甘肅省部分學(xué)校2024屆高三下學(xué)期2月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

高三數(shù)學(xué)考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：高考范圍.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合或，則（）A.B.C.或D.或2.（）A.B.C.D.3.已知單位向量滿足，則夾角的余弦值為（）A.B.C.D.4.已知復(fù)數(shù)滿足；則（）A.B.C.8D.205.若直線與拋物線只有1個公共點(diǎn)，則的焦點(diǎn)到的距離為（）A.B.C.D.6.已知的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A.B.C.D.7.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.B.C.D.8.已知是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，，則（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列滿足，則（）A.是等差數(shù)列B.的前項(xiàng)和為C.是單調(diào)遞增數(shù)列D.數(shù)列的最小項(xiàng)為410.已知函數(shù)（，其中表示不大于的最大整數(shù)），則（）A.是奇函數(shù)B.是周期函數(shù)C.在上單調(diào)遞增D.的值域?yàn)?1.已知正四面體的棱長為4，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過點(diǎn)作平面平行于，與棱交于，則（）A.該正四面體可以放在半徑為的球內(nèi)B.該正四面體的外接球與以點(diǎn)為球心，2為半徑的球面所形成的交線的長度為C.四邊形為矩形D.四棱錐體積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.2023年度，網(wǎng)絡(luò)評選出河南最值得去的5大景點(diǎn)：洛陽龍門石窟，鄭州嵩山少林寺，開封清明上河園，洛陽老君山，洛陽白云山，小張和小李打算從以上景點(diǎn)中各自隨機(jī)選擇一個去游玩，則他們都去洛陽游玩，且不去同一景點(diǎn)的概率為__________.13.已知分別是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直軸的直線與交于兩點(diǎn)，且，若圓與的一條漸近線交于兩點(diǎn)，則__________.14.若圓錐的母線長為3，則圓錐體積的最大值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知在中，角所對的邊分別為.（1）若，證明：是等腰三角形；（2）若，求的值.16.（本小題滿分15分）2022年日本17歲男性的平均身高為，同樣的數(shù)據(jù)1994年是，近30年日本的平均身高不僅沒有增長，反而降低了.反觀中國近30年，男性平均身高增長了約.某課題組從中國隨機(jī)抽取了400名成年男性，記錄他們的身高，將數(shù)據(jù)分成八組：，；同時從日本隨機(jī)抽取了200名成年男性，記錄他們的身高，將數(shù)據(jù)分成五組：，整理得到如下頻率分布直方圖：（1）由頻率分布直方圖估計(jì)樣本中日本成年男性身高的分位數(shù)；（2）為了了解身高與蛋白質(zhì)攝入量之間是否有關(guān)聯(lián)，課題組調(diào)查樣本中的600人得到如下列聯(lián)表：身高蛋白質(zhì)攝入量合計(jì)豐富不豐富低于108不低于100合計(jì)600結(jié)合頻率分布直方圖補(bǔ)充上面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷成年男性身高與蛋白質(zhì)攝入量之間是否有關(guān)聯(lián)？附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82817.（本小題滿分15分）如圖，正方體的棱長為分別為棱的中點(diǎn).（1）請?jiān)谡襟w的表面完整作出過點(diǎn)的截面，并寫出作圖過程；（不用證明）（2）求點(diǎn)到平面的距離.18.（本小題滿分17分）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上，的長軸長為.（1）求的方程；（2）已知原點(diǎn)為，點(diǎn)在上，的中點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，且線段恰好被點(diǎn)平分，判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，說明理由.19.（本小題滿分17分）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）若有2個極值點(diǎn)，求證：.高三數(shù)學(xué)參考答案?提示及評分細(xì)則1.A因?yàn)榛?，所?故選A.2.C.故選C.3.B兩邊平方得，解得，又為單位向量，所以夾角的余弦值為.故選B.4.B，得，所以.故選B.5.D聯(lián)立與的方程并消去，得.因?yàn)榕c只有1個公共點(diǎn)，所以，結(jié)合，解得，則，所以到的距離.故選D.6.C展開式中的第項(xiàng)為，所以前三項(xiàng)系數(shù)依次為，依題意，有，即，整理，得，解得（舍去）或.由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，展開式中第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即.故選C.7.D.由，解得，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選D.8.A因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增；，即；令，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，所以，即，所以.而在上單調(diào)遞增，故有，即.故選A.9.BC由，得，因?yàn)椋?，從而，所以是首?xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以，即.所以，所以，所以A錯誤，B正確；由，易知是單調(diào)遞增數(shù)列，C正確；當(dāng)時，，當(dāng)時，錯誤.故選BC.10.BD由題意，表示不大于的最大整數(shù)，則，所以，則函數(shù)是以3為周期的函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則又是以3為周期的函數(shù)，則的值域?yàn)楹虳均正確；，所以，故不是奇函數(shù)，A錯誤；當(dāng)時，，故在上無單調(diào)性，C錯誤.故選BD.11.AC對于，易算出該正四面體外接球的半徑，所以該正四面體可以放入半徑為的球內(nèi)，故正確；對于，由可知四面體外接球的半徑，如圖，在中，，所以；在中，，易知兩個球面的交線為圓，其周長為，故B錯誤；對于C，取的中點(diǎn)，連接.易證平面，所以；又平面，平面平面，所以，同理，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形；又是與所成的角，所以，于是四邊形為矩形，則C正確；對于D，設(shè)，易證，所以，可得，同理可得.取中點(diǎn)，連接，交平面于點(diǎn).由上面的論證可知平面.因?yàn)槠矫媾c都平行，所以可得，又易知，所以，即到平面的距離為，所以..令，因?yàn)椋?，所以，故D錯誤.故選AC.12.小張和小李從5個景點(diǎn)中各自選擇1個，共有種可能，5個景點(diǎn)中有3個在洛陽，則他們都選擇去洛陽游玩，且不去同一景點(diǎn)的情況有種，故所求概率.13.設(shè)，解得，解得，所以漸近線方程為，由對稱性，不妨取進(jìn)行計(jì)算，弦長.14.設(shè)底面半徑為，則圓錐的高，體積.令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減；所以當(dāng)，即時，取最大值，此時.15.（1）證明：由，及正弦定理，得，即，即.因?yàn)椋?，?因?yàn)?，所以?因?yàn)?，所以，又，所?故是等腰三角形.（2）解：因?yàn)椋?，則.由（1）可得.因?yàn)椋?由正弦定理，得.因?yàn)?，所?結(jié)合，解得.16.解：（1）由頻率分布直方圖可知，解得.因?yàn)?，所以分位?shù)位于，設(shè)為，則有，解得.故日本成年男性身高的分位數(shù)為.（2）由頻率分布直方圖知，樣本中身高低于的中國成年男性人數(shù)是208（人），樣本中身高低于的日本成年男性人數(shù)是（人），故樣本中身高低于的共有348人，可得下表：身高蛋白質(zhì)攝入量合計(jì)豐富不豐富低于108240348不低于152100252合計(jì)260340600零假設(shè)：成年男性身高與蛋白質(zhì)攝入量之間無關(guān)聯(lián)，則由列聯(lián)表數(shù)據(jù)可得：，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為成年男性身高與蛋白質(zhì)攝入量之間有關(guān)聯(lián).17.解：（1）連接并延長交延長線于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則截面即為所求.（2）如圖，以為原點(diǎn)，棱所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以..設(shè)平面的法向量為，則即取，得平面的法向量為.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，故點(diǎn)到平面的距離為.18.解：（1）因?yàn)榈拈L軸長為，所以，由得，把代入的方程得，即，解得，所以，解得，所以的方程為.（2）法一：設(shè)，由題意可知，點(diǎn)既是的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，所以即因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，整理得，因?yàn)樵谏?，所?將兩邊平方，得，又，展開，得，所以，所以，又.所以為定值.法二（通性通法）：當(dāng)軸且在軸右側(cè)時，顯然，則同理，當(dāng)軸且在軸左側(cè)時，.當(dāng)與軸不垂直時，設(shè)直線的方程為.由得，則，化簡，得.設(shè)，則.設(shè)，則，所以，代入，得，化簡，得，適合..綜上，為定值.19.（1）解：法一：因?yàn)?，所以，若，則在上單調(diào)遞增；若，令，則，時單調(diào)遞減；時單調(diào)遞增