2023年考研高數(shù)復(fù)習(xí)綱要

函數(shù)、極限與連續(xù)

(一)本章的重點內(nèi)容與常見的典型題型

1.本章的重點內(nèi)容是極限，既要精確理解極限的概念和極限存在的充要條件，又要能

正確求出各種極限。求極限的方法許多，在考試中常用的主要方法有：

(1)利用極限的四則運算法則及函數(shù)的連續(xù)性；

(2)利用兩個重要極限，兩個重要極限即

(.1Y(.1Y/.甘

lim1+—=lim1+—=hm(l+x>r=e,

n)XJXT。'

sinx,

lim------=1;

x->0x

(3)利用洛必達(dá)法則及泰勒公式求未定式的極限；

(4)利用等價無窮小代替(常會使運算簡化)；

(5)利用夾逼定理；

(6)先證明數(shù)列極限的存在(通常會用到“單調(diào)有界數(shù)列必有極限”的準(zhǔn)則)，再利用關(guān)

系式求出極限；

(7)利用定積分求某些和式的極限；

(8)利用導(dǎo)數(shù)的定義；

(9)利用級數(shù)的收斂性證明數(shù)列的極限為零。

這里須要指出的是：題型與方法并不具有確定的關(guān)系，一種題型可以有幾種計算法，一

種方法也可能用于幾種題型，有時在一個題目中要用到幾種方法，所以還要詳細(xì)問題詳細(xì)分

析，方法要敏捷運用。

2.由于函數(shù)的連續(xù)性是通過極限定義的，所以推斷函數(shù)是否連續(xù)、推斷函數(shù)的間斷點

類型等問題本質(zhì)上仍是求極限、因此這部分也是重點。

3.在函數(shù)這一部分內(nèi)，重點是復(fù)合函數(shù)和分段函數(shù)以及函數(shù)記號的運算。

通過歷年試題歸類分析，本章的常見題型有：

1.干脆計算函數(shù)的極限值或給定函數(shù)極限值求函數(shù)表示式中的常數(shù)；

2.探討函數(shù)的連續(xù)性、推斷間斷點的類型；

3.無窮小的比較；

4.探討連續(xù)函數(shù)在給定區(qū)間的零點，或方程在給定區(qū)間有無實根;

5.求分段函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。

（二）學(xué)問網(wǎng)絡(luò)圖

e-NM定義

/極限概念￡—X”定義

一3”定義

唯一性

數(shù)列整體有界

極限性質(zhì)有界性

一函數(shù)局部有界

保號性

夾逼定理

1極限存在準(zhǔn)則

單調(diào)有界數(shù)列有極限

求極限的2兩個重要的極限

主要方法3函數(shù)的連續(xù)性Llim把七=1

x-＞Oj（-

\4用導(dǎo)數(shù)的定義廠［型二型＜-

5洛必達(dá)法則Y開U八習(xí)

6等價無窮小替換J1"、8°、0°型

7泰勒公式

I8用函數(shù)極限求數(shù)列極限

“無窮小量與無窮大量的定義、關(guān)系

I無窮小量的運算性質(zhì)

尢力?。轃o窮小量與極限的關(guān)系

〔無窮小量的階、等價無窮小量

”初等函數(shù)的連續(xù)性

傳續(xù)的概念1分段函數(shù)連續(xù)性判定R

L閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)4類乃謂

L介值定理

連續(xù)性＜

r第一類一一左右極限都存在《二二

如上V八年I跳動

U可斷點1的l分類5

L其次類一一左右極限中至少有一個不存在

（三）典型題型分析及解題方法與技巧

題型一求復(fù)合函數(shù)

10一"XV0

［例1.1］設(shè)/(x)=，(x+k|),g(x)={''求/(g(x))與g(/(x)).

2［x,x>0,

題型二利用函數(shù)概念求函數(shù)的表達(dá)式

［例1.2］已知/(x)=e1/［e(x)］=l-x且9(x)20,求e(x)并寫出它的定義域.

題型三推斷函數(shù)的性質(zhì)

［例1.3］設(shè)/(x)=xtan/~,則/'(x)是()

(A)偶函數(shù)(B)無界函數(shù)

(C)周期函數(shù)(D)單調(diào)函數(shù).

題型四求極限的方法

..3X2+5.2

［例1.4］］填空題hm------sin—=

is5尤+3x

［例1.5］求下列極限

/八V1+tanx-VI+sinx

1lim------------------

'7r->0x(l-cosx)

(2)lim

yjx2+sinx

3sinx+x2cos

⑶典際而崎

［例1.6］求下列極限

(l)lim

sin2x

(3)limsin—+cos—

/…Ixx

［例1.7］選擇題

2-l-L

當(dāng)X-1時，函數(shù)-x----"T的極限是().

x-1

(A)2;(B)0；

(C)co；(D)不存在但不為oo.

］

a(―sin;~x-~x<x>0,

X

［例1.8］設(shè)/(“H問a為何值時lim〃x）存在.

—^2sinx-J演山2)力),1<0,

x2-JJcos(產(chǎn))力

［例1.9］求lim

XTO

［例1.10］選擇題

?56

設(shè)函數(shù)〃x）=jLsin（尸W，g（x）=,+菅，則當(dāng)x.0時，/（x）

是g（x）的（）

（A）低階無窮?。˙）高階無窮小

（C）等價無窮?。―）同階但不等價的無窮小

［例1.11］求

XT8X」'）

［例1.12］確定a,b,c值，使lim—J=c(c*o).

7

XT°「ln(l+r)'

［例1.13］填空題

設(shè)lim(葉網(wǎng))=8,則。=

1。1x-a)

［例1.14］選擇題

X—>0時，/-（G；2+fex+l）是比/高階無窮小，則（)

1

(A)a=—(B)a=l,h=l

2

(C)ci=—,b=1(D)a=-l,b=i

2

［例1.15］設(shè)x->0時，（1+依2）3一1與cosx—1是等價無窮小，求常數(shù)。之值.

［例1.16］填空題

”一2

設(shè)〃x)=.(c°sx)，"°，在x=0連續(xù),則。=

a,x=0,

/、x1

［例1.17］當(dāng)x-?0時，下列無窮?。簂n（l+x）,x-sinx,xtanx,---.—中，

1-A/COSX2In國

（）是》的低階無窮?。海ǎ┦恰返囊浑A無窮小：（）是兀的二階無窮小;

（）是/的高階無窮小.

［例1.18］選擇題

Xpa

當(dāng)xf0+的無窮小量a=j）cos/力，4=Jotan4tdt,y-￡sin/力排列起來，使排在后

面的是前面一個的高階無窮小，則正確的排列次序是（）.

(A)a,p,y(B)a,y,(3

(C)/3,a,y(D)/3,y,a

［例1.19］求limx,x=Y

n—k4-nAnn

.71.2〃

AsHinI-—saimn——------?

［例1.20］求lim——？+——/+...+f

f〃+ln+Ln+L

2n

a0>0,

［例1.21］設(shè)a>0,數(shù)列｛《,｝滿意.q_l_(t〃=0,1,2,...

求liman.

［例1.22］填空題

［例1.23］設(shè)a>0,4HO且呵(x2a+xaf-x2=尸，則30=

［例1.24］設(shè)“X)是區(qū)間［0,+00)上單調(diào)削減且非負(fù)的連續(xù)函數(shù)，

a“=￡〃A)-J：/(#,(n=l，2,3，證明數(shù)列｛%｝的極限存在.

k=\

題型五探討函數(shù)的連續(xù)性與間斷點的關(guān)系

x,x<2,

x2,x<l,

［例1.25］設(shè)/(%)=,g(x)=<2(x-l),2<x<5,探討y=/(g(x))的連續(xù)

1-x,x>1,

x+3,x>5.

性，若有間斷點并指出類型.

m1.26］選擇題

1-COSX

----7=~―,X>0,

設(shè)/(x)=<yjx其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則/(x)在x=0處().

x2^(x),x<0,

(A)極限不存在；(B)極限存在，但不連續(xù);

(C)連續(xù)，但不行導(dǎo);(D)可導(dǎo).

［例1.27］選擇題

-4In(l+x3)sin—,x<0,

x

設(shè)〃x)=<0,x=0,則/(x)在x=0處().

—￡sin(『)力,x>0,

(A)極限不存在;(B)極限存在，但不連續(xù);

(C)連續(xù)，但不行導(dǎo);(D)可導(dǎo).

［例1.28］選擇題

1八

xarctanT—T,X^0,

設(shè)〃x)=<國貝在x=0處()

0,x=0,

(A)不連續(xù);(B)連續(xù)，但不行導(dǎo);

(C)可導(dǎo)但/(X)在x=0處不連續(xù);

(D)可導(dǎo)且/'(X)在x=0處連續(xù).

X

［例1.29］求函數(shù)〃x)=(l+x)4在區(qū)間(0,2%)內(nèi)的間斷點,并推斷其類型.

［例1.30］設(shè)/1(X)在(YO,+8)內(nèi)有定義,Klimy(x)=fl,

g(x)={(xj'則().

0,x=0,

(A)x=0必是g(x)的第一類間斷點；

(B)x=0必是g(x)的其次類間斷點；

(C)x=0必是g(x)的連續(xù)點；

(D)g(x)在點x=0處的連續(xù)性與。的取值有關(guān)。

［例1.31］設(shè)/(x)在［0,+00)連續(xù)，吧i〃x)=A>0,求證:

⑴%Qi)力=+%

(2)lim￡f^nx)dx=A.

［例1.32］設(shè)/(x)在［a,以上連續(xù)〃a)=/伍)，證明:

至少存在可，使/(/)=/1%+之9

［例1.33］填空題

［例1.34］填空題

在區(qū)間［0,1］上函數(shù)/(x)=心(1—力”的最大值記為M(n).則

limM(n)=.

［例1.35］填空題

ln(l+x)

—,x>0,

x2

設(shè)/(x)<6z,x=0,在x=0處可導(dǎo)，則常數(shù)。力,c,分別等于

sinbx

+ex,x<0

x

［例1.36］以［x］表示不超過x的最大整數(shù)，試確定常數(shù)a的值，使

存在，并求出此極限.

［例1.371選擇題

設(shè)常數(shù)4>0。=1,2,3），4<4<4.則方程^^+—今+~Z~=

0（）.

（A）沒有根；

（B）正好有一個根；

（C）正好有兩個根；

（D）正好有三個根.

二、一元函數(shù)微分學(xué)

（一）本章的重點內(nèi)容與常見的典型題型

一元函數(shù)微分學(xué)在微積分中占有極重要的位置，內(nèi)容多，影響深遠(yuǎn)，在后面絕大多數(shù)章

節(jié)都要涉及到它.

本章內(nèi)容歸納起來，有四大部分.

1.概念部分：導(dǎo)數(shù)和微分的定義，特殊要會利用導(dǎo)數(shù)定義探討分段函數(shù)在分界點的可

導(dǎo)性，高階導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；

2.運算部分：基本初等函數(shù)的倒數(shù)、微分公式、導(dǎo)數(shù)的四則運算、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、

隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式；

3.理論部分：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理;

4.應(yīng)用部分：利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的性態(tài)（包括函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)圖形的凹凸

性與拐點，漸近線），最值應(yīng)用題，利用洛必達(dá)法則求極限，以及導(dǎo)數(shù)在幾何、物理等方面

的應(yīng)用.

常見題型有：

1.求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分（包括高階導(dǎo)數(shù)），隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)求導(dǎo).

2.利用羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理證明有關(guān)命題和不等式.如“證

明在開區(qū)間至少存在一點滿意……”，或探討方程在給定區(qū)間內(nèi)的根的個數(shù)等.

3.利用洛必達(dá)法則求七種未定型的極限.

4.幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的最大值、最小值應(yīng)用題。解這類問題，主要是確定目標(biāo)

函數(shù)和約束條件，判定所探討區(qū)間。

5.利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖像，等等。

（二）學(xué)問網(wǎng)絡(luò)圖

r導(dǎo)數(shù)的定義

,導(dǎo)數(shù)的概念＜導(dǎo)數(shù)的幾何意義

一切線方程的求法

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)的四則運算

反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)的計算《

隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

高階導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)

A”羅爾定理

中值定理1拉格朗日中值定理

-柯西中值定理

洛必達(dá)法則求極限

r函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

探討函數(shù)性質(zhì)＜函數(shù)的極值、最值

及幾何應(yīng)用“

應(yīng)服曲線的凹凸性及拐點

漸近線、函數(shù)作圖

外』邊際、彈性

d叱經(jīng)濟(jì)中的最大值和最小值應(yīng)用

r微分概念

微分\微分的計算

-一階微分形式不變性

（三）典型題型分析及解題方法與技巧

題型一有關(guān)一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分概念的命題

［例2.1］選擇題

設(shè)/&)。0,/(力在工=/連續(xù)，則“X)在/可導(dǎo)是|〃x)|在與可導(dǎo)的()條

件.

(A)充分非必要：(B)充要；

(C)必要非充分；(D)非充分非必要.

［例2.2］填空題

設(shè)/(x)在4處可導(dǎo)，則

⑴iim/(xfl-3/.)-/(x())=____.

20h

⑵lim"%+〃)7國-〃)____；

力->oh

⑷即0。+￡|-小。-￡|卜一；

X

(5)lim-7-r-------------r=_____；

1”(%)一/(飛+無)

(6)當(dāng)〃一>8時，七與y〃為等價無窮小，則lim―'網(wǎng)——

00V-

［例2.3］選擇題

設(shè)/(x)在x=a處的某個定義域內(nèi)有定義，則/(x)在x=a處可導(dǎo)的一個充分條件是

().

(A)lim/?fa+——/(a)存在；

…［Ih)v_

(B)1而如也二31存在；

20h

(C)limU--------------------存在；

22h

(D)lim存在.

/,-?oh

［例2.4］已知/(x)是周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=0的某個鄰域內(nèi)滿意關(guān)系式：

/(l+sinx)-3/(l-sinx)=8x+cif(x),其中a(x)是當(dāng)x—>0時比x高階的無窮小，且

“X)在x=l處可導(dǎo)，求曲線y=/(x)在(6J(6))處的切線方程。

［例2.5］求下列函數(shù)在指定點處的導(dǎo)數(shù)

1-sinx

(1)“X)=(arcsinx)求r(o)；

1+sinx

(2)設(shè)/(x)=o(a+Z?x)-0(a-/?x),其中夕(%)在x=a處可導(dǎo)，求/'(0);

(3)設(shè)函數(shù)/(x)在x=0處可導(dǎo)，且/'(0)=；,又對隨意的x,有〃3+x)=3/(x),

求尸(3).

題型二利用導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)方程

［例2.6］設(shè)“X)在(-00,+00)上定義,且/(())=〃(〃w0),又Vx,

ye(F網(wǎng)有小+?。?

,求/(x).

類似題:設(shè)/(x)在(0,小》)上有定義，且/⑴=。(。工0),又對Vx,

ye(O,-K?),有，3)=/(x)+/(y)，求〃%).

題型三可導(dǎo)函數(shù)與不行導(dǎo)函數(shù)乘積的可導(dǎo)性的探討

［例2.7］設(shè)F(x)=g(x)0(x),e(x)在x=a處連續(xù)，但又不行導(dǎo),又g［a)存在,則

8(。)=0是7?(%)在》=4處可導(dǎo)的()條件.

(A)充要；(B)充分非必要；

(C)必要非充分；(D)非充分非必要

［例2.8］函數(shù)〃x)=(x2-x-2)k3-x|有()個不行導(dǎo)點.

(A)3；(B)2；(C)1；(D)0.

題型四求函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分

［例2.9］求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

tan-|

(1)設(shè)y=ev-sin—,dy；

x

“3(°「求噌

筌在‘=舊的值;

y=fcos(產(chǎn)—^=rcosududx1

2*dF

(3)設(shè)=sin(x)J；/,sinx2",求左

設(shè)5由（12+丁2）+/一盯2=0,求牛;

(4)

32)則坐

(5)。-"(x)=arctan(九2),

已知y=f)

3x+2axA=0

x=t2+2t,（0<a<l）確定y與x的函數(shù)，求器?

(6)由方程組<

t2—y+Qsiny=1,

2

.NJf。tanys丁inr力,a、,

［例2.10］求/=lim

x->0x3

9（x）-cos（x）

［例2.11］設(shè)〃x）=x"KU其中夕（對具有二階導(dǎo)數(shù)，且

a,x=O

^(0)=1,^'(0)=0.

(1)確定a的值，使/(x)在x=0處連續(xù);

(2)求r(x)；

(3)探討/在x=0處的連續(xù)性.

類似題：設(shè)連續(xù)且1盤/y=2,°(x)=J；〃"W，求e'(x)并探討e'(x)的連續(xù)

性.

題型五利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)改變的命題

［例2.12］選擇題

若"X)=-y(-x),在(0,+8)內(nèi)尸(X)>0,/(%)>0,則/(X)在(-00,0)內(nèi)().

(A)/'(x)<0,/"(x)<0；(B)<'(x)<0,/"(x)>0；(C)

/1(x)>0,/"(x)<0；(D)f'(x)>0,f"(x)>0.

［例2.13］設(shè)函數(shù)/(x),g(x)是大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且尸(x)g(x)—

/(x)g'(x)<(),則當(dāng)a<x<人時，有().

(A)f(x)g(b)>f(b)g(x)；(B)〃x)g(a)>f(a)g(x)；(C)

(D)〃x)g(x)>/(a)g(a).

［例2.14］選擇題

已知函數(shù)/(x)在x=0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且/(0)=0,1盤""

'f°1cosX

=2,則在點x=0處/(x)().

（A）不行導(dǎo);（B）可導(dǎo)，且/'（O）wO；

（C）取得極大值;（D）取得微小值.

［例2.15］選擇題

sin6x+V(x)6+/(x)

若lim=0,則lim為（).

*fox3.r->0X2

(A)0；(B)6；(C)36；(D)oo.

［例2.16］選擇題

■T(x)-1

設(shè)/（x）在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且尸（0）=0,lim則（）成立.

.t->0

(A)/（0）不是/（x）的極值，（0,/（0））也不是曲線y=/（x）的拐點;

(B)/（0）是/（x）的微小值;

(C)（0,/（0））是曲線的拐點;

(D)/⑼是/（X）的極大值.

［例2.17］選擇題

設(shè)函數(shù)y=/（x）是微分方程y"—2y'+4y=0的一個解且/'（而）=0,則

/（%）在點力處（).

（A）有極大值;（B）有微小值;

（C）在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;（D）在某鄰域內(nèi)單調(diào)削減.

［例2.18］設(shè)證明:In2/?-In2?>力一Q).

'1-Xln(l+x)

［例2.19］證明：當(dāng)0<x<l時,

14-Xarcsinx

(x2+2%—

［例2.20］設(shè)y==I-c-求漸近線.

(x-IJarctanx

［例2.21］求證：方程Inx=——［J］-cos2xdx在（0,+oo）內(nèi)只有兩個不同的實根.

題型六雜例與中值定理證明題

［例2.22］設(shè)/（￡）在［0,句上連續(xù)，且J：/（x*r=0,J；/（x）cosxJx

=0.試證明：在（0,%）內(nèi)至少存在兩個不同的點獲基/（。）=/（專）=0.

［例2.23］設(shè)/（x）在［0,1］上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且滿意:

/（1）=.xe'~xf（x）dx（k>1）,

證明：至少存在一點JG（0,1）,使得/傳）=（1一“）/（/.

［例2.24］設(shè)〃x)在區(qū)間［―a,a］(a>0)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/(0)=0

(1)寫出/(尤)的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式；

(2)證明在［一a,句上至少存在一點〃，使：a3/"(〃)=3『J(xg

［例2.25］設(shè)函數(shù)/(x)和g(x)在［a,句上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g"(x)

HO,/(a)=/(h)=g(a)=g(/?)=(),試證：

(1)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)g(x)oO；

(2)在開區(qū)間(a,3內(nèi)至少存在一點使3.

L例2.26］設(shè)/(%)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，試證明存在^€(0,1),使

「(H)/(力

若又設(shè)/(x)>0且單調(diào)削減，則這種4是唯一的.

［例2.27］設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且〃())

=/(1)=0，/((1=1?試證：

(1)存在〃,使/(〃)=〃；

(2)對隨意實數(shù);I,必存在JG(O,77),使得/(4)—九］/(4)-4］=1.

三、一元函數(shù)積分學(xué)

(一)本章的重點內(nèi)容與常見的典型題型

本章和一元函數(shù)微分學(xué)一樣，重點內(nèi)容可分為概念部分、運算部分、理論證明部分以及

應(yīng)用部分.

1.概念部分：原函數(shù)的概念，定積分、不定積分的概念，以及反常積分的概念.考試的

重點偏重對定積分概念的理解上.

2.運算部分：變上限積分及其導(dǎo)數(shù)；定積分和不定積分的換元法和分部積分法.

3.理論部分：變上限定積分及其求導(dǎo)定理，牛頓一萊布尼茨公式，積分中值定理.

.應(yīng)用部分：利用定積分求面積、旋轉(zhuǎn)體體積及引力、功等物理量；

5.綜合性試題.

（二）學(xué)問網(wǎng)絡(luò)圖

像函數(shù)，不定積分

一換元法(湊微分法)

基本積分表

r換元積分法'二次根式一用三

不定積分〈積分法<

角函數(shù)換元

C次換元法《

6部積分法

I最簡根式

r有理函數(shù)的積分一一部分分式法

仇類函數(shù)的積分

'I簡潔三角函數(shù)有理式的積分

定義——分割，近似代替，求和，取極限

定積分的概念

幾何意義——平面圖形面積的代數(shù)和

(0=k^f(x)dx

f卜(X)±g(X)聆=f/CM士f8(xg

2、對積分區(qū)間可加性

J：/(x"x=+j：

定積分的性質(zhì)/=

4、比較性質(zhì)：f(x)<g(x),a<x<b

定積分［nf^x)dx<，g(工世

5、估值定理

I6、積分中值定理

微積分基本定理;胃數(shù)慧慧工變限積分求導(dǎo)

L牛頓一布來尼茲公式

r經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

定積分的應(yīng)用《平面圖形應(yīng)用

L旋轉(zhuǎn)體的體積

廣義積分｛無窮限積分

瑕積分

(三)典型題型分析及解題方法與技巧

題型一有關(guān)原函數(shù)與定積分概念，性質(zhì)的命題

［例3.1］填空題

(1)設(shè)］對'(%以￥=01。技1+0,則

△i--九+2k冗

(2)limsm—>cos——

I”nn

［例3.2］設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，且=求/(x).

［例3.3］推斷下列結(jié)果是否正確.

n____乃22-

35

(1)￡5/sinx-sinxdx=￡sin"xcosxdx=—sin^x|；；

1

(2)

X1「；

1、71

(3)arctan—<Zr=arctan-

xjX「5

(4)若加工/(x)￡",則〃z僅一

x+2/r

［例3.4］函數(shù)/(%)=］esmtsintdt().

(A)為正數(shù);(B)為負(fù)數(shù);

(C)恒為零;(D)不是常數(shù).

［例3.5］選擇題

設(shè)“毛黑7T

cos4xdxN=J(sin3x+cos4x蛆,P=龍一cos'x),貝ij

,JL"T人2~2

).

(A)N<P<M；(B)M<P<N；

(C)N<M<P\(D)P<M<N.

［例3.6］選擇題

設(shè)為連續(xù)函數(shù)，/(x)是〃尤)的原函數(shù),則().

(A)當(dāng)/(x)是奇函數(shù)時，F(xiàn)(x)必為偶函數(shù)；

(B)當(dāng)是偶函數(shù)時，Rx)必為奇函數(shù)；

(C)當(dāng)〃x)是周期函數(shù)時，打力必為周期函數(shù)；

(D)當(dāng)/(x)是單調(diào)增函數(shù)時，口(力必為單調(diào)增函數(shù).

［例3.7］設(shè)/(x)在［a,/?］上連續(xù)，xe(a,。)，證明:

lim-力=/(x)—/(a)?

5h

題型二求分段函數(shù)的原函數(shù)與定積分

sin2x,x<0,

［例38］設(shè)〃x)=v求/(x)的原函數(shù)/(x).

ln(2x+l),x>0,

［例3.9］計算I=J］Jk(x-2)m.

［例3.10］設(shè)/(%)在(-co,+oo)內(nèi)滿意/(x)=/(x-^)+sinx,且〃%)=%,%?0,乃］,

計算/=J'/(1四.

題型三不定積分與定積分的計算

--I-rarctanex,

［例3.11］求J-—dx.

［例3.12］求Jdx

(2X2+1)VX2+1

［例3.13］設(shè)〃111司=皿；”,計算

［例3.14］填空題

dx_

上(九+7)Jx-2

［例3.15］設(shè)函數(shù)S(x)=JJcosM,

(1)當(dāng)〃為正整數(shù)，且〃;+》時，證明：

2〃<S(x)<2(〃+l)；

(2)求lim—

XT+OOX

［例3.16］設(shè)/(x)在上有定義，對于隨意的x,y,恒有:

/(x+y)=/(x)+/(y)，求J：/(x)(l+cosx)公.

［例3.17］求Jx{(x-a)(b-x)dx.

［例3.18］設(shè)求［/(X)心.

(類似)設(shè)/(九)=J；e廠辦，求「/(x/Zr.

2

［例3.19］設(shè)/(/一l)=ln^^且/3(x))=lnx,求世.

［例3.20］求「“近dx.

J。(1+ef

題型四證明積分等式與不等式

［例3.21］設(shè)“X),g(x)在區(qū)間［―a,a］(a>0)上連續(xù)，g(x)為偶函數(shù),且〃力滿意

條件〃X)+〃T)=A(A為常數(shù)).

(1)證明：J"/(x)g(x)dx=A，g(x)c/r；

n

(2)能利用(1)的結(jié)論計算j"sinx|arctan/力;.

［例3.22］對于xNO,證明/（x）=J；（一弓si/m（〃為自然數(shù)）的最大值不超過

1

（2〃+2）（2刀+3），

［例3.233設(shè)