新教材選擇性5.3.2極大值與極小值課件（22張）

5.3.2極大值與極小值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點處取得極值的必要條件和充分條件.2.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值.3.通過極值與極值點概念的學(xué)習(xí)提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng),借助函數(shù)極值的求法

提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

1|函數(shù)極值、極值點的概念一般地,若存在δ>0,當(dāng)x∈(x1-δ,x1+δ)時,都有①

f(x)≤f(x1)

,則稱f(x1)為函數(shù)f(x)的

一個極大值,稱x1為函數(shù)f(x)的一個極大值點.

一般地,若存在δ>0,當(dāng)x∈(x2-δ,x2+δ)時,都有②

f(x)≥f(x2)

,則稱f(x2)為函數(shù)f(x)的

一個極小值,稱x2為函數(shù)f(x)的一個極小值點.函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值,函數(shù)的極大值點、極小值點統(tǒng)稱為函

數(shù)的極值點.2|函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系xx1左側(cè)x1x1右側(cè)f'(x)③

f'(x)>0

f'(x)=0④

f'(x)<0

f(x)↗極大值f(x1)↘xx2左側(cè)x2x2右側(cè)f'(x)⑤

f'(x)<0

f'(x)=0⑥

f'(x)>0

f(x)↘極小值f(x2)↗3|可導(dǎo)函數(shù)在某點處取得極值的必要條件與充分條件?可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值的必要條件是f'(x0)=0.可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在x=x0處取得極值的充分條件是f'(x)在x=x0兩側(cè)的附近區(qū)域內(nèi)異

號.

判斷正誤,正確的畫“√”,錯誤的畫“?”.M的速度v與時間t的函數(shù)關(guān)系式為v(t)=3t,則函數(shù)v(t)沒有極值.

(√)提示:函數(shù)v(t)=3t在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,故v(t)無極值.q(單位:C)關(guān)于時間t(單位:s)的函數(shù)為q=2t2+3t,則此函數(shù)無極

大值.

(√)提示:此函數(shù)為圖象開口向上的二次函數(shù),故只有極小值,無極大值.3.函數(shù)的極大值一定大于極小值.

(

?)提示:極值是函數(shù)的局部性質(zhì),若極大值和極小值不相鄰,則極大值不一定大于極

小值.4.在可導(dǎo)函數(shù)的極值點處,切線與x軸平行或重合.

(√)提示:由極值的概念可知,可導(dǎo)函數(shù)在極值點x=x0處的切線的斜率k=f'(x0)=0,所以

切線與x軸平行或重合.f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,則f(x)在(a,b)內(nèi)一定不單調(diào).

(√)提示:根據(jù)極值的概念,極值點兩邊導(dǎo)數(shù)不同號,所以函數(shù)不單調(diào).

1|利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題情境“橫看成嶺側(cè)成峰,遠近高低各不同”說的是廬山的高低起伏,錯落有致.

在群山之中,各個山峰的頂端,雖然不一定是群山的最高處,但它卻是其附近的最

高點.那么,在數(shù)學(xué)上,這種現(xiàn)象如何來刻畫呢?1.函數(shù)的極大(小)值是不是函數(shù)在定義域中的最大(小)值呢?提示:極值是一個局部概念,由概念知極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函

數(shù)值比較是大或小,并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內(nèi)最大或最小.2.函數(shù)的極大(小)值是不是唯一的?提示:函數(shù)的極值不是唯一的,即一個函數(shù)在某區(qū)間上或其定義域內(nèi)的極大值或

極小值可以不止一個.3.函數(shù)的極大值是否一定大于函數(shù)的極小值?提示:一個函數(shù)的極大值未必大于其極小值,如圖所示,x1是函數(shù)f(x)的極大值點,x4

是函數(shù)f(x)的極小值點,但f(x1)<f(x4),因此函數(shù)的極大值與極小值之間無確定的大

小關(guān)系.f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x);(3)令f'(x)=0,求出此方程全部的根;(4)列表:方程的根將整個定義域劃分成若干個區(qū)間(如果根中含有參數(shù),則需根據(jù)

參數(shù)的范圍分類劃分區(qū)間),把x,f'(x),f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個表格

內(nèi);(5)判斷得結(jié)論:若導(dǎo)數(shù)在根x0附近左正右負,則函數(shù)在x0處取得極大值;若左負右

正,則取得極小值.2.有關(guān)含參函數(shù)的極值問題,一般有兩類:(1)求含參函數(shù)的極值,要根據(jù)f'(x

以下幾個方面:①方程f'(x)=0有無實數(shù)根;②方程f'(x)=0的實數(shù)根是否在定義域內(nèi);③方程f'(x)=0的實數(shù)根之間的大小.進而列表得到函數(shù)的極值.(2)由極值求參數(shù)的值或取值范圍,解題的切入點是極值存在的條件:極值點處的

導(dǎo)數(shù)值為0,極值點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號.解題步驟如下:①求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f'(x);②由極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0,列出方程(組),求解參數(shù).注意:求出參數(shù)后,一定要驗證是否滿足題目的條件.

(2020江蘇揚州部分高中高二下期中聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x-alnx(a∈R).(1)當(dāng)a=2時,求曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)的極值.思路點撥(1)求f'(x)

求切線的斜率k

由點斜式得切線方程.(2)對a分類討論

確定f'(x)的符號

結(jié)合f(x)的單調(diào)性寫出其極值.解析

(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞).當(dāng)a=2時,f(x)=x-2lnx,f'(x)=1-

(x>0),因為f(1)=1,f'(1)=-1,所以曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)f'(x)=1-

=

,x>0,故①當(dāng)a≤0時,f'(x)>0恒成立,函數(shù)f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),函數(shù)f(x)無極值.②當(dāng)a>0時,令f'(x)=0,解得x=a,當(dāng)x∈(0,a)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,從而函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-alna,無極大值.綜上,當(dāng)a≤0時,函數(shù)f(x)無極值;當(dāng)a>0時,函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值a-alna,無極大值.

求函數(shù)的極值時的注意事項:(1)要注意運用分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想;(2)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)函數(shù)沒有極值;(3)導(dǎo)數(shù)為零的點不一定是極值點.(2)(2020江蘇淮安六校聯(lián)盟高三三模)若函數(shù)f(x)=

在區(qū)間(0,2)上有極值,則實數(shù)a的取值范圍為

.思路點撥(1)由題意知f'(1)=0且f(1)=10,由此可求得a,b,注意檢驗極值的存在條件.(2)f(x)在(0,2)內(nèi)有極值,等價于f'(x)=0在(0,2)內(nèi)有實根.解析

(1)因為f(x)=x3+ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+2ax+b,x∈R,又函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處取得極小值10,所以f'(1)=3+2a+b=0且f(1)=1+a+b+a2=10,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.當(dāng)a=4,b=-11時,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),此時x=1是函數(shù)f(x)的極小值點;當(dāng)a=-3,b=3時,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,此時x=1不是函數(shù)的極小值點,舍去,∴a=4,b=-11,∴a+b=-7.(2)由f(x)=

得f'(x)=-

,x∈R.當(dāng)x>a+1時,f'(x)<0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x<a+1時,f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,要使函數(shù)f(x)=

在區(qū)間(0,2)上有極值,只需0<a+1<2,即-1<a<1,所以實數(shù)a的取值范圍為(-1,1).答案(1)-7(2)(-1,1)

解決利用極值求函數(shù)中的參數(shù)問題時,要注意f'(x0)=0是x0為極值點的必要不充分

條件,由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意檢驗極值的存在條件,防止漏掉檢驗

導(dǎo)致解題錯誤.2|利用函數(shù)的極值解決函數(shù)的綜合問題

比較復(fù)雜的函數(shù)的綜合問題,常常在高考壓軸題中出現(xiàn),涉及函數(shù)的圖象與

合問題時,可通過極值的正用和逆用、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法,進行有

方法.

(2021江蘇連云港高三上期中調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=

+x+lnx-3,a∈R.(1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)的極值;(2)求函數(shù)f(x)的零點個數(shù).思路點撥(1)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得極值.(2)令f(x)=0,分離參數(shù)得a=3x-xlnx-x2,令g(x)=3x-xlnx-x2,利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的單調(diào)

性,進而畫出圖象,結(jié)合圖象求解.解析

(1)當(dāng)a=2時,f(x)=

+x+lnx-3(x>0),f'(x)=-

+1+

=

=

,令f'(x)>0,得x>1,令f'(x)<0,得0<x<1,所以f(x)在x=1處取得極小值,極小值為f(1)=2+1-3=0,無極大值.(2)令f(x)=

+x+lnx-3=0,得a=3x-xlnx-x2,設(shè)g(x)=3x-xlnx-x2(x>0),則g'(x)=2-lnx-2x,設(shè)M(x)=2-lnx-2x(x>0),則M'(x)=-

-2<0,所以M(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,即g'(x)在(0,+∞)上是減函數(shù),令g'(x)=0,得x=1,所以在x∈(0,1)上有g(shù)'(x)>0,在x∈(1,+∞)上有g(shù)'(x)<0,所以g(x)在x=1處取得極大值,極大值為g(1)=3-1=2,當(dāng)x→0時,g(x)→0,當(dāng)x→+∞時,

g(x)→-∞,所以g(x)的圖象如圖所示:

由圖象知,當(dāng)a=2或a≤0時,g(x)的圖象與直線y=a有一個交點,即函數(shù)f(x)的零點個

數(shù)為1,當(dāng)a∈(0,2)時,g(x)的圖象與直線y=a有兩個交點,即函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2;當(dāng)