北師大版九年級數(shù)學上冊基礎知識專項講練 專題1.4 菱形的性質(zhì)與判定（拓展篇）（專項練習）

專題1.4菱形的性質(zhì)與判定（拓展篇）（專項練習）一、單選題類型一、平面直角坐標系中的菱形問題1．如圖，在平面直角坐標系中、四邊形OABC為菱形，O為原點，A點坐標為（8，0），∠AOC＝60°，則對角線交點E的坐標為（

）A．（4，2） B．（2，4） C．（2，6） D．（6，2）2．如圖，菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，，，則點C的坐標為（

）A． B． C． D．3．如圖1，點從菱形的頂點出發(fā)，沿以的速度勻速運動到點．圖2是點運動時，的面積隨時間變化的函數(shù)關系圖象，則菱形的周長為（

）A．5 B． C． D．4．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），四邊形OABC是菱形，，以OB為邊作菱形，使頂點在OC的延長線上，再以為邊作菱形，使頂點在的延長線上，再以為邊作菱形，使頂點在的延長線上，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的坐標是（

）A． B．C． D．類型二、折疊中的菱形問題5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，將△BEF沿EF所在直線翻折得到△DEF，點D為∠ABC的平分線與邊AC的交點，則線段EF的長度為（

）A． B． C． D．6．圖，在中，，，，點是斜邊上一動點，連結，將以直線為對稱軸進行軸對稱變換，點的對稱點為，連結，則在點從點出發(fā)向點運動的整個過程中，線段長度的最小值為（

）A．1 B． C． D．7．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點D為AB的中點，點E在邊BC（包括點B、C）上，將△BDE沿著直線DE翻折得到△B′DE，設∠BDE為α，當α為（

）度時，以點A、C、B′、D為頂點的四邊形為菱形．A．60° B．30° C．30°或120° D．45°或60°8．如圖1，點Q為菱形ABCD的邊BC上一點，將菱形ABCD沿直線AQ翻折，點B的對應點P落在BC的延長線上.已知動點M從點B出發(fā)，在射線BC上以每秒1個單位長度運動.設點M運動的時間為x，△APM的面積為y．圖2為y關于x的函數(shù)圖象，則菱形ABCD的面積為（

）A．12 B．24 C．10 D．20類型三、菱形的最值問題9．如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點O，AB＝4，BD＝，E為AB的中點，點P為線段AC上的動點，則EP＋BP的最小值為（

）A．4 B． C． D．810．如圖，在平行四邊形中，對角線平分，，，在對角線上有一動點P，邊上有一動點Q，使的值最小，則這個最小值為（

）A．4 B． C． D．811．如圖，AC是菱形ABCD的對角線，．點E，F(xiàn)是AC上的動點，且，若，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．12．如圖，已知菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點，P是對角線BD上一點，則PM+PN的最小值是（）A．5 B．10 C．6 D．8類型四、菱形的旋轉(zhuǎn)問題13．如圖，在中，，點、分別是邊、的中點，將繞點旋轉(zhuǎn)得，則四邊形一定是（）A．矩形 B．菱形C．正方形 D．梯形14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形ABCD的BC邊的中點O在坐標原點上，，，軸，將菱形ABCD繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，點A的對應點為點，則點的坐標為（

）A． B． C． D．15．如圖．將菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．當AC平分∠B′AC′時，∠α與∠β滿足的數(shù)量關系是（

）A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠βC．4∠α＋∠β＝180° D．3∠α＋2∠β＝180°16．如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，將菱形ABCD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，對應得到菱形AEFG，點E在AC上，EF與CD交于點P，則DP的長是(

)A． B． C． D．二、填空題類型一、坐標系下的菱形問題17．如圖，若菱形的頂點A，B的坐標分別為，點D在y軸上，則點是______．18．如圖，在平面直角坐標系中，已知菱形OABC的頂點O、B的坐標分別為（0，0）、（2，2），若菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)135°時，菱形的對角線交點D的坐標為_______．19．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的對角線上有P，Q兩個動點，且，已知點，當周長最小時，點P的坐標為________．20．已知：在平面直角坐標系中，點0為坐標原點，點A在x軸的負半軸上，直線y＝﹣x+與x軸、y軸分別交于B、C兩點．四邊形ABCD為菱形，連接AC，點P為△ACD內(nèi)一點，且∠APB＝60°，點E在線段AP上，點F在線段BP上，且BF＝AE，連接AF，EF，若∠AFE＝30°，則AF2+EF2的值為___．類型二、折疊中的菱形問題21．如圖，AD是△ABC的高，在AB上取一點E，在AC上取一點F，將△ABC沿過E、F的直線折疊，使點A與點D重合，給出以下判斷：①EF是△ABC的中位線；②△DEF的周長等于△ABC周長的一半；③若AB=AC，則四邊形AEDF是菱形；④若∠BAC是直角，則四邊形AEDF是矩形；其中正確的是_________．22．如圖，在菱形中，F(xiàn)為邊上一點，將沿折疊，點C恰好落在延長線上的點E處，連接交于點G，若，，則的長為______．23．如圖，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，點E是邊AB上一點，以DE為對稱軸將△DAE折疊得到△DGE，再折疊BE使BE落在直線EG上，點B的對應點為點H，折痕為EF且交BC于點F．（1）∠DEF＝________；（2）若點E是AB的中點，則DF的長為________．24．如圖，在菱形中，，，，分別是邊，上的點，將沿EF折疊，使點的對應點落在邊上，若，則的長為______．類型三、菱形的最值問題25．如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在對角線AC和邊AD上，連接DE，EF，若AC=4，BD=2，則DE，EF之和的最小值為______．26．如圖，在菱形中，，，點，在上，且，連接，，則的最小值為________．27．如在菱形中，，，E為的中點，P為對角線上的任意一點，則的最小值為__________．28．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，對角線AC、BD交于點O，BD＝4，點E為OD的中點，點F為AB上一點，且AF＝3BF，點P為AC上一動點，連接PE、PF，則PF﹣PE的最大值為___．類型四、菱形的旋轉(zhuǎn)問題29．如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠A＝45°，將菱形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)45°，得到菱形，其中B、C、D的對應點分別是，那么點的距離為_____________．30．如圖，菱形ABCD，∠BAC=α，M是AC、BD的交點，P是線段BM上的動點（不與點B、M重合），將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段PQ，點Q恰好在CD上，若要使得PQ=QD，則α的范圍為_______．31．如圖，已知等邊三角形繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，分別為線段和線段上的動點，且，有以下結論：①四邊形為菱形；②；③為等邊三角形；④．其中正確結論有__________．（填序號）32．如圖，在平面直角坐標系中，O是菱形ABCD對角線BD的中點，AD∥x軸，AD=4，∠A=60°．將菱形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)，使點D落在x軸上，則旋轉(zhuǎn)后點C的對應點的坐標是_____________．三、解答題33．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB的解析式為，它與x軸交于點B，與y軸交于點A，直線y=-x與直線AB交于點C．動點P從點C出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線CO運動，運動時間為t秒．(1)求△AOC的面積；(2)設△PAO的面積為S，求S與t的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍；(3)M是直線OC上一點，在平面內(nèi)是否存在點N，使以A，O，M，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．34．矩形ABCD中，AD=5，AB=3，將矩形ABCD沿某直線折疊，使點A的對應點A′落在線段BC上，再打開得到折痕EF．（1）當A′與B重合時（如圖1），EF=；（2）當折痕EF過點D時（如圖2），求線段EF的長；（3）觀察圖3和圖4，①利用圖4，證明四邊形AEA′F是菱形；②設BA′=x，當x的取值范圍是時，四邊形AEA′F是菱形．35．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，點E為AB邊上一動點（與點A，B不重合），連接CE，將∠ACE的兩邊所在射線CE，CA以點C為中心，順時針旋轉(zhuǎn)120°，分別交射線AD于點F，G．(1)若∠ACE＝α，求∠AFC的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；(2)證明AE+AF＝CG；(3)若AB＝4，點M為菱形ABCD對角線AC（不含A點）上的任意一點，則BM+AM的最小值為______．36．綜合與探究問題情境：數(shù)學實踐課上，老師要求同學們先制作一個透明的菱形塑料板，然后在紙上畫一個與透明的菱形相似的菱形，把透明的菱形放在上面記作菱形，它們的銳角頂點重合，且，連接，．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，當邊在邊所在的射線上，直接寫出與的數(shù)量關系：(2)探究發(fā)現(xiàn)：如圖2，將菱形繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點落在邊上，連接和．你認為（1）中的結論是否還成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；(3)探究拓廣：如圖3，在（2）的條件下，當時，探究并說明線段和的數(shù)量關系和位置關系．參考答案1．D【分析】過點E作EF⊥x軸于點F，由直角三角形的性質(zhì)求出EF長和OF長即可．解：過點E作EF⊥x軸于點F，∵四邊形OABC為菱形，∠AOC=60°，∴∠AOE=∠AOC=30°，OB⊥AC，∠FAE=60°，∴∠AEF=30°∵A(8,0)，∴AO=8，∴AE=AO=×8=4，∴AF=AE=2，，∴OF=AO?AF=8?2=6，∴．故選：D【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理及含30°直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．2．B【分析】作CD⊥x軸，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到OC=OA=2，在Rt△OCD中，根據(jù)勾股定理求出OD的值，即可得到C點的坐標．解：作軸于點D，則，∵四邊形OABC是菱形，，∴，又∵，∴，∴，∴，在Rt△OCD中，，，∴，∴，∴，則點C的坐標為，故選：B．【點撥】此題考查了菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，根據(jù)勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)求出OC=OD=是解決問題的關鍵．3．D【分析】由圖1可知點P在AD上運動時，的底和高不變，面積不變；在DB上運動時，面積在減??；故結合圖2可知菱形的邊長為a，高為3，BD=5，進而構建直角三角形，由勾股定理可得到答案．解：由圖可知菱形的邊長為a，BD=5，菱形BC邊上的高是3，如圖則有∴∴∴由有解得故選：D．【點撥】本題考查菱形的性質(zhì)，解直角三角形；懂得從圖中數(shù)據(jù)提煉圖形的邊長并構建直角三角形是解題的關鍵．4．A【分析】連接AC、BC1，分別交OB、OB1于點D、D1，利用菱形的性質(zhì)及勾股定理即可得OB的長，進一步在菱形OBB1C1計算出OB1，過點B1作B1M⊥x軸于M，利用勾股定理計算出B1M，OM，從而得B1的坐標，同理可得B2，B3，B4，B5，B6，B7，B8，B9，B10，B11，B12，根據(jù)循環(huán)規(guī)律可得B2021的坐標．解：如圖所示，連接AC，分別交OB，與D、，∵點A的坐標為（1，0），∴OA=1，∵四邊形OABC是菱形，∠AOC=60°，∴OC=OA=1，OB=2OD，∠COD=30°，∠CDO=90°，∴，∴，∴，∵∠AOC=60°，∴∠B1OC1=90°-60°=30°，∵四邊形OBB1C1是菱形，，在Rt△OC1D1中，∴，∴OB1=2OD1=3，過點B1作B1M⊥x軸于點M，在Rt△OMB1中，∴∴，同理可得，，，，由此可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律“每經(jīng)過12次作圖后點的坐標符號與第一次坐標符號相同，每次菱形的邊長變成原來的倍即，∵2021÷12=168……5，∴B2021的縱坐標符號與B5的相同，則B2021在y軸的負半軸上，又∴B2021的坐標為，故選A【點撥】本題考查平面直角坐標系找規(guī)律，利用菱形的性質(zhì)處理條件，掌握循環(huán)規(guī)律的處理方法是解題的關鍵．5．C【分析】連接BD，求證四邊形BEDF是菱形，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)求解即可．解：如圖，連接BD，∵∠C=90°，∠A=30°，AB=2，∴BC=AB=1，∠ABC=90°-∠A=60°，∵點D為∠ABC的平分線與邊AC的交點，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，∵將△BEF沿EF所在直線翻折得到△DEF，∴BE=DE，BF=DF，∴∠EDB=∠CBD=30°，∠FDB=∠ABD=30°，∴∠EBD=∠FDB=30°，∠EDB=∠FBD=30°，∴BE∥DF，BF∥DE，四邊形BEDF是平行四邊形，∠ADF=∠C=90°，又∵BE=DE，∴四邊形BEDF是菱形，∴BE=BF=DF=DE，在Rt△ADF中，∵∠A=30°，∵AF=2DF=2BF，∴AB=AF+BF=2BF+BF=3BF，∴BF=AB=，又∵∴△BEF是等邊三角形，∴BE=BF=EF=，故選：C．【點撥】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握運用這些知識點．6．D【分析】由題意可知點在AC上時，線段長度最短，故可求解．解：∵將以直線為對稱軸進行軸對稱變換，點的對稱點為，AC、B′C長度不 變，故當A、、C在三點共線時，符合題意，即點在AC上時，線段長度最短，即=AC-，∵在中，，，，∴AB=2BC=2，∴AC=,∴線段長度最短為AC-=，故選D．【點撥】此題主要考查三角形的長度求解，解題的關鍵是熟知軸對稱變換的特點及含30°的直角三角形的性質(zhì)．7．C【分析】分為菱形點對角線，菱形的邊長兩種情況討論即可解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，點D為AB的中點，∴，是等邊三角形折疊①如圖，當為菱形的邊長時，，則②當為菱形的對角線時，此時與重合，如圖同理可得，則故選C【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，確定是等邊三角形是解題的關鍵．8．D【分析】由圖2，可知BP=6，S△ABP=12，由圖1翻折可知，AQ⊥BP，進而得出AQ=4，由勾股定理，可知BC=AB=5，菱形ABCD的面積為BC×AQ即可求出.解：由圖2，得BP=6，S△ABP=12∴AQ=4由翻折可知，AQ⊥BP由勾股定理，得BC=AB==5∴菱形ABCD的面積為BC×AQ=5×4=20故選：D【點撥】本題是一道幾何變換綜合題，解決本題主要用到勾股定理，翻折的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象找出幾何圖形中的對應關系是解決本題的關鍵.9．C【分析】連接DE交AC于點P，連結BP，根據(jù)菱形的性質(zhì)推出AO是BD的垂直平分線，推出PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根據(jù)勾股定理求出DE的長即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD＝2，∵AB＝4，∴，連接DE交AC于點P，連結BP，作EM⊥BD于點M，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，且DO＝BO，即AO是BD的垂直平分線，∴PD＝PB，∴PE+PB＝PE+PD＝DE且值最小，∵E是AB的中點，EM⊥BD，∴BE=2∴，∴∴DM＝BD-BM＝BO＝3，∴DE＝，故選C．【點撥】此題考查了軸對稱-最短路線問題，菱形的性質(zhì)，勾股定理等等，關鍵是根據(jù)題意確定P點位置從而確定PE+PB的最小值的情形．10．B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB＝∠CBD，由角平分線的定義得到∠ABD＝∠CBD，得到平行四邊形ABCD是菱形，推出點A，C關于BD對稱，過A作AQ⊥BC于Q交BD于P，則PQ＋PC最小值＝AQ，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結論．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴點A，C關于BD對稱，過A作AQ⊥BC于Q交BD于P，則PQ＋PC最小值＝AQ，∵∠ABC＝45°，∴△ABQ是等腰直角三角形，∵AB＝BC＝8，∴AQ＝AB＝，∴這個最小值為，故選：B．【點撥】本題考查了軸對稱?最短路線問題，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，準確的找到P與Q的位置是解題的關鍵．11．D【分析】如圖，作出輔助線，當點G，F(xiàn)，B共線時，有最小值，利用題目中的條件，在中，求出，的長度，即可求出的長度，即為的最小值．解：如圖，過點，過點F作，DG與FG交于點G，則四邊形DEFG是平行四邊形，∴，，當點G，F(xiàn)，B共線時，有最小值．連接BD，由菱形的性質(zhì)可知，，∴，，，，，又∵，∴．當G，F(xiàn)，B共線時，，故的最小值為，故選：D．【點撥】本題主要考查了動點幾何問題中的最短線段問題，正確作出輔助線，得到點G，F(xiàn)，B共線時，有最小值，并利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求解是解題的關鍵．12．A【分析】作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，求出CP、BP，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解：作M關于BD的對稱點Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時MP+NP的值最小，連接AC，則P是AC中點，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M為BC中點，∴Q為AB中點，∵N為CD中點，四邊形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四邊形BQNC是平行四邊形，∴PQ∥AD，而點Q是AB的中點，故PQ是△ABD的中位線，即點P是BD的中點，同理可得，PM是△ABC的中位線，故點P是AC的中點，即點P是菱形ABCD對角線的交點，∵四邊形ABCD是菱形，則△BPC為直角三角形，,在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故選：A．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)，勾股定理的應用，解此題的關鍵是能根據(jù)軸對稱找出P的位置．13．A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定，，進而確定四邊形是平行四邊形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)確定，進而確定四邊形是矩形．解：∵繞點旋轉(zhuǎn)得，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，點是邊的中點，∴，∴四邊形是矩形．故選：A．【點撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定定理，熟練掌握以上知識點是解題關鍵．14．D【分析】根據(jù)60°的菱形的性質(zhì)得到OB長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和解直角三角形得到OP，P，OP長，結合圖形從而得到點的坐標；解：如圖1，連接OA，∵，點O為菱形ABCD中BC邊的中點，∴，，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，在中，，，∴，∴點的坐標為，故選D．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，坐標由圖形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，正確的識別圖形是解題的關鍵15．C【分析】根據(jù)AC平分∠B′AC′，得到∠B'AC＝∠C'AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為∠α，得到∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，根據(jù)AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，推出∠BAB'＝∠DAC'，推出∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，根據(jù)AD∥BC，得到∠B+∠BAD＝180°，推出4∠α+∠β＝180°．解：∵AC平分∠B′AC′，∴∠B'AC＝∠C'AC，∵菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠α得到菱形AB′C′D′，∴∠BAB'＝∠CAC'＝∠α，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BAB'＝∠DAC'，∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝∠α，∵AD∥BC，∴∠B+∠BAD＝180°，∴4∠α+∠β＝180°．故選：C．【點撥】本題考查了菱形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和角平分線，熟練掌握菱形的邊、角、對角線性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)圖形全等性質(zhì)，角平分線定義，是解決本題的關鍵．16．A【分析】連接BD交AC于O，根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得到AD=CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=，∠ACD=∠BAC=∠BAD=，OA=OC，AC⊥BD，求出AC=2，由旋轉(zhuǎn)得AE=AB=2，∠EAG=∠BAC=，求出CE=AC-AE=2-2，再證得∠CPE=，求出PC=PE=3-，根據(jù)DP=CD-PC求出數(shù)值即可．解：連接BD交AC于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=CD=AB=2，∠BCD=∠BAD=，∠ACD=∠BAC=∠BAD=，OA=OC，AC⊥BD，∴△ABD是等邊三角形，∴OB=AB=1，∴OA=，∴AC=2，由旋轉(zhuǎn)得AE=AB=2，∠EAG=∠BAC=，∴CE=AC-AE=2-2，∵四邊形AEFG是菱形，∴EF∥AG，∴∠CEP=∠EAG=∵∠CEP+∠ACD=，∴∠CPE=，∴PE=CE=-1，PC=PE=3-，∴DP=CD-PC=2-(3-)=-1，故選：A．．【點撥】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等邊三角形的判定，直角三角形30度角所對的直角邊等于斜邊的一半，熟記菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．17．10【分析】利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理得出DO的長，進而三角形的面積．解：∵菱形ABCD的頂點A，B的坐標分別為（3，0），（-2，0），點D在y軸上，∴AB=3-（-2）=5，AB∥CD，AD=CD=AB=5，即CD∥x軸，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD=∴S=故答案：10．【點撥】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及坐標與圖形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理求出DO的長是解題的關鍵．18．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得D點坐標，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得D點的坐標．解：菱形OABC的頂點O（0，0），B（2，2），得D點坐標為（1，1）．∴，OB與y軸的正半軸的夾角為45°，而y軸的正半軸與x軸的負半軸夾角為90°，∴菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)135°時，即線段OD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)135°時，此時OD在x軸的負半軸上，∴菱形的對角線交點D的坐標為（-，0），故答案為：．【點撥】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關鍵．19．【分析】連接AP、AC交BD于點E，過A點作AD∥PQ，且AD=PQ，連接DQ、CD，則當點Q在線段CD上時CQ+CP最短，從而周長最小，則易得PA⊥OA，從而可求得點P的坐標．解：連接AP、AC交BD于點E，過A點作AD∥PQ，且AD=PQ，連接DQ、CD，如圖∴四邊形ADQP是平行四邊形∴DQ=AP，AD=PQ=2由菱形的對稱性知：AP=CP∴DQ=CP當點Q在線段CD上時，CQ+DQ=CQ+CP最短，從而周長=CQ+CP+2最小∵四邊形OABC是菱形∴OC=OA=，CE=AE，AC⊥BD∵∠AOC=60°∴△OAC是等邊三角形∴∵AD∥PQ∴AC⊥AD由勾股定理得∴∠ACD=30°∵AP∥CD∴∠PAC=∠ACD=30°∴∠PAO=∠CAO+∠PAC=90°即PA⊥OA∵∠AOE=30°∴OP=2AP在Rt△PAO中，由勾股定理得：解得：AP=2則點P的坐標為

故答案為：【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點間線段最短等知識，解題的關鍵是掌握過A點作AD∥PQ，且AD=PQ．20．25【分析】連接CE、CF．證明△CEF是等邊三角形以及AF⊥CF，然后利用勾股定理得出答案．解：如圖，連接、．，，，，，，在中，，四邊形是菱形，，，，，，是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，，，是等邊三角形，，，，，在中，，．故答案為：25．【點撥】本題考查一次函數(shù)綜合題、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，學會構建方程解決問題，屬于中考壓軸題．21．①②③【分析】由折疊的性質(zhì)及垂直的條件可得點E、F分別是AB、AC的中點，從而可判定①正確；

由中位線定理即可判定②正確；由AB=AC及E、F分別為中點可得AE=AF，由折疊的性質(zhì)即可判定③正確；當AB與AC不相等時，點D不是BC的中點，則DE與AC不平行，從而四邊形AEDF不是平行四邊形，故不是矩形，從而可判定④錯誤．解：由折疊性質(zhì)得：AE=DE，AF=DF，且EF⊥AD∴∠EAD=∠EDA∵AD⊥BC∴∠EDA+∠EDB=90゜，∠EAD+∠B=90゜∴∠EDB=∠B∴DE=BE∴DE=AE即點E是AB的中點同理：點F是AC的中點∴EF是△ABC的中位線故①正確∵EF是△ABC的中位線∴∵，∴△AEF的周長為而△ABC的周長為AB+BC+AC∴△AEF的周長等于△ABC周長的一半故②正確v∵AB=AC，E、F分別是AB、AC的中點∴AE=AF∵AE=DE，AF=DF∴AE=DE=DF=AF即四邊形AEDF是菱形故③正確當AB與AC不相等時，點D不是BC的中點，則DE與AC不平行，從而四邊形AEDF不是平行四邊形，故不是矩形故④錯誤故答案為：①②③【點撥】本題考查了三角形中位線定理，菱形的判定，折疊的性質(zhì)等知識，由題意得到E、F分別是中點是解題的關鍵．22．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得CF=EF，DF⊥BC，代入相關數(shù)據(jù)可得CF=5，BC=7，由菱形的性質(zhì)得DC=7，最后根據(jù)勾股定理可得DF的長．解：由折疊得，CF=EF，DF⊥BC，∵BE=3，BF=2∴EF=BE+BF=3+2=5∴CF=5∴BC=BF+FC=2+5=7∵四邊形ABCD是菱形∴DC=BC=7在Rt△DFC中，∴故答案為：【點撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到CF=EF，DF⊥BC是解答本題的關鍵．23．

90°

2.8【分析】（1）由折疊得∠，再根據(jù)平角的定義可得結論；（2）首先證明B、G、D在同一條直線上，再運用勾股定理列方程求解即可．解：解由折疊得，∠∴∠∵∠∴∠即∠故答案為：90°；（2）∵四邊形ABCD是菱形∴ADBC，DCAB，∴∵∠A=120°∴∵點E為AB的中點，且AB=2∴∵點A與點G重合，∴∵點B與點H重合∴又∴∴點G與點H重合∵∠∴三點在同一條直線上過點D作，交BC的延長線于點O，如圖，∵DCAB∴∠∴∠∴在中，由折疊得，，設，則∴，在中，∴解得，∴故答案為2.8【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解答本題的關鍵．24．##【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)和，可得，，，過點作于點，于點，過點于點，得矩形，然后利用含度角的直角三角形可得，得，再利用勾股定理即可解決問題．解：在菱形中，，，，，如圖，過點作于點，于點，過點于點，得矩形，如圖所示：，，，，，，由翻折可知：，，，，，，解得，，在中，，，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得：，，解得，，故答案為：．【點撥】本題考查勾股定理求線段長，涉及到翻折變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關鍵．25．##【分析】如圖所示：在AB上取點F′，使AF′=AF，過點D作DH⊥AB，垂足為H．因為EF+DE=EF′+DE，推出當D、E、F′共線，且點F′與H重合時，F(xiàn)E+DE的值最?。猓骸吡庑蜛BCD中，AC=4，BD=2，∴AO=OC=2，BO=OD=1，∴AD=AB=，如圖所示：在AB上取點F′，使AF′=AF，過點D作DH⊥AB，垂足為H．∵S△ABD=?AO?BD=?AB?DH，∴DH=，∵EF+DE=EF′+DE，∴當D、E、F′共線，且點F′與H重合時，F(xiàn)E+DE的值最小，最小值為，故答案為：．【點撥】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的應用、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學利用對稱解決最短問題．26．【分析】連接BD交AC于點O，根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可得DO=3，當點O為MN的中點時，BM+DN的值最小，再證明得DN=BM，由勾股定理求出DN的長即可．解：連接BD交AC于點O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，AC=8∴又在Rt△AOB中，∴∴DO=5當點O為MN的中點時，BM+DN的值最小，∵MN=1∴在Rt△DON中，∴在Rt△DON和Rt△BOM中，∴∴DN=BM∴∴的最小值為故答案為【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出BN=是解答本題的關鍵．27．【分析】連接AC，CE，則CE的長即為AP+PE的最小值，再根據(jù)菱形ABCD中，得出∠ABC的度數(shù)，進而判斷出△ABC是等邊三角形，故△BCE是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出CE的長．解：連接AC，CE，∵四邊形ABCD是菱形，∴A、C關于直線BD對稱，∴CE的長即為AP+PE的最小值，∵，∴，∴△ABC是等邊三角形，∵E是AB的中點，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了軸對稱-最短路線問題，熟知菱形的性質(zhì)及兩點之間線段最短是解答此題的關鍵．28．1【分析】取OB中點E'，連接PE'，作射線FE'交AC于點P'．則PE＝PE'，當P與P'重合，P'、E'、F三點在同一直線上時，PF﹣PE'有最大值，即為FE'的長．解：如圖，取OB中點E'，連接PE'，作射線FE'交AC于點P'．則PE＝PE'，∴PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，當P與P'重合，P'、E'、F三點在同一直線上時，PF﹣PE'有最大值，即為FE'的長，∵在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠ABD＝60°，∠DAB＝60°，∴△ABD為等邊三角形．∴AB＝BD＝AD＝4．∴OD＝OB＝2．∵點E'為OB的中點，E'B＝1，AF＝3BF，∴BFAB＝1，∵∠ABD＝60°，∴△BE'F為等邊三角形，∴E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值為1．故答案為：1．【點撥】本題考查了軸對稱﹣最大值問題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練運用軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關系是解題的關鍵．29．【分析】首先由菱形的性質(zhì)可知，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，從而可證明為直角三角形，然后由勾股定理即可求得的長度．解：如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，，∴．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：，，∴．在中，故答案為：【點撥】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)以及勾股定理的應用，證得為直角三角形是解題的關鍵．30．45°<α<60°【分析】根據(jù)菱形ABCD中AB∥CD，得到∠BAC=∠ACD=α，根據(jù)∠CDM=90°，得到∠CDP=90°-∠ACD=90°-α，根據(jù)PQ=QD，得到∠QPD=∠QDP=90°-α，∠APM=∠APQ-∠DPQ=2α-（90°-α）=3α-90°，根據(jù)∠APM>∠ABM，得到3α-90°>90°-α，α>45°，根據(jù)∠APM<90°，得到3α-90°<90°，α<60°，得到45°<α<60°．解：∵菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD=α，∵∠CMD=90°，∴∠CDP=90°-∠ACD=90°-α，∵PQ=QD，∴∠QPD=∠QDP=90°-α，∴∠APM=∠APQ-∠DPQ=2α-（90°-α）=3α-90°，∵∠APM>∠ABM，∠ABM=∠CDM，∴3α-90°>90°-α，∴α>45°，∵∠APM<90°，∴3α-90°<90°，∴α<60°，∴45°<α<60°．故答案為45°<α<60°．【點撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，直角三角形的角的性質(zhì)，熟練掌握菱形的邊、角、對角線的性質(zhì)，三角形外角大于不相鄰任一個內(nèi)角，直角三角形中銳角小于直角的性質(zhì)，是解決問題的關鍵．31．①②③④【分析】①由等邊三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=AC=BD=CD即可判斷；②利用SAS即可判定△ABE≌△CBF；③由全等三角形的性質(zhì)可知BE=BF，∠ABE=∠CBF，再結合∠ABC=∠ABE+EBC=60°，即可求出∠EBF=60°，即證明△BEF為等邊三角形；④由∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+FCG即可判斷．解：由等邊三角形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AB=AC=BD=CD，即四邊形ABCD為菱形故①正確．∵在△ABE和△CBF中，，∴△ABE≌△CBF（SAS），故②正確；∵△ABE≌△CBF，∴BE=BF，∠ABE=∠CBF，∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°，∴∠CBF+∠EBC=60°，即∠EBF=60°，∴△BEF為等邊三角形，故③正確；∵∠CFB=∠CFG+∠BFG，∠CGE=∠CFG+FCG，∠FCG=∠BFG=60°，∴∠CFB=∠CGE，故④正確；綜上，①②③④都正確，故答案為：①②③④．【點撥】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，熟練掌握這些知識并利用數(shù)形結合的思想解題的關鍵．32．或##或【分析】分當D落在x軸正半軸時和當D落在x軸負半軸時，兩種情況討論求解即可．解：如圖1所示，當D落在x軸正半軸時，∵O是菱形ABCD對角線BD的中點，∴AO⊥DO，∴當D落在x軸正半軸時，A點在y軸正半軸，∴同理可得A、B、C三點均在坐標軸上，且點C在y軸負半軸，∵∠BAD=60°，∴∠OAD=30°，∴，∴，∴點C的坐標為（0，）；如圖2所示，當D落在x軸負半軸時，同理可得，∴點C的坐標為（0，）；∴綜上所述，點C的坐標為（0，）或（0，），故答案為：（0，）或（0，）．【點撥】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，坐標與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關鍵．33．(1)△AOC的面積=3(2)(3)存在，，，，【分析】（1）由y＝x+3可求得A（0，3），聯(lián)立y＝﹣x得C（﹣2，2），根據(jù)三角形的面積公式即可得△AOC的面積；（2）設點P的坐標為（m，﹣m），由題意得CP＝t，根據(jù)兩點的距離公式可得m＝t﹣2，根據(jù)三角形的面積公式得出S＝OA?PE，根據(jù)t的取值范圍即可求解；（3）分兩種情況：①當OA為菱形的邊時，②當OA為菱形的對角線時，分別根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求得答案．(1)解：把x=0代入中，y=3，∴點A的坐標為（0，3），即OA=3．聯(lián)立解得∴點C的坐標為（-2，2）．∴△AOC的面積；(2)解：如圖，過點C作CF⊥y軸于點F，過點P作PE⊥y軸于點E．∵點C的坐標為（-2，2），∴∠AOC=45°．∴．由題意，得CP=t．當時，，，∴．∴；同理可得當時，．綜上，(3)解：∵A（0，3），∴AO＝3，①當OA為菱形的邊時，如圖，∵四邊形AOMN是菱形，∴MN∥OA，MN＝OA＝OM＝3，∵直線OC：y＝﹣x，∴∠MOB＝45°，∴M（﹣，），∴N（﹣，+3）；同理N′（，3﹣）；②當OA為菱形邊時，如圖此時菱形AMNO是正方形，∴OA=ON，點N的坐標為（-3，0）；③當OA為菱形的對角線時，如圖，連接MN，∵四邊形AOMN是菱形，∴MN⊥OA，MN、OA互相平分，∴MN∥x軸，∴點M、N的縱坐標為，∵直線OC：y＝﹣x，M是直線OC上一點，∴M（﹣，），∴N（，），綜上所述，存在點N，使以A，O，M，N為頂點的四邊形是菱形，點N的坐標為（﹣，+3）或（，3﹣）或（，）或（-3，0）．【點撥】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點，三角形的面積公式，菱形的性質(zhì)等，解本題的關鍵是用分類討論的思想解決問題．34．（1）5；（2）；（3）見分析；3≤x≤5.【分析】（1）由于矩形對折，于是EF=AD=5；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到DC=AB=3，A′F=AD=5，在Rt△A′CF中利用勾股定理可計算出A′C=4，設AE=t，則BE=3-t，EA′=t，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（3-t）2+12=t2，解得t=，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可計算出EF；（3）①根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EA=EA′，F(xiàn)A=FA′，∠AEF=∠A′EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A′EF=∠AFE，則有∠A′FE=∠A′EF，于是A′E=A′F，易得AE=EA′=A′F=FA，根據(jù)菱形的判定即可得到結論；②當折痕FE過B點時，四邊形AEA′F是正方形，BA′最小，此時BA′=BA=3；當點A的對應點A′落在C點時，BA′=5，于是得到x的取值范圍是3≤x≤5，四邊形AEA′F是菱形.解：（1）當A′與B重合時，如圖1，把矩形對折，所以EF=AD=5．故答案為：5；（2）如圖2，DC=AB=3，A′F=AD=5，在Rt