浙教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)舉一反三系列 專(zhuān)題6.5 反比例函數(shù)全章七類(lèi)必考?jí)狠S題（教師版）

專(zhuān)題6.5反比例函數(shù)全章七類(lèi)必考?jí)狠S題【浙教版】必考點(diǎn)1必考點(diǎn)1反比例函數(shù)k的幾何意義1．（2022秋·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）函數(shù)y=4x和y=1x在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點(diǎn)P是y=4x的圖象上一動(dòng)點(diǎn)PC⊥x軸于點(diǎn)C，交y=1x的圖象于點(diǎn)A，①△ODB與△OCA的面積相等；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積大小不會(huì)發(fā)生變化；④CA=1其中所有正確結(jié)論有（

）個(gè)．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由于A、B是反比函數(shù)y=1x上的點(diǎn)，可得出S△OBD=S△OAC=12故①正確；當(dāng)P【詳解】解：∵A、B是反比函數(shù)y=1S△OBD∵由圖的直觀性可知，P點(diǎn)至上而下運(yùn)動(dòng)時(shí)，PB在逐漸增大，而PA在逐漸減小，只有當(dāng)P的橫縱坐標(biāo)相等時(shí)PA＝∵P是y=4∴矩形PDOC的面積為4，∴S四邊形連接OP，

∴S△POC∴AC=1∴PAAC∴AC=1綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，熟知反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義是解答此題的關(guān)鍵．2．（2022秋·湖北十堰·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，D，E分別是AB，OA中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D的雙曲線y=kxk>0，x>0與BC交于點(diǎn)G．連接DC，F(xiàn)在DC上，且DF:FC=2:1A．8 B．16 C．24 D．32【答案】A【分析】設(shè)矩形OABC中OA=2a，AB=2b，然后表示出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，證明四邊形OCPQ是矩形，證明△CFP∽△CDB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出CP=2a3，F(xiàn)P=b3，根據(jù)【詳解】解：設(shè)矩形OABC中OA=2a，∵D、E分別是AB，∴點(diǎn)D(b，過(guò)點(diǎn)F作FP⊥BC于點(diǎn)P，延長(zhǎng)PF交OA于點(diǎn)Q，如圖所示：∵四邊形OABC是矩形，∴∠QOC=∠OCP=∠CPQ=90°，∴四邊形OCPQ是矩形，∴OQ=PC，∵FP⊥BC、AB⊥BC，∴FP∥∴△CFP∽△CDB，∴CPCB即CP2a可得：CP=2a則EQ=EO?OQ=a?2a3=∵△DEF的面積為4，∴S梯形即12可得ab=4，則k=2ab=8，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義及相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)及三角形的面積、坐標(biāo)與圖形，利用相似三角形的判定與性質(zhì)表示FP、CP是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·貴州銅仁·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A1,A2,A3,?A2022在x軸上，且OA1=A1A2=A2A【答案】1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)上的點(diǎn)向x軸、y軸引垂線形成的矩形面積等于反比例函數(shù)的k，則有SΔ【詳解】解：根據(jù)題意可知SΔ∵OA設(shè)圖中陰影部分的面積從左向右依次為S則S1∵OA∴S2:S∴S2∴第n的陰影部分的面積是：1n∴圖中從左到右第2022個(gè)陰影部分的面積為：12022故答案為：12022【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵要熟練掌握反比例函數(shù)上的點(diǎn)向x軸、y軸引垂線形成的矩形面積等于反比例函數(shù)的k．4．（2022春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABO的直角頂點(diǎn)A在第二象限，以AB為邊在AB的左側(cè)作菱形ABCD，滿足BC∥x軸，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD交AD于點(diǎn)E，AE=12DE，反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，與BC邊交于點(diǎn)F，分別連接EF，OE，OF【答案】?【分析】延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)H，先證明△ABE?△OAH(AAS)，由AE=12DE，及四邊形ABCD是菱形，AB=AD；在直角三角形ABE中，BE:AE:AB=5:12:13，得出BE:EM=BE:OH=5:12，F(xiàn)N:EM=7:12；再根據(jù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)F和E，得k=xE?y【詳解】解：延長(zhǎng)DA交y軸于點(diǎn)H，在△ABE,△OAH中，∵AB=OA,∠AEB=∠OHA=90°，根據(jù)∠EAB+∠HAO=∠HAO+∠HOA，∴∠EAB=∠HOA，∴△ABE?△OAH(AAS)，∴OH=AE；由AE=12DE，∴AD:AE=12:13，又四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD；在直角三角形ABE中，BE:AE:AB=5:12:13，∴BE:EM=BE:OH=5:12，F(xiàn)N:EM=7:12；又反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)F∵k=x設(shè)E(7m,12n)，∴S解得：mn=?1∴k=12m?7n=?28故答案為：?28【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)，三角形全等的判定及性質(zhì)、菱形，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)k的幾何意義．5．（2022秋·山東濱州·九年級(jí)濱州市濱城區(qū)第三中學(xué)?？计谀┤鐖D，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，B在y軸上，頂點(diǎn)A在y=?2x上，頂點(diǎn)C在y=9【答案】11【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，因?yàn)樗倪呅蜲ABC是平行四邊形，可證得△AEO≌△CDBAAS，△AEB≌△CDOAAS，即S△AEO=S【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA=BC，∵AE⊥y，∴∠AEO=∠CDB=90°，∴△AEO≌△CDBAAS∴S△AEO同理可得：△AEB≌△CDOAAS，S∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=?2∴S∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=9∴S∴平行四邊形OABC的面積為：1×2+故答案為：11．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是126．（2022春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)M在函數(shù)y=5x（x＞0）的圖像上，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y軸的平行線交函數(shù)y=2x（x＞0）的圖像于點(diǎn)B、C，連接OB、OC【答案】2.1【分析】延長(zhǎng)MB、MC，分別交y軸、x軸于點(diǎn)E、D，根據(jù)MB∥x軸，MC∥y軸，得到MB⊥y軸，MC⊥x軸，得到∠MEO=∠MDO=90°，根據(jù)∠EOD=90°，推出四邊形EODM是矩形，設(shè)M(x,5x)，推出B(25x,5x)【詳解】延長(zhǎng)MB、MC，分別交y軸、x軸于點(diǎn)E、D，∵M(jìn)B∥x軸，MC∥y軸，∴MB⊥y軸，MC⊥x軸，∴∠MEO=∠MDO=90°，∵∠EOD=90°，∴四邊形EODM是矩形，設(shè)M(x,5則B(25x,∴S=5?=3?=2.1．故答案為：2.1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，k的幾何意義．7．（2022春·四川樂(lè)山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A、B分別在反比例函數(shù)y1=k1x(x>0)和y2(1)如圖①，若AB⊥x軸，且|AP|=2|PB|，k1+k2=1(2)如圖②，若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，且△OAB的面積為2．求k1【答案】(1)k1=2，(2)k1【分析】（1）連接OA、OB，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義以及|AP|=2|PB|得到SΔAOP=2SΔBOP，即k1+2k2=0①，由（2）作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，則SΔAOM=12k1，SΔBON【詳解】（1）解：如圖①，連接OA、OB，∵AB⊥x軸，∴SΔAOP∵|AP|=2|PB|，∴SΔAOP∴k1∵k1①?②得，k2∴k（2）如圖②，作AM⊥x軸于M，BN⊥x軸于N，則SΔAOM=∵點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，且ΔOAB的面積為2∴S在ΔAPM和Δ∠APM=∠BPN∠AMP=∠BNP=90°∴Δ∴S∴12整理得k1【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．必考點(diǎn)2必考點(diǎn)2反比例函數(shù)與x=a或y=a1．（2022秋·山東淄博·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB邊AB平行于y軸，函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，交邊OA于點(diǎn)C，且OC=2AC，連結(jié)BC．若△OBC的面積為5，則kA．4 B．6 C．8 D．12【答案】D【分析】連接BC，過(guò)C作CE∥AB，交x軸于E，延長(zhǎng)AB與x軸交于點(diǎn)D，得到S△OCE=S△OBD=12【詳解】解：連接BC，過(guò)C作CE∥AB，交x軸于E，延長(zhǎng)AB與x軸交于點(diǎn)∵AB∥∴∠ADO=90°，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過(guò)OA于點(diǎn)C∴S△COE∵CE∥∴△OCE～△OAD，∴S∴9S∴9×1∴k=12，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=kx圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值k．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是2．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)B在x軸上，對(duì)角線BD平行于y軸，反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，與CD邊交于點(diǎn)H，若DH=2CH，菱形ABCDA．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BD,HN⊥AC，垂足為M、N，可設(shè)D（a,b），先通過(guò)菱形的面積和DH=2CH，設(shè)出點(diǎn)D，點(diǎn)H的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)y=k【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BD,HN⊥AC，垂足為M、N，可設(shè)D（a,b）．∵菱形ABCD的面積為6，BD=b．∴S菱形ABCD=12AC?BD=6,則AC=12b∴PC=12∵對(duì)角線BD平行于y軸，HM⊥BD，HN⊥AC∴MH//∵DH=2CH∴PN=23PC=23?6又∵D（a,b）∴H（a+4b,b?將D（a,b），H（a+4b,b=解得k=8故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象點(diǎn)的特點(diǎn)，菱形的性質(zhì)和面積．通過(guò)菱形面積確定點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·湖南株洲·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，直線y=2x+6與反比例函數(shù)y=kxk>0的圖像交于點(diǎn)A1,m，與x軸交于點(diǎn)B，平行于x軸的直線y=n0<n<6交反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)M，交AB(1)求m的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，△BMN的面積最大？最大面積是多少？【答案】(1)m=8，y=(2)n=3，S【分析】（1）將點(diǎn)A1,m代入直線y=2x+6即可求得m（2）由y=n求得M、N的坐標(biāo)，進(jìn)而求得△BMN面積的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.【詳解】（1）解：∵直線y=2x+6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A1,m∴m=2×1+6=8，∴A1,8∵反比例函數(shù)y=kxk>0∴k=8，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=8（2）解：由題意可知，函數(shù)y=8x中，當(dāng)y=n函數(shù)y=2x+6中，當(dāng)y=n時(shí)，x=∴點(diǎn)M，N的坐標(biāo)為M8n,n∵0<n<6，即直線y=n0<n<6在點(diǎn)A∴MN=8∴=?∴∴n=3時(shí)，△BMN的面積最大，最大值為254【點(diǎn)睛】題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，二次函數(shù)的最值；掌握數(shù)形結(jié)合的思維是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·河北唐山·九年級(jí)校考期末）如圖直線y=2x+m與y=nx(n≠0)交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A(1)求此直線和雙曲線的表達(dá)式；(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(3)過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)M作平行于y軸的直線l，分別與直線y=2x+m和雙曲線y=nx(n≠0)交于點(diǎn)P，Q，如果PQ=2QM【答案】(1)直線的解析式為y=2x+2，反比例函數(shù)的解析式為y=(2)(?2,?2)(3)(?3,0)或(2,0)【分析】（1）將點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)代入y=2x+m與y=nx(n≠0)得出m（2）將兩個(gè)解析式組成方程組，解之即可；（3）設(shè)M(a,0)，根據(jù)題意得出P(a,2a+2)，Q(a,4a)，再根據(jù)PQ=2QM得出方程|2a+2?4a【詳解】（1）解：∵直線y=2x+m與y=nx(n≠0)交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)∴2+m=4；n=4∴m=2∴直線的解析式為y=2x+2，反比例函數(shù)的解析式為y=（2）y=2x+2y=4x解得：∴點(diǎn)B的坐標(biāo)(?2,?2)（3）設(shè)M(a,0)，∵l∥y軸，∴P(a,2a+2)，∵PQ=2QM∴|2a+2?4∴a=2或a=?3∴M(?3,0)或(2,0)．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．5．（2022春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像交于點(diǎn)A（a，4－a）點(diǎn)B（b，4－b），其中a<b，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是C(1)求a+b的值；(2)求直線l的函數(shù)表達(dá)式(3)若a=1，過(guò)點(diǎn)P(0,t)(t>0)作平行于x軸的直線與直線AB和反比例函數(shù)y=kx的圖象分別交于點(diǎn)E、①當(dāng)EF≤1時(shí)，求t的取值范圍．②若線段EF上橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)只有1個(gè)（不包括端點(diǎn)），直接寫(xiě)出t的取值范圍．【答案】(1)a+b=4(2)y=?x+4(3)①52?132【分析】（1）把A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，得a、b的關(guān)系，再通過(guò)因式分解，解方程可得a+b的值；（2）用待定系數(shù)法求解即可；（3）①當(dāng)a=1時(shí)，可得反比例函數(shù)的解析式為：y=3x，B(3,1)；根據(jù)題意可知，E(4?t,t)，F(xiàn)(3t，t)，再根據(jù)題意，對(duì)t進(jìn)行討論即可；②根據(jù)題意，作直線x=2，x=5，x=6，x=7，分別與反比例函數(shù)交于點(diǎn)H，D，（1）解：∵直線l與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象交于點(diǎn)A(a,4?a)∴k=a(4?a)=b(4?b)，∴(a?b)(a+b?4)=0，∵a<b，∴a?b<0，∴a+b?4=0，∴a+b=4；（2）設(shè)直線l的解析式為y=mx+n(m≠0)，把A(a,4?a)，點(diǎn)B(b,4?b)代入得，am+n=4?abm+n=4?b解得，m=?1n=4∴直線l的解析式為y=?x+4；（3）①當(dāng)a=1時(shí)，A(1,3)，∴k=1×3=3，∴反比例函數(shù)的解析式為：y=3令3x=?x+4，解得x=1或∴B(3,1)．過(guò)點(diǎn)P(0，t)(t>0)作平行于x軸的直線與直線AB和反比例函數(shù)y=3x的圖象分別交于點(diǎn)E、∴E(4?t,t)，F(xiàn)(3t，當(dāng)1<t<3時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E的左側(cè)，∴EF=4?t?3t?1當(dāng)t=1或t=3時(shí)，E，F(xiàn)重合，則EF=0；當(dāng)t>3或0<t<1時(shí)，3t整理得，t2?5t+3?0，解得∴52?13綜上，當(dāng)EF?1時(shí)，t的取值范圍為：52②如圖，作直線x=2，x=5，x=6，x=7，分別與反比例函數(shù)交于點(diǎn)H，D，E，F(xiàn)，∴H(2,32)，D(5,35由圖可知，若線段EF上橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)只有1個(gè)（不包括端點(diǎn)），則t的取值范圍為：32<t<2或【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)上的點(diǎn)的特征，數(shù)形結(jié)合思想，方程思想等相關(guān)內(nèi)容，利用數(shù)形結(jié)合思想，畫(huà)出給出圖象是解題關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一次函數(shù)y=kx?4(k≠0)的圖像與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y=?12x(x<0)的圖像交于點(diǎn)（1）b=；k=；（2）點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)(不與A,B重合)，過(guò)點(diǎn)C且平行于y軸的直線l交該反比例函數(shù)的圖像于點(diǎn)D，連接OC,OD,BD，若四邊形OCBD的面積S四邊形OCBD=24，求點(diǎn)（3）將第（2）小題中的ΔOCD沿射線AB方向平移一定的距離后，得到△O′C′D′，若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)【答案】（1）2，-1；（2）C?2,?2；（3）【分析】（1）先把B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)求出b的值，得到完整的B點(diǎn)坐標(biāo)，再代入一次函數(shù)求出k的值；（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為m,?m?4，再用m表示D點(diǎn)坐標(biāo)，再表示出CD長(zhǎng)，根據(jù)四邊形OCBD的面積等于CD長(zhǎng)乘以B、O兩點(diǎn)之間的水平距離再除以2，列式求出m的值，得C點(diǎn)坐標(biāo)；（3）根據(jù)平移的性質(zhì)得到直線OO′的解析式，求出它與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，即點(diǎn)O′【詳解】（1）將B?6,b坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=?12x，得b=?則B點(diǎn)坐標(biāo)為?6,2，再代入一次函數(shù)y=kx?4，得2=?6k?4，解得k=?1，故答案是：2；?1；（2）設(shè)Cm,?m?4（?6<m<0），則D∴CD=?12∵S四邊形OCBD∴12∴m2∴m1=?2，經(jīng)檢驗(yàn)：m1=?2，∵?6<m<0，∴m=?2，∴C?2,?2（3）由平移可知：OO∴直線OO′的解析式為由y=?xy=?12x，解得x=?2∴O′∴O到O′是向左平移23個(gè)單位，向上平移23∵D?2,6，∴D答：點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′的坐標(biāo)?2?2【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，涉及函數(shù)解析式系數(shù)的求解，四邊形面積的求解，函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是掌握這些題型的解題技巧，并熟練掌握函數(shù)題的一些基本運(yùn)算方法．7．（2022·北京·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，函數(shù)y=kx（x＜0）的圖象與直線y=x+2交于點(diǎn)A（－3，（1）求k，m的值；（2）已知點(diǎn)P（a，b）是直線y=x上，位于第三象限的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線，交直線y=x+2于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=kx（x＜0）的圖象于點(diǎn)①當(dāng)a=－1時(shí)，判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②若PN≥PM結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫(xiě)出b的取值范圍．【答案】（1）k=3，m=－1；（2）①PM=PN；②-1≤b﹤0或b≤-3．【詳解】試題分析：（1）將A點(diǎn)代入y=x+2中即可求出m的值，然后將A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)中即可求出k的值．（2）①當(dāng)a=-1時(shí)，分別求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出PM與PN的關(guān)系；②由題意可知：P的坐標(biāo)為（b，b）(b<0)，由于PN≥PM，從而可知PN≥2，根據(jù)圖象可求出b的范圍．解：（1）∵函數(shù)y=kx(x<0)∴m=-3+2=-1，

∴A（-3，-1）．k=-1×（-3）=3即k的值是3，m的值是-1（2）①當(dāng)a=-1時(shí)，又點(diǎn)P（a，b）是直線y=x-2上，∴P（-1，-1）令y=-1，代入y=x+2,得：x=-3，

∴M（-3，-1），

PM=2令x=-1，代入y=k∴N（-1，-3），∴PN=2∴PM=PN②P（b，b），b<0點(diǎn)P在直線y=x上，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線，交直線y=x+2于點(diǎn)M，M（b+2，b），∴PM=2，∵PN≥PM，即PN≥2，∵PN=|3b∴|3b∴-1≤b﹤0或b≤-3必考點(diǎn)3必考點(diǎn)3反比例函數(shù)與全等1.（2022秋·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，平行四邊形ABCD頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為1,0，點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=?6x的圖像上，點(diǎn)B，C在反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像上，CD與y軸交于點(diǎn)E，若DE=CE【答案】10【分析】過(guò)D作DF⊥OA于F，過(guò)C作CM⊥OA于M，過(guò)B作BG⊥CM于G，過(guò)D作DK⊥CM于M,交OE于E，設(shè)D的橫坐標(biāo)為xx<0，結(jié)合已知通過(guò)DF=AF求出xx<0，由DE=CE，依次求出K、C的坐標(biāo)即可，結(jié)合ABCD是平行四邊形證△DFA≌△CGBAAS依次求出B、G【詳解】如圖：過(guò)D作DF⊥OA于F，過(guò)C作CM⊥OA于M，過(guò)B作BG⊥CM于G，過(guò)D作DK⊥CM于M,交OE于E，設(shè)D的橫坐標(biāo)為xx<0點(diǎn)D在反比例函數(shù)y=?6Dx,?6x，點(diǎn)A∴DF=?6x，∵∠DAO=45°，∴DF=AF，即：?x+1=?6解得x=?2，x=3（舍去），∴D?2,3∴DF=AF=3，∴AD=CD=32由題意可知CK∥EN，DE=CE，∴DK=2DN=4，∴K2,3C在反比例函數(shù)y=k∴C2,ABCD是平行四邊形，∠1=∠2=∠3，AD=BC，在△DAF與△CBG中，∠3=∠1∴△DFA≌△CGBAASBG=AF=3，CG=DF=3，所以B的橫坐標(biāo)為5，B在反比例函數(shù)y=k∴B5,k5CG=k解得k=10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行線分線段成比例以及全等三角形的判定和性質(zhì)；巧設(shè)未知數(shù)，建立方程求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．2.（2022秋·湖南益陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，直線y=ax+2與x軸交于點(diǎn)A1,0，與y軸交于點(diǎn)B0,b．將線段AB先向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度、再向上平移tt>0個(gè)單位長(zhǎng)度，得到對(duì)應(yīng)線段CD，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像恰好經(jīng)過(guò)C，(1)a=，b=；(2)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；(3)點(diǎn)N在x軸正半軸上，點(diǎn)M是反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像上的一個(gè)點(diǎn)，若△CMN是以CM為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)M【答案】(1)?2；2(2)y=(3)4,1或5【分析】（1）利用坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特點(diǎn)即可得出結(jié)論；（2）先表示出點(diǎn)C，D坐標(biāo)，進(jìn)而代入反比例函數(shù)解析式中求解得出k，再判斷出BC⊥AD，最后用對(duì)角線積的一半即可求出四邊形的面積；（3）分兩種情況，構(gòu)造全等的直角三角形即可得出結(jié)論．【詳解】（1）將點(diǎn)A1，0代入y=ax+2，得0=a+2∴直線的解析式為y=?2x+2，將x=0代入y=?2x+2，得y=2，∴b=2（2）由（1）知，b=2，∴B0,2由平移可得：設(shè)點(diǎn)C2,t，D將點(diǎn)C2,t，D1,2+t分別代入y=k∴k=4∴反比例函數(shù)的解析式為y=（3）①當(dāng)∠NCM=90°、CM=CN時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸，交y軸于點(diǎn)G．過(guò)點(diǎn)M作MF⊥l于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)H．過(guò)點(diǎn)N作NE⊥l于點(diǎn)設(shè)點(diǎn)Nm，0（其中m>0），則ON=m∵∠MCN=90°，∴∠MCF+∠NCE=90°．∵NE⊥l于點(diǎn)E，∴∠ENC+∠NCE=90°，∴∠MCF=∠ENC．∵∠MFC=∠NEC=90°，CN=CM，∴△NEC≌∴CF=EN=2，F(xiàn)M=CE=2?m，∴FG=CG+CF=2+2=4，∴x將x=4代入y=4x，得∴點(diǎn)M4②當(dāng)∠NMC=90°、MC=MN時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)C作直線l⊥y軸與點(diǎn)F，則CF=xC=2．過(guò)點(diǎn)M作MG⊥x軸于點(diǎn)G，MG交直線l與點(diǎn)E，則MG⊥l于點(diǎn)E∵∠CMN=90°，∴∠CME+∠NMG=90°．∵M(jìn)E⊥l于點(diǎn)E，∴∠ECM+∠CME=90°，∴∠NMG=∠ECM．又∵∠CEM=∠NGM=90°，CM=MN，∴△CEM≌△MGN，∴CE=MG，設(shè)CE=MG=a，則yM=a，xM=CF+CE=2+a，將點(diǎn)M2+a，a代入y=4x，得a=∴xM∴點(diǎn)M綜合①②可知：點(diǎn)M的坐標(biāo)為4，1或【點(diǎn)睛】本題是綜合考查反比例函數(shù)待定系數(shù)法，全等三角形的判定和性質(zhì)，四邊形的面積的計(jì)算方法，構(gòu)造出全等三角形是解本題的關(guān)鍵．3.（2022春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A是函數(shù)y1=4xx>0圖像上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB∥x(1)若S△AOB=5，則(2)當(dāng)k=?8時(shí)，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1，則線段OB=________．(3)若無(wú)論點(diǎn)A在何處，函數(shù)y2=kxk<0,x<0圖像上總存在一點(diǎn)D【答案】(1)－6(2)2(3)存在，k=?8【分析】（1）如圖：AB交y軸于M，根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得S△AOM=12×4=2，S△BOM=（2）由y1=4xx>0可得出A1,4，再由（3）如圖，作AH⊥x軸于點(diǎn)H，DF⊥AB于點(diǎn)F，證△DBF?△AOH，得出D點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出k的值．【詳解】（1）解：如圖：AB交y軸于M，∵點(diǎn)A是函數(shù)y1=4xx>0∴由反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義得：S△AOM=1∵S△AOB∴2?1∴k=?6；故答案為：?6；（2）由題意得：當(dāng)x=1時(shí)，y=4∴A1,4當(dāng)k=?8時(shí)，y2當(dāng)y=4時(shí)，4=?8∴x=?2，∴B?2,4∴OB=?2?0故答案為：25（3）存在，點(diǎn)D在點(diǎn)B上方，如圖，作AH⊥x軸于點(diǎn)H，DF⊥AB于點(diǎn)F，設(shè)Aa,4a，則Bka4∵四邊形AOBD為平行四邊形，∴BD=AO，BD//∴∠DBF=∠BAO，∵AB//∴∠AOH=∠BAO，∴△DBF?△AOH，∴BF=OH=a，DF=AH=4∴Dka∴ka4解得k=?8．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義和平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4.（2022秋·上?！ぐ四昙?jí)?？计谥校┤鐖D，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，M是邊AB上的一點(diǎn)，且BM=2AM．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，并與邊BC相交于點(diǎn)N．(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；(2)求△ONM的面積；(3)求證：OB垂直平分線段MN．【答案】(1)y=(2)16(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)及條件BM=2AM確定點(diǎn)M坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；（2）令Nn,6，在y=12x上，則12n=6，解得n=2，得到CN=2=AM，則點(diǎn)N（3）根據(jù)點(diǎn)N在反比例函數(shù)圖象上求點(diǎn)N坐標(biāo)，通過(guò)全等證得OM=ON，進(jìn)而證明BN=BM，即可證得OB垂直平分線段MN.【詳解】（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為：y=k∵正方形ABCO邊長(zhǎng)為6，BM=2AM，∴BM=4，AM=2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為6,2，∵點(diǎn)M6,2在反比例函數(shù)y=∴2=k解得：k=12，∴反比例函數(shù)的解析式為：y=12（2）令Nn,6，在y=12x上，則12所以CN=2=AM，∴點(diǎn)N2,6，BN=BC?CN=4S△ONM=S即△ONM的面積為16；（3）在△AOM和△CON中，AO=CO∠OAM=∠OCN=90°∴△AOM≌△CONSAS∴OM=ON，∴O在MN的中垂線上，∵CN=AM，∴BC?CN=AB?AM，∴BN=BM，∴B在MN的中垂線上∴OB垂直平分線段MN【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比函數(shù)和正方形的性質(zhì)以及垂直平分線的判定，點(diǎn)坐標(biāo)和線段長(zhǎng)度的相互轉(zhuǎn)換，即數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵.5.（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，函數(shù)y=kxx>0(1)求n和k的值；(2)將直線OA沿x軸向左移動(dòng)得直線DE，交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)E，交y=kxx>0于點(diǎn)C(3)在（2）的條件下，第二象限內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使得△DEF是以DE為腰的等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)n=4,k=8(2)y=(3)F1(?9,6)【分析】（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)解析式，解方程組得n、k的值；（2）設(shè)點(diǎn)C(m,8m)，過(guò)點(diǎn)C做CG⊥x軸于點(diǎn)G，交OA于點(diǎn)H，以CH為底，由△AOC的面積解出點(diǎn)C（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①以DE為直角邊，D為直角頂點(diǎn)；②以DE為直角邊，E為直角頂點(diǎn)．再觀察圖形并利用點(diǎn)的移動(dòng)特點(diǎn)寫(xiě)出答案．【詳解】（1）解：∵函數(shù)y=kxx>0∴2解得n=4故n和k的值分別為4，8；（2）解：∵n=4,k=8，∴A(4,2),?B(85,5)過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，交直線OA于點(diǎn)H，設(shè)C(m,8∴H(m,1∴S∴1∴m=2或m=8∴C(2,4)，∵DE∥∴設(shè)直線DE的解析式為：y=1∵點(diǎn)C在直線DE上，∴4=12×2+b∴直線DE的解析式為：y=1（3）F1(?9,6)解：∵直線DE的解析式為：y=1當(dāng)x=0時(shí)，y=3，∴E0,3，當(dāng)y=0時(shí)，x=?6，∴D?6,0，根據(jù)題意，分兩種情況進(jìn)行討論：①以DE為直角邊，D為直角頂點(diǎn)；如圖，過(guò)F1做FK⊥x軸于點(diǎn)K，可知：∠∵∠F∴∠F又∵∠DEO+∠EDO=90°，∴∠F1DK=∠DEO∴△F∴F故點(diǎn)D到點(diǎn)F1的平移規(guī)律是：D向左移3個(gè)單位，向上移6個(gè)單位得點(diǎn)F∵D(?6,0)，且F在第二象限，∴F1(?6?3,0+6)②以DE為直角邊，E為直角頂點(diǎn)；同①理，將E點(diǎn)向左移3個(gè)單位，向上移6個(gè)單位得點(diǎn)F坐標(biāo)，得F2綜上所述：點(diǎn)F(?9,6)或(?3,9)【點(diǎn)睛】此題考查關(guān)于一次函數(shù)、反比例函數(shù)與動(dòng)態(tài)三角形的綜合題，熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準(zhǔn)確完整地討論等腰直角三角形的各種可能的情況是解此題的關(guān)鍵．必考點(diǎn)4必考點(diǎn)4反比例函數(shù)與勾股定理1．（2022秋·四川達(dá)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O0,0，A0,4，B3,0為頂點(diǎn)的Rt△AOB，其兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)的外角角平分線相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P恰好在反比例函數(shù)y=kA．36 B．25 C．16 D．9【答案】A【分析】過(guò)P分別作AB、x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D、E，如圖，利用勾股定理計(jì)算出AB=5，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得PE=PC=PD，設(shè)Pt,t，利用面積的和差求出t得到P點(diǎn)坐標(biāo)，然后把P點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx【詳解】解：過(guò)P分別作AB、x軸、y軸的垂線，垂足分別為C、D、E，如圖所示，∵A0,4，∴OA=4，∴AB=O∵△OAB的兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)的外角角平分線相交于點(diǎn)P，∴PE=PC，∴PE=PC=PD，設(shè)Pt∵S△PAE∴12解得t=6，∴P6把P6，6代入y=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了角平分線的性質(zhì)和三角形面積公式．2．（2022春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形OABC的邊OC在x軸的正半軸上，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y=kxx>0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)D，若菱形OABC的面積為32，則點(diǎn)A．22,2 B．1,2 C．3【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)D作x軸的垂線，與x軸分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A（m，n），根據(jù)題意將點(diǎn)D的坐標(biāo)表示出來(lái)，即可求出AD所在直線的函數(shù)表達(dá)式，再求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AO=CO，結(jié)合勾股定理即可表示出AE，最后根據(jù)菱形的面積求出m即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)D作x軸的垂線，與x軸分別相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A（m，n），∵AE⊥x軸，DF⊥x軸，∴AE∥∵四邊形OABC為菱形，則點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，∴DF=12AE，即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為∵反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)∴D（2m，n2設(shè)AD所在的直線函數(shù)表達(dá)式為：y=kx+b，將A（m，n），D（2m，n2）代入得：n=km+b解得：k=?n∴AD所在的直線函數(shù)表達(dá)式為：y=?n當(dāng)y=0時(shí)，解得x=3m，∴C（3m，0），∴OA=OC=3m，在Rt△OAE中，AE=OA∵菱形OABC的面積為32∴OC×AE=3m×22m=32，解得：m∴AE=22∴A（22故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練地掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容，結(jié)合圖形表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東威海·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0),A(0,4),B(3,0)為頂點(diǎn)的Rt△AOB，其兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)的外角角平分線相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P恰好在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，則PA．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作：PC⊥OB,PD⊥AB,PE⊥OA，利用角平分線的性質(zhì)，可得：PC=PD=PE，進(jìn)而得到四邊形OCPE為正方形，通過(guò)全等，得到BC=BD,AE=AD，設(shè)BC=a，列方程求出a的值，進(jìn)而確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作：PC⊥OB,PD⊥AB,PE⊥OA，∵Rt△AOB的兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)的外角角平分線相交于點(diǎn)P∴PC=PD=PE，∴四邊形OCPE為正方形，∵PD=PC,PB=PB，∴△PCB≌△PDB（HL），∴BC=BD，同法可得：AD=AE，設(shè)BC=a，則：OE=OC=OB+BC=a+4,BD=a，∵O(0,0),A(0,4),B(3,0)，∴OB=4,OA=3，∴AB=3∴AD=5?a，∴a+1=5?a，解得：a=2，∴OC=4+a=4+2=6；∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：6．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理．熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，是解題的關(guān)鍵．4.（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=kxk>0,x>0的圖像上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,3【答案】32【分析】根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)為4,3，得到OC=AB=32+42=5，根據(jù)菱形ABOC，將點(diǎn)【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為4,3，所以O(shè)C=AB=3因?yàn)榱庑蜛BOC，所以將點(diǎn)C向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)A4,8所以k=4×8=32．故答案為：32．【點(diǎn)睛】本題考查了原點(diǎn)的距離，菱形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握菱形的性質(zhì)，平移的規(guī)律和反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABO的直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,m，點(diǎn)A在y軸正半軸上，將△ABO沿y軸向下平移得到△DEF，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E恰好在反比例函數(shù)y=?6(1)求m的值；(2)求△ABO平移的距離；(3)點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PEF的周長(zhǎng)．【答案】(1)m=2；(2)5個(gè)單位長(zhǎng)度；(3)P54【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，易得△BCO為等腰直角三角形，即可得解；（2）根據(jù)平移規(guī)則，E點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，設(shè)E2,n，根據(jù)點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=?6x（3）△PEF的周長(zhǎng)=PE+PF+EF，EF為定長(zhǎng)，則當(dāng)PE+PF的值最小時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最小，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，PE+PF=PE′+PF≥E′F，當(dāng)且僅當(dāng)P,E′,F三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PF的值最小，連接E′【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，∵△ABO是等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∴∠COB=45°，∴△BCO為等腰直角三角形，∴BC=OC，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為2,m，∴BC=OC=2，即：m=2；（2）解：將△ABO沿y軸向下平移得到△DEF，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，設(shè)E2,n∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=?6∴2n=?6，∴n=?3，∴E2,?3∴△ABO平移的距離為：2??3（3）解：∵△PEF的周長(zhǎng)=PE+PF+EF，EF為定長(zhǎng)，∴當(dāng)PE+PF的值最小時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最小，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E′，PE+PF=PE′+PF≥E′F，當(dāng)且僅當(dāng)P,E′,F三點(diǎn)共線時(shí)，則：E′2,3，根據(jù)平移規(guī)則，可得：設(shè)直線E′F的解析式為：則：2k+b=3b=?5，解得：k=4∴y=4x?5，當(dāng)y=0時(shí)，x=5∴P5∵E2,?3，F(xiàn)0,?5，∴EF=2?0∴△PEF的周長(zhǎng)=PE+PF+EF=3【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，以及坐標(biāo)系下的平移，軸對(duì)稱(chēng)，同時(shí)考查了反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．本題的綜合性較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·遼寧朝陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC垂直x軸于點(diǎn)C，連接BC，點(diǎn)(1)求m和k的值；(2)x軸上是否存在一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)m=2，k=2(2)存在，5，0或5，0【分析】（1）先把點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線解析式中求出m的值即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出k的值即可；（2）先由對(duì)稱(chēng)性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為t，0，利用勾股定理求出AD2=t?12+2【詳解】（1）解：把將A1，m代入y=2x∴A1將A1，2代入y=∴m=2，k=2；（2）解：∵直線y=2x和y=2x交于點(diǎn)A、∴A和B關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，∴B?1設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為t，∴AD2=當(dāng)∠BAD=90°時(shí)，則AB∴t?12解得t=5，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為5，當(dāng)∠BDA=90°時(shí)，則AB∴20=t+1∴2t解得t=±5∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為5，0或當(dāng)∠ABD=90°時(shí)，則AD∴t?12解得t=?5，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為?5，綜上所述，x軸上是否存在一點(diǎn)D5，0或5，0或?5【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，反比例函數(shù)與幾何綜合，勾股定理，利用分類(lèi)討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．7．（2022春·黑龍江大慶·八年級(jí)大慶市第六十九中學(xué)?？计谀┤鐖D，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)D，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,1)，點(diǎn)B(1)求反比例函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式；(2)連接OA、OB，求△AOB的面積；(3)觀察圖象直接寫(xiě)出ax+b>kx時(shí)x的取值范圍是(4)直接寫(xiě)出：P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)三角形OAP為等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=3x，(2)S(3)x>3或?2<x<0(4)10,0或?10,0，0)或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)兩三角形面積和可得結(jié)論；（3）直接由圖象一次函數(shù)在反比例函數(shù)上邊時(shí)對(duì)應(yīng)x的取值；（4）存在三種情況：OA=OP，OA=AP，AP=OP，根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)綜合圖形可得點(diǎn)P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為(3,1)把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=kx∴反比例函數(shù)的解析式是：y=把點(diǎn)B的坐標(biāo)為(?2,m)代入y=3x中，得：?2m=3∴B(?2,?把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax+b中得：3a+b=1?2a+b=?3∴一次函數(shù)的解析式為：y=1（2）解：如圖1，當(dāng)y=0時(shí)，12x?1∴C(1,0)，∴S（3）解：由圖象得：ax+b>kx時(shí)x的取值范圍是：x>3或（4）解：當(dāng)ΔAOP①當(dāng)OA=OP時(shí)，如圖2，∵A(3,1)，∴OA=10∴P1(?10，0)或②當(dāng)OA=AP時(shí)，如圖3，∴P(6,0)；③當(dāng)OP=AP時(shí)，如圖4，過(guò)A作AE⊥x軸于E，設(shè)OP=x，則AP=x，PE=3?x，∴AP∴1x=5∴P(53，綜上，P的坐標(biāo)為10,0或?10,0，0)或(6,0)【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查了利用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定，三角形面積公式，本題難度適中，并運(yùn)用了分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．必考點(diǎn)5必考點(diǎn)5反比例函數(shù)與圖形變換1．（2022秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A為x軸上的一點(diǎn)，將OA繞點(diǎn)O按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至OB，反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，過(guò)A作AC∥BO交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)C，若△BOC的面積為3A．332 B．?332 【答案】D【分析】過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AO于E點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：OA=OB，∠AOB=60°，即有△OAB是等邊三角形，則有AE=EO=12AO，BE=BO2?EO2=3【詳解】解：過(guò)B點(diǎn)作BE⊥AO于E點(diǎn)，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等邊三角形，∵BE⊥AO，∴AE=EO=1∴在Rt△BEO中，BE=∵AC∥∴S△BCO∵S△BAO=1∴3E∴EO=3∴BE=3，∴B?∵反比例函數(shù)y=kx(k≠0)∴k=xy=?3故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)AC∥BO，得到2．（2022春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，反比例函數(shù)y＝kx（x＜0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，2），過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，在y軸的正半軸上取一點(diǎn)P（0，t），過(guò)點(diǎn)P作直線OA的垂線l，以直線l為對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)B經(jīng)軸對(duì)稱(chēng)變換得到的點(diǎn)B'在此反比例函數(shù)的圖象上，則t的值是A．1+5 B．4+2 C．4?2 D．-1+【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征由A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2）得到k=-4，即反比例函數(shù)解析式為y=-4x，且OB=AB=2，則可判斷△OAB為等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y軸，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為（-4t，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-4t【詳解】如圖，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，2），∴k=-2×2=-4，∴反比例函數(shù)解析式為y=-4x∵OB=AB=2，∴△OAB為等腰直角三角形，∴∠AOB=45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ=45°，∵點(diǎn)B和點(diǎn)B′關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，∴PB=PB′，BB′⊥PQ，∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，∴B′P⊥y軸，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（-4t∵PB=PB′，∴t-2=|-4t|=4整理得t2-2t-4=0，解得t1=1+5，t2=1-5∴t的值為1+5故選A．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，解決本題要掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形的性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)及會(huì)用求根公式法解一元二次方程．3．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)期末）“卓越數(shù)學(xué)興趣小組”準(zhǔn)備對(duì)函數(shù)y=6(1)該小組認(rèn)為此函數(shù)與反比例函數(shù)有關(guān)，于是他們首先畫(huà)出了反比例函數(shù)y＝6x的圖像（如圖1），然后畫(huà)出了y=(2)他們發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=6x+1?3圖像可以由y(3)他們發(fā)現(xiàn)可以根據(jù)函數(shù)y=6x+1?3(4)他們研究后發(fā)現(xiàn)，方程6x+1?3=a中，隨著a【答案】(1)見(jiàn)解析(2)向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位(3)見(jiàn)解析(4)當(dāng)a＜0時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)a＞3或0＜a＜3時(shí)，方程有兩個(gè)解；當(dāng)a＝0或a＝3時(shí)，方程有一個(gè)解【分析】（1）畫(huà)出函數(shù)y=6（2）觀察圖像即可得到結(jié)論；（3）作出函數(shù)值小于零的部分圖像關(guān)于x軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形得到函數(shù)圖像，然后根據(jù)圖像寫(xiě)出兩條性質(zhì)即可；（4）分a＜0，a=0或a=3，0＜a＜3或a＞3三種情況，分別根據(jù)函數(shù)圖像求解即可．【詳解】（1）解：如圖①所示即為所求．（2）解：將y＝6x的圖像向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位可得y＝6（3）解：函數(shù)圖像如圖②，性質(zhì)如下（不唯一）：①函數(shù)有最小值，最小值為0，②當(dāng)x＞1時(shí)，y隨著x的增大而增大，x＜－1時(shí)，y隨著x的增大而增大．（4）解：方程6x+1?3=a當(dāng)a＜0時(shí)，方程6x+1當(dāng)a＞3或0＜a＜3時(shí)，方程6x+1當(dāng)a＝0或a＝3時(shí)，方程6x+1【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)圖像的平移、反比例函數(shù)圖像和性質(zhì)、函數(shù)與方程的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，正確畫(huà)出函數(shù)圖像是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)校聯(lián)考期末）我們研究反比例函數(shù)圖像平移后的性質(zhì)．初步探究(1)將反比例函數(shù)y=4x的圖像向左平移一個(gè)單位，可以得到函數(shù)①該函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4）；（

）②該函數(shù)圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是（－1，0）；（

）③當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減?。?/p>

）(2)在圖②中畫(huà)出函數(shù)y=4(3)問(wèn)題解決：若函數(shù)y=2x+mx+1的圖像可以由函數(shù)y=4(4)深入思考：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)于任意正數(shù)k，方程kx+b=axx+1均無(wú)解，直接寫(xiě)出a，b，【答案】(1)①對(duì)；②對(duì)；③錯(cuò)(2)圖見(jiàn)解析，性質(zhì)見(jiàn)解析(3)m＝6(4)a－b＋k＝0【分析】（1）通過(guò)觀察圖象，分析圖象性質(zhì)即可判斷是否正確；（2）利用5點(diǎn)作圖法在坐標(biāo)軸上描點(diǎn)即可作圖；（3）通過(guò)化簡(jiǎn)運(yùn)算，結(jié)合題意，即可求m的值；（3）由反比例函數(shù)無(wú)解時(shí)的性質(zhì)，即可寫(xiě)出a，b，k滿足的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）觀察圖可得，該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4），故①√；該函數(shù)是反比例函數(shù)，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心易知是（-1，0），故②√；當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＜-1，y隨x的增大而減小，但并不連續(xù)區(qū)間，故不為單調(diào)遞減，③錯(cuò)誤；故答案為：①√；②√；③×；（2）函數(shù)圖像如圖所示．兩條不同類(lèi)型的性質(zhì)是：例如：①當(dāng)x<－1時(shí)，y隨x的四大而被小，當(dāng)x>－1時(shí)，y隨x的增大而減小；②無(wú)論x取何值，圖數(shù)值不等于－1；③該圖數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3）；④該圖數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）；⑤該函數(shù)圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是（－1，－1）；⑥該函數(shù)圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是直線y＝x和y＝－x－2．（3）y=2x+m根據(jù)題意，得m－2＝4，解得m＝6．（4）kx+b=axkx+b=ax+a?akx+b=a+?a∵對(duì)于任意k，方程均無(wú)解，當(dāng)x=-1時(shí)分式無(wú)意義，∴a+k-b=0【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)；正確作圖、理解題意、綜合分析是本題解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山西朔州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，OA所在直線的解析式為y=?2x，反比例函數(shù)y=?2x(x<0)的圖象過(guò)點(diǎn)A，現(xiàn)將射線OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°與反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象交于點(diǎn)【答案】8【分析】設(shè)Aa,?2a，分別過(guò)A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，證明△AOC∽△OBD，得到ACOD=OCBD，代入得到OD=2BD，根據(jù)OB=25，利用勾股定理求出【詳解】解：∵點(diǎn)A在y=?2x上，∴設(shè)Aa,?2a分別過(guò)A，B作x軸的垂線，垂足分別為C，D，由旋轉(zhuǎn)可知：∠AOB=90°，∴∠AOC+∠BOD=90°，∵∠AOC+∠CAO=90°，∴∠CAO=∠BOD，又∠ACO=∠BDO=90°，∴△AOC∽△OBD，∴ACOD=OC∴OD=2BD，∵OB=25∴BD∴BD=2，∴OD=4，∴點(diǎn)B坐標(biāo)為4,2，∴k的值為4×2=8．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，找到邊與邊之間的關(guān)系．6．（2022秋·山東濟(jì)南·九年級(jí)期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OC，OA分別在x軸和y軸正半軸上，連接OB．將△OCB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△OFG，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，且點(diǎn)G在y軸正半軸上，OF與AB相交于點(diǎn)D，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1)如圖1，k＝______，點(diǎn)E的坐標(biāo)為_(kāi)_____；(2)若P為第三象限反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，連接PD，當(dāng)線段PD被y軸分成長(zhǎng)度比為1:2的兩部分時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；(3)我們把有兩個(gè)內(nèi)角是直角，且一條對(duì)角線垂直平分另一條對(duì)角線的四邊形稱(chēng)為“完美箏形”（如圖2）．設(shè)M是第三象限內(nèi)的反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，N是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接DE，當(dāng)四邊形DENM是“完美箏形”時(shí)，直接寫(xiě)出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)8；(8,1)(2)?4,?2或?1,?8(3)M?2,?4，【分析】（1）在Rt△ADO中，tan∠AOD=ADAO=24（2）當(dāng)線段PD被y軸分成長(zhǎng)度比為1:2的兩部分時(shí)，則DTPT=1（3）證明∠RDE=∠GMD，則tan∠RDE=ERDR=3【詳解】（1）解：將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式得：4=k2，解得：則反比例函數(shù)表達(dá)式為：y=8由圖形的旋轉(zhuǎn)知：∠AOD=∠BOC，CB=AO=4，在Rt△ADO中，tan在Rt△BCO中，tan∠BOC=BC當(dāng)x=8時(shí)，y=8x=1，故點(diǎn)E故答案為：8，(8,1)；（2）設(shè)PD交y軸于點(diǎn)T，當(dāng)線段PD被y軸分成長(zhǎng)度比為1:2的兩部分時(shí)，則DTPT過(guò)點(diǎn)P作PH⊥y軸于點(diǎn)H，∴AD∥∴ADPH∴2PH解得PH=4或1，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為?4或?1；（3）過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線交過(guò)點(diǎn)M與y軸的平行線于點(diǎn)G，交過(guò)點(diǎn)E與y軸的平行線于點(diǎn)R，由（1）知，點(diǎn)E(8,1)、D(2,4)、R(8,4)，設(shè)點(diǎn)M(x,y)，∵∠RDE+∠GDM=90°，∠GDM+∠GMD=90°，∴∠RDE=∠GMD，∴tan∵y=8聯(lián)立上述①②并解得x=?2y=?4即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(?2,?4)，由點(diǎn)M、E的坐標(biāo)得，直線ME得表達(dá)式為y=1根據(jù)箏形的定義ND⊥ME，設(shè)ND交ME于點(diǎn)H，則H是DN的中點(diǎn)，則設(shè)直線DN的表達(dá)式為y=?2x+s，將點(diǎn)D的坐標(biāo)代入上式得：4=?2×2+s，解得s=8，故直線ND得表達(dá)式為y=?2x+8④，聯(lián)立③④并解得x=22即點(diǎn)H的坐標(biāo)為(225，∵H是DN的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(345，即點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(?2,?4)、(345，【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、反比例函數(shù)的應(yīng)用、解直角三角形和待定系數(shù)法等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·甘肅白銀·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖1，?OABC的邊OC在y軸的正半軸上，OC=3，A2,1，反比例函數(shù)y=kx(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)如圖2，直線MN分別與x軸、y軸的正半軸交于M，N兩點(diǎn)，若點(diǎn)O和點(diǎn)B關(guān)于直線MN成軸對(duì)稱(chēng)，求線段ON的長(zhǎng)；(3)如圖3，將線段OA延長(zhǎng)交y=kx(x>0)的圖象于點(diǎn)D，過(guò)B，D的直線分別交x軸、y軸于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段ED【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y=8(2)ON=5(3)結(jié)論：BF=DE.理由見(jiàn)解析.【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)求出點(diǎn)B的坐標(biāo)即可解決問(wèn)題；（2）根據(jù)兩直線垂直的條件，求出直線MN的解析式即可解決問(wèn)題；（3）結(jié)論：BF=DE．如圖3中，延長(zhǎng)BA交x軸于N，作DM⊥x軸于M，作NK//EF交y軸于K．設(shè)ON=n，OM=m，ME=a．則BN=kn，DM=km．由ΔEDM∽ΔEBN，推出EMEN=DMBN【詳解】（1）如圖1中，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB=OC=3，∵A(2,1)，∴B(2,4)，把B(2,4)代入y=kx中，得到∴反比例函數(shù)的解析式為y=8（2）如圖2中，設(shè)K是OB的中點(diǎn)，則K(1,2)．∵直線OB的解析式為y=2x，∴直線MN的解析式為y=?1∴N(0,5∴ON=5（3）結(jié)論：BF=DE．理由如下：如圖3中，延長(zhǎng)BA交x軸于N，作DM⊥x軸于M，作NK∥EF交y軸于K．設(shè)ON=n，OM=m，ME=a．則BN=k∴Δ∴EMEN∴am+a?n=k∵NK∥∴∠KNO=∠DEM，∵∠KON=∠DME=90°，ON=EM，∴Δ∴DE=KN，∵FK∥BN，∴四邊形NKFB是平行四邊形，∴NK=BF，∴BF=DE．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)、平行四邊形，全等三角形，相似三角形等幾何知識(shí)結(jié)合在一起，綜合性比較強(qiáng)，要求學(xué)生有較強(qiáng)的分析問(wèn)題好解決問(wèn)題的能力．8．（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)統(tǒng)考一模）若將函數(shù)F的圖象沿直線l對(duì)折，與函數(shù)G的圖象重合，則稱(chēng)函數(shù)F與G互為“軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)”，直線l叫作函數(shù)F與函數(shù)G的“軸直線”．如函數(shù)y=2x關(guān)于直線y軸的軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)是y=?2x．(1)若軸直線為x軸，求函數(shù)y=x+1的關(guān)于x軸的軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)的解析式；(2)若函數(shù)F：y=2x+b，軸直線為y軸，此時(shí)F的軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)G的圖象與函數(shù)y=2x的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求(3)若函數(shù)F：y=?x2+9，軸直線為x=1，函數(shù)F的軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)是G，當(dāng)?1≤x≤5時(shí)，G的圖象恒在y=kx+3k【答案】(1)（1）y=?x?1(2)（2）b=±4(3)（3）k>2【分析】（1）在函數(shù)y=x+1軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)上任意一點(diǎn)（x，y）則該點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)（x，-y），代入函數(shù)解析式y(tǒng)=x+1即可求解；（2）由（1）先求出C2的解析式為y=-2x+b，再聯(lián)立-2x+b=2x（3）設(shè)函數(shù)C2上任意一點(diǎn)（x，y），則該點(diǎn)關(guān)于x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2-x，y），將點(diǎn)（2-x，y）代入y=-x2+9即可求出C2的解析式為y=-（2-x）2+9，聯(lián)立kx+3k=-（2-x）2+9，求出Δ=0時(shí)k的值，再由題意可得k的取值范圍．（1）設(shè)函數(shù)y=x+1的軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)上任意一點(diǎn)（x，y），則該點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（x，-y），∴點(diǎn)（x，-y）在y=x+1的上，∴C2的解析式為y=-x-1；（2）設(shè)函數(shù)y=2x+b上任意一點(diǎn)（x，y），則該點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（-x，y），∴點(diǎn)（-x，y）在y=2x+b的軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)上，∴C2的解析式為y=-2x+b，聯(lián)立-2x+b=2x得2x2-bx+2=0，∵函數(shù)C2的圖象與函數(shù)y＝2x∴Δ=b2-16=0，∴b=±4；（3）設(shè)函數(shù)C2上任意一點(diǎn)（x，y），則該點(diǎn)關(guān)于x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（2-x，y），∵點(diǎn)（2-x，y）在y=-x2+9的軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)上，∴C2的解析式為y=-（2-x）2+9，∵y=kx+3k=k（x+3），∴直線y=kx+3k恒過(guò)定點(diǎn)（-3，0），聯(lián)立kx+3k=-（2-x）2+9，得x2+（k-4）x+3k-5=0，∴Δ=（k-4）2-4（3k-5）=0，∴k=2或k=18（舍），∴k＞2時(shí)，C2的圖象恒在y=kx+3k的圖象的下方．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，理解軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)的概念，利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．必考點(diǎn)6必考點(diǎn)6反比例函數(shù)與定值、最值1．（2022春·江蘇蘇州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)A(a,1)，B(?1,b)都在雙曲線y=?3x(x<0)上，P,Q分別是x軸，y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形PABQ的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，PQ所在直線的表達(dá)式為(A．y=34x+94 B．y=x+1 【答案】C【分析】先求出A、B的坐標(biāo)，如下圖，分別作點(diǎn)A、B關(guān)于x軸、y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD與x軸、y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P、Q，從而求出PQ所在直線解析式．【詳解】∵點(diǎn)A(a,1)，B(?1,b)都在雙曲線y=?3∴A(-3，1)，B(-1，3)如下圖，分別作點(diǎn)A、B關(guān)于x軸、y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N則點(diǎn)C(-3，-1)，D(1，3)∵四邊形ABQP的周長(zhǎng)=AB+BQ+PQ+PA其中，AB是定值，BQ=DQ，AP=CP，PQ=PQ如上圖，當(dāng)點(diǎn)P、Q為M、N兩點(diǎn)時(shí)則CP、PQ、QD三段直線共線，距離最小∴上圖中點(diǎn)M、N即為P、Q則將C、D兩點(diǎn)代入，可求得PQ所在直線解析式為：y=x+2故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用對(duì)稱(chēng)，將幾段線段長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為一段線段的長(zhǎng)，從而求得最短距離．2．（2022春·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是5,0，點(diǎn)B是函數(shù)y=6xx>0圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥y軸交函數(shù)y=?2xx<0的圖像于點(diǎn)C，點(diǎn)D在x軸上（D在A的左側(cè)），且AD=BC，連接AB，CD．有如下四個(gè)結(jié)論：①四邊形ABCD可能是菱形；②四邊形【答案】①④【分析】①由BC⊥y軸得到AD∥BC，結(jié)合AD=BC，得到四邊形ABCD是平行四邊形，設(shè)點(diǎn)Ba,6a，則C?a3,②當(dāng)x=5時(shí)，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后判斷四邊形ABCD是否為正方形；③任取兩個(gè)點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得AB和BC的長(zhǎng)，然后判斷四邊形ABCD的周長(zhǎng)是否為定值；④過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，將四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為四邊形EFBC的面積，進(jìn)而利用反比例系數(shù)k的幾何意義判斷四邊形ABCD的面積是否為定值．【詳解】①如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，∴∠BFA=90°，∵BC⊥y軸，∴AD∥BC，又∵AD=BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵點(diǎn)B在函數(shù)y=6x圖像上，點(diǎn)C在函數(shù)設(shè)Ba,6a∴BC=a??又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是5,0，在Rt△BFA中，AB=A當(dāng)a=5時(shí)，BC=203，此時(shí)，AB<BC，∴四邊形ABCD可能是菱形，∴①符合題意；②由①得，當(dāng)a=5時(shí)，BC=203，∴BC≠AB，此時(shí)B5,∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是5,0，∴AB⊥x軸，∴∠BAD=90°，由①知，四邊形ABCD是平行四邊形，∴當(dāng)a=5時(shí)，四邊形ABCD是矩形，但BC≠AB，∴四邊形ABCD不為正方形，∴②不符合題意；③由①得，當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為5時(shí)，BC=203，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：2BC+AB當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1時(shí)，B1,6，則C∴BC=43，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：2BC+AB∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)不為定值，∴③不符合題意；④如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，又∵BF⊥x，∴∠CEF=∠BFE=90°∵BC⊥y軸，∴AD∥BC，∴∠EFB=180°?90°=90°，∴四邊形ABCD為矩形，∴S四邊形∴四邊形ABCD的面積為定值，∴④符合題意．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)圖像_上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．3．（2022秋·河南平頂山·九年級(jí)?？计谥校╅喿x理解：已知，對(duì)于實(shí)數(shù)a≥0，b≥0，滿足a+b≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得代數(shù)式a+b(1)若a>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=______時(shí)，a+1(2)①如圖13—1，已知點(diǎn)P為雙曲線y=6xx>0上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA⊥x軸，PB⊥y軸，四邊形OAPB②如圖13—2，已知點(diǎn)Q是雙曲線y=8xx>0上一點(diǎn)，且PQ∥x軸，連接OP、OQ，當(dāng)線段OP取得最小值時(shí)，在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)C，使得以O(shè)、P、Q、C【答案】(1)1，2(2)①P6,6，周長(zhǎng)最小值為46；②存在，6【分析】（1）根據(jù)題意即可完成解答；（2）①設(shè)Px,6x，則可得周長(zhǎng)2②由于OP=x2+6x2=x+6x2?12，由題意可求得OP【詳解】（1）解：由題意，當(dāng)且僅當(dāng)a=1a，即a=±1（負(fù)值舍去）時(shí)，a+1故答案為：1，2；（2）解：①∵點(diǎn)P為雙曲線y=6x∴設(shè)Px,∴四邊形OAPB的周長(zhǎng)=2PB+2PA=2x+∴當(dāng)四邊形OAPB的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，即2x+6即2x+6x的最小值為46，此時(shí)∴P6,6②存在．∵點(diǎn)P為雙曲線y=6x∴設(shè)Px,∴OP=x∵x+6當(dāng)x=6x時(shí)，解得：即當(dāng)x=6時(shí)，x+6x∴P6∵PQ∥x軸，且點(diǎn)Q在y=8∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為6，且6∴x=463∴PQ=4當(dāng)以O(shè)P、PQ為平行四邊形的鄰邊時(shí)，則PQ∥OC，∴C6當(dāng)以O(shè)Q、PQ為平行四邊形的鄰邊時(shí)，則PQ∥OC，∴C?當(dāng)以O(shè)Q、OP為平行四邊形的鄰邊時(shí)，則OP∥只要把點(diǎn)Q沿OP方向平移，平移距離為OP長(zhǎng)度，即可得到點(diǎn)C，∴C綜上，點(diǎn)C坐標(biāo)為63,0或?6【點(diǎn)睛】本題是材料閱讀題，考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形、平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，讀懂材料提供的方法并能靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·重慶·九年級(jí)重慶第二外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，以線段AB為邊在第一象限作等邊△ABC，S△ABC＝3(1)若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=kx(2)在（1）中的反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使四邊形ABCN是菱形，若存在請(qǐng)求出點(diǎn)N坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在（2）的條件下，取OB的中點(diǎn)M，將線段OM沿著y軸上下移動(dòng)，線段OM的對(duì)應(yīng)線段是O1M1【答案】(1)y=(2)存在，N(2(3)5+【分析】（1）如圖1中，作CD⊥y軸于D．首先證明四邊形OACD是矩形，利用反比例函數(shù)k的幾何意義解決問(wèn)題即可．（2）如圖2中，作BN⊥AC于D，交反比例函數(shù)圖象于N，連接CN，AN．求出D的坐標(biāo)，證明四邊形ABCN是菱形即可．（3）作點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1，過(guò)點(diǎn)N作ND∥y軸，交C1C延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在ND上截取NN1=O1M1，連接C1N1交y【詳解】（1）解：（1）如圖1中，作CD⊥y軸于D．∵CA∥y軸，CD⊥y軸，∴CD∥OA，∴四邊形OACD是平行四邊形，∵∠AOD=90°，∴四邊形OACD是矩形，∴k=S∴反比例函數(shù)的解析式為y=2（2）解：如圖2中，作BN⊥AC于D，交反比例函數(shù)圖象于N，連接CN，AN．∵ΔABC是等邊三角形，面積為3，設(shè)CD=AD=m，則∴12∴m=1或?1（舍棄），∴B(0,1)，C3,2，∴N點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，代入y=23x∴N2∴BD=DN，∵AC⊥BN，∴CB=CN，AB=AN，∵AB=BC，∴AB=BC=CN=AN，∴四邊形ABCN是菱形，∴存在點(diǎn)N，使四邊形ABCN是菱形，此時(shí)N(23（3）解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1，過(guò)點(diǎn)N作ND∥y軸，交C1C延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，在ND上截取NN1=O1M1，連接∵點(diǎn)M是OB的中點(diǎn)，∴OM=1∴NN由（2）知，C3,2，∴C1?3∴CN=23?32∴DN=C∴DN∴C1∵C關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C1∴CM∵NN1∥∴四邊形O1∴O∴C∴C∴四邊形CM1O【點(diǎn)睛】本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，利用軸對(duì)稱(chēng)求最短距離問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．5．（2022春·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y＝﹣12x+2及雙曲線y＝kx（k＞0，x＞0）．直線交y軸于A點(diǎn)，x軸于B點(diǎn)，C、D為雙曲線上的兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+m（(1)如圖①連接AC、DB、CD，當(dāng)四邊形CABD為平行四邊形且a＝2時(shí)，求k的值．(2)如圖②過(guò)C、D兩點(diǎn)分別作CC′∥y軸∥DD′交直線AB于C①對(duì)于確定的k值，求證：a（a+m）的值也為定值．②若k＝6，且滿足m＝a﹣4+da，求d【答案】(1)k＝6(2)①見(jiàn)解析；②當(dāng)a＝1時(shí)，d的最大值為14【分析】（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，由平行四邊形的性質(zhì)列出方程組，即可求解；（2）①先證四邊形CDD′C②將k和m代入k=1【詳解】（1）解：∵直線y=?12x+2交y軸于A點(diǎn)，交x∴點(diǎn)A(0,2)，點(diǎn)B(4,0)，∵C、D為雙曲線上的兩點(diǎn)，∴點(diǎn)C(2,k2)∵四邊形CABD為平行四邊形，∴AD與BC互相平分，∴0+2+m2=4+2解得：m=4，k=6；（2）證明：∵CC′∥y軸∥D∴四邊形CDD∴CC∵C、D為雙曲線上的兩點(diǎn)，∴點(diǎn)C(a,ka)∵CC′∥∴點(diǎn)C′的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為a+m∴點(diǎn)C′(a,?1∴?k∴k=1∴當(dāng)k為定值時(shí)，a(a+m)為定值；②解：∵k=6，∴6=1∴a∵m=a?4+d∴a∴d=?2a∴當(dāng)a=1時(shí)，d的最大值為14．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，利用參數(shù)表示點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．6．（2022春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)G，頂點(diǎn)A、D在反比例函數(shù)y=k1x(x>0)的圖像上，點(diǎn)G在反比例函數(shù)(1)若k1=5，k2(2)①當(dāng)點(diǎn)B、C在坐標(biāo)軸上時(shí)，求k2②如圖2，當(dāng)點(diǎn)B、O、C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，試判斷k2【答案】(1)9；(2)①12；②是，k2【分析】（1）設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則G(m,2m)，由題意可知，BD∥x軸，則A(m,5m)，D(52m，2m（2）①由題意可知，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則G(m,k2m)，同上可知BD∥x軸，所以A(m,k1m)，D(k1k2m，k2②設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則G(m,k2m)，同上可知，A(m,k1m)，D(k1k2m，k2m)．C(m,2k2?k1m)，（1）解：設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則G(m,2∵AC⊥x軸，AC⊥BD，∴BD∥x∴A(m,5m)，D(∴AG=3m，∴AC=2AG=6m，∴S故答案為：9．（2）解：①由題意可知，點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則G(m,k∵AC⊥x軸，AC⊥BD，∴BD∥x∴A(m,k1m)，∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴C(m,2k2m?k1m)，B(2m?∵點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在x軸上，∴2k2?∴k2②是，理由如下：設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則G(m,k∵AC⊥x軸，AC⊥BD，∴BD∥x∴A(m,k1m)，∴C(m,2k2m?k1m)，B(2m?設(shè)直線OC所在的直線為y=kx，∴mk=2k2∴直線OC的解析式為：y=2∵點(diǎn)B，O，C三點(diǎn)共線，∴2k2?k1綜上，k2k1【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)G的坐標(biāo)，利用菱形的性質(zhì)去表達(dá)A，B，C，D的坐標(biāo)．7．（2022春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，動(dòng)點(diǎn)M在函數(shù)y1=4x（x＞0）的圖像上，過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y平行線，交函數(shù)y2=1x（x＞0）的圖像于點(diǎn)B、C，作直線BC，設(shè)直線(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，4）．①直線BC的函數(shù)表達(dá)式為_(kāi)_____；②當(dāng)y<y2時(shí)，③點(diǎn)D在x軸上，點(diǎn)E在y軸上，且以點(diǎn)B、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D、E的坐標(biāo)；(2)連接BO、CO．求證：△BOC的面積是個(gè)定值．【答案】(1)①y＝－4x＋5；②0＜x＜14或x＞1；③D（34，0）E（0，3）或D（－34(2)見(jiàn)解析【分析】（1）①首先求出點(diǎn)B和C的坐標(biāo)，代入直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，解方程即可；②首先求出直線BC與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，再根據(jù)圖象可得答案；③設(shè)D（m，0），E（0，n），分三種情形，分別根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得答案；（2）延長(zhǎng)MC、MB分別交x軸于G，交y軸于H，設(shè)m（a，4a），表示出△OBC（1）解：①當(dāng)M（1，4）時(shí)，則B14,4，∴14解得k=?4b=5∴直線BC的解析式為y＝﹣4x+5，故答案為：y＝﹣4x+5；②當(dāng)y＝0時(shí)，x＝54由圖象知，當(dāng)0＜x＜14或1＜x＜54時(shí)，y＜y故答案為：0＜x＜14或1＜x＜5③設(shè)D（m，0），E（0，n），當(dāng)BD、CE為對(duì)角線時(shí)，14∴m=3∴D（34，0）E當(dāng)BC、DE為對(duì)角線時(shí)，14∴m=5此時(shí)點(diǎn)B、C、D、E共線，故舍去，當(dāng)BE、CD為對(duì)角線時(shí)，14∴m=?3∴D（?34，0）綜上：D（34，0）E（0，3）或D（?34（2）解：證明：延長(zhǎng)MC、MB分別交x軸于G，交y軸于H，設(shè)m（a，