數(shù)學(xué)-專項9.8菱形的判定專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）-【】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題（帶答案）【蘇科版】

【拔尖特訓(xùn)】2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題9.8菱形的判定專項提升訓(xùn)練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，其中選擇8道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022春·福建三明·九年級統(tǒng)考期中）以下條件中能判定平行四邊形ABCD為菱形的是（

）A．AB⊥BC B．AB=CD C．AC⊥BD D．AC=BD【答案】C【分析】根據(jù)菱形的判定定理即可進行解答．【詳解】解：如圖：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；故選：C．【點睛】本題主要考查了菱形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四邊相等的四邊形是菱形．2．（2022春·云南楚雄·九年級統(tǒng)考期中）下列關(guān)于菱形的說法中正確的是（

）A．對角線互相垂直的四邊形是菱形 B．菱形的對角線互相垂直且平分C．菱形的對角線相等且互相平分 D．對角線互相平分的四邊形是菱形【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)及判定，逐項進行判斷即可．【詳解】解：A.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故A錯誤；B、C.菱形的對角線互相垂直且平分，故B正確，C錯誤；D.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故D錯誤．故選：B．

【點睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記菱形的對角線垂直且互相平分，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．3．（2022·江蘇無錫·?？级＃┫铝忻}中：（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；（3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（4）對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形，正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)平行形四邊形、矩形、菱形、正方形的判定分別得出各選項是否正確即可．【詳解】解：（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的判定得出，表述正確，符合題意；（2）對角線相等的平行四邊形是矩形；根據(jù)矩形的判定得出，表述正確，符合題意；（3）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)菱形的判定得出，表述正確，符合題意；（4）對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形；原表述錯誤，不符合題意．故選：C．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的定理．4．（2022春·廣東梅州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是菱形四邊的中點，連接EG，F(xiàn)H，且EG，F(xiàn)H交于點O，則圖中共有菱形（

）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】B【分析】由菱形的判定和選擇，圖中菱形有：四邊形CGOF，四邊形DGOH，四邊形AEOH均為菱形，四邊形BEOF，四邊形ABCD，共5個【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，∵E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD中四邊的中點，

∴BE=BF，∴四邊形BEOF為菱形，同理：四邊形CGOF，四邊形DGOH，四邊形AEOH均為菱形，∴圖中共有5個菱形，即：四邊形CGOF，四邊形DGOH，四邊形AEOH均為菱形，四邊形BEOF，四邊形ABCD，故選B．【點睛】本題考查了菱形的判定，解決本題的關(guān)鍵是掌握四邊相等的四邊形是菱形．5．（2022春·廣東梅州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，DE∥AC,DF∥A．四邊形AEDF是平行四邊形B．如果∠BAC=90°，那么四邊形C．如果AD分∠BAC，那么四邊形AEDF是菱形D．如果AD⊥BC且AB≠AC，那么四邊形AEDF是菱形【答案】D【分析】兩組對邊分別平行的平行四邊形是平行四邊形；有一個角是90°的平行四邊形是矩形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；四個角是直角且四個邊都相等的四邊形是正方形，據(jù)此逐個判斷即可．【詳解】A：∵DE∥∴四邊形AEDF是平行四邊形，故A選項正確；B：∵DE∥∴四邊形AEDF是平行四邊形，又∵∠BAC=90∴平行四邊形AEDF是矩形，故B選項正確；C：∵AD分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又∵DE∥

∴∠ADE=∠DAF,∴∠ADE=∠BAD，∴AE=ED,又∵四邊形AEDF是平行四邊形，∴四邊形AEDF是菱形，故C選項正確；D：如果AD⊥BC且AB=AC，則四邊形AEDF是菱形，故D選項錯誤；故選：D【點睛】本題考查了平行四邊形的判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理和正方形的判定定理等知識點，熟練掌握判定定理是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·福建三明·九年級統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB，CD交于點E，F(xiàn)，連結(jié)BF，交AC于點M，連結(jié)DE，BO．若∠BOC=60°，F(xiàn)O=FC，則下列結(jié)論：①AE=CF；②四邊形BFDE是菱形；③BF垂直平分線段OC；④BE=3AE．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)CD∥AB，則∠CAB=∠ACD，根據(jù)點O是AC的中點，證明△AOE?△COF，判斷①；根據(jù)矩形的性質(zhì)，得AB=CD，AB∥CD，根據(jù)AE=CF，證明四邊形BEDF是平行四邊形，根據(jù)∠BOC=60°，OA=OB，得∠OAB=∠OBA=30°；根據(jù)△AOE?△COF，得∠FCO=∠OAB=30°，等量代換，得∠BOF=90°，OB垂直平分線段EF，BE=BF，即可判斷②

；利用線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理，可判斷③；根據(jù)直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，則BE=2OE，根據(jù)△AOE?△COF，得AE=CF，OE=OF，OF=FC，等量代換，即可判斷④．【詳解】在矩形ABCD中，CD∥AB，∴∠CAB=∠ACD，∵點O是AC的中點∴AO=CO∵∠AOE=∠COF∴△AOE?△COF∴AE=CF，故①正確；在矩形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵AE=CF，∴BE=DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵∠BOC=60°，OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵△AOE?△COF，∴∠FCO=∠OAB=30°，OF=OE，∵FO=FC，∴∠FOC=30°，∴∠BOF=90°，∵OF=OE，∴OB垂直平分線段EF，∴BE=BF，∴平行四邊形BEDF是菱形．故②正確；∵OB=OC，∠BOC=60°，∴△BOC是等邊三角形，∴BO=CB，

∵FO=FC，∴FB垂直平分線段OC．故③正確；∵∠BOE=90°，∠OBE=30°，∴BE=2OE，∵△FOC?△EOA，∴AE=CF，OE=OF，∵OF=FC，∴AE=OE，∴BE=2AE．故④不正確．綜上所述，正確的有①②③．故選：C．【點睛】本題考查矩形，菱形，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形和全等三角形等知識，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)．7．（2022春·廣東茂名·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，O為AC的中點，過點O的直線EF⊥AC分別交DC于F，交AB于E，點G是AE的中點，且∠AOG=30°，OE=1，則下列結(jié)論：（1）DC=3OG；（2）OG=12BC；（3）四邊形AECF為菱形；（4）SA．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)條件，OG是直角ΔAOE斜邊上的中線，且△FOC≌△EOA，然后利用三角函數(shù)求得BC、AB以及OA、OC【詳解】解：∵EF⊥AC，G是AF的中點，∴AG=OG=GF，

∴∠OAF=∠AOG=30°，在Rt△ABC中，∠CAB=30°∴BC=12AC=OC，設(shè)BC=a，AC=2aAE=233a，∴CD=AB=3OG，故①正確；OG=33a≠∵∠FCO=∠EAO，∠CFO=∠AEO，OA=OC，∴△FOC≌△EOA(AAS∴OE=OF，又∵AO=OC，EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形，故③正確；∵S△AOE=∴S△AOE=綜上所述正確的有3個．故選：B．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)以及菱形的判定，正確理解圖形中∠CAB=30°，從而確定BC、AB以及OA、OC之間的關(guān)系是關(guān)鍵．8．（2022春·四川成都·九年級四川省成都市七中育才學(xué)校校考期中）如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且OA=OC，OB=OD，下列說法錯誤的是（

）A．若AC⊥BD，四邊形ABCD是菱形B．若AC=BD，四邊形ABCD是矩形C．若AC⊥BD且AC=BD，四邊形ABCD是正方形D．若∠ABC=90°，四邊形ABCD是正方形【答案】D

【分析】由平行四邊形的判定、矩形的判定、菱形的判定以及正方形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【詳解】解：∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，A、若AC⊥BD，則平行四邊形ABCD是菱形，故選項A不符合題意；B、若AC=BD，則平行四邊形ABCD是矩形，故選項C不符合題意；C、若AC⊥BD且AC=BD，則平行四邊形ABCD是正方形，故選項C不符合題意；D、若∠ABC=90°，則平行四邊形ABCD是矩形，故選項D符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，熟練掌握各四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，每小題2分，共16分）請把答案直接填寫在橫線上9．（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你加一個條件________，使?ABCD是菱形．【答案】AB=BC（答案不唯一）．【分析】根據(jù)菱形的判定方法即可得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當AB=BC或AC⊥BD或AC平分∠DAB時，四邊形ABCD為菱形．故答案為：AB=BC（答案不唯一）．【點睛】本題考查了菱形的判定，熟記菱形的判定方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，從①AB=AD，②AC=BD，③∠ABC=∠ADC中選擇一個作為條件，補充后使四邊形ABCD成為菱形，則其選擇是___（限填序號）．

【答案】①【分析】根據(jù)菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)即可得．【詳解】解：①AB=AD時，平行四邊形ABCD是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）；②AC=BD時，平行四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；③由平行四邊形的性質(zhì)可知，∠ABC=∠ADC，則不能作為構(gòu)成菱形的條件；故答案為：①．【點睛】本題考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定方法是解題關(guān)鍵．11．（2022秋·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，兩張等寬的矩形紙條交叉疊放在一起，若重合部分構(gòu)成的四邊形ABCD中，AB=5，BD=6，則四邊形ABCD的面積為___________．【答案】24【分析】過點A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，由紙張的寬度相等得到AE=AF，再根據(jù)平行四邊形等面積法證明AB=AD，進而證明四邊形ABCD是菱形，再根據(jù)菱形的面積求解即可．【詳解】解：過點A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，連接AC，BD交于點O，如圖所示：

∵兩條紙條寬度相同，∴AE=AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵S?ABCD=BC?AF=CD?AE，又∵AE=AF，∴BC=CD，∴四邊形ABCD是菱形，∴BO=DO=3，AC⊥BD，∴CO=AO=A∴菱形ABCD的面積為：12故答案為：24．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形性質(zhì)以及勾股定理等知識，證得四邊形ABCD為菱形是解題的關(guān)鍵．12．（2022秋·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，點D是BC的中點，點E、F分別在線段AD及其延長線上，且DE=DF，給出下列條件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC：從中選擇一個條件使四邊形BECF是菱形，你認為這個條件是_______（只填寫序號）．【答案】②【分析】根據(jù)點D是BC的中點，點E、F分別在線段AD及其延長線上，且DE=DF，即可證明四邊形BECF是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的判定即可作出判斷．【詳解】解：∵點D是BC的中點，∴BD=CD，又∵DE=DF，∴四邊形BECF是平行四邊形，

①BE⊥EC時，四邊形BECF是矩形，不一定是菱形；②AB=AC時，∵點D是BC的中點，∴AD⊥BC，∴AF是BC的垂直平分線，∴BE=CE，∴平行四邊形BECF是菱形；③四邊形BECF是平行四邊形，則BF//故答案為：②．【點睛】本題考查了菱形的判定，平行四邊形的判定，垂直平分線的性質(zhì)．菱形的判定常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．理解和掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵．13．（2022秋·江蘇鹽城·八年級?？计谥校┤鐖D，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點．若四邊形EFGH為菱形，則對角線AC、BD應(yīng)滿足條件______．【答案】AC=BD【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)定理分析即可求解．【詳解】因為四邊形EFGH為菱形，所以EH=HG，∵E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點．∴EH=1∴AC=BD．故答案為：AC=BD．【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)、中位線性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2022秋·江蘇揚州·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，P、Q、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點，當四邊形ABCD滿足_______時（填寫一個條件），PQ⊥MN．

【答案】AB=CD【分析】根三角形中位線的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)即可解答；【詳解】解：∵P、Q、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點，∴PN是△ACD的中位線，PN=12CD，MQ是△BCD的中位線，MQ=12∴MQ=PN=12CD同理可得：NQ=PM=12AB當AB=CD時，MQ=PN=NQ=PM，四邊形MQNP是菱形，∵菱形對角線垂直平分，∴PQ⊥MN，故答案為：AB=CD；【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2019秋·江蘇無錫·八年級無錫市江南中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若從三個條件：①AB=AC；②AB=BC；③AC=BC中，選擇一個作為已知條件，則能使四邊形ADCE為菱形的是__（填序號）．【答案】②【分析】根據(jù)②作條件，先證明四邊形ADCE是平行四邊形，再利用鄰邊相等，得到四邊形ADCE是菱形.【詳解】解：當BA=BC時，四邊形ADCE是菱形．理由：∵AE∥CD，CE∥AD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA，∵AD，CD分別平分∠BAC和∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∴四邊形ADCE是菱形．【點睛】本題考查的知識點是菱形的證明，解題關(guān)鍵是熟記菱形的性質(zhì).16．（2022秋·江蘇揚州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點．下列結(jié)論正確的是__________．（填序號）①EG=EF；②△EFG≌△GBE；③EA平分∠GEF；④FB平分∠EFG；⑤四邊形BEFG是菱形．【答案】①②③【分析】由中點的性質(zhì)可得出EF∥CD，且EF=12CD=BG，結(jié)合平行即可證得②結(jié)論成立，由BD=2AD=2BC得出BO=BC，即而得出BE⊥AC，由中線的性質(zhì)可知GP∥BE，且GP=12BE，AO=2EO，通過證【詳解】解：令GF和AC的交點為點P，如圖∵E、F分別是OC、OD的中點，∴EF∥CD，且EF=1

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，且AB=CD，∴AB∥EF∴∠FEG=∠BGE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∵點G為AB的中點，∴BG=1在ΔEFG和ΔGBE中，∴Δ∴∠EGF=∠GEB，F(xiàn)E=BG，∴GF∥BE（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），∵BD=2BC，點O為平行四邊形對角線交點，∴BO=1∵E為OC中點，∴BE⊥OC，∴∠BEA=90°，∵GF∥BE，∴∠APG=∠BEA=90°，∴GP⊥AC，∵G為AB中點，∴GE=1∵GE=EF，GP⊥AC，∴EA平分∠GEF即③正確；另外，無法判斷FB平分∠EFG和四邊形BEFG是菱形成立，故④⑤錯誤；綜上所述，正確的有①②③，故答案為：①②③．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理、等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是利用中位線，尋找等量關(guān)系，借助于證明全等三角形找到邊角相等．

三、解答題（本大題共8小題，共68分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2019·江蘇泰州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點E，CF⊥AB于點F，且AE＝CF，求證：?ABCD是菱形．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)AAS證明△ABE≌△CBF，進而利用全等三角形的性質(zhì)得出BC＝BA，進而利用菱形的判定證明即可．【詳解】證明：∵AE⊥BC于點E，CF⊥AB于點F，∴∠CFB＝∠AEB＝90°，在△ABE與△CBF中{∠B∴△ABE≌△CBF（AAS），∴BC＝BA∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴?ABCD是菱形．【點睛】此題考查菱形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明△ABE≌△CBF，進而利用全等三角形的性質(zhì)得出BC＝BA．18．（2019·江蘇蘇州·校聯(lián)考中考模擬）已知平行四邊形ABCD中，如圖，對角線AC和BD相交于點O，AC=10，BD=8．（1）若AC⊥BD，試求四邊形ABCD的面積；（2）若AC與BD的夾角∠AOD=60°，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)S菱形ABCD＝40；(2)S四ABCD=203【分析】（1）先證平行四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的面積公式即可求解；

（2）過點A分別作AE⊥BD，垂足為E，根據(jù)三角函數(shù)即可求得AE的長，從而求得△OAD的面積，四邊形ABCD的面積是三角形OAD的面積的4倍，據(jù)此即可求解．【詳解】解：(1)∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD為菱形，∴S菱形ABCD＝12(2)過點A分別作AE⊥BD，垂足為E，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AO＝CO＝12AC＝5，BO＝DO＝1在Rt△AOE中，sin∠AOE＝AEAO∴AE＝AO?sin∠AOE＝AO×sin60°＝53∴S四ABCD＝12OD?AE×4＝12×4×53故答案為(1)S菱形ABCD＝40；(2)S四ABCD=203.【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，正確理解四邊形ABCD的面積是△OAD的面積的4倍是解題的關(guān)鍵．19．（2018·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝DC，E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BC，BD，AC的中點．（1）證明：EG＝EH；（2）證明：四邊形EHFG是菱形．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【分析】（1）利用EG是△ABD的中位線，EH是△ADC的中位線，則有EG＝12AB，EH＝1

（2）首先運用三角形中位線定理可得到EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，F(xiàn)E∥DC，從而再根據(jù)平行于同一條直線的兩直線平行得到GF∥EH，GE∥FH，可得到GFHE是平行四邊形，再運用三角形中位線定理證明鄰邊相等，從而證明它是菱形．【詳解】解：證明：（1）∵四邊形ABCD中，點F、E、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，∴EG是△ABD的中位線，EH是△ADC的中位線，∴EG＝12AB，EH＝1∵AB＝CD，∴EG＝EH；（2）∵四邊形ABCD中，點F、E、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，∴EG∥AB，HF∥AB，EH∥CD，F(xiàn)E∥DC，∴GF∥EH，GE∥FH（平行于同一條直線的兩直線平行）；∴四邊形GFHE是平行四邊形，∵四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是BC、AD、BD、AC的中點，∴EG是△ABD的中位線，GF是△BCD的中位線，∴GE＝12AB，GF＝1∵AB＝CD，∴GE＝GF，∴四邊形EHFG是菱形．【點睛】此題主要考查了三角形中位線定理和菱形的判定方法，利用三角形中位線定理解答是關(guān)鍵．20．（2021秋·江蘇南通·八年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D、E分別是邊BC、AC的中點，過點A作AF∥BC交DE的延長線于F點，連接AD、CF．（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形圖ADCF是菱形？為什么？【答案】（1）見解析；（2）當△

ABC是直角三角形，且∠BAC=90°時，四邊形ADCF是菱形，理由見解析．【分析】（1）首先利用平行四邊形的判定方法得出四邊形ABDF是平行四邊形，進而得出AF=DC，利用一組對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形，進而得出答案；（2）利用直角三角形的性質(zhì)結(jié)合菱形的判定方法得出即可．【詳解】（1）證明：∵點D、E分別是邊BC、AC的中點，∴DE∥AB，BD=CD，∵AF∥BC，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF=BD，則AF=DC，∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形；（2）解：當△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°時，四邊形ADCF是菱形，理由：∵△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°又∵點D是邊BC的中點，∴AD=DC，∴平行四邊形ADCF是菱形．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定，熟練應(yīng)用平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．（2022·江蘇鹽城·校考三模）如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜邊AB上的中線，點E為射線BC上一點，將△BDE沿DE折疊，點B的對應(yīng)點為點(1)若DF⊥BC，垂足為G，點F與點D在直線CE的異側(cè)，連接CF．如圖2，判斷四邊形ADFC的形狀，并說明理由；

(2)若DF⊥AB，AC=2，則DE的長度為____________．【答案】(1)四邊形ADFC為菱形，理由見解析；(2)6+【分析】（1）根據(jù)菱形的判定定理證明即可；（2）證明∠FDE=∠BDE=45°，作EH⊥BD交于點H，設(shè)DH=EH=m，則BH=2?m，求出m=3+1，進一步可求出【詳解】（1）解：四邊形ADFC為菱形，理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∵CD是斜邊AB上的中線，∴AC=AD=DB=CD，由折疊的性質(zhì)可得：DB=DF，∴AC=DF，∵∠ACB=∠DGE=90°，∴AC∥∴四邊形ADFC為平行四邊形，∵AC=AD=DF，∴四邊形ADFC為菱形．（2）解：∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∵CD是斜邊AB上的中線，∴AC=AD=DB=CD=2，∵DF⊥AB，∴∠FDE=∠BDE=45°，作EH⊥BD交于點H，

設(shè)DH=EH=m，則BH=2?m，∵tan30°=∴EH=3∵DH=EH=m，∴m=332?m∴DE=D故答案為：6【點睛】本題考查菱形的判定定理，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，斜邊上的中線等于斜邊的一半，正切值，勾股定理，折疊的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上相關(guān)知識點，并能夠綜合運用．22．（2020秋·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設(shè)點D、E運動的時間是t秒（0<t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接(1)求證：AE=DF；(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由；(3)當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)t=10；(3)當t=152或12時，△DEF

【分析】（1）由題意得∠BCA=30°，CD=4tcm，AE=2tcm，再由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得DF=12DC=2tcm，即可得到AE=DF（2）由AE=AD，得四邊形AEFD為菱形，得2t=60-4t，進而求得t的值；（3）分∠EDF=90°、∠DEF=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列出算式，計算即可．【詳解】（1）證明：由題意可知CD=4tcm，AE=2tcm，∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠C=30°，∴DF=12DC=2t∵AE=2tcm，DF=2tcm，∴AE=DF．（2）解：∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴AE∥DF．∵AE=DF，AE∥DF，∴四邊形AEFD為平行四邊形，∴要使平行四邊形AEFD為菱形，則需AE=AD，即2t=60-4t，解得t=10，∴當t=10時，四邊形AEFD為菱形，故答案為：10．（3）當∠EDF=90°時，如圖①，∵DF⊥BC，AB⊥BC，∴AE∥DF，

∴四邊形DFBE為矩形．∴∠AED=90°=∠DEB,∠ADE=30°,∴AD=2AE，即60-4t=2t×2，解得，t=152當∠DEF=90°時，如圖②，∵AD∥EF，∴DE⊥AC，∴∠AED=30°．∴AE=2AD，即2t=2×（60-4t），解得，t=12，綜上所述，當t=152或12時，△DEF【點睛】本題考查了直角三角形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握直角三角形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點E是邊AC的中點，∠BAC的平分線AD交BC于點D，作AF∥BC，連接DE并延長交AF于點F，連接(1)求證：△AEF≌△CED；(2)當AB與AC滿足什么關(guān)系時，四邊形ADCF是菱形？并說明理由．【答案】(1)見解析

(2)當AB=12AC【分析】（1）由全等三角形的判定定理AAS證得△AEF≌△CED；（2）根據(jù)（1）中的全等三角形的性質(zhì)推出四邊形ADCF是平行四邊形，再證明△AED≌△ABD，推出DF⊥AC，即可證得結(jié)論．（1）證明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE，∵點E是邊AC的中點，∴AE＝CE，在△AFE和△CDE中，∠AFE=∠CDE∠AEF=∠CED∴△AEF≌△CED（AAS）；（2）解：當AB=12AC理由如下：由（1）知，△AEF≌△CED，∴AF＝CD，∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠EAD＝∠BAD．∵AE=1∴AE＝AB，在△AED和△ABD中，AE=AB∠EAD=∠BAD∴△AED≌△ABD（SAS），

∴∠AED＝∠B＝90°，即DF⊥AC．∴四邊形ADCF是菱形【點睛】本題考查菱形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握對角線互相垂直的平行四邊形是菱形是解決問題的關(guān)鍵．24．（2022秋·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）在矩形ABCD的CD邊上取一點E，將△BCE沿BE翻折，得到△BFE．(1)點F恰好在AD上；①如圖1，若∠EBC＝15°，則∠DFE＝；②如圖2，過點F作FO∥CD交BE于點O，求證：四邊形FOCE為菱形．(2)如圖3，E從C到D的運動過程中．①∠ABF的角平分線交AD于點N，若BC=2AB，AB=2AN時，請寫出DE與EC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若AB＝4，BC＝7，∠ABF的角平分線交EF的延長線于點M，E從C到D的過程中，直接寫出M運動的路徑長．【答案】