高考一輪復(fù)習(xí)集合加函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)

第1講集合

最新考綱1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語(yǔ)言、圖

形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言(列舉法或描述法)描述不同的具體問(wèn)題；2.理解集合之間包含與

相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義；3.

理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集；理解在給

定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；能使用韋恩(Venn)圖表

達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算.

基福診斷梳理自測(cè)，理解記憶

知識(shí)梳理

1.元素與集合

(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無(wú)序性.

(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,表示符號(hào)分別為e和電

(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

2.集合間的基本關(guān)系

(1)子集：若對(duì)任意xe/,都有正之，則NU8或324.

(2)真子集：若4EB,且集合3中至少有一個(gè)元素不屬于集合4則/B或BA.

(3)相等：若NU&且里1，則4=3.

(4)空集的性質(zhì)：。是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為。，則集合力的補(bǔ)

符號(hào)表示AUBAHB

集為［小

圖形表示uO

AUBACB

且

集合表示{x\x^A,或xW6}{x\xU,且xC4}

4.集合關(guān)系與運(yùn)算的常用結(jié)論

(1)若有限集/中有〃個(gè)元素，則/的子集有二個(gè)，真子集有2"—1個(gè).

(2)子集的傳遞性：AQB,BUCn/UC.

(3)4￡Bo4AB=A^AUB=B.

(4)[&n8)=([〃)U([#)，[MNU8)=([/)C([試).

診斷自測(cè)

1.判斷正誤(在括號(hào)內(nèi)打“，'或"X”)喳精彩PPT展示

(1)任何集合都有兩個(gè)子集.()

(2)已知集合4={X『=X2},5={y[y=x2},C={(x,y)\y=x2},則/=8=C.()

(3)若{x2,l}={0,1},則x=0,1.()

(4)若4c8=NCC,則B=C.()

解析(1)錯(cuò)誤.空集只有一個(gè)子集，就是它本身，故該說(shuō)法是錯(cuò)誤的.

(2)錯(cuò)誤.集合/是函數(shù)的定義域，即/=(-8,+8)；集合8是函數(shù)y=x2

的值域，即8=[0,+-)；集合C是拋物線尸上的點(diǎn)集.因此4B,C不相等.

(3)錯(cuò)誤.當(dāng)x=l,不滿足互異性.

(4)錯(cuò)誤.當(dāng)/=0時(shí)，B,C可為任意集合.

答案⑴*(2)X(3)X(4)X

2.(必修1P7練習(xí)2改編)若集合4={xeN|xW?},a=2啦，則下列結(jié)論正確的

是()

A.{Q}口B.aQAC.{Q}￡/D.a^A

解析由題意知4={0,1,2,3},由。=2吸,知〃4

答案D

3.(2016?全國(guó)I卷)設(shè)集合3={小2一回+3<0},3={心一3>0},則308=

解析易知4=(1,3),8=g,+°°J,所以4c6=(|,3).

答案D

4.(2017?石家莊模擬)設(shè)全集。={小6N*,x<6},集合/={1,3},B={3,5},

則["ZU8)等于()

A.{1,4}B.{1,5}

C.{2,5}D.{2,4}

解析由題意得ZU8={1,3}U{3,5}={1,3,5}.又t/={l,2,3,4,5},

.?」MZU8)={2,4}.

答案D

5.已知集合Z={(x,yGR,且/+丁=]},B={(x,N)|x,_y￡R,且卜=%},

則/C8的元素個(gè)數(shù)為.

解析集合/表示圓心在原點(diǎn)的單位圓，集合8表示直線歹=%，易知直線y=x

和圓f+y2=l相交，且有2個(gè)交點(diǎn)，故/C3中有2個(gè)元素.

答案2

I考點(diǎn)突破I癖沛彩PPT名師講解分類講緣，以例求法

考點(diǎn)一集合的基本概念

【例1】(1)已知集合〃={0,1,2},則集合8={x—HxW/,ye/}中元素的個(gè)

數(shù)是()

A.lB.3C.5D.9

(2)若集合/={》6為巾2—3x+2=0}中只有一個(gè)元素，則a=()

999

-B-CO-

A.288

解析(1)當(dāng)x=0,y=0,1,2時(shí)，x~y=O,-1,-2；

當(dāng)x=l,y=0,1,2時(shí)，x~y=1,0,—1；

當(dāng)x=2,y=0,1,2時(shí)，x—y=2,1,0.

根據(jù)集合中元素的互異性可知，8的元素為一2,-1,0,1,2,共5個(gè).

(2)若集合力中只有一個(gè)元素，則方程0?-3%+2=0只有一個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等

實(shí)根.

2

當(dāng)。=0時(shí)，x=],符合題意;

o

當(dāng)aWO時(shí)，由/=(—3)2—8a=0,得a=W，

o

9

所以〃的取值為0或A

O

答案(1)C(2)D

規(guī)律方法(1)第(1)題易忽視集合中元素的互異性誤選D.第(2)題集合Z中只有一

個(gè)元素，要分4=0與兩種情況進(jìn)行討論，此題易忽視4=0的情形.

(2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，

明確集合類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的集合.

【訓(xùn)練1】⑴設(shè)a,b《R,集合{1,a+b,a}=|o,p/《，則b—a=.

(2)已知集合4={xdR|"2+3X—2=。},若4=0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

解析⑴因?yàn)閧1,a+b,。}=[。，5，aWO,

所以a+b=0,且b=l,

所以a=—1,6=1,所以b—a=2.

⑵由N=0知方程af+3x-2=0無(wú)實(shí)根，

2

當(dāng)a=0時(shí)，x=?不合題意，舍去；

9

當(dāng)時(shí)，A=9+8a<0,/.a<—Q.

o

答案(1)2(2)(—8,一§

考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系

【例2】(1)已知集合/={x[y=q?二P,xWR},B={x\x=m2,m^A},則()

A.ABB.BAC.AQBD.B=4

(2)已知集合4={x|-2WxW7},B={x\m+\<x<2m-l},若則實(shí)數(shù)加的取

值范圍是.

解析(1)易知/={x|—IWXWI},

所以8={%,=加2,/M￡〃}={X|0WXW1}.

因此8A.

(2)當(dāng)8=0時(shí)，有機(jī)+122m—1,則wW2.

當(dāng)8W0時(shí)，<BQA,如圖.

(〃?+1孑-2,

則｛2加一1W7,

1加+1<2/77—1,

解得2</?W4.

綜上，加的取值范圍為(-8,4].

答案(1)B(2)(—8,4]

規(guī)律方法(1)若8U/,應(yīng)分6=0和兩種情況討論.

(2)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將兩個(gè)集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)

間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.解決這類問(wèn)題常常要合理利用數(shù)

軸、Venn圖，化抽象為直觀進(jìn)行求解.

【訓(xùn)練2】(1)(2017?長(zhǎng)郡中學(xué)質(zhì)檢)若集合4={小>0},且照4則集合2可能

是()

A.{1,2}B.{沖W1}

C.{-1,0,1}D.R

(2)(2016?鄭州調(diào)研)已知集合4={訃&={?二LxCR},B={\,m},若AWB,

則m的值為()

A.2B.-l

C.-1或2D.6或2

解析(1)因?yàn)?={x|x>0},且再根據(jù)選項(xiàng)A,B,C,D可知選項(xiàng)A正確.

(2)由小=、/_2,得x=2,則〃={2}.

因?yàn)?={1,加}且4U8,

所以m=2.

答案(1)A(2)A

考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算

【例3】(1)(2015?全國(guó)I卷)已知集合/={小=3〃+2,"WN},B={6,8,10,

12,14},則集合/C8中元素的個(gè)數(shù)為()

A.5B.4

C.3D.2

(2)(2016?浙江卷)設(shè)集合P={xGR|lWxW3},{%GR|x2>4},則PU([R0)=

A.[2,3]B.(-2,3]

C.[l,2)D.(—8,-2)U[1,+°°)

解析(1)集合Z中元素滿足x=3〃+2,〃GN,即被3除余2,而集合8中滿足

這一要求的元素只有8和14.共2個(gè)元素.

(2)易知°={x|x22或xW—2}.

，［RO={XL2<X<2},

又P={x|lWxW3},故PU(［RQ)={X|—2<XW3}.

答案(1)D(2)B

規(guī)律方法(1)在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問(wèn)題直

觀化.

(2)一般地，集合元素離散時(shí)用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時(shí)用數(shù)軸表示，用數(shù)

軸表示時(shí)要注意端點(diǎn)值的取舍.

【訓(xùn)練3】(1)(2017?石家莊模擬)設(shè)集合1},{X\X2-X<6},則下列

結(jié)論正確的是()

X.NQMB.NfW=0

C.MQND.MCN=R

(2)(2016?山東卷)設(shè)集合。={1,2,3,4,5,6},A={\,3,5},B={3,4,5},

則［MZU8)=()

A.{2,6}B.{3,6}

C.{1,3,4,5}D.{1,2,4,6}

解析(1)易知N=(—2,3),且加={—1,1},...MUN.

(2)VA={1,3,5},B={3,4,5},：.AUB={\,3,4,5),

又全集U={1,2,3,4,5,6},因此［MNU8)={2,6}.

答案(1)C(2)A

課堂總結(jié)

［思想方法］

1.集合中的元素的三個(gè)特征，特別是無(wú)序性和互異性在解題時(shí)經(jīng)常用到.解題后要

進(jìn)行檢驗(yàn)，要重視符號(hào)語(yǔ)言與文字語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化.

2.對(duì)連續(xù)數(shù)集間的運(yùn)算，借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化；對(duì)已知連續(xù)數(shù)集間

的關(guān)系，求其中參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意單獨(dú)考察等號(hào)能否取到.

3.對(duì)離散的數(shù)集間的運(yùn)算，或抽象集合間的運(yùn)算，可借助Venn圖.這是數(shù)形結(jié)合

思想的又一體現(xiàn).

［易錯(cuò)防范］

1.集合問(wèn)題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合)，要

對(duì)集合進(jìn)行化簡(jiǎn).

2.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，時(shí)刻關(guān)注對(duì)空集的討論，

防止漏解.

3.解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系：一是元素與集合的從屬關(guān)系；二是集合與集合的包

含關(guān)系.

4.Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法，其中運(yùn)用

數(shù)軸圖示法時(shí)要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.

|保時(shí)作業(yè)|分層訓(xùn)練，提升能力

基礎(chǔ)鞏固題組

(建議用時(shí)：25分鐘)

一、選擇題

1.(2015?全國(guó)H卷)已知集合。={1,2,3},B={2,3},則()

A.A=BB.ZCI8=0

C.ABD.BA

解析?.1={1,2,3},8={2,3},，2,3WZ且2,3仁8,1GZ但1耕，A.

答案D

2.(2016?全國(guó)II卷)已知集合力={1,2,3},8={x|(x+l)―(x-2)<0,xGZ},則/U8

=()

A.{1}B.{1,2}

C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}

解析由(x+l)(x-2)<0,得一l<x<2,又XCZ,所以8={0,1},因此力U8={0,

1,2,3).

答案C

3.(2017?肇慶模擬)已知集合4={刈8:>0},B={x\x^l},貝4()

A.4C8W。B.JU5=RC.BEAD.AQB

解析由3={x|xWl},且N={x|lgx>O}=(l,+°°),.'.JU5=R.

答案B

4.已知集合。={小2忘1},M={a}.若PUA/=P,則。的取值范圍是()

A.(—8,-1]B.[l,+8)

C.[-l,1]D.(—8,-1]U[1,+8)

解析因?yàn)镻UM=P,所以MUP,即aWP,

得『Wl,解得一iWaWl,所以。的取值范圍是[—1,1].

答案C

5.(2016?山東卷)設(shè)集合4=[y[y=2x,xER},5={x|x2-KO},則NU3=()

A.(-L1)B.(0,1)

C.(—l,+°°)D.(0,+8)

解析由y=2",xWR,知夕>0,則/=(0,+°°).

又8={小2—1<0}=(-1,1).

因此NU8=(-1,+℃>).

答案C

6.(2016?浙江卷)已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合尸={1,3,5},0={1,

2,4},則([°P)U0=()

A.{1}B.{3,5}

C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5}

解析VU={1,2,3,4,5,6},P={1,3,5},：.^uP={2,4,6},'：Q=

{1,2,4},.?.(Cd)U0={l,2,4,6).

答案C

7.若則上4就稱/是伙伴關(guān)系集合，集合—0,2,的所

有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是()

A.lB.3

C.7D.31

解析具有伙伴關(guān)系的元素組是一1,/2,所以具有伙伴關(guān)系的集合有3個(gè)：{一

1},{萬(wàn),2b{-1,2>2j.

答案B

8.已知全集。=R,N={x|xWO},B={x\x^\},則集合[u(2U8)=()

A.{x|x20}B.{x|xWl}

C.{x|OWxWl}D.{^|O<x<l}

解析?.1={x|xWO},B={x\x^\},

.,./U8={x|xW0或x?l},在數(shù)軸上表示如圖.

.".Ct/(JUS)={x|O<x<l}.

答案D

二'填空題

9.已知集合Z={x|f—2x+a>0},且1勿，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析VH{x|x2—2x+a>0),

1W{x|x2—2x+aW0},

即1—2+aWO,：.a^l.

答案(一8,1]

10.(2016?天津卷)已知集合A={\,2,3},B={y\y=2x~\,x&A},則AQB=

解析由4={1,2,3},5={y[y=2x-l,x^A},；.5={1,3,5},因此NCB

=33}.

答案{1，3}

11.集合4={小<0},B={x[y=lg[x(x+1)]},若Z—8={x|xGZ,且%陣8},則/一

B=.

解析由x(x+l)>0,得x<—l或x>0,

:.8=(—8,—l)U(0,+°°),

/-A—B=[—1,0).

答案[-1，0)

12.(2017?石家莊質(zhì)檢)已知集合/={X|X2—2016X—2017W0},B={x\x<m+1],若

AQB,則實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是.

解析由f—2016x—2017W0,得4=[—1,2017],

又8={X|X</M+1},S.AQB,

所以加+>2017,則機(jī)>2016.

答案(2016,+°o)

能力提升題組

(建議用時(shí)：10分鐘)

13.(2016?全國(guó)m卷改編)設(shè)集合s={x|(x—2)(X—3)20},7={小>0},則([RJCIT

=()

A.[2,3]B.(—8,-2)U[3,+8)

C.(2,3)D.(0,+8)

解析易知S=(—8,2]U[3,+°°),/.CR5=(2,3),

因此([R?CT=(2,3).

答案C

14.(2016?黃山模擬)集合。=R,A={x\^-x-2<0},5={xly=ln(l-%)},則圖中

陰影部分所表示的集合是()

A.{x|x21}B.{x|Kx<2}

C.{x|0<x^11D.{x|xWl}

解析易知/=(一1,2),B=(—8,1),.?/u8=[l,+8),/C([u8)=[l,2).

因此陰影部分表示的集合為/A([M)={x[lWx<2}.

答案B

15.(2017?南昌十所省重點(diǎn)中學(xué)模擬)設(shè)集合/=卜。|卜2y161，5={x[y=ln(x2

-3x)},則/C8中元素的個(gè)數(shù)是.

解析由.W2y16,xGN,

/.x=0,1,2,3,4,即/={0,1,2,3,4}.

又f-3%>0,知8={x|x>3或x<0},

.,.JC15={4},即/CB中只有一個(gè)元素.

答案1

16.已知集合/={xGR||x+2|<3},集合8={xGR|(x-m)(x—2)<0},且2D"(一

1,/?),則加+“=.

解析A={xGR||x+2|<3}={xGR|-5<X<1},

由/門3=(—1,〃)可知機(jī)<1,

則8={xW<x<2},畫出數(shù)軸，可得/?=—1,/?=1.

-6<!>-----------x

-5-10I2

所以m+n=O.

答案0

第2講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件

最新考綱1.理解命題的概念，了解“若p,則，'形式的命題及其逆命題、否命

題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系；2.理解必要條件、充分條件與充要

條件的含義.

I基礎(chǔ)診斷梳理自測(cè)，理解記憶

知識(shí)梳理

1.命題

用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題,其中判斷為真的

語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題.

2.四種命題及其相互關(guān)系

(1)四種命題間的相互關(guān)系

(2)四種命題的真假關(guān)系

①兩個(gè)命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性.

②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題時(shí)，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.

3.充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p=q,則〃是〃的充分條件,q是D的必要條件

p是q的充分不必要條件P=q且小不

p是q的必要不充分條件p9且qnp

p是q的充耍條件poq

p是q的既不充分也不必要條件P"且衿P

診斷自測(cè)

1.判斷正誤（在括號(hào)內(nèi)打“J”或"X”）喳精彩PPT展示

⑴“/+2%—3<0”是命題.（）

（2）命題“若p,則/'的否命題是“若p,則）

（3）當(dāng)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件.（）

（4）“若p不成立，則q不成立”等價(jià)于“若q成立，則p成立”.（）

解析（1）錯(cuò)誤.該語(yǔ)句不能判斷真假，故該說(shuō)法是錯(cuò)誤的.

（2）錯(cuò)誤.否命題既否定條件，又否定結(jié)論.

答案（1）X（2）X（3）J（4）V

JT

2.（教材練習(xí)改編）命題“若a=4，則tan。=1”的逆否命題是（）

J[JT

A.若則tanaB.若[=彳，則tanaWl

JTJT

C.若tanQW1,則aWq"D.若tan則儀=彳

解析命題”若小貝19”的逆否命題是“若則，顯然^夕：tanQ半

、，冗冗

1,Sp：aw彳，所以該命題的逆否命題是“若tanaWl,則。工彳”.

答案C

3.（2016?天津卷）設(shè)x>0,y￡R,則、>_/'是"介/’的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析x>jy>x>例（如x=1,y=—2）.

但x>[y]時(shí)，能有x>y.

：.ux>yn是“%>飆"的必要不充分條件.

答案C

4.命題“若。>一3,則。>一6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個(gè)

數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

解析原命題正確，從而其逆否命題也正確；其逆命題為“若a>—6,則a>—3”

是假命題，從而其否命題也是假命題.因此四個(gè)命題中有2個(gè)假命題.

答案B

5.（2017?大連雙基檢測(cè)）已知函數(shù)人x）的定義域?yàn)镽,則命題p：”函數(shù)外）為偶函

數(shù)”是命題"‘勺xoGR,負(fù)配）=次一改））”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析若/（X）為偶函數(shù)，則有/（x）=/（-x）,所以poq；若/（x）=x,當(dāng)x=0時(shí)，/（0）

=7（—0）,而人x）=x為奇函數(shù)，所以q弁p.

二“命題p”是“命題/’的充分不必要條件.

答案A

I考點(diǎn)突破喈林彬PPT名師講解分類講練，以例求法

考點(diǎn)一四種命題的關(guān)系及其真假判斷

【例1】（1）命題“若f—3x—4=0,則x=4”的逆否命題及其真假性為（）

A.“若x=4,則d—3x—4=0”為真命題

B.“若xW4,則3x—4W0”為真命題

C.“若x#4,則3x—4W0”為假命題

D.“若x=4,則d—3x—4=0”為假命題

⑵原命題為“若Z|,Z2互為共輒復(fù)數(shù)，則區(qū)|=㈤"，關(guān)于其逆命題、否命題、逆

否命題真假性的判斷依次如下，正確的是（）

A.真、假、真B.假、假、真

C.真、真、假D.假、假、假

解析（1）根據(jù)逆否命題的定義可以排除A,D；由?一3x—4=0,得x=4或一1,

所以原命題為假命題，所以其逆否命題也是假命題.

（2）由共輪復(fù)數(shù)的性質(zhì)，⑸=防|,...原命題為真,因此其逆否命題為真；＜21=1,

Z2=i,滿足同=㈤,但是Zl,Z2不互為共匏復(fù)數(shù)，...其逆命題為假，故其否命題

也為假.

答案（1）C（2）B

規(guī)律方法（1）由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，如

果命題不是“若p,則q”的形式，應(yīng)先改寫成“若p,則，'的形式；如果命題

有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提不變.

（2）判斷一個(gè)命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個(gè)命題為假命題，只需舉出

反例.

(3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)

一個(gè)命題直接判斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假.

【訓(xùn)練1】已知:命題“若函數(shù)/(x)=e、一s在(0,+8)上是增函數(shù)，則慶1”，

則下列結(jié)論正確的是()

A.否命題是“若函數(shù)/(x)=e、一妙在(0,十8)上是減函數(shù)，則加＞1”,是真命題

B.逆命題是“若mWl,則函數(shù)_/(》)=F一儂在(0,+8)上是增函數(shù)“，是假命題

C.逆否命題是"若根＞1,則函數(shù)./(幻=爐-znx在(0,+8)上是減函數(shù)“，是真命

題

D.逆否命題是“若加＞1,則函數(shù)/(x)=e'—mx在(0,+8)上不是增函數(shù)”，是真

命題

解析由/(x)=e*一加x在(0,+8)上是增函數(shù)，則/(x)=e*—用，。恒成立，

因此原命題是真命題，所以其逆否命題''若加＞1,則函數(shù)/(》)=爐一用》在(0,十

8)上不是增函數(shù)”是真命題.

答案D

考點(diǎn)二充分條件與必要條件的判定

【例2】(1)函數(shù)加)在x=x()處導(dǎo)數(shù)存在.若p：/(%o)=O；q：x=xo是危)的極值

點(diǎn)，貝W)

A.p是q的充分必要條件

B.p是q的充分條件，但不是q的必要條件

C.p是q的必要條件，但不是q的充分條件

D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要條件

(2)(2017?衡陽(yáng)一模)%=1”是“直線＜zx+^+l=0與直線7+2比一3丁一2=0垂

直”的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析(1)由極值的定義，q=p,但p".例如/(x)=x3,在x=0處/(0)=0,/(x)

=?一是增函數(shù)，X=0不是函數(shù)/(刀)=%3的極值點(diǎn).

因此p是q的必要不充分條件.

(2)直線ax+1=0與直線(a+2)x—3y—2=0垂直的充要條件為a(a+2)+

1X(—3)=0,解得a=l或一3,故“〃=1”是“直線辦+歹+1=0與直線(a+2)x

—3y—2=0垂直”的充分不必要條件.

答案(1)C(2)B

規(guī)律方法充要條件的三種判斷方法

(1)定義法：根據(jù)進(jìn)行判斷.

(2)集合法：根據(jù)使p,q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.

(3)等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆

否命題進(jìn)行判斷.這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問(wèn)題，如“曬工1”是

或的何種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷“x=l且y=l”是“孫=1”的何

種條件.

【訓(xùn)練2】(2016?山東卷)已知直線a,A分別在兩個(gè)不同的平面a,6內(nèi)，則“直

線a和直線b相交”是“平面a和平面夕相交”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析由題意知aua,buB,若a,b相交，則a,b有公共點(diǎn)，從而a,f有

公共點(diǎn)，可得出a,￡相交；反之，若a,￡相交，則a,6的位置關(guān)系可能為平

行、相交或異面.

因此“直線。和直線b相交”是“平面a和平面夕相交”的充分不必要條件.

答案A

考點(diǎn)三充分條件、必要條件的應(yīng)用(典例遷移)

【例3】(經(jīng)典母題)已知P={X|X2—8X—20W0},非空集合S={X[1—/MWXW1+

加}.若xCP是xWS的必要條件，求加的取值范圍.

解由8x—20W0,得一2WxW10,

.?.P={x|—2WxW10}.

?.?xSP是xWS的必要條件,

則SUP.

1一加》一2,

解得mW3.

1+/nW10,

又?.'S為非空集合，1—■ff/Wl+加,解得〃?N0.

綜上，可知機(jī)20W3時(shí)，尸是xWS的必要條件.

【遷移探究1]本例條件不變，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)〃，，使xWP是xGS的充要條件?

解由例題知尸={x|-2WxW10}.

若xW尸是xWS的充要條件，則2=5,

1-m=-2,m=3,

這樣的用不存在.

l+m=10,〃=9,

【遷移探究2】本例條件不變，若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)帽的

取值范圍.

解由例題知尸={x|-2WxW10}.

???㈱P是㈱S的必要不充分條件，，尸是S的充分不必要條件，

，P=>S且S弁P.

/.[—2,10][1—m,1+加].

1—mW—2,[1—m<-2,

或<

.1+/M>10/+用210,

則加的取值范圍是[9,4-oo).

規(guī)律方法充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上.解題時(shí)需

注意：

(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間

的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解；

(2)要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn).

【訓(xùn)練3】ax2+2x+i=。只有負(fù)實(shí)根的充要條件是.

解析當(dāng)4=0時(shí)，原方程為一元一次方程2%+1=0,有一個(gè)負(fù)實(shí)根x=—；.

當(dāng)aWO時(shí)，原方程為一元二次方程，

又ax2+2x+l=0只有負(fù)實(shí)根，

"1=4—4。20,

_2

所以有《。<0'即OVaWL

->o,

綜上，方程只有負(fù)根的充要條件是OWaWL

答案04W1

課堂總結(jié)

［思想方法］

1.寫出一個(gè)命題的逆命題、否命題及逆否命題的關(guān)鍵是分清原命題的條件和結(jié)論,

然后按定義來(lái)寫；在判斷原命題、逆命題、否命題以及逆否命題的真假時(shí)，要借

助原命題與其逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假來(lái)判定.

2.充要條件的幾種判斷方法

(1)定義法：直接判斷若p則外若q則p的真假.

(2)等價(jià)法：即利用與^8=㈱小與^與^8=^/

的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定形式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法.

(3)利用集合間的包含關(guān)系判斷：設(shè)/="以》)},B={x\q(x)}-,若代B,則p是q

的充分條件或4是p的必要條件；若AB,則p是q的充分不必要條件，若4

=B,則p是q的充要條件.

［易錯(cuò)防范］

1.當(dāng)一個(gè)命題有大前提而要寫出其他三種命題時(shí)，必須保留大前提.

2.判斷命題的真假及寫四種命題時(shí)，一定要明確命題的結(jié)構(gòu)，可以先把命題改寫

成“若p,則/'的形式.

3.判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，正確理解“P的一個(gè)充分而不

必要條件是等語(yǔ)言.

|保時(shí)作業(yè)|分層訓(xùn)練，提升能力

基礎(chǔ)鞏固題組

(建議用時(shí)：25分鐘)

一、選擇題

1.(2015?山東卷)設(shè)〃?dR,命題“若加＞0,則方程d+x—m=0有實(shí)根”的逆否命

題是()

A.若方程f+x—〃?=0有實(shí)根，則加＞0

B.若方程f+x—，"=0有實(shí)根，則ZMWO

C.若方程f+x一帆=。沒(méi)有實(shí)根，則用＞0

D.若方程x?+x—〃?=0沒(méi)有實(shí)根，則/wWO

解析根據(jù)逆否命題的定義，命題“若加＞0,則方程f+x—加=0有實(shí)根”的逆

否命題是“若方程f+x—〃?=0沒(méi)有實(shí)根，則ZHWO”.

答案D

2.“x=l”是“/-2%+1=0”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

解析因?yàn)閤2-2x+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根為x=l,所以“x=l”是“》2一2》

+1=0”的充要條件.

答案A

3.設(shè)a,￡是兩個(gè)不同的平面，m是直線且mea,則“加〃夕’是"a〃尸"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析mua,惟“6豐＞?！˙,恒惟ua,a〃￡0加〃￡,...“〃?〃￡”是“a〃夕'

的必要不充分條件.

答案B

4.（2017?安徽江南十校聯(lián)考）％=0”是“函數(shù)上）=sinx-^+a為奇函數(shù)”的

（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析顯然a=0時(shí)，y（x）=sinx—（為奇函數(shù)；當(dāng)/（X）為奇函數(shù)時(shí)，大一》）+"）=

0.又八一x）+/（x）=sin（—x）—J-+a+sinx--+a=0.

Xx

因此2a=0,故a=0.

所以“a=0”是“函數(shù)/（x）為奇函數(shù)”的充要條件.

答案C

5.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.命題“若3x—4=0,則x=4”的逆否命題為“若xW4,則7—3x—4W0”

B.“x=4”是“小-3i=o”的充分條件

C.命題“若機(jī)＞0,則方程x?+x—加=0有實(shí)根”的逆命題為真命題

D.命題"若m2+n2=Q,則m=0且〃=0”的否命題是"若m2+n2^0,則

或〃#0"

解析C項(xiàng)命題的逆命題為"若方程f+x—加=0有實(shí)根，則加>0".若方程有實(shí)

根，則/=1+4加20,

即〃在一女不能推出相>0.所以不是真命題.

答案c

6.設(shè)xGR,則是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析由|x-2|<1,得l<x<3,所以l<x<2=l<x<3；但

所以是“歸一2卜1”的充分不必要條件.

答案A

7.已知命題p：x2+2x-3>0；命題</：x>a,且g的一個(gè)充分不必要條件是

P，則。的取值范圍是()

A.[l,+8)B.(-8,1]

C.[-l,+8)D.(—8,-3]

解析由d+Zx-3>0,得x<—3或x>1,由㈱q的一個(gè)充分不必要條件是^p,

可知是^4的充分不必要條件，等價(jià)于q是p的充分不必要條件.故

答案A

8.(2017?佛山模擬)已知a,b都是實(shí)數(shù),那么“小”是"lna>lnb”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析由Ina>ln故必要性成立.

當(dāng)a=l,6=0時(shí)，滿足如為歷，但I(xiàn)nb無(wú)意義，所以Ina>lnb不成立，故充分

性不成立.

答案B

二'填空題

9.“若aWb,則42或從2"，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命

題的個(gè)數(shù)是.

解析其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題.

答案2

10."sina=cos是"cos2a=0”的條件.

解析cos2a=0等價(jià)于cos?a—sin2a=0,

即cosa=±sina.

由cosa=sina得到cos2a=0；反之不成立.

"sina=cosa"是"cos2a=0”的充分不必要條件.

答案充分不必要

11.已知命題p：aWxWa+1,命題g：x2—4x<0,若p是q的充分不必要條件，則

a的取值范圍是.

解析令"=1},N={x|x2—4x<0}={x|0<x<4}.

,..p是q的充分不必要條件，N,

a>0,

解得0<?<3.

a+l<4,

答案（0，3）

12.有下列幾個(gè)命題：

①“若則的否命題；②“若x+y=0,則x,夕互為相反數(shù)”的逆命

題；③“若d<4,則一2令<2”的逆否命題.

其中真命題的序號(hào)是.

解析①原命題的否命題為“若則/W/”錯(cuò)誤.②原命題的逆命題為：“若

x,y互為相反數(shù)，則x+y=0”正確.③原命題的逆否命題為“若x22或xW—2,

則正確.

答案②③

能力提升題組

（建議用時(shí)：10分鐘）

13.（2016?四川卷）設(shè)p：實(shí)數(shù)x,y滿足（x-lp+e—1，W2,q：實(shí)數(shù)x,y滿足

（y^x-1,

“2—x,貝Up是q的（）

〔yWl,

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析如圖作出p,q表示的區(qū)域，其中。M及其內(nèi)部為p表示的區(qū)域，AABC

及其內(nèi)部（陰影部分）為q表示的區(qū)域.

故p是q的必要不充分條件.

答案A

14.（2017?南昌十所省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）已知mGR,“函數(shù)、=2'+加一1有零點(diǎn)”是

"函數(shù)夕=log?4在（0,+8）上為減函數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析由夕=2*+加-1=0,得加=1—2',則加<1.

由于函數(shù)y=log“注在（0,+8）上是減函數(shù)，

所以0</M<l.

因此“函數(shù)歹=2'+加一1有零點(diǎn)”是“函數(shù)y=log,”x在（0,+8）上為減函數(shù)”的

必要不充分條件.

答案B

15.已知集合4=卜3<2”<8,xGRpB={x\~\<x<m+\,xER},若xGB成

立的一個(gè)充分不必要的條件是xe/,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是.

解析1<2'v<8,XGRJ={X|-1<X<3},

'：xRB成立的一個(gè)充分不必要條件是x&A,

：.AB,.\7M+1>3,BPm>2.

答案（2,4-oo）

16.（2017?臨沂模擬）下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（填序號(hào)）.

①“f+x—2>0”是“x>l”的充分不必要條件；②命題：“VxdR,sinxWl”的否

定是，x（）WR,sinx（）>l";③"若》=亍，則tanx=l”的逆命題為真命題；④若

犬x）是R上的奇函數(shù)，則火log32）+■川og23）=0.

解析①中“》2+'一2>0”是“X>1”的必要不充分條件，故①錯(cuò)誤.

對(duì)于②，命題：“VxCR,sinxWl"的否定是‘'mxoCR,sinxo>l”，故②正確.

JI71

對(duì)于③，''若x=z~,則tanx=l”的逆命題為“若tanx=l,貝!]%=彳"，其為假

命題，故③錯(cuò)誤.

對(duì)于④，若/(X)是R上的奇函數(shù)，則/(—X)+/(》)=0,?..Iog32=^b#—log32,

???10g32與10g23不互為相反數(shù)，故④錯(cuò)誤.

答案②

第3講簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞

最新考綱1.了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、"且"、“非”的含義；2.理解全稱量詞與

存在量詞的意義；3.能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

建礎(chǔ)診斷梳理自測(cè)，理解記憶

知識(shí)梳理

1.簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

(1)命題中的且、或、韭叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞.

(2)命題p且外2或小非p的真假判斷

Pq。且ap或q非p

真真真真假

真假假真假

假真假真直

假假假假真

2.全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞：短語(yǔ)''所有的"、“任意一個(gè)”等在邏輯中通常叫做全稱量詞，用

符號(hào)“豆”表示.

(2)全稱命題：含有全稱量詞的命題.

全稱命題“對(duì)M中任意一個(gè)x,有p(x)成立"簡(jiǎn)i已為VxdAf,0(x).

(3)存在量詞：短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等在邏輯中通常叫做存在量詞,

用符號(hào)“3”表示.

(4)特稱命題：含有存在量詞的命題.

特稱命題“存在M中的一個(gè)元素xo,使p(xo)成立"，簡(jiǎn)記為三期七加，加

3.含有一個(gè)量詞的命題的否定

命題命題的否定

Vx￡M,p(x)

3x0^M,p(x0)PxGM,z7(x)

診斷自測(cè)

1.判斷正誤（在括號(hào)內(nèi)打“J”或"X”）喳精彩PPT展示

⑴命題“5>6或5>2”是假命題.（）

（2）命題^⑦八編是假命題，則命題p,q中至少有一個(gè)是真命題.（）

（3）“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是特稱命題.（）

（4）3xop（xo）與VxW",^p（x）的真假性相反.（）

解析（1）錯(cuò)誤.命題pVq中，p,g有一真則真.

（2）錯(cuò)誤.p/\q是真命題，則p,q都是真命題.

（3）錯(cuò)誤.命題“長(zhǎng)方形的對(duì)角線相等”是全稱命題.

答案（1）X（2）X（3）X（4）V

2.（選修2—1P18B組改編）已知p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)，則命題p,糠q,p

Vq,pf\q中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

解析p和q顯然都是真命題，所以^p,梆4都是假命題，p7q、p/\q都是真

命題.

答案B

3.（2015?全國(guó)I卷）設(shè)命題曲3/7GN,/>2",則^口為（）

A.V/7EN,J〉?"B.3/?eN,“2^2”

C.V/1GN,代2"D.BwEN,“2=2"

解析命題p的量詞“于'改為“V"，“I〉2""改為“〃2?2"”，，^p：v〃GN,

/W2".

答案C

4.（2017?貴陽(yáng)調(diào)研）下列命題中的假命題是（）

A.Sxo^R,lgxo=1B.3xoeR?sinxo=O

C.VxGR,?>0D.VxeR,2%>0

解析當(dāng)x=10時(shí)，1g10=1,則A為真命題；當(dāng)x=0時(shí)，sin0=0,則B為真

命題；當(dāng)x<0時(shí)，Ivo,則C為假命題；由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，VxCR,2、>0,

則D為真命題.故選C.

答案C

JT

5.(2015?山東卷)若“VxG0,彳，tanxW/w”是真命題，則實(shí)數(shù)m的最小值為

解析Y函數(shù)尸tanx在0,T■上是增函數(shù)，

**J^maxtan41，依思，m>Pmax,即"?>1?

:.m的最小值為1.

答案1

I考點(diǎn)突破隋RPPT名師講解分類講練，以例求法

考點(diǎn)一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷

【例1】設(shè)a，b,c是非零向量.已知命題p:若。力=0,bc=O,則GC=0；命

題q：若a〃從b//c,則a〃c.則下列命題中真命題是()

A.pVqB.p/\q

C.佛p)A(^q)D.p八佛q)

解析取a=c=(l,0),6=(0,1),顯然<rb=O,bc=O,但GC=1W0,二P是

假命題.

又a,方，c是非零向量，

由知a=xb,由。〃c知8=yc,

.".a=xyc,.,.a//c,是真命題.

綜上知pVq是真命題，p/\q是假命題.

又為真命題，㈱g為假命題.

...健0)/\儂辦p/\(Lq)都是假命題.

答案A