)冗+2—b—c,其中％IVl,lc'l<l,Ld<1,且一1<b<\.

.：于(-1)=1—bc+2~b~c=(1—bc)+(l—b)+(\—c)>0

f(\)=bc—1+2—b—c=(l—〃)(1—c)>0

???線段尸(左一1.+2—6一或一1<%<1)在工軸上方,這就是說,當(dāng)匕|〈1初|〈1%1<1時(shí)，

恒有出?c+2>〃+b+c.

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：將問題轉(zhuǎn)化為比較A(-l,—1)與8(1o2°°lIO?000)及0(1()2002,1()2001)

連線的斜率大小，因?yàn)樨艭兩點(diǎn)的直線方程為產(chǎn)《X,點(diǎn)A在直線的下方，...kAB〉心C,

即M>N.

答案：A

2.解析：設(shè)三角形的另外兩邊長為x?,則

0<x<ll

<0<><11

x+y>ll

點(diǎn)(x,y)應(yīng)在如右圖所示區(qū)域內(nèi)

當(dāng)x=l時(shí),y=ll；當(dāng)m2時(shí),尸10,11;

當(dāng)x=3時(shí)，尸9,10,11；當(dāng)x=4時(shí)，尸8,9,10,11;

當(dāng)x=5時(shí),)，=7,8,9,10,11.

以上共有15個(gè)，x,y對調(diào)又有15個(gè)，再加上(6,6),(7,7),

(8,8),(9,9),(10,10)、(11,11)六組，所以共有36個(gè).

答案：C

二、3.解析：找A關(guān)于/的對稱點(diǎn)4'，A'B與直線/的交

點(diǎn)即為所求的尸點(diǎn).

答案:「(5,6)

4.解析：光線I所在的直線與圓x2+y2—4x—4y+7=0關(guān)于x軸對稱的圓相切.

答案：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0

sin—1

5.解析：K〃)=，°一表示兩點(diǎn)(cos生sin與與(2,1)連線的斜率.

cosO-2

4

答案：-0

3

6.解析：原不等式變?yōu)?/—1)以+(1—2r)V0,構(gòu)造線段人機(jī))=(f—1)加+1—2x,—W2,

則共-2)<0,且式2)<0.

答案：立二

22

三、7.(1)證明：設(shè)A、8的橫坐標(biāo)分別為為、血，由題設(shè)知為>1用>1,

點(diǎn)A(Xi,10g%),8(X2,10g8X2)?

因?yàn)锳1在過點(diǎn)O的直線匕所以厘也=垣土■，又點(diǎn)c、。的坐標(biāo)分別為s,iog2X])、

司x2

(x2,log2x2).

由于log2x,=3log^-|,log2x2=3logfjX：,plij

_log2x,_31og8x(_10g2J2_31og8x2

K0C一_，K()D-

xxX]x2x2

由此得即。、。、。在同一直線上.

⑵解：由BC平行于X軸，有l(wèi)og2Xi=log*2,又log2X]=31ogg

?3

??X2=X1

將其代入地區(qū)=，得

122x/iog^1=3x1log^1,

X]x2

由于知內(nèi)故3，于是

xi>1logW0,X\=3X\X2=>/3A(6,log8A/3).

9.⑴證明:由條件,得a尸&二〃,當(dāng)〃22時(shí)，

有a〃=S“一S〃-尸]〃〃+〃(〃-1)6]—[(〃-1)〃+(〃-1)(〃-2)〃]=a+2(n—\)b.

因此，當(dāng)時(shí)，有。,?一斯-尸[。+2(〃-l)b]—[a+2(〃-2)b]=2b.

所以｛斯｝是以〃為首項(xiàng)，2b為公差的等差數(shù)列.

na+n(n-\)b

a("一[JI

(2)證明:???/?W0,對■于〃22,有一。

a+2(H-l)b-a2(〃一1)b2

q1

???所有的點(diǎn)P〃(即—1)5=12…)都落在通過PM,Q—1)且以人為斜率的直線上.此直

n2

線方程為y—(a—1)=；(r—。),即x—2y+a—2=0.

(3)解：當(dāng)〃=1力=」時(shí)，尸”的坐標(biāo)為(〃,土匕),使尸。,0)、EQ,工)、P式3,1)都落在圓C

222

外的條件是

(-1)2+r2>r2(r-l)2>0①

(r-1)2+(r--)2>r2即<r2-5r+—>0②

24

(—3)2+(1)2>/r2-8r+10>0③

由不等式①，得rWl

由不等式②，得「<3—四或,>*+&

22

由不等式③，得/'<4—幾或r>4+遙

再注意到r>0,l<--72<4-76=-+V2<4+76

22

故使Pi、匕、「3都落在圓C外時(shí)，r的取值范圍是(0,?一應(yīng))U(4+后,+8).

難點(diǎn)22軌跡方程的求法

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程,

其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題

除了考查學(xué)生對圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法

及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).

?難點(diǎn)磁場

(★★★★)已知A、B為兩定點(diǎn),動點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù)九求點(diǎn)M的軌跡

方程，并注明軌跡是什么曲線.

?案例探究

［例1］如圖所示，已知P(4,0)是圓$+丁=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B

是圓上兩動點(diǎn)，且滿足/APB=90°,求矩形APB。的頂點(diǎn)。的軌跡廠憤\

方程?.(E

命題意圖：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方\j

程，屬★★★★★級題目.

知識依托：利用平面兒何的基本知識和兩點(diǎn)間的距離公式建立線?

段AB中點(diǎn)的軌跡方程.

錯解分析：欲求。的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了

問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題.

技巧與方法：對某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌

跡方程，再以此點(diǎn)作為主動點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程.

解：設(shè)48的中點(diǎn)為R,坐標(biāo)為(x,y),則在中，\AR\=\PR\.

又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在RtZXOAR中，W/?I2=L40I2-IO/?I2=36-(x2+y2)

又L4RI=IPRI=&x_4)2+y2

所以有(x—4尸+尸=36一(『+)，),即x2+y2~4x~10=0

因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動時(shí)，。點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動.

設(shè)。(x,y),R(X|,yD，因?yàn)镽是P。的中點(diǎn)，所以x尸三3,乃=與，

代入方程f+y2-4x-10=0,得

(,—工+4、)2+(1)-“4x-+-4-10=八0

整理得：，+y2=56,這就是所求的軌跡方程.

［例2］設(shè)點(diǎn)A和8為拋物線y2=4px(p>0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動點(diǎn)，已知0A_LOB,

0MLAB,求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線.(2000年北京、安徽春招)

命題意圖：本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程，屬★★★★★級題目.

知識依托：直線與拋物線的位置關(guān)系.

錯解分析：當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X|,%),(X2,)，2)時(shí)，注意對“看=初”的討論.

技巧與方法：將動點(diǎn)的坐標(biāo)X、y用其他相關(guān)的量表示出來，然后再消掉這些量，從而

就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系.

解法一：設(shè)力(*1,)，1),8。2?2)4(40依題意，有

yj=4pX]①

4=4的

②

.必?乃=7

③

x}x2

y.i2=7④

XX]-x2

⑤

為一乃=丁一月

x}-x2x-x}

①一②得(yi—y2)S+y2)=4p(xi—q)

若X|WX2,則有"A=上一⑥

用一%2K+為

2

①X②，得yj?y2=l6pX\X2

③代入上式有力力=-16〃2⑦

⑥代入④，得力—=—三⑧

乃+乃y

⑥代入⑤，得‘^=口=上”

必+為X一七力

X----

4P

所以，^.=型匕母

乃+為4Px-yi

即4px-yj=y(yi+y2)—yj—y/2

⑦、⑧代入上式，得f+y?—4px=0(xW0)

當(dāng)制=*2時(shí)，軸，易得M(4p,0)仍滿足方程.

故點(diǎn)例的軌跡方程為f+)，2-4pm0(x六0)它表示以(2p,0)為圓心，以2P為半徑的圓，去

掉坐標(biāo)原點(diǎn).

解法二：設(shè)例(x,y),直線A8的方程為尸爪+6

X

由0M_LA5,得口一一

y

由)2=4px及y=kx+b,消去乂得Kf+Qk/?—4P)x+/=0

所以為尤2=(,消乂得ky2-4py+4ph=0

k

所以力力=羋

由。4_LOB,得yD；2二一可、2

k

所以等=-*=-4切

故y=kx+b=k(x—4p),用k=——代入，得x'y?—4/zi=0(x#0)

y

故動點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2-4px=0(x#0),它表示以(2p,0)為圓心，以2P為半徑的圓，

去掉坐標(biāo)原點(diǎn).

［例3］某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2cm和一個(gè)直徑為1cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測一個(gè)直

徑為3cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)

圓柱的直徑為多少？

命題意圖：本題考查“定義法”求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能

力，屬★★★★★級題目.

知識依托：圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點(diǎn).

錯解分析：正確理解題意及正確地將此實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是順利解答此題的關(guān)

鍵.

技巧與方法：研究所給圓柱的截血，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到動

圓圓心的軌跡方程.

解：設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為。、4、B,問題轉(zhuǎn)化為求兩

等圓P、。，使它們與。。相內(nèi)切，與。A、OB相外切.

建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)。P的半徑為r,則

IB4l+IPOI=l+7-+1.5-,-2.5

.??點(diǎn)P在以A、。為焦點(diǎn)，長軸長2.5的橢圓上，其方程為

①

253

同理P也在以0、B為焦點(diǎn)，長軸長為2的橢圓上，其方程為

(x—；尸+1y=i②

o1?91233

由①、②可解得「

’3凈7

故所求圓柱的直徑為色cm.

7

?錦囊妙計(jì)

求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法.

(1)直接法直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化

簡即得動點(diǎn)軌跡方程.

(2)定義法若動點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓

等)，可用定義直接探求.

(3)相關(guān)點(diǎn)法根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點(diǎn)的軌跡方程.

(4)參數(shù)法若動點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)

變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程.

求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”

是兩個(gè)不同的概念.

?殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

?、選擇題

1.(★★★★)已知橢圓的焦點(diǎn)是Q、F2,尸是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，如果延長QP到0,

使得IPQTPFJ,那么動點(diǎn)。的軌跡是()

A.圓B.橢圓

C.雙曲線的一支D.拋物線

22

2.(****)設(shè)41、%是橢圓二+”=1的長軸兩個(gè)端點(diǎn)，8、尸2是垂直于的弦

94

的端點(diǎn)，則直線4Pl與42P2交點(diǎn)的軌跡方程為()

22-)2

A.—B.二+二=1

9494

22

DV爐-1

9494

二、填空題

中，A為動點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，fi(--,O),C(-,O),且滿足條件sinC

22

—sin8=LinA則動點(diǎn)A的軌跡方程為.

2一一

4.(★★★★)高為5m和3m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10m,如果把兩旗桿

底部的坐標(biāo)分別確定為A(-5,0)、B(5,0),則地面觀測兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方

程是.

三、解答題

5.(****)已知A、B、C是直線/上的三點(diǎn)，KL4BI=lfiCI=6,QO'切直線/于點(diǎn)A,

又過8、C作。0'異于/的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P,求點(diǎn)尸的軌跡方程.

22

6.(****)雙曲線5-4=1的實(shí)軸為41A2,點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動點(diǎn)，引4。，

a-b~

與公。的交點(diǎn)為。，求。點(diǎn)的軌跡方程.

A/,A2Q±A2Pf40

22

乃已知雙曲線與-帆>的頂點(diǎn)為、與軸平行的直線

7.(****4=1(0,〃>0)4A2,y

mn

/交雙曲線于點(diǎn)P、Q.

求直線與交點(diǎn)的軌跡方程；

(1)A/A2QM

(2)當(dāng)小去〃時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.

22

8.(*****)已知橢圓三+與=1(.>6>0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，為、尸2為橢圓的焦點(diǎn)，

ab-

NQPF2的外角平分線為/，點(diǎn)尸2關(guān)于/的對稱點(diǎn)為。，「2。交/于點(diǎn)R.

yt

(1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動時(shí)，求R形成的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)R形成的曲線為C,直線/：y=Z(x+后a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△408

的面積取得最大值時(shí)，求女的值.

參考答案

難點(diǎn)磁場

解：建立坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)IABI=2a,則4(一。,0),B(a,0).

設(shè)M(x,y)是軌跡上任意一點(diǎn).

則由題設(shè)，得四=九坐標(biāo)代入，得也+")2+匚=

的Bl&i產(chǎn)+.

，，化簡得

(1—乂2)x2+(1—42)y2+2a(l+*)x+(l—42)a2=O

⑴當(dāng)日=1時(shí)，即IA/AHMBI時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是尤=0,點(diǎn)M的軌跡是直線。，軸).

(2)當(dāng)4#1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是f+y2+網(wǎng)*2》+/=0.點(diǎn)M的軌跡是以

1-X

"(l+孕,0)為圓心，烏!為半徑的圓

1-片I1-X21

殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析:V\PFi\+\PFJi=2a,\PQ\=\PF^,

：.\PFtMPF2\=\PFtMPQ\=2a,

即IBQI=2a,.?.動點(diǎn)。到定點(diǎn)Fi的距離等于定長2a,故動點(diǎn)Q的軌跡是圓.

答案：A

2.解析：設(shè)交點(diǎn)尸(x,y)A(—3,0)5A2(3,0),尸1(沏,%),尸2的,一%)

???Ai、Pi、P共線，.-,Zz2<>.=_2_

x-尤°x+3

VA2,巳、p共線，；.y+)'。=-^-

x-x0X-3

Qa2222

解得代入得亂-”=1,即二一”=1

xx9494

答案：C

二、3.解析：由sin。一sinB='sinA,得c—Z;二,〃，

22

應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長為-，故方程為辱-雪=l(x>@).

2a23a24

16x216y2〃

答案:

a23tr4

53

4.解析：設(shè)P(%y),依題意有-/=?/，化簡得尸點(diǎn)軌跡方程為

J(x+5)2+y2向-5)2+),2

4x2+4y2-85x+100=0.

答案：4x2+4.v2-85x+100=0

三、5.解：設(shè)過B、C異于/的兩切線分別切。于。、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P.由切

線的性質(zhì)知:\BA\=\BD\,\PD\=\PE\,\CA\=\CE\,t^PB\+\PC\=\BD\+\PD\+\PC\=\BA\+\PE\+\PC\

=\BA\+\CE\=\AB\+\CA1=6+12=18>6=IBCI,故由橢圓定義知，點(diǎn)尸的軌跡是以8、C為兩焦點(diǎn)

的橢圓，以/所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動點(diǎn)尸的軌跡

22

方程為—+=l(yW0)

8172

6.解：設(shè)P(MJ())a#±a),Q(x,y).

-41(一。,0)，2(。,0).

------=-1自=_*(而±±〃)

由條件°得

Zo>o=—

而點(diǎn)PQoJo)在雙曲線上，，//刖?一〃2y。2=

2?

即b\-x2)-a\^-^)2=a2b2

y

222

化簡得。點(diǎn)的軌跡方程為：a^-by=aXX^±a).

7.解：⑴設(shè)尸點(diǎn)的坐標(biāo)為8,yD，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(xi,—yi),又有A|(一〃2,0)&(孫0),

則A1P的方程為：y=」一(x+m)①

%)+m

仆。的方程為：y=-二一(x-機(jī))②

Xj-m

2

①X②得：/=-7'(x2-nr)③

X1-m

222

又因點(diǎn)尸在雙曲線上，故之一4=1,即必2=j(x——"2).

mnm

22

代入③并整理得毛+==1.此即為M的軌跡方程.

(2)當(dāng)機(jī)時(shí)，M的軌跡方程是橢圓.

(i)當(dāng)m>n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(土J"-"20),準(zhǔn)線方程為m土,”廣，離心率e=

J“2_"2

y/m2-n2

m

,-------?2

(ii)當(dāng)m<n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,土/)，準(zhǔn)線方程為y=±-f=，離心率e=

yln2-1n2

―m2

n

8.解：(1)；點(diǎn)尸2關(guān)于/的對稱點(diǎn)為。，連接P。，

:.NFiPR=NQPR,因28=1。㈤，\PQ\=\PFT\

又因?yàn)?為NFiPF2外角的平分線，故點(diǎn)Q、P、Q在同一直線上，設(shè)存在

R(XO,)'O),Q(X1,y1),F|(—c,0),&(c,0).

爐。=舊21+儼21=四尸1+1尸尸21=2。，則(X|+c)2+y/=(202.

X^=~T~

又4

=y

得xi=2x()—c,yi=2y().

2221

(2xo)+(2yo)=(2a))x^+y^a.

故R的軌跡方程為：，+),2=/。=0)

(2)如右圖，VSAAO=-IOAI?\OB\?sio40B=—sinAOfi

B22

當(dāng)408=90°時(shí)，SAAOB最大值為g/

此時(shí)弦心距IOCIJ盧.

VT7F

在RtZXAOC中，/AOC=45°,

二吧=卓色=cos45W典

I°AI?VT7F2

難點(diǎn)23求圓錐曲線方程

求指定的圓錐曲線的方程是高考命題的重點(diǎn)，主要考查學(xué)生識圖、畫圖、數(shù)形結(jié)合、等

價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、邏輯推理、合理運(yùn)算及創(chuàng)新思維能力，解決好這類問題，除要求同學(xué)們

熟練掌握好圓錐曲線的定義、性質(zhì)外，命題人還常常將它與對稱問題、弦長問題、最值問題

等綜合在一起命制難度較大的題，解決這類問題常用定義法和待定系數(shù)法.

?難點(diǎn)磁場

1.（★★★★★）雙曲線--二=1SGN）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、尸2,p為雙曲線上一點(diǎn)，\0P\

4b~

V5,IPFI"|F2UPF2成等比數(shù)列，則戶=.

2.（****）如圖，設(shè)圓P滿足：①截y軸所得弦長為2；②被x軸分成兩段圓弧，其

弧長比為3：1,在滿足條件①、②的所有圓中，求圓心到直線/：x—2y=0的距離最小的圓

的方程.

?案例探究

［例1］某電廠冷卻塔的外形是如圖所示的雙曲線的一部分，繞其中軸（即雙曲線的虛

軸）旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A'是雙曲線的頂點(diǎn)，C、C'是冷卻塔上口直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，

B、B'是下底直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，已知A4'=14m,CC'=18m,88'=22m,塔高20m.

（1）建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程.

⑵求冷卻塔的容積（精確到10m;塔壁厚度不計(jì)，〃取3.14）.

命題意圖：本題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組的基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用

所學(xué)積分知識、思想和方法解決實(shí)際問題的能力，屬★★★★★級題目.

知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程；點(diǎn)在曲線匕點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程；積分法求體積.

錯解分析：建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是解決本題的關(guān)鍵，積分求容積是本題的重點(diǎn).

技巧與方法：本題第一問是待定系數(shù)法求曲線方程，第二問是積分法求體積.

解：如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy,使AA'在x軸上，AA'的中

點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,CC與BB'平行于x軸.

設(shè)雙曲線方程為「-答=1（。＞0力＞0）,則=7

a2b~2

又設(shè)8（n,yi）,C（9x2）因?yàn)辄c(diǎn)8、C在雙曲線上，所以有

丘_±1竺上_］

由題意，知乃一丁尸20,由以上三式得：yi=-12j2=8,Z?=741

22

故雙曲線方程為二-二=1.

4998

(2)山雙曲線方程，得，二;y2M9

223

設(shè)冷卻塔的容積為V(n?),則V=fxdy=7vf(-y+49)dy=^(-y+49y)P12

j-12J-1226

計(jì)算，得￡4.25X103(0?)

答：冷卻塔的容積為4.25X103m'.

［例2］過點(diǎn)(1,0)的直線/與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為變的橢圓C相

2

交于A、8兩點(diǎn)，直線尸gx過線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線

I對稱，試求直線/與橢圓C的方程.

命題意圖：本題利用對稱問題來考查用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計(jì)新穎，基礎(chǔ)

性強(qiáng)，屬★★★★★級題目.

知識依托：待定系數(shù)法求曲線方程，如何處理直線與圓錐曲線問題，對稱問題.

錯解分析：不能恰當(dāng)?shù)乩秒x心率設(shè)出方程是學(xué)生容易犯的錯誤.恰當(dāng)?shù)乩煤脤ΨQ問

題是解決好本題的關(guān)鍵.

技巧與方法：本題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將4、8兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓

錐曲線方程，兩式相減得關(guān)于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達(dá)定理.

解法一：由e=￡=，得—―7―=L從而a~=2b2,c=h.

a2a22

設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2Z>24（X|，力）,B（X2,〉2）在橢圓上.

則x12+2y12=2b2,X2+2y2=2b2,兩式相減得，（x/—X22）+2（j'i2—）,22）=0,

月一為.二七+々

-x22(乃+)，2)

設(shè)AB中點(diǎn)為(x(),yo),則kAB=~~~，又(向加)在直線產(chǎn)gx上，丫0=!即,于是一三~

2yo222yo

—1,%AB=-1,設(shè)I的方程為>,=—x+1.

右焦點(diǎn)S,0)關(guān)于/的對稱點(diǎn)設(shè)為(『，y'),

y'

=1

xf=i

則丁解得

xf+byf=\-b

2_=+

、2一2

OQ

由點(diǎn)(1/一切在橢圓上，得1+2(1一8)2二2/力2=。2二一.

168

???所求橢圓C的方程為—+—/=1,/的方程為產(chǎn)一X+1.

99"

解法二：由6二，二』2,得￡_-^―=1?，從而t/2=2/?2,c-Z?.

a2a22

設(shè)橢圓C的方程為『+2)?=2b2,/的方程為產(chǎn)火工一1),

.,2

將/的方程代入C的方程，得(1+2k2)?—4k2工+2〃2-2//=0,則%)+%2=-----，1+)，2=%(尤1

1+2k

2k

—1)+女(應(yīng)-1)=k(x]+42)-2攵二

l+2k2

直線，：y4、過”的中點(diǎn)'(胃

號)則高H?高，解得修0,或k=

-1.

若60,則/的方程