彈性力學簡明教程九章改

第一節(jié)有關概念及計算假定第二節(jié)彈性曲面的微分方程第三節(jié)薄板橫截面上的內力第四節(jié)邊界條件扭矩的等效剪力第五節(jié)四邊簡支矩形薄板的重三角級數解第六節(jié)矩形薄板的單三角級數解第七節(jié)矩形薄板的差分解第八節(jié)圓形薄板的彎曲第九節(jié)圓形薄板的軸對稱彎曲習題的提示和答案例題第九章薄板彎曲問題教學參考資料§9-1有關概念及計算假定定義

薄板是厚度板面尺寸的物體。薄板的上下平行面，稱為板面。薄板的側面，稱為板邊。平分厚度的面,稱為中面。比較薄板受到橫向荷載（⊥板面）的作用─薄板的彎曲問題。薄板受到縱向荷載（∥板面）的作用─平面應力問題；桿件受到橫向荷載（⊥桿軸）的作用─

梁的彎曲問題。桿件受到縱向荷載（∥桿軸）的作用─桿件的拉壓問題；

薄板彎曲問題屬于空間問題。其中，根據其內力及變形的特征，又提出了三個計算假定，用以簡化空間問題的基本方程，并從而建立了薄板的彎曲理論。特點

當薄板彎曲時，中面所彎成的曲面，稱為薄板彈性曲面。

小撓度薄板─這種板雖然薄，但仍有相當的抗彎剛度。它的特征是：定義(3)在內力中，僅由橫向剪力與橫向荷

載q成平衡，縱向軸力的作用可以不計。(2)在中面位移中,w是主要的，而縱向位

移u,v很小，可以不計；(1)具有一定的剛度，橫向撓度；1.垂直于中面的線應變可以不計。 取，由，得

故中面法線上各點，都具有相同的橫向位移，即撓度w。

本章研究小撓度薄板的彎曲問題。

根據其內力和變形特征，提出了3個計算假定：計算假定彎應力（合成彎矩）及扭應力（合成扭矩）橫向切應力（合成橫向剪力）擠壓應力2.次要應力分量遠小于其他應力分量，它們引起的形變可以不計。薄板中的應力，與梁相似，也分為三個數量級：∴為次要應力，略去它們引起的形變，即得

由于是更次要的應力。略去它引起的形變，即得薄板彎曲問題的物理方程為

(1)

在薄板彎曲問題中，略去了次要應力引起的形變;但在平衡條件中，仍考慮它們的作用。

說明：⑵薄板彎曲問題的物理方程(b)與平面應力問題的物理方程相同。但沿板厚方向，對于平面應力問題的應力為均勻分布，合成軸力而薄板彎曲問題的應力為線性分布，在中面為0，合成彎矩和扭矩。⑶從計算假定1、2，得出

故中面法線在薄板彎曲時保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線。這兩個假定統稱為克西霍夫直法線假定。

因此，中面在變形后，其線段和面積在xy面上的投影形狀保持不變。由于故3.中面的縱向位移可以不計，即

實踐證明，只要是小撓度的薄板，薄板的彎曲理論就可以應用，并具有足夠的精度。

類似于梁的彎曲理論，在薄板彎曲問題中提出了上述三個計算假定，并應用這三個計算假定,簡化空間問題的基本方程，建立了小撓度薄板彎曲理論。 1.試考慮在材料力學梁的彎曲問題中，是否也應用了這三個計算假定？2.在材料力學的梁彎曲問題中，采用了平面截面假設。在薄板中有否采用此假設？思考題§9-2彈性曲面的微分方程

本節(jié)從空間問題的基本方程出發(fā)，應用三個計算假定進行簡化，導出按位移求解薄板彎曲問題的基本方程。薄板問題解法

薄板彎曲問題是按位移求解的，主要內容是：

4.導出板邊的邊界條件。3.導出求解w的方程。

2.將其他未知函數─縱向位移u,v；主要應變分量;主要應力分量；次要應力分量及最次要應力均用w來表示。

1.取撓度w(x,y)為基本未知函數。

具體推導如下：

1.取撓度為基本未知函數。應用幾何方程及計算假定1，

2.將，用表示。應用幾何方程及計算假定2，∴對積分，

又由計算假定3，故得： 3.主要應變用表示。應用其余三個幾何方程，并代入式(a)得：(b)4.主要應力用表示。應用薄板的三個物理方程及式(b)，得：(c)5.次要應力用表示。應用空間平衡微分方程的前兩式（其中縱向體力），有代入式(c)，并對z積分，得：其中∵上下板面是大邊界，必須精確滿足應力邊界條件

由此求出及，代入得到6.更次要應力用表示。應用第三個平衡微分方程，有代入式(d)，并對z積分，得則下板面的邊界條件求出，故更次要應力為將薄板的每單位面積內的體力和面力均歸入到上板面的面力中，記為7.導出求解w的基本方程。由上板面邊界條件（屬于靜力平衡條件）得出在A域中求w的方程(f)(g)為薄板的抗彎剛度求w方程

說明：⑴在三個計算假定下，縱向位移u,v；主要應變；主要應力；沿z向均為線性分布，故它們在中面處為0；次要應力（橫向切應力）沿z向為拋物線分布；均與材料力學相似。更次要應力（擠壓應力）沿z為三次曲線分布。⑵按位移求解薄板彎曲問題，只取w為基本未知函數。在導出求w的基本方程中應用了三個計算假定，與材料力學解梁的彎曲問題相似。⑶從上述推導過程可見,空間問題的6個幾何方程，6個物理方程和3個平衡微分方程都已考慮并滿足（其中應用了3個計算假定）；并且在的大邊界（板面）上，三個應力邊界條件也已精確滿足。⑷只有板邊的邊界條件尚未考慮，它們將作為求解微分方程（f）的邊界條件。思考題

試比較梁的彎曲問題和薄板彎曲問題的異同?！?-3薄板橫截面上的內力

⑵在板邊（小邊界）上，要用內力的邊界條件代替應力的邊界條件。⑴薄板是按內力設計的；

薄板內力，是薄板每單位寬度的橫截面上,應力向中面合成的主矢量和主矩。求薄板內力的目的：薄板內力

求內力：取出的六面體，x面上，有應力，，y面上，有應力，，。其中，，=

沿z為直線分布，在中面為0；

，沿z為二次分布。

x面面積上，應力的主矢量和主矩為：x面內力─合成主矢量稱為橫向剪力,─合成主矢量為0,合成主矩稱為扭矩,─合成主矢量為0,合成主矩稱為彎矩,類似地，求出y面面積上的內力：y面內力彎矩扭矩橫向剪力

內力均為單位寬度上的主矢量和主矩，∴其量綱均應降低了一次長度量綱。

xyz內力符號(e)(f)中面內力平衡條件

考慮上圖的中面平衡條件，可得：內力的正負號規(guī)定，根據應力符號確定:正的應力方向的主矢量為正;正的應力×正的矩臂的力矩方向為正。將前兩式代入后式，得再將用來表示，同樣可以得到撓曲面微分方程：§9－4

邊界條件

扭矩的等效剪力薄板的邊界條件：上下板面（大邊界）已精確地滿足了

3個應力邊界條件。邊界條件板邊（小邊界）的邊界條件尚未考慮,

這是求解撓曲線微分方程的邊界條件。

板邊為小邊界，可以應用圣維南原理來簡化邊界條件。

可看成是中面的撓曲微分方程,或中面的平衡方程。邊界條件——

將板邊的邊界條件歸結為中面的位移邊界條件或中面的內力邊界條件。

薄板板邊的邊界條件分為三類：

1.固定邊─若為廣義固定邊，則其中為給定的約束位移。若完全固定，則有：固定邊(a)2.簡支邊─若為廣義簡支邊，則其中，分別為給定的約束位移和彎矩。若，則一般的簡支邊條件為簡支邊因為：所以第二個條件可以簡化。因簡支邊故有：∴簡支邊的條件為：若簡支邊有彎矩作用，則有：3.自由邊─若為一般的自由邊，則上式邊界條件共有3個，與四階微分方程不相對應。經過約二十年后，基爾霍夫指出，薄板板邊上的扭矩可化為等效的橫向剪力。自由邊在EF=dx微分段上，總扭矩，化為E、F上等效的一對力，分別向下（E）和向上（F）；

在FG=dx微分段上，總扭矩，化為F、G上等效的一對力，分別向下（F）和向上（G）。上圖中，取出板邊AB（y面），

扭矩的等效剪力在F點，合成向下的集中力：再化為寬度上的分布剪力：故AB邊界總的分布剪力為

而在A，B兩端，還有兩個未被抵消的集中剪力：

用撓度表示為∴自由邊的邊界條件成為同樣，BC邊界總的分布剪力為

而在C，B兩端，還有兩個未被抵消的集中剪力：

用撓度表示為∴自由邊的邊界條件成為自由邊交點的角點條件─在角點B，集中力為

若B點有支承，阻止撓度的發(fā)生，則有

若B點無支承，應無集中力，有：角點條件

角點集中力的正負號及方向，根據扭矩確定，見習題9-3。

固定邊是位移邊界條件，自由邊是內力邊界條件，簡支邊是混合邊界條件?！?－5四邊簡支矩形薄板的重三角級數解

小撓度薄板的彎曲問題，已經歸結為求解撓度w，w應滿足撓曲面微分方程和板邊的邊界條件。求w條件

對于四邊簡支的矩形板，邊界條件為(b)四邊簡支

納維將w表示為重三角級數，

其中m，n為正整數。代入邊界條件(b)，邊界條件全部滿足。(c)將q(x,y)也展為重三角級數，再代入微分方程(a)，得(d)將q代入上式，比較兩邊系數，得利用三角函數的正交性質求出對式(d)分別對x，y積分可得由此可知，將

代入式(e)

，得

討論：

1、當為均布荷載時

當m或n為偶數時：

則：

當m或n為奇數時：

將

代入式(e)

，得

在板中點有最大撓度，即對于方板：只取級數第一項：若取級數前四項：得到精確解：與只相差2%

最大彎矩也發(fā)生在板的中點對于四邊簡支的混凝土板，可根據上述的最大彎矩（單位長度）進行配筋計算。

2、當q為集中荷載F，作用于一點時，可用代替q，并且只在處的

微分面積上存在，其余區(qū)域q=0，根據中值定理，式（f）中的積分為納維解答是用多種正弦波形的疊加來表示撓度w的。對于各種形式的荷載q

，均可方便地求出解答。它的主要缺點是，只能適用于四邊簡支的薄板?！?－6矩形薄板的單三角級數解

設矩形板的兩對邊為簡支邊，其余兩邊為任意邊界。兩對邊簡支其中是待定的函數，m為正整數。式(a)已滿足了的簡支邊條件,

萊維采用單三角級數表示撓度，兩對邊簡支

將q/D也展開為單三角級數，兩對邊簡支代入上式并比較兩邊的系數，可得將式(a)代入撓曲面微分方程，得兩對邊簡支將上式對x積分，利用三角函數的正交性質，求得將代入式（c）可得將代入式（d）得出求的常微分方程其中為式(d)的特解，由q(x,y)的具體形式確定；其余四項為齊次方程的通解。將代入式(a)，得w解，其中系數由其余兩邊界條件來確定。式(f)的解為討論：受均布荷載時,四邊簡支板的解答。此時常微分方程(f)右邊的積分為：從而得到常微分方程(f)的特解：因為X為板的對稱軸，所以w是y的偶函數，所以式(e)中的將式(e)代入式(a)：系數可根據兩邊的邊界條件確定：對于方板：可見，級數中只取兩項，就能得到精確解。

矩形薄板應用重三角級數和單三角級數求解，是非常重要的解法。下面我們進一步說明幾點。從求解薄板彎曲問題來看，兩者比較如下：適用性

四邊簡支兩對邊簡支，另兩邊可任意求解

簡便較困難，須求解系數

收斂性慢快應用

局限于四邊簡支可推廣應用到其他各種邊界納維解法萊維解法2.應用疊加方法，可將萊維提出的單三角級數解，用于解決各種邊界條件的薄板問題。3.納維解法和萊維解法，不僅在薄板的靜力（彎曲）問題中得到了廣泛的應用，而且可以推廣應用于薄板的動力、穩(wěn)定問題，以及能量法中。1.試考慮四邊固定的矩形板，受任意荷載，如何應用萊維法求解？2.試考慮一邊固定三邊自由的矩形板，受任意荷載，如何應用萊維法求解？思考題

應用差分法求解薄板彎曲問題，是比較簡便的。

首先將撓曲面微分方程變換為差分方程,插分方程

§9－7矩形板的差分解

對點，即固定邊和簡支邊附近的w值，如下圖所示。若AB為簡支邊，對于o

點，若AB為固定邊，則對于o點，(a)固定邊(b)簡支邊9-11

對于自由邊的情形，邊界點是未知數，須列式(a)的差分方程，其中涉及邊界外一、二行虛結點的w值，用自由邊的邊界條件來表示，所以求解時比較麻煩。

對于具有支承邊（簡支邊，固定邊）的矩形板，每一內結點的w值為未知數，對每一內結點應列式(a)的方程。其中涉及邊界點和邊界外一行虛結點的w值，如式(b)或(c)所示。例1四邊簡支的正方形薄板，，受到均布荷載的作用，試取的網格，如圖，用差分法求解薄板中心點的撓度和應力（?。?。21210121209-12網格精確解答案:例2

同上題，但四個邊界均為固定邊。網格精確解答案:

總之，對于具有支承邊的矩形板，采用差分法求解是十分簡便有效的，取較少的網格便可求得精度較好的撓度值w。而由w求內力時，∵對近似解w求導數后會降低精度，所以須適當地加密網格。

對于的正方形薄板，受均布荷載作用，試取的網格，分別求解下列邊界問題的中心點撓度，并進行比較：（1）四邊簡支；（2）三邊簡支，一邊固定；思考題（3）兩對邊簡支，另兩對邊固定；（4）兩鄰邊簡支，另兩鄰邊固定；（5）一邊簡支，三邊固定；（6）四邊固定。§9－8圓形薄板的彎曲

圓板彎曲問題的方程和公式，都可以從直角坐標系的方程和公式導出。1.撓曲面微分方程仍為其中圓板方程

將對x，y的導數變換為對的導數(P65,(4-5))，并代入，得2.內力公式即內力公式參照公式（4-5）的做法，取

同樣，得出

類似地，橫截面上的總剪力為3.邊界條件

⑵設為簡支邊，則⑴設為固定邊，則邊界條件

故簡支邊條件簡化為

若簡支邊界有力矩荷載M，則邊界條件為

因為：

所以：⑶設為自由邊，則說明：由于圓板邊界是光滑連續(xù)的閉曲線，故在將分布扭矩轉換為等效橫向剪力后，不存在集中力

若圓板的荷載q和邊界條件均為軸對稱，則薄板的撓度和內力必然也為軸對稱?！嘤小?－9圓形薄板的軸對稱彎曲軸對稱彎矩1.撓曲面微分方程的全解為：通解的系數由邊界條件來確定。其中特解為邊界條件撓曲面微分方程為2.內力計算3.邊界條件，設邊⑵為簡支邊，則⑴為固定邊，則邊界條件⑶為自由邊，則例題：邊界固定的圓板受均布荷載作用?；蛟O，代入撓曲面微分方程特解為邊界條件可求得：所以：

對于無孔板，則除2個外邊界條件外，還應考慮撓度和內力在的有限值條件，有：邊界條件∴得邊界條件由邊界條件：解得：邊界條件邊界條件取半徑為的圓盤，列平衡方程：或由公式求出例題：邊界固定的圓板受集中荷載作用。特解：邊界條件

無孔板，根據有限值條件，有：所以：由邊界條件：求得：所以：與實際不符！

實際上，在集中力作用處內力無確定值，故不能求出處的內力。邊界條件所以由：有：但是對沒有要求！

僅有撓度在處為有限值的條件：邊界條件求得：由邊界條件：取半徑為的圓盤，列平衡方程：

對于有孔板，由內外邊界共4個邊界條件來確定。邊界條件

是軸對稱彎曲的一般解，可以應用于一切軸對稱彎曲問題。

上述的軸對稱解答：第九章例題例題1例題2例題3例題4例題5例題固定邊橢圓板的邊界方程為

Oabyx受均布荷載作用，如圖，試求其撓度和內力。例題1由，顯然。因此，從方向解：固定邊的邊界條件是(a)(b)導數的公式可推出，為了滿足邊界條件(a)，可以令便可滿足式(a)的邊界條件。對于均布荷載，將式(c)代入方程得出，并從而得因此，只需取(c)

根據位移w,由公式（9-10）可求出彎矩

讀者可以檢驗，最大和最小彎矩為

當時，便由上述解得出圓板的解答，若令則橢圓板成為跨度為的平面應變問題的固端梁。

四邊簡支矩形板，如圖，受有分布荷載的作用，試用重三角級數求解其撓度。例題2由§9－5知解：將代入上述積分式，由三角函數的正交性，及得到代入，得撓度的表達式為

四邊簡支矩形板，如圖，在的直線上，受有線分布荷載F的作用，F為單位長度上的作用力。試用重三角級數求解其撓度。yxabOFa例題3解：板中的荷載只作用在的線上，對荷載的積分項只有在此線上才存在，其余區(qū)域上的積分全為0，在的線上，荷載強度可表示為代入系數的公式，(n=1,3,5…)得出撓度為四邊簡支矩形板，受靜水壓力作用，，如圖，試用單三角級數求解其撓度。xyaO例題4自由項，即解：應用萊維法的單三角級數求解，將代入書中§9－6式(d)右邊的代入式(d)，方程的特解可取為從而得到和撓度的表達式。在本題中，由于結構及荷載對稱于軸，應為的偶函數，由此，。于是的表達式為在的邊界，有簡支邊條件

將撓度代入邊界條件，記得解出從而得撓度解答

發(fā)生在薄板的中心點的撓度為與板上作用有均布荷載的解答相比，本題的中心點撓度為均布荷載下中心點撓度的1/2。又由的條件，求出最大撓度為對于方板：均布荷載作用：

例題5

設有內半徑為r而外半徑為R的圓環(huán)形薄板，其內邊界簡支，外邊界為自由，并受到均布力矩荷載M的作用，如圖，試求其撓度和內力。MMOzrRRr

解：本題屬于圓板的軸對稱問題，可引用§9－9中軸對稱圓板的一般解。由于板上無橫向荷載，特解，于是撓度為代入內力公式，得內外邊界的四個邊界條件為將撓度及內力代入邊界條件，求出，最后得解答如下：

（一）本章學習重點及要求

1、桿件受到縱向（平行于桿軸）荷載的作用，這是桿件的拉壓問題；桿件受到橫向（垂直于桿軸）荷載的作用，這是梁的彎曲問題。

與此相似，薄板受到縱向（平行于板面）荷載的作用，這是平面應力問題；薄板受到橫向（垂直于板面）荷載的作用，這就是薄板的彎曲問題。薄板的彎曲，可以認為是梁的彎曲的推廣，是雙向的彎曲問題。第九章教學參考資料

但讀者不可簡單地將板的彎曲看成是縱、橫梁彎曲的迭加。否則，這會重復板的彎曲理論發(fā)展史中的錯誤。2、與平面問題和空間問題不同的是，除了前述的彈性力學的五個基本假定之外，在薄板彎曲問題中，根據其內力和變形的特征，又提出了三個計算假定，用以簡化空間問題的基本方程，并從而建立了薄板的彎曲理論。這點與材料力學的解法相似。因此，常將薄板和殼體的理論歸入高等材料力學。但由于其應用的數學工具較為復雜，所以這些內容又稱為實用彈性力學。3、薄板彎曲問題屬于空間問題。薄板彎曲理論，是從空間問題的基本方程和條件出發(fā)，應用薄板的三個計算假定進行簡化，并按位移法導出薄板彎曲問題的基本方程和邊界條件的。最后歸結的基本未知函數（撓度w）和相應的方程、邊界條件都只含（x,y）兩個自變量，因此，薄板彎曲問題也屬于二維問題。5、對于圓形薄板，類似于極坐標中的平面問題，可以建立相應的圓板彎曲問題的方程。對于軸對稱圓板的彎曲問題，其中只包含一個自變量，其方程為常微分方程，它的通解已經求出。4、對于矩形薄板，基本的解法是納維法和萊維法。

（二）本章內容提要1.薄板小撓度彎曲問題的基本方程和邊界條件，是從空間問題的基本方程和邊界條件出發(fā)，引用三個計算假定進行簡化，并由按位移求解的方法導出的。2.在薄板彎曲問題中，取撓度為基本未知函數，它應滿足：區(qū)域內的彈性曲面微分方程固定邊邊界條件或簡支邊邊界條件或自由邊邊界條件

薄板橫截面上的內力公式為：彎矩扭矩剪力3.四邊簡支矩形板的重三角級數解（納維解法）4.兩對邊簡支矩形板的單三角級數解（萊維解法）其中為特解，并由其余兩邊界的條件求出系數5.薄板彎曲問題的差分法是:o點的差分公式為：固定邊邊界條件（x邊界o點）簡支邊邊界條件（x邊界o點）6.圓形薄板彎曲問題的基本方程是：其中固定邊邊界條件簡支邊邊界條件自由邊邊界條件7.圓板軸對稱彎曲的一般解是其中由邊界條件確定。

（三）板的分類

不同厚度的板具有不同的內力和變形特征。按板的厚度，可以分為：

1.厚板—其板厚與板面尺寸之比，約為

即三個方向的幾何尺寸接近于同階大小。因此，空間問題的各物理量也為同階大小，均應考慮而不宜忽略。2、薄板—大約為又按抗彎剛度的大小分為：小撓度薄板—這種板雖然薄，但仍有相當的抗彎剛度。它的特征是，（1）由于具有一定的