拋體運(yùn)動的規(guī)律及其應(yīng)用

拋體運(yùn)動的規(guī)律及其應(yīng)用知識點(diǎn)一、平拋運(yùn)動1．定義將物體以一定的初速度沿水平方向拋出，不考慮空氣阻力，物體只在重力作用下所做的運(yùn)動．2．性質(zhì)加速度為重力加速度的勻變速曲線運(yùn)動，軌跡是拋物線．3．方法平拋運(yùn)動可以分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動，豎直方向的自由落體運(yùn)動．4．根本規(guī)律(如圖4－2－1)圖4－2－1(1)位移關(guān)系(2)速度關(guān)系1.飛行時(shí)間由t＝eq\r(\f(2h,g))知，時(shí)間取決于下落高度h，與初速度v0無關(guān)．2．水平射程x＝v0t＝v0eq\r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同決定，與其他因素?zé)o關(guān)．3．落地速度v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝eq\r(v\o\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度與x軸正方向間的夾角，有tanθ＝eq\f(vy,vx)＝eq\f(\r(2gh),v0)，所以落地速度只與初速度v0和下落高度h有關(guān)．4.速度改變量因?yàn)槠綊佭\(yùn)動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運(yùn)動的物體在任意相等時(shí)間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt相同，方向恒為豎直向下，如圖4－2－6所示．圖4－2－65．兩個(gè)重要推論(1)做平拋(或類平拋)運(yùn)動的物體任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，如圖4－2－7所示．圖4－2－7(2)做平拋(或類平拋)運(yùn)動的物體在任一時(shí)刻任一位置處，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移與水平方向的夾角為α，那么tanθ＝2tanα，如圖4－2－8所示．圖4－2－8例題1、如圖4－2－9所示，從某高度水平拋出一小球，經(jīng)過時(shí)間t到達(dá)地面時(shí)，速度與水平方向的夾角為θ，不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g.以下說法正確的選項(xiàng)是()A．小球水平拋出時(shí)的初速度大小為gttanθB．小球在t時(shí)間內(nèi)的位移方向與水平方向的夾角為eq\f(θ,2)C．假設(shè)小球初速度增大，那么平拋運(yùn)動的時(shí)間變長D．假設(shè)小球初速度增大，那么θ減小 圖4－2－9【解析】落地時(shí)豎直方向上的速度vy＝gt.因?yàn)樗俣确较蚺c水平方向的夾角為θ，小球的初速度v0＝vycotθ＝gtcotθ，A錯(cuò)；速度與水平方向夾角的正切值tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)，位移與水平方向夾角的正切值tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(1,2)eq\f(gt2,v0t)＝eq\f(gt,2v0)，tanθ＝2tanα.但a≠eq\f(θ,2)，故B錯(cuò)；平拋運(yùn)動的時(shí)間由高度決定，與初速度無關(guān)．故C錯(cuò)；由于tanθ＝eq\f(vy,v0)＝eq\f(gt,v0)，假設(shè)小球初速度增大，那么θ減小，D對．【答案】D【遷移應(yīng)用】1.(2013·內(nèi)蒙古包鋼一中適應(yīng)性訓(xùn)練)如圖4－2－10所示，B為豎直圓軌道的左端點(diǎn)，它和圓心O的連線與豎直方向的夾角為α.一小球在圓軌道左側(cè)的A點(diǎn)以速度v0平拋，恰好沿B點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓軌道．重力加速度為g，那么A、B之間的水平距離為()A.eq\f(v\o\al(2,0)tanα,g)B.eq\f(2v\o\al(2,0)tanα,g)C.eq\f(v\o\al(2,0),gtanα)D．eq\f(2v\o\al(2,0),gtanα)圖4－2－10【解析】設(shè)小球到B點(diǎn)時(shí)其速度為v，如下圖，在B點(diǎn)分解其速度可知：vx＝v0，vy＝v0tanα，又知小球在豎直方向做自由落體運(yùn)動，那么有vy＝gt，聯(lián)立得：t＝eq\f(v0tanα,g)，A、B之間的水平距離為xAB＝v0t＝eq\f(v\o\al(2,0)tanα,g)，所以只有A項(xiàng)正確．【答案】A例題2、在傾角為θ的斜面頂端A處以速度v0水平拋出一小球，落在斜面上的某一點(diǎn)B處，空氣阻力不計(jì)，求：(1)小球從A處運(yùn)動到B處所需的時(shí)間；(2)從拋出開始計(jì)時(shí)，經(jīng)過多長時(shí)間小球離斜面的距離到達(dá)最大？(3)小球離斜面的距離最大是多少？【解析】(1)小球做平拋運(yùn)動，同時(shí)受到斜面體的限制．設(shè)小球從A處運(yùn)動到B處所需的時(shí)間為t，那么：水平位移為x＝v0t，豎直位移為y＝eq\f(1,2)gt2；根據(jù)題意和數(shù)學(xué)關(guān)系可知合位移與水平位移的夾角即為θ，那么有tanθ＝eq\f(y,x)；聯(lián)立以上三式解得：t＝eq\f(2v0tanθ,g).(2)當(dāng)小球垂直斜面向上的分速度為零時(shí)，離斜面的距離最大，此時(shí)小球只有平行于斜面的速度，故可知當(dāng)小球的速度與斜面平行時(shí)，小球離斜面的距離最大，由此可得此時(shí)合速度的方向．設(shè)小球從拋出開始計(jì)時(shí)，經(jīng)時(shí)間t1小球離斜面的距離到達(dá)最大，如圖甲所示，那么有：vy＝gt1＝v0tanθ，解得t1＝eq\f(v0tanθ,g).甲(3)方法1(常規(guī)解法)：由(2)中計(jì)算可知，離斜面最遠(yuǎn)時(shí)，運(yùn)動的時(shí)間t1＝eq\f(v0tanθ,g)，如圖乙所示，那么小球的水平位移x＝AC＝v0t1＝eq\f(v\o\al(2,0)tanθ,g)，豎直位移y＝CE＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)＝eq\f(v\o\al(2,0)tan2θ,2g)；由圖中幾何關(guān)系可知：小球離斜面的最大距離hmax＝EF＝(CD－CE)cosθ＝(xtanθ－y)cosθ；解得：hmax＝xsinθ－ycosθ＝eq\f(v\o\al(2,0)sin2θ,2gcosθ).乙方法2(推論解法)：如圖乙所示，根據(jù)平拋運(yùn)動的物體任意時(shí)刻速度方向反向延長線必過水平位移的中點(diǎn)可知：x＝eq\f(v\o\al(2,0)tanθ,g)，結(jié)合圖中幾何關(guān)系可知小球離斜面的最大距離hmax＝GH＝eq\f(x,2)sinθ＝eq\f(v\o\al(2,0)sin2θ,2gcosθ).方法3(變換分解法)：將小球的運(yùn)動分解成垂直斜面向上的勻減速直線運(yùn)動和平行斜面方向的勻加速直線運(yùn)動，如圖丙所示，那么小球在垂直斜面方向上做勻減速直線運(yùn)動的初速度是vy0＝v0sinθ，加速度ay＝－gcosθ；離開斜面的距離最大時(shí)有vy＝0，那么由運(yùn)動公式a＝eq\f(vt－v0,t)得：小球離開斜面的距離最大時(shí)所需的時(shí)間t1＝eq\f(v0tanθ,g)，由veq\o\al(2,t)－veq\o\al(2,0)＝2as得：小球離開斜面的最大距離hmax＝eq\f(v\o\al(2,0)sin2θ,2gcosθ).【答案】(1)eq\f(2v0tanθ,g)(2)eq\f(v0tanθ,g)(3)eq\f(v\o\al(2,0)sin2θ,2gcosθ)平拋運(yùn)動的三種分解思路(1)分解速度：設(shè)平拋運(yùn)動的初速度為v0，在空中運(yùn)動的時(shí)間為t，那么平拋運(yùn)動在水平方向的速度為vx＝v0，在豎直方向的速度為vy＝gt，合速度為v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))，合速度與水平方向夾角的正切tanθ＝eq\f(vy,vx).(2)分解位移：平拋運(yùn)動在水平方向的位移為x＝v0t，在豎直方向的位移為y＝eq\f(1,2)gt2，對拋出點(diǎn)的位移(合位移)為s＝eq\r(x2＋y2)，合位移與水平方向夾角的正切為tanα＝eq\f(y,x).【遷移應(yīng)用】2.(多項(xiàng)選擇)(2013·河北五校聯(lián)考)如圖4－2－11所示，斜面傾角為θ，從斜面的P點(diǎn)分別以v0和2v0的速度水平拋出A、B兩個(gè)小球，不計(jì)空氣阻力，假設(shè)兩小球均落在斜面上且不發(fā)生反彈，那么()A．A、B兩球的水平位移之比為1∶4B．A、B兩球飛行時(shí)間之比為1∶2C．A、B兩球下落的高度之比為1∶2D．A、B兩球落到斜面上的速度大小之比為1∶4圖4－2－11【解析】由平拋運(yùn)動規(guī)律有x1＝v0t1，y1＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,1)，tanθ＝eq\f(y1,x1)；x2＝2v0t2，y2＝eq\f(1,2)gteq\o\al(2,2)，tanθ＝eq\f(y2,x2)；聯(lián)立得A、B兩球飛行時(shí)間之比為t1∶t2＝1∶2，A、B兩球的水平位移之比為x1∶x2＝1∶4，選項(xiàng)A、B正確．A、B下落的高度之比為y1∶y2＝1∶4，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．A、B兩球落到斜面上的速度大小分別為v1＝eq\r(v\o\al(2,0)＋gt12)，v2＝eq\r(2v02＋gt22)＝eq\r(2v02＋2gt12)＝2eq\r(v\o\al(2,0)＋gt12)，A、B兩球落到斜面上的速度大小之比為1∶2，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【答案】AB類平拋運(yùn)動受力特點(diǎn)：物體所受合力為恒力，且與初速度的方向垂直運(yùn)動特點(diǎn)：在初速度v0方向做勻速直線運(yùn)動，在合外力方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，加速度a＝eq\f(F合,m)處理方法例題3、在光滑的水平面內(nèi)，一質(zhì)量m＝1kg的質(zhì)點(diǎn)以速度v0＝10m/s沿x軸正方向運(yùn)動，經(jīng)過原點(diǎn)后受一沿y軸正方向(豎直方向)的恒力F＝15N作用，直線OA與x軸成α＝37°，如圖4－2－12所示曲線為質(zhì)點(diǎn)的軌跡圖(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)．求：(1)如果質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡與直線OA相交于P點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)到P點(diǎn)所經(jīng)歷的時(shí)間以及P點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過P點(diǎn)的速度大小．圖4－2－12【審題指導(dǎo)】(1)此質(zhì)點(diǎn)是在水平面內(nèi)做類平拋運(yùn)動．(2)圖中角度α是從拋點(diǎn)O到P總位移與x軸方向的夾角，相當(dāng)于平拋運(yùn)動中的位移與v0的夾角．【解析】(1)質(zhì)點(diǎn)在水平方向上無外力作用做勻速直線運(yùn)動，豎直方向受恒力F和重力mg作用做勻加速直線運(yùn)動．由牛頓第二定律得a＝eq\f(F－mg,m)＝eq\f(15－10,1)m/s2＝5m/s2設(shè)質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)到P點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為t，P點(diǎn)坐標(biāo)為(xP，yP)，那么xP＝v0t，yP＝eq\f(1,2)at2又tanα＝eq\f(yP,xP)聯(lián)立解得：t＝3s，xP＝30m，yP＝22.5m.(2)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)沿y軸方向的速度vy＝at＝15m/s故P點(diǎn)的速度大小vP＝eq\r(v\o\al(2,0)＋v\o\al(2,y))＝5eq\r(13)m/s.【答案】(1)3sP(30m,22.5m)(2)5eq\r(13)m/s【即學(xué)即用】在運(yùn)動的合成和分解的實(shí)驗(yàn)中，紅蠟塊在長1m的豎直放置的玻璃管中在豎直方向做勻速直線運(yùn)動．現(xiàn)在某同學(xué)拿著玻璃管在水平方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(忽略蠟塊與玻璃管之間的摩擦)，并每隔1s畫出蠟塊運(yùn)動所到達(dá)的位置，運(yùn)動軌跡如圖4－2－13所示，假設(shè)在軌跡上C點(diǎn)(a，b)作該曲線的切線(圖中虛線)交y軸于A點(diǎn)，那么A的坐標(biāo)為()A．(0,0.5b) B．(0,0.6b)C．(0,0.5a) D．(0，a)圖4－2－13【解析】蠟塊在豎直方向(即y軸方向)做勻速直線運(yùn)動，在水平方向(即x軸方向)做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，所以蠟塊的運(yùn)動屬于類平拋運(yùn)動；因?yàn)樽銮€運(yùn)動的物體在某點(diǎn)(或某時(shí)刻)的瞬時(shí)速度方向，就是通過該點(diǎn)(或該時(shí)刻)的曲線的切線方向，所以題中切線代表蠟塊在C點(diǎn)的瞬時(shí)速度方向所在直線；根據(jù)平拋運(yùn)動的推論“平拋(或類平拋)運(yùn)動的物體任意時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長線一定通過此時(shí)水平位移的中點(diǎn)”可知，A對．【答案】A知識點(diǎn)三、斜拋運(yùn)動1．定義將物體以v沿斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運(yùn)動．2．性質(zhì)加速度為重力加速度的勻變速曲線運(yùn)動，軌跡是拋物線．3．研究方法斜拋運(yùn)動可以看做水平方向的勻速直線運(yùn)動和豎直方向的豎直上拋(或豎直下拋)運(yùn)動的合運(yùn)動．4．根本規(guī)律(以斜上拋運(yùn)動為例，如圖4－2－2所示)：圖4－2－2(1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F(xiàn)合x＝0.(2)豎直方向：v0y＝v0sin_θ，F(xiàn)合y＝mg.課堂演練1．(多項(xiàng)選擇)關(guān)于做平拋運(yùn)動的物體，以下說法正確的選項(xiàng)是()A．平拋運(yùn)動是非勻變速曲線運(yùn)動B．平拋運(yùn)動是勻變速曲線運(yùn)動C．每秒內(nèi)速度的變化量相等D．每秒內(nèi)速率的變化量相等【解析】平拋運(yùn)動的加速度就是重力加速度，大小、方向恒定，所以平拋運(yùn)動是勻變速曲線運(yùn)動；平拋運(yùn)動的水平速度不變，只有豎直速度變化，因g恒定所以每秒變化量相等，因此，只有B、C選項(xiàng)正確．【答案】BC2.平拋物體的運(yùn)動規(guī)律可以概括為兩點(diǎn)：一是水平方向做勻速直線運(yùn)動；二是豎直方向做自由落體運(yùn)動．為了研究平拋物體的運(yùn)動，可做下面的實(shí)驗(yàn)：如圖4－2－3所示，用小錘打擊彈性金屬片，A球水平飛出，同時(shí)B球被松開，做自由落體運(yùn)動．兩球同時(shí)落到地面．那么這個(gè)實(shí)驗(yàn)()A．只能說明上述規(guī)律中的第一條B．只能說明上述規(guī)律中的第二條C．不能說明上述規(guī)律中的任何一條D．能同時(shí)說明上述兩條規(guī)律圖4－2－3【解析】該題考查對平拋運(yùn)動及其分運(yùn)動的理解，同時(shí)考查探究問題的思維能力．實(shí)驗(yàn)中A球做平拋運(yùn)動，B球做自由落體運(yùn)動，兩球同時(shí)落地說明A球平拋運(yùn)動的豎直分運(yùn)動和B球相同，而不能說明A球的水平分運(yùn)動是勻速直線運(yùn)動，所以B項(xiàng)正確，A、C、D三項(xiàng)都不對．【答案】B3.如圖4－2－4所示，在同一平臺上的O點(diǎn)水平拋出的三個(gè)物體，分別落到a、b、c三點(diǎn)，那么三個(gè)物體運(yùn)動的初速度va，vb，vc的關(guān)系和三個(gè)物體運(yùn)動的時(shí)間ta，tb，tc的關(guān)系分別是()A．va>vb>vcta>tb>tc B．va>vb>vcta＝tb＝tcC．va<vb<vcta>tb>tc D．va>vb>vcta<tb<tc圖4－2－4【解析】根據(jù)平拋運(yùn)動的運(yùn)動時(shí)間只與高度有關(guān)知，三個(gè)物體運(yùn)動的時(shí)間ta、tb、tc的關(guān)系是ta>tb>t