人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)第22章二次函數(shù) 22.1 二次函數(shù)講義

/合作探究探究點(diǎn)1二次函數(shù)的概念情景激疑我們知道形如是常數(shù),k≠0)的式子是一次函數(shù),那么什么樣的函數(shù)是二次函數(shù)呢?判斷二次函數(shù)又需要消足哪些條件?知識(shí)講解一般地,形如是常數(shù),a≠0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。其中,x是自變量,a,b,c分別是函數(shù)解析式的次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),如等都是二次函數(shù)?！?〕是常數(shù),a≠0)叫做二次函數(shù)的-般式任何一個(gè)二次函數(shù)的解析式都可以化為是常數(shù),a≠0)的形式.

(2)在二次函數(shù)是常數(shù),a≠0)中,a必須不等于O,因?yàn)榧僭O(shè)a=0的話,此式子那么變?yōu)榈男问?就不是二次函數(shù)了.

(3)在二次函數(shù)是常數(shù),a≠0)中,假設(shè)y=0.那么二次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程典例剖析

例1以下哪些函數(shù)是二次函數(shù)?解析判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù),先把關(guān)系式化簡(jiǎn)

整理,再分三個(gè)步驟來(lái)判斷:(1)看它的等號(hào)兩邊是否都是整式,如果不都是整式,那么必不是二次函數(shù):(2)當(dāng)它的等號(hào)兩邊都號(hào)林式時(shí),再看它是否含有自變量的二次式,如果含有自變量的二安式,那就可能是二次函數(shù),否那么就不是:(3)看它的二次項(xiàng)系數(shù)是否為0,如果不為0,那就是二次函教.只要按上述三步來(lái)分析。即可作出正確判斷.

答案①③④是二次函數(shù).⑤不一定是二次函數(shù),只有當(dāng)a≠0時(shí),才是二次函數(shù)②不是整式,故不是二次函數(shù),易錯(cuò)警示二次涵數(shù)關(guān)系式的等號(hào)兩邊都是整式.類題突破1以下的數(shù)中:①②因?yàn)閤的次數(shù)都是2.所以①和②都是二次函數(shù),這樣說(shuō)對(duì)嗎?如果不對(duì),說(shuō)明理由。

答案

說(shuō)法不對(duì),①不是二次函數(shù),因?yàn)榈忍?hào)右邊不是整式,②是二次函數(shù)。探究點(diǎn)2

實(shí)際問(wèn)題中的二次函數(shù)關(guān)系知識(shí)講解

由實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式,一般分四步完成;一找:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義,找出等量關(guān)系;二列:由等量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式;

三化:把關(guān)系式化為二次函數(shù)的一般形式;四定:根據(jù)實(shí)際意義,確定自變量的取值范圍。典例剖析

例2

如圖,50m長(zhǎng)的護(hù)欄全部用于建造塊靠墻(墻長(zhǎng)5m)的長(zhǎng)方形花園,寫出長(zhǎng)方形花園的面積y()與它與墻平的邊的長(zhǎng)x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式,并指出x的取值范圍。解析長(zhǎng)方形花園與墻平行的一邊長(zhǎng)為xm,那么與墻垂直的一邊長(zhǎng)為,從而得出花園的面積之間的函數(shù)關(guān)系式.

答案

,其中0＜x≤25類題突破2如圖,在長(zhǎng)200米,寬80米的矩形廣場(chǎng)內(nèi)修建等寬的十字形道路,剩余局部為綠地,請(qǐng)寫出綠地面積與路寬x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式。答案即點(diǎn)撥

綠地面積等于廣場(chǎng)的面積減去兩條小路的面積之和再加上一個(gè)與小路等寬的正方形的面積,類期實(shí)破園某市一家電子計(jì)算器

專實(shí)店每只計(jì)算器進(jìn)價(jià)13元,傳價(jià)20元,多買優(yōu)惠.但凡一次買10只以上的,每多買1只,所買的全部計(jì)算器每只就降低0.10元,例如,某人買20只計(jì)算器,于是每只降價(jià)0.10×(20-10)=1〔元),因此,所買的全部20只計(jì)算器都按照每只19元計(jì)算,但是最低價(jià)為每只16元。

(1)求一次至少買多少只,才能以最低價(jià)購(gòu)置；

(2)寫出該專賣店當(dāng)一次銷售x(只)時(shí),所獲利潤(rùn)y(元)與x(只)之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍。

答案(1)設(shè)一次購(gòu)置x只.才能以最低價(jià)購(gòu)置,那么有0.1(x-10)=20-16,解這個(gè)方程得x=50.答:一次至少買50只,才能以最低價(jià)購(gòu)置。點(diǎn)撥根據(jù)購(gòu)置的數(shù)量的不同有不同的優(yōu)惠方法,故此題是一個(gè)分段函數(shù),注意自變量的取值范圍。

重點(diǎn)難點(diǎn)重難點(diǎn)1二次函數(shù)概念的應(yīng)用形如的函數(shù)叫做二次函數(shù),二次函數(shù)自變量的取值范圍的任意實(shí)數(shù),但在實(shí)際問(wèn)題中,自變量的取值范圍應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義。對(duì)于二次函數(shù)的定義可從以下方面理解：二次函數(shù)的形式是關(guān)于自變量x的二次整式,其中二次項(xiàng)系數(shù)不為0,如果二次項(xiàng)系數(shù)為0,那么函數(shù)就成了一次函數(shù)或常函數(shù)。任何一個(gè)二次函數(shù)都可以化為的形式,是二次函數(shù)的一般形式,在一般形式中二次項(xiàng)系數(shù)必須不為零,而一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng)可以為零,如函數(shù)都是二次函數(shù)。例1函數(shù)當(dāng)m為何值時(shí),y是x的二次函數(shù)？當(dāng)m為何值時(shí),y是x的一次函數(shù)？解析〔1〕當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí),原函數(shù)是二次函數(shù)；〔2〕當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)且一次項(xiàng)系數(shù)時(shí),原函數(shù)是一次函數(shù),由此確定m的值。答案〔1〕由解得。故當(dāng)時(shí),是二次函數(shù)。〔2〕由解得。由解得m≠1,m≠2.所以m=-2因此,當(dāng)m=-2時(shí),=12x+1是一次函數(shù)。易錯(cuò)警示二次函數(shù)中二次項(xiàng)系數(shù)a≠0.類題突破1當(dāng)m為何值時(shí),y=〔m+2〕是二次函數(shù)？答案由得。又m+2≠0,即m≠-2,所以,當(dāng)M=2時(shí),y=(m+2)是二次函數(shù)。點(diǎn)撥在二次函數(shù)的解析式中,隱含條件是a≠0,初學(xué)二次函數(shù)的同學(xué),往往注意了二次函數(shù)中未知數(shù)的最高次數(shù)為2,而無(wú)視了二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件。

重難點(diǎn)2

求實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)表達(dá)式

對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題,通過(guò)分析,找出兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系,并能正確地寫出它們之間的函數(shù)關(guān)系式,是本章的重點(diǎn),也路后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次函數(shù)有關(guān)內(nèi)容的根底。同時(shí),要能根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義,寫出自變量的取值范圍。對(duì)于自變量的取值范圍,只要能正確寫出即可,不要求寫出求自變量取值范圍的過(guò)程。在解決與實(shí)際生活有關(guān)的二次函數(shù)問(wèn)題時(shí),要特別往意自變量的取值范圍、如人數(shù)、個(gè)數(shù)必須是整數(shù)等。例2某網(wǎng)店以每件60元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品,假設(shè)以單價(jià)80元銷售,每月可售出300件。調(diào)查說(shuō)明:單價(jià)每上漲1元,該商品每月的銷售量就減少10件,

請(qǐng)寫出每月的售該商品的利潤(rùn)y(元)與漲價(jià)后的單價(jià)x(元)間的函數(shù)關(guān)系式,(不要求寫自變量的取值范圍)

解析由漲價(jià)后的單件利潤(rùn)與漲價(jià)后銷售數(shù)量的乘積求得利潤(rùn)y.答案y=(x-60)[300-10(x-80)]=(x-60)〔300-10x+800)=(x-60)〔1100-10x〕即y=.答：每月銷售該商品的利潤(rùn)y(元)與漲價(jià)后的單價(jià)x(元)的函數(shù)關(guān)系式為y=.

類題突破2某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)一種商品,推銷中發(fā)現(xiàn):這種商品的銷售量m(件)與每件商品的銷售價(jià)x〔元〕滿足一次函數(shù)關(guān)系m=162-3x,試寫出商場(chǎng)銷售這種商品的銷售利潤(rùn)y(元)與每件商品的銷售價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系(不要求寫自變量的取值范圍)

答案y=(162-3x)(x-30)=

答:銷售這種商品的日銷售利潤(rùn)y(元)與每件商品的銷售x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式為。方法提示

有關(guān)利潤(rùn)問(wèn)題,要掌握利潤(rùn)的公式：總利潤(rùn)=總數(shù)量×每件的利潤(rùn),即可解決問(wèn)題。易錯(cuò)指導(dǎo)易錯(cuò)點(diǎn)1忽略實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍例1小林家有一段長(zhǎng)為24米的籬笆,他想利用后院的東墻〔墻的最大可用工度為10米〕圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花輔〔如下圖〕,設(shè)AB邊的長(zhǎng)為x米,面積為S平方米,求S與x的函數(shù)關(guān)系式,假設(shè)要使圍成花圃的面積為45平方米,那么AB的長(zhǎng)應(yīng)為多少米？錯(cuò)解因?yàn)锳B=x米,那么BC=〔24-3x〕米,所以S=x〔24-3x〕=-3x+24x,當(dāng)面積為45平方米時(shí),所以要使花圃的面積為45平方米,AB的長(zhǎng)應(yīng)為5米或3米。錯(cuò)因分析：此題錯(cuò)在沒(méi)有考慮自變量的取值范圍,此題中自變量的取值既受墻的長(zhǎng)度限制,即24-3x≦10,又受籬笆墻的長(zhǎng)度限制,即24-3x＞0,故計(jì)算出的結(jié)果中x=3應(yīng)該舍去。正解因?yàn)锳B=x米,那么BC=〔24-3x〕米,且＜24＜-3x≤10,即＜8.所以S=x〔24-3x)=＜8),當(dāng)面積為45平方米時(shí),,解得x=5或x=3,其中x=3不符合條件,應(yīng)舍去。所以要使花圃的面積為45平方米,AB的長(zhǎng)應(yīng)為5米。糾錯(cuò)心得一般情況下,二次函數(shù)自變量的取值范圍是實(shí)體實(shí)數(shù),而在實(shí)際問(wèn)題中,自變量都有一定的取值范圍,要注意根據(jù)題意進(jìn)行取舍。易錯(cuò)點(diǎn)2忽略二次函數(shù)的重要條件a≠0例2函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù),求m的值。錯(cuò)