球面三角形的面積與歐拉公式

§6球面三角形的面積與歐拉公式問題提出如何計算球面三角形的面積？球面三角形面積與平面三角形面積有什么區(qū)別？如何利用球面三角形面積公式證明球面多面體的歐拉公式？如何利用球面知識證明簡單多面體的歐拉公式？6.1球面二角形與三角形的面積我們知道，若球面半徑為R，則球面面積為SKIPIF1<0，現在考慮球面上的一個小區(qū)域：球面上由兩個大圓的半周所圍成的較小部分叫做一個球面二角形。如圖所示，大圓半周SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所圍成的陰影部分就是一個球面二角形。顯然P和SKIPIF1<0是對徑點，大圓半周SKIPIF1<0和SKIPIF1<0稱為球面二角形的邊。球面角SKIPIF1<0稱為球面二角形的夾角。如果大圓弧SKIPIF1<0以P和SKIPIF1<0為極點，SKIPIF1<0所對的球心角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。計算地球上一個時區(qū)所占有的面積。解 如圖所示，設O為地心，N、S為北極點和南極點，A、B為赤道上兩點，且SKIPIF1<0，地球半徑為R=6400km，根據地理知識，地球共分為24個時區(qū)，一個時區(qū)跨越地球表面SKIPIF1<0，所以由經線NAS與經線NBS圍成的二角形就是一個時區(qū)，它所占面積為地球表面積的SKIPIF1<0，即 SKIPIF1<0如何計算一般球面二角形的面積？二角形的夾角SKIPIF1<0，就是平面PASKIPIF1<0與PBSKIPIF1<0所夾的二面角的平面角；這個二角形可以看成半個大圓SKIPIF1<0繞直徑PSKIPIF1<0旋轉SKIPIF1<0角所生成；球面二角形的面積與其夾角成比例。設這個二角形得面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0抽象概括球面上，夾角為SKIPIF1<0的二角形的面積為SKIPIF1<0。如何計算球面三角形的面積？設SKIPIF1<0表示球面三角形ABC的面積，對球面三角形ABC，分別畫出三條邊所在的大圓。設A、B、C的對徑點分別是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0球面三角形SKIPIF1<0+球面三角形SKIPIF1<0+球面三角形SKIPIF1<0+球面三角形SKIPIF1<0構成半個球面，所以SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=SKIPIF1<0又因為 SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0抽象概括定理6.1 球面三角形的面積等于其內角和減去SKIPIF1<0。球面三角形的三個內角和大于SKIPIF1<0。即球面三角形ABC的面積SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是球面三角形ABC的內角。計算以北京、上海、重慶為頂點的球面三角形的邊長和的面積。解 根據地理知識，北京位于北緯39°56′、東經116°20′，上海位于北緯31°14′、東經121°29′，重慶位于北緯29°30′、東經106°30′的經緯度，地球半徑為R=6400km，如圖所示，設N為北極點，B為北京，S為上海，C為重慶，在球面三角形NBC中，SKIPIF1<0弧度，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解球面三角形NBC，有SKIPIF1<0，即 SKIPIF1<0，同理 SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解球面三角形BSC，有SKIPIF1<0，即 SKIPIF1<0弧度，同理 SKIPIF1<0弧度，SKIPIF1<0弧度，所以球面三角形BSC的面積為SKIPIF1<0。練習證明：半徑為R的球面上，夾角為SKIPIF1<0的二角形的面積為SKIPIF1<0。證明：半徑為R的球面上，球面三角形ABC的面積SKIPIF1<0。已知球面二角形的面積是球面面積的SKIPIF1<0，求其夾角。已知球面三角形的邊角關系如下，求它的面積（前2組為單位球面，后兩組球面半徑為2）：已知SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0查閱資料，比較例2結果與實際數據的差異。已知球面三角形ABC的三個內角之和為SKIPIF1<0，求這個球面三角形的面積與球面面積的比。用4個全等的球面三角形覆蓋整個球面，如何構造？ 6.2球面上的歐拉公式設S是一個球面，我們把球面分割成若干個球面三角形，要求球面上的每一點至少包含在某個球面三角形的內部或邊上。同時，任何兩個球面三角形或者沒有公共點，或者有一個公共點的頂點，或者有一條公共邊，三者比居其一，這樣構成的球面上的網絡，叫做球面S上的一個三角剖分，記為SKIPIF1<0。圖中所示的兩個三角形的位置關系在球面的三角剖分中都是不允許出現的。設SKIPIF1<0是球面S的一個三角剖分，SKIPIF1<0的頂點數記為V，三角形邊數記為E，三角形的個數記為F，那么V、E、F滿足什么關系？例3 觀察下面的球面三角剖分，記錄它們的頂點數V，三角形邊數E和三角形個數F，說明它們滿足什么關系？解 在左圖中，頂點為A、B、C、D，頂點數V=4，三角形的邊為AB、AC、AD、BC、BD、CD，邊數E=6，三角形為ABC、ABD、ACD、BCD，三角形個數F=4，所以 SKIPIF1<0；在中圖中，頂點為A、B、C、D、E、F，頂點數V=6，三角形的邊為AB、AC、AD、AE，FB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED，邊數E=12，三角形為ABC、ABE、ACD、ADE，FBC、FBE、FCD、FDE，三角形個數F=8，所以 SKIPIF1<0；在右圖中，頂點為A、B、C、D、E、F、G、H，頂點數V=8，三角形的邊為AB、AC、AH、HD、AE、CH、HE，FG、GB、FC、FD、FE、BC、BE、CD、ED、CG、GE，邊數E=18，三角形為ABC、ABE、ACH、CHD、AHE、HED，FGC、GCB、FGE、GEB、FCD、FDE，三角形個數F=12，所以 SKIPIF1<0。抽象概括球面上的三角剖分SKIPIF1<0滿足下面的公式：SKIPIF1<0。其中V、E、F分別是三角剖分SKIPIF1<0的頂點數，三角形邊數和三角形個數。我們把這個公式叫做球面的歐拉公式。這個公式與球面的大小，三角剖分的方式無關。即不管你在怎樣的球面上，如何進行三角剖分，雖然V、E、F都發(fā)生了很大的變化，但是它們永遠滿足歐拉公式。因此，歐拉公式一定反映出球面本身固有的某種性質。在另一個專題《歐拉公式與閉曲面的分類》中，將對這個問題進行詳細討論。如何利用球面三角形面積公式證明球面多面體的歐拉公式？考慮E和F的關系：球面上共有F個三角形，每個三角形有三條邊，每條邊屬于兩個三角形，所以SKIPIF1<0即 SKIPIF1<0。把F個三角形編號，記為SKIPIF1<0。對于第SKIPIF1<0個三角形，設它的面積為SKIPIF1<0，三角形的內角分別為SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0。因此，整個球面的面積SKIPIF1<0因為三角剖分SKIPIF1<0共有V個頂點，而在每個頂點處，以它為頂點的所有球面角之和為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0。根據（1）、（2）、（3）式，得SKIPIF1<0。這個公式用歐拉的名字命名，是因為在1750年歐拉首次發(fā)現了凸多面體的歐拉公式。由若干個平面多邊形所圍成的封閉的立體，稱為多面體。如果一個多面體在它的每一個面所決定的平面的同一側，就稱為凸多面體。如圖所示，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是凸多面體，而（6）、（7）不是凸多面體。用V表示凸多面體的頂點數，E表示凸多面體的棱數，F表示凸多面體的面多面體的面是指可以經過連續(xù)變換變成圓盤的多邊形，比如三角形、四邊形都可以做多面體的面，而正方形中挖掉一個小正方形后剩下的圖形就不是凸多面體的面。多面體的面是指可以經過連續(xù)變換變成圓盤的多邊形，比如三角形、四邊形都可以做多面體的面，而正方形中挖掉一個小正方形后剩下的圖形就不是凸多面體的面。SKIPIF1<0。思考交流觀察上面的圖形，寫出它們的頂點數V、棱數E和面數F，并驗證歐拉公式。正如上面的（6）中看到的一樣，后來又可以把凸多面體的歐拉公式推廣到簡單多面體。當把多面體想象成由橡皮薄膜圍成的，一充氣這個橡皮薄膜就可以變成一個球面，這樣的多面體就是簡單多面體。上圖中的（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都是簡單多面體，而（7）不是簡單多面體。如何利用球面知識證明簡單多面體的歐拉公式？觀察下面的圖形，寫出凸多面體和它對應的球面三角剖分的頂點數V、棱數E和面數F，并驗證凸多面體的歐拉公式和它對應的球面三角剖分的歐拉公式。解 在上圖中，凸多面體的頂點數V=4，棱數E=6，面數F=4它對應的球面三角剖分的頂點數V=4，棱數E=6，面數F=4，凸多面體的歐拉公式是SKIPIF1<0，它對應的球面三角剖分的歐拉公式SKIPIF1<0；在中圖中，凸多面體的頂點數V=6，棱數E=12，面數F=8它對應的球面三角剖分的頂點數V=6，棱數E=12，面數F=8，凸多面體的歐拉公式是SKIPIF1<0，它對應的球面三角剖分的歐拉公式SKIPIF1<0；在下圖中，凸多面體的頂點數V=8，棱數E=18，面數F=12它對應的球面三角剖分的頂點數V=8，棱數E=18，面數F=12，凸多面體的歐拉公式是SKIPIF1<0，它對應的球面三角剖分的歐拉公式SKIPIF1<0；下面我們給出簡單多面體的歐拉公式的證明思路。不失一般性，我們不妨假設簡單多面體P的頂點都在同一個單位球面S上。如果A、B是簡單多面體上兩個頂點，且連結A、B的線段是多面體P的一條棱，過A、B作球面S的大圓劣弧，這樣就得到一個覆蓋整個球面的球面多邊形SKIPIF1<0。在這個變化過程中，多面體P和它對應的球面多邊形SKIPIF1<0的頂點數V、棱數（邊數）E和面數F都是一樣的。在球面多邊形SKIPIF1<0中連接頂點使得它成為球面S的一個三角剖分SKIPIF1<0