第二節(jié) 二重積分的計(jì)算

如果積分區(qū)域D為：其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).第二節(jié)二重積分的計(jì)算

一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分［X－型區(qū)域］

X型區(qū)域的特點(diǎn)：

穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).1應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得根據(jù)二重積分的幾何意義,當(dāng)時(shí),D2如果積分區(qū)域D為：［Y－型區(qū)域］

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).3當(dāng)被積函數(shù)均非負(fù)在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的二次積分法仍然有效.由于4說(shuō)明:(1)若積分區(qū)域既是X–型區(qū)域又是Y–型區(qū)域,為計(jì)算方便,可選擇積分序,必要時(shí)還可以交換積分序.則有(2)若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干X-型域或Y-型域,

則5例1注意兩種積分次序的計(jì)算效果！解1.

將D看作X–型區(qū)域,則解2.

將D看作Y–型區(qū)域,

則6例2.計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.

解:為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線則7例3解X-型8例4解積不出的積分，無(wú)法計(jì)算。9

由以上幾例可見(jiàn)，為了使二重積分的計(jì)算較為簡(jiǎn)便，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的特點(diǎn)來(lái)確定，同時(shí)還要兼顧被積函數(shù)的特點(diǎn)，看被積函數(shù)對(duì)哪一個(gè)變量較容易積分，總之要兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)。有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.10例5.

交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則11解:

積分域由兩部分組成:D1D2視為Y–型區(qū)域,則12例7解13解14解15化二重積分為二次積分時(shí)選擇積分次序的重要性，有些題目?jī)煞N積分次序在計(jì)算上難易程度差別不大，有些題目在計(jì)算上差別很大，甚至有些題目對(duì)一種次序能積出來(lái)，而對(duì)另一種次序卻積不出來(lái).另外交換二次積分的次序：先由二次積分找出二重積分的積分區(qū)域，畫(huà)出積分區(qū)域，再交換積分次序，寫(xiě)出另一種次序下的二次積分.以上各例說(shuō)明16性質(zhì):

設(shè)函數(shù)D位于x軸上方的部分為D1,

當(dāng)區(qū)域關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),函數(shù)關(guān)于變量x有奇偶性時(shí),在D上在閉區(qū)域上連續(xù),域D關(guān)于x軸則則仍有類(lèi)似結(jié)果.在第一象限部分,則有對(duì)稱(chēng),

17例10.

計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,18例11.求兩個(gè)底圓半徑為R的直角圓柱面所圍的體積.解:

設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為利用對(duì)稱(chēng)性,考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為則所求體積為19解曲面圍成的立體如圖.20二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇積分次序）小結(jié)［Y－型］［X－型］21思考與練習(xí)1.設(shè)且求解:交換積分順序后,x,y互換222解先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖23將D分為添加輔助線利用對(duì)稱(chēng)性,得3.

計(jì)算二重積分解:積分域如圖,其中

D由直線圍成.24證明證:左端255.證:左端26練習(xí)題27練習(xí)題答案28二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分29設(shè)D

:則若

f≡1則可求得D的面積30特別,若D:則D:進(jìn)一步,若則31解32例2.計(jì)算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.33注:利用例2可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例2的結(jié)果,得①故①式成立.34解35解36解A37例6.

求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.

解:

設(shè)由對(duì)稱(chēng)性可知38二重積分在極坐