2023年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考全國(guó)卷）專題17 概率（原卷版）

專題17概率目錄一覽2023真題展現(xiàn)考向一概率考向二離散型隨機(jī)變量及其分布列真題考查解讀近年真題對(duì)比考向一概率考向二離散型隨機(jī)變量及其分布列考向三正太分布命題規(guī)律解密名校模擬探源易錯(cuò)易混速記/二級(jí)結(jié)論速記考向一概率1．（多選）（2023?新高考Ⅱ?第12題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為α（0＜α＜1），收到0的概率為1﹣α；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β（0＜β＜1），收到1的概率為1﹣β．考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）（）A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到1，0，1的概率為（1﹣α）（1﹣β）2 B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β（1﹣β）2C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β（1﹣β）2+（1﹣β）3D．當(dāng)0＜α＜0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率考向二離散型隨機(jī)變量及其分布列2．（2023?新高考Ⅰ?第21題）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第i次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P（Xi＝1）＝1﹣P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，?，n，則E（i=1nXi）=i=1nqi．記前n【命題意圖】概率、隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．【考查要點(diǎn)】概率多為小題。隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望是高考熱點(diǎn)之一。?？疾槎?xiàng)分布、正態(tài)分布、超幾何分布等常見(jiàn)的分布，多為解答題．【得分要點(diǎn)】1．古典概率的計(jì)算公式如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m2．相互獨(dú)立事件的概率乘法公式將事件A和事件B同時(shí)發(fā)生的事件即為A?B，若兩個(gè)相互獨(dú)立事件A、B同時(shí)發(fā)生，則事件A?B發(fā)生的概率P（A?B）＝P（A）?P（B）．3．條件概率（1）條件概率的定義：對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P（B|A）來(lái)表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）=P(AB)P(A)，其中P（②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數(shù)n（A），再在事件A發(fā)生的條件下求出事件B包含的基本事件數(shù)，即n（A∩B），得P（B|A）=n(A∩B)4．離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望、方差（1）離散型隨機(jī)變量X的概率分布列Xx1x2…xn…Pp1p2…pn…（2）數(shù)學(xué)期望：稱EX＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為X的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．（3）方差、標(biāo)準(zhǔn)差：D(X)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，其算術(shù)平方根eq\r(D(X))為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．（4）期望方差的性質(zhì)：E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b為常數(shù))．5．常見(jiàn)隨機(jī)變量的分布列（1）兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則其分布列為X01P1－pp（2）超幾何分布:在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))（3）二項(xiàng)分布如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率是P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k，其中k＝0，1，2，3，…，n，q＝1－P.于是得到隨機(jī)變量X的概率分布如下：X01…k…nPCeq\o\al(0,n)P0qnCeq\o\al(1,n)P1qn－1…Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)Pnq0由于Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k恰好是二項(xiàng)展開(kāi)式(P＋q)n＝Ceq\o\al(0,n)P0qn＋Ceq\o\al(1,n)P1qn－1＋…＋Ceq\o\al(k,n)Pkqn－k＋…＋Ceq\o\al(n,n)Pnq0中的第k＋1項(xiàng)(k＝0，1，2，…，n)中的值，故稱隨機(jī)變量X為二項(xiàng)分布，記作X～B(n，P)．6．常見(jiàn)隨機(jī)變量的均值與方差（1）若X～B(n，p)，則EX＝np，DX＝np(1－p)．（2）若X服從兩點(diǎn)分布，則EX＝p(p為成功概率)，DX＝p(1－p)．考向一概率3．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（）A． B． C． D．4．（2021?新高考Ⅰ）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則（）A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立 C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立考向二離散型隨機(jī)變量及其分布列5．（2021?新高考Ⅰ）某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．（1）若小明先回答A類問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由．6．（2021?新高考Ⅱ）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代，……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）．（Ⅰ）已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E（X）；（Ⅱ）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p0+p1x+p2x2+p3x3＝x的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)E（X）≤1時(shí)，p＝1，當(dāng)E（X）＞1時(shí)，p＜1；（Ⅲ）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．考向三正太分布7．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），則下列結(jié)論中不正確的是（）A．σ越小，該物理量在一次測(cè)量中落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大 B．該物理量在一次測(cè)量中大于10的概率為0.5 C．該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D．該物理量在一次測(cè)量中結(jié)果落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等8．（2022?新高考Ⅱ）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，則P（X＞2.5）＝．?？疾楣诺涓判驼植嫉?。二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、超幾何分布等常見(jiàn)的分布多為解答題．一．互斥事件與對(duì)立事件（共2小題）1．（2023?宛城區(qū)校級(jí)三模）先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A＝“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是6”，事件B＝“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件C＝“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，則（）A．A與B互斥 B．B與C相互獨(dú)立 C． D．A與C互斥2．（2023?五華區(qū)校級(jí)模擬）有5張獎(jiǎng)券，其中3張可以中獎(jiǎng)，現(xiàn)有5個(gè)人從中不放回地依次各隨機(jī)抽取一張，設(shè)每張獎(jiǎng)券被抽到的可能性相同，記事件Ai＝“第i個(gè)人抽中中獎(jiǎng)券”，則下列結(jié)論正確的是（）A．事件A1與A2互斥 B． C． D．二．概率及其性質(zhì)（共1小題）3．（2023?咸陽(yáng)一模）某家族有X，Y兩種遺傳性狀，該家族某成員出現(xiàn)X性狀的概率為，出現(xiàn)Y性狀的概率為，X，Y兩種性狀都不出現(xiàn)的概率為，則該成員X，Y兩種性狀都出現(xiàn)的概率為（）A． B． C． D．三．互斥事件的概率加法公式（共2小題）4．（2023?徐匯區(qū)校級(jí)一模）某產(chǎn)品長(zhǎng)度合格的概率為，重量合格的概率為，長(zhǎng)度、重量合格的概率為，任取一件產(chǎn)品，已知其重量合格，則它的長(zhǎng)度也合格的概率為．5．（2023?鯉城區(qū)校級(jí)模擬）甲箱中有2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙箱中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球．現(xiàn)從甲箱中隨機(jī)取兩個(gè)球放入乙箱，然后再?gòu)囊蚁渲腥我馊〕鰞蓚€(gè)球．假設(shè)事件A＝“從乙箱中取出的兩球都是白球”，B＝“從乙箱中取出的兩球都是黑球”，C＝“從乙箱中取出的兩球一個(gè)是白球一個(gè)是黑球”，其對(duì)應(yīng)的概率分別為P（A），P（B），P（C），則（）A．P（A）＝P（B） B．P（A）＝P（C） C．P（B）＜P（C） D．P（C）＜P（A）四．等可能事件和等可能事件的概率（共2小題）6．（2023?昌江縣二模）擺地?cái)偟哪硵偅ㄙ€）主拿了8個(gè)白的，8個(gè)黑的圍棋子放在一個(gè)口袋里，并規(guī)定凡愿意摸彩者每人交一元錢(qián)作手續(xù)費(fèi)，然后一次從口袋摸出5個(gè)棋子，中彩情況如下：摸棋子5個(gè)白4個(gè)白3個(gè)白其它彩金20元2元紀(jì)念品（價(jià)值5角）同樂(lè)一次（無(wú)任何獎(jiǎng)品）（1）某人交一元錢(qián)作手續(xù)費(fèi)，然后一次從口袋摸出5個(gè)棋子，求獲得彩金20元的概率；（2）某人交一元錢(qián)作手續(xù)費(fèi)，然后一次從口袋摸出5個(gè)棋子，求無(wú)任何獎(jiǎng)品的概率；（3）按每天摸彩1000次統(tǒng)計(jì)，賭主可望凈賺約多少錢(qián)？7．（2023?揚(yáng)中市校級(jí)模擬）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)文化課和其他三門(mén)藝術(shù)課各1節(jié)，則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）．五．古典概型及其概率計(jì)算公式（共11小題）8．（2023?江蘇模擬）某學(xué)習(xí)小組八名學(xué)生在一次物理測(cè)驗(yàn)中的得分（單位：分）如下：83，84，86，87，88，90，93，96，這八人成績(jī)的第60百分位數(shù)是n．若在該小組隨機(jī)選取兩名學(xué)生，則得分都比n低的概率為（）A． B． C． D．9．（2023?廣東模擬）一堆蘋(píng)果中大果與小果的比例為9：1，現(xiàn)用一臺(tái)水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為5%，把小果篩選為大果的概率為2%．經(jīng)過(guò)一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來(lái)的“大果”里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為（）A． B． C． D．10．（2023?揚(yáng)州三模）某教學(xué)樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，某同學(xué)從二樓到三樓準(zhǔn)備用7步走完，則第二步走兩級(jí)臺(tái)階的概率為（）A． B． C． D．11．（2023?重慶模擬）現(xiàn)從2個(gè)男生2個(gè)女生共4人中任意選出2人參加巴蜀中學(xué)高三年級(jí)的百日誓師大會(huì)，已知選出的2人中有一個(gè)是男生，則另一個(gè)是女生的概率為（）A． B． C． D．12．（2023?青島一模）某次考試共有4道單選題，某學(xué)生對(duì)其中3道題有思路，1道題完全沒(méi)有思路．有思路的題目每道做對(duì)的概率為0.8，沒(méi)有思路的題目，只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)的概率為0.25．若從這4道題中任選2道，則這個(gè)學(xué)生2道題全做對(duì)的概率為（）A．0.34 B．0.37 C．0.42 D．0.4313．（2023?臺(tái)州二模）袋子中有大小相同的5個(gè)白球和5個(gè)紅球，從中任取3個(gè)球，已知3個(gè)球中有白球，則恰好拿到2個(gè)紅球的概率為（）A． B． C． D．14．（2023?保定二模）三位同學(xué)參加某項(xiàng)體育測(cè)試，每人要從100m跑、引體向上、跳遠(yuǎn)、鉛球四個(gè)項(xiàng)目中選出兩個(gè)項(xiàng)目參加測(cè)試，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是（）A． B． C． D．15．（2023?湖北模擬）在“2，3，5，7，11，13，17，19”這8個(gè)素?cái)?shù)中，任取2個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)之和仍為素?cái)?shù)的概率是（）A． B． C． D．16．（2023?杭州一模）四位爸爸A、B、C、D相約各帶一名自己的小孩進(jìn)行交際能力訓(xùn)練，其中每位爸爸都與一個(gè)別人家的小孩進(jìn)行交談，則A的小孩與D交談的概率是（）A． B． C． D．17．（2023?寧波模擬）已知甲盒中有2個(gè)白球，2個(gè)紅球，1個(gè)黑球，乙盒中有4個(gè)白球，3個(gè)紅球，2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，記事件A＝“甲盒中取出的球與乙盒中取出的球顏色不同”，則P（A）＝（）A． B． C． D．18．（2023?安徽模擬）老師排練節(jié)目需要4個(gè)男生和2個(gè)女生，將這六名學(xué)生隨機(jī)排成一排，2個(gè)女生不相鄰的概率為（）A． B． C． D．六．列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率（共3小題）19．（2023?貴陽(yáng)模擬）從，這五個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)不同的數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)的和大于的概率為（）A． B． C． D．20．（2023?廣東模擬）某公司在某地區(qū)進(jìn)行商品A的調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了100位購(gòu)買(mǎi)商品A的顧客的性別，其中男性顧客18位，已知該地區(qū)商品A的購(gòu)買(mǎi)率為10%，該地區(qū)女性人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%，從該地區(qū)中任選一人，若此人是男性，求此人購(gòu)買(mǎi)商品A的概率．21．（2023?廣州模擬）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進(jìn)行2.5至5小時(shí)的中等強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)．已知A社區(qū)有56%的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，B社區(qū)有65%的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，C社區(qū)有70%的居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)，且A，B，C三個(gè)社區(qū)的居民人數(shù)之比為5：6：9．（1）從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取1名居民，求該居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間超過(guò)5小時(shí)的概率；（2）假設(shè)這三個(gè)社區(qū)每名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為隨機(jī)變量X（單位：小時(shí)），且X～N（5.5，σ2）．現(xiàn)從這三個(gè)社區(qū)中隨機(jī)抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運(yùn)動(dòng)總時(shí)間為5至6小時(shí)的概率．七．幾何概型（共3小題）22．（2023?涼山州模擬）在區(qū)間（0，1）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則2a+b＞2的概率為（）A． B． C． D．23．（2023?興慶區(qū)校級(jí)四模）已知A（1，1），B（5，1），C（5，5），D（1，5）是平面直角坐標(biāo)系中的四個(gè)點(diǎn)，在四邊形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之和小于5的概率為（）A． B． C． D．24．（2023?河西區(qū)二模）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為2；設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，則事件M發(fā)生的概率為．八．相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式（共2小題）25．（2023?湖北模擬）某同學(xué)喜愛(ài)球類和游泳運(yùn)動(dòng)．在暑假期間，該同學(xué)上午去打球的概率為．若該同學(xué)上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學(xué)在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（）A． B． C． D．26．（2023?浙江模擬）班級(jí)舉行知識(shí)競(jìng)猜闖關(guān)活動(dòng)，設(shè)置了A，B，C三個(gè)問(wèn)題．答題者可自行決定答三題順序．甲有60%的可能答對(duì)問(wèn)題A，80%的可能答對(duì)問(wèn)題B，50%的可能答對(duì)問(wèn)題C．記答題者連續(xù)答對(duì)兩題的概率為p，要使得p最大，他應(yīng)該先回答（）A．問(wèn)題A B．問(wèn)題B C．問(wèn)題A，B和C都可以 D．問(wèn)題C九．n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率（共2小題）27．（2023?郴州模擬）籃球隊(duì)的5名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊(duì)員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開(kāi)始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為（）A． B． C． D．28．（多選）（2023?天河區(qū)三模）甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽2n（n∈N*）局，且每局甲獲勝的概率和乙獲勝的概率均為．若某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽．記甲贏得比賽的概率為P（n），則（）A． B． C． D．P（n）的最小值為一十．條件概率與獨(dú)立事件（共2小題）29．（2023?南崗區(qū)校級(jí)二模）已知P（B）＝0.3，P（B|A）＝0.9，，則＝（）A． B． C． D．30．（2023?瓊海校級(jí)模擬）東莞市同沙生態(tài)公園水繞山環(huán)，峰巒疊嶂，是一個(gè)天生麗質(zhì)，融山水生態(tài)與人文景觀為一體的新型公園．現(xiàn)有甲乙兩位游客慕名來(lái)到同沙生態(tài)公園旅游，分別準(zhǔn)備從映翠湖、十里河塘、計(jì)生雕塑園和鷺鳥(niǎo)天堂4個(gè)旅游景點(diǎn)中隨機(jī)選擇其中一個(gè)景點(diǎn)游玩．記事件A：甲和乙至少一人選擇映翠湖，事件B：甲和乙選擇的景點(diǎn)不同，則條件概率P（B|A）＝（）A． B． C． D．一十一．全概率公式（共2小題）31．（2023?龍泉驛區(qū)模擬）據(jù)美國(guó)的一份資料報(bào)道，在美國(guó)總的來(lái)說(shuō)患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙患肺癌的概率為（）A．0.025% B．0.032% C．0.048% D．0.02%32．（2023?河源模擬）已知編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球．若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個(gè)球，設(shè)事件Ai為第一次取出的球?yàn)閕號(hào)，事件Bi為第二次取出的球?yàn)閕號(hào)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．一十二．離散型隨機(jī)變量及其分布列（共4小題）33．（2023?貴州模擬）據(jù)世界田聯(lián)官方網(wǎng)站消息，原定于2023年5月13、14日在中國(guó)廣州舉辦的世界田聯(lián)接力賽延期至2025年4月至5月舉行．據(jù)了解，甲、乙、丙三支隊(duì)伍將會(huì)參加2025年4月至5月在廣州舉行的4×400米接力的角逐．接力賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽、半決賽都獲勝才能進(jìn)入決賽．已知甲隊(duì)在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；乙隊(duì)在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和；丙隊(duì)在預(yù)賽和半決賽中獲勝的概率分別為和．（1）甲、乙、丙三隊(duì)中，誰(shuí)進(jìn)入決賽的可能性最大；（2）設(shè)甲、乙、丙三隊(duì)中進(jìn)入決賽的隊(duì)伍數(shù)為ξ，求ξ的分布列．34．（2023?晉江市校級(jí)模擬）某校組織圍棋比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分．已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為．（1）在一場(chǎng)比賽中，甲的積分為X，求X的概率分布列；（2）求甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分的概率．35．（2023?常德二模）某大學(xué)一個(gè)專業(yè)團(tuán)隊(duì)為某專業(yè)大學(xué)生研究了多款學(xué)習(xí)軟件，其中有A、B、C三種軟件投入使用，經(jīng)一學(xué)年使用后，團(tuán)隊(duì)調(diào)查了這個(gè)專業(yè)大一四個(gè)班的使用情況，從各班抽取的樣本人數(shù)如下表：班級(jí)一二三四人數(shù)3234（1）從這12人中隨機(jī)抽取2人，求這2人恰好來(lái)自同一班級(jí)的概率；（2）從這12名學(xué)生中，指定甲、乙、丙三人為代表，已知他們下午自習(xí)時(shí)間每人選擇一款軟件，其中選A、B兩個(gè)軟件學(xué)習(xí)的概率都是，且他們選擇A、B、C任一款軟件都是相互獨(dú)立的．設(shè)這三名學(xué)生中下午自習(xí)時(shí)間選軟件C的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．36．（2023?南通二模）設(shè)（X，Y）是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為（ai，bj），其中i，j∈N*，令pij＝P（X＝ai，Y＝bj），稱pij（i，j∈N*）是二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫(xiě)成下表形式：Y/Xb1b2b3…a1p1，1p1，2p1，3…a2p2，1p2，2p2，3…a3p3，1p3，2p3，3………………現(xiàn)有n（n∈N*）個(gè)相同的球等可能的放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記落下第1號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為X，落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為Y．（1）當(dāng)n＝2時(shí)，求（X，Y）的聯(lián)合分布列；（2）設(shè)pk＝（X＝k，Y＝m），k∈N且k≤n，計(jì)算．一十三．離散型隨機(jī)變量的期望與方差（共12小題）37．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）ChatGPT是由人工智能研究實(shí)驗(yàn)室OpenAI于2022年11月30日發(fā)布的一款全新聊天機(jī)器人模型，它能夠通過(guò)學(xué)習(xí)和理解人類的語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行對(duì)話，ChatGPT的開(kāi)發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)．在測(cè)試ChatGPT時(shí)，如果輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，則ChatGPT的回答被采納的概率為85%，當(dāng)出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤時(shí)，ChatGPT的回答被采納的概率為50%．（1）在某次測(cè)試中輸入了8個(gè)問(wèn)題，ChatGPT的回答有5個(gè)被采納．現(xiàn)從這8個(gè)問(wèn)題中抽取3個(gè)，以ξ表示抽取的問(wèn)題中回答被采納的問(wèn)題個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知輸入的問(wèn)題出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為10%，（i）求ChatGPT的回答被采納的概率；（ii）若已知ChatGPT的回答被采納，求該問(wèn)題的輸入沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率．38．（2023?靜安區(qū)二模）概率統(tǒng)計(jì)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用廣泛．請(qǐng)解決下列兩個(gè)問(wèn)題．（1）隨著中小學(xué)“雙減”政策的深入人心，體育教學(xué)和各項(xiàng)體育鍛煉迎來(lái)時(shí)間充沛的春天．某初中學(xué)校學(xué)生籃球隊(duì)從開(kāi)學(xué)第二周開(kāi)始每周進(jìn)行訓(xùn)練，第一次訓(xùn)練前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒(méi)有用過(guò)的球），3個(gè)是舊球（即至少用過(guò)一次的球）．每次訓(xùn)練，都是從中不放回任意取出2個(gè)籃球，訓(xùn)練結(jié)束后放回原處．設(shè)第一次訓(xùn)練時(shí)取到的新球個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布和期望．（2）由于手機(jī)用微波頻率信號(hào)傳遞信息，那么長(zhǎng)時(shí)間使用手機(jī)是否會(huì)增加得腦瘤的概率？研究者針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，對(duì)腦瘤病人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，詢問(wèn)他們是否總是習(xí)慣在固定的一側(cè)接聽(tīng)電話？如果是，是哪邊？結(jié)果有88人喜歡用固定的一側(cè)接電話．其中腦瘤部位在左側(cè)的病人習(xí)慣固定在左側(cè)接聽(tīng)電話的有14人，習(xí)慣固定在右側(cè)接聽(tīng)電話的有28人；腦瘤部位在右側(cè)的病人習(xí)慣固定在左側(cè)接聽(tīng)電話的有19人，習(xí)慣固定在右側(cè)接聽(tīng)電話的有27人．根據(jù)上述信息寫(xiě)出下面這張2×2列聯(lián)表中字母所表示的數(shù)據(jù)，并對(duì)患腦瘤在左右側(cè)的部位是否與習(xí)慣在該側(cè)接聽(tīng)手機(jī)電話相關(guān)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)．（顯著性水平α＝0.05）習(xí)慣固定在左側(cè)接聽(tīng)電話習(xí)慣固定在右側(cè)接聽(tīng)電話總計(jì)腦瘤部位在左側(cè)的病人ab42腦瘤部位在右側(cè)的病人cd46總計(jì)a+cb+d88參考公式及數(shù)據(jù)：K，其中，n＝a+b+c+d，P（K2≥3.841）≈0.05．39．（2023?湖北模擬）高性能計(jì)算芯片是一切人工智能的基礎(chǔ)．國(guó)內(nèi)某企業(yè)已快速啟動(dòng)AI芯片試生產(chǎn)，試產(chǎn)期需進(jìn)行產(chǎn)品檢測(cè)，檢測(cè)包括智能檢測(cè)和人工檢測(cè)．智能檢測(cè)在生產(chǎn)線上自動(dòng)完成，包括安全檢測(cè)、蓄能檢測(cè)、性能檢測(cè)等三項(xiàng)指標(biāo)，且智能檢測(cè)三項(xiàng)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率分別為，，，人工檢測(cè)僅對(duì)智能檢測(cè)達(dá)標(biāo)（即三項(xiàng)指標(biāo)均達(dá)標(biāo)）的產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，且僅設(shè)置一個(gè)綜合指標(biāo)．人工檢測(cè)綜合指標(biāo)不達(dá)標(biāo)的概率為p（0＜p＜1）．（1）求每個(gè)AI芯片智能檢測(cè)不達(dá)標(biāo)的概率；（2）人工檢測(cè)抽檢50個(gè)AI芯片，記恰有1個(gè)不達(dá)標(biāo)的概率為f（p），當(dāng)p＝p0時(shí)，f（p）取得最大值，求p0；（3）若AI芯片的合格率不超過(guò)93%，則需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．以（2）中確定的p0作為p的值，試判斷該企業(yè)是否需對(duì)生產(chǎn)工序進(jìn)行改良．40．（2023?湖北模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組為研究本校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的關(guān)系，采取有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，從學(xué)校抽取樣本容量為200的樣本，將所得數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下：語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀503080不優(yōu)秀4080120合計(jì)90110200（1）根據(jù)α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)？（2）在人工智能中常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢(shì)，在統(tǒng)計(jì)中稱為似然比．現(xiàn)從該校學(xué)生中任選一人，A表示“選到的學(xué)生語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀”，B表示“選到的學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀”請(qǐng)利用樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)L（B|A）的值．（3）現(xiàn)從數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的樣本中，按分層抽樣的方法選出8人組成一個(gè)小組，從抽取的8人里再隨機(jī)抽取3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求這3人中，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．附：．α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.82841．（2023?深圳二模）飛盤(pán)運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)入門(mén)簡(jiǎn)單，又具有極強(qiáng)的趣味性和社交性的體育運(yùn)動(dòng)，目前已經(jīng)成為了年輕人運(yùn)動(dòng)的新潮流．某俱樂(lè)部為了解年輕人愛(ài)好飛盤(pán)運(yùn)動(dòng)是否與性別有關(guān)，對(duì)該地區(qū)的年輕人進(jìn)行了簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到如下列聯(lián)表：性別飛盤(pán)運(yùn)動(dòng)合計(jì)不愛(ài)好愛(ài)好男61622女42428合計(jì)104050（1）在上述愛(ài)好飛盤(pán)運(yùn)動(dòng)的年輕人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選取3人訪談，記參與訪談的男性人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為愛(ài)好飛盤(pán)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)聯(lián)？如果把上表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷愛(ài)好飛盤(pán)運(yùn)動(dòng)與性別之間的關(guān)聯(lián)性，結(jié)論還一樣嗎？請(qǐng)解釋其中的原因．附：，其中n＝a+b+c+d．α0.10.010.001xα2.7066.63510.828．42．（2023?海淀區(qū)校級(jí)三模）人工智能（AI）是一門(mén)極富挑戰(zhàn)性的科學(xué)，自誕生以來(lái)，理論和技術(shù)日益成熟．某校成立了A，B兩個(gè)研究性小組，分別設(shè)計(jì)和開(kāi)發(fā)不同的AI軟件用于識(shí)別音樂(lè)的類別：“古典音樂(lè)”、“流行音樂(lè)”、“民族音樂(lè)”．為測(cè)試AI軟件的識(shí)別能力，計(jì)劃采取兩種測(cè)試方案．方案一：將100首音樂(lè)隨機(jī)分配給A，B兩個(gè)小組識(shí)別，每首音樂(lè)只被一個(gè)AI軟件識(shí)別一次，并記錄結(jié)果；方案二：對(duì)同一首音樂(lè)，A，B兩組分別識(shí)別兩次，如果識(shí)別的正確次數(shù)之和不少于三次，則稱該次測(cè)試通過(guò)．（Ⅰ）若方案一的測(cè)試結(jié)果顯示：正確識(shí)別的音樂(lè)數(shù)之和占總數(shù)的；在正確識(shí)別的音樂(lè)數(shù)中，A組占；在錯(cuò)誤識(shí)別的音樂(lè)數(shù)中，B組占．（?。┯妙l率估計(jì)概率，兩個(gè)研究性小組的AI軟件每次能正確識(shí)別音樂(lè)類別的概率分別為多少？（ⅱ）利用（?。┲械慕Y(jié)論，求方案二在一次測(cè)試中獲得通過(guò)的概率；（Ⅱ）若方案一的測(cè)試結(jié)果如下：音樂(lè)類別A小組B小組測(cè)試音樂(lè)數(shù)量正確識(shí)別比例測(cè)試音樂(lè)數(shù)量正確識(shí)別比例古典音樂(lè)1040%2450%流行音樂(lè)1040%2050%民族音樂(lè)2080%1687.5%在A小組、B小組識(shí)別的歌曲中各任選一首，記X1，X2分別為A小組、B小組正確識(shí)別的數(shù)量，試比較E（X1）和E（X2）的大?。ㄖ苯訉?xiě)出結(jié)果即可）43．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）一個(gè)不透明箱子中有除顏色外其它都相同的四個(gè)小球，其中兩個(gè)紅球兩個(gè)白球的概率為，三個(gè)紅球一個(gè)白球的概率為．（1）從箱子中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，求抽到紅球的概率；（2）現(xiàn)從箱子中隨機(jī)一次性抽取兩個(gè)或三個(gè)小球，已知抽到兩個(gè)小球的概率為，抽到三個(gè)小球的概率為，所抽到的小球中，每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記﹣1分，用X表示抽到的小球分?jǐn)?shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．44．（2023?福鼎市校級(jí)一模）“斯諾克（Snooker）”是臺(tái)球比賽的一種，意思是“阻礙、障礙”，所以斯諾克臺(tái)球有時(shí)也被稱為障礙臺(tái)球，是四大“紳士運(yùn)動(dòng)”之一，隨著生活水平的提高，“斯諾克”也成為人們喜歡的運(yùn)動(dòng)之一．現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行比賽比賽采用5局3勝制，各局比賽雙方輪流開(kāi)球（例如：若第一局甲開(kāi)球，則第二局乙開(kāi)球，第三局甲開(kāi)球……），沒(méi)有平局．已知在甲的“開(kāi)球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，在乙的“開(kāi)球局”，甲獲得該局比賽勝利的概率為，并且通過(guò)“猜硬幣”，甲獲得了第一局比賽的開(kāi)球權(quán)．（1）求甲以3：1贏得比賽的概率；（2）設(shè)比賽的總局?jǐn)?shù)為ξ，求E（ξ）．45．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）現(xiàn)有4個(gè)除顏色外完全一樣的小球和3個(gè)分別標(biāo)有甲、乙、丙的盒子，將4個(gè)球全部隨機(jī)放入三個(gè)盒子中（允許有空盒）．（1）記盒子乙中的小球個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）對(duì)于兩個(gè)不互相獨(dú)立的事件M，N，若P（M）＞0，P（N）＞0，稱為事件M，N的相關(guān)系數(shù)．①若ρ（M，N）＞0，求證：P（M|N）＞P（M）；②若事件M：盒子乙不空，事件N：至少有兩個(gè)盒子不空，求ρ（M，N）．46．（2023?浙江模擬）某籃球隊(duì)為提高隊(duì)員訓(xùn)練的積極性，進(jìn)行小組投籃游戲；每個(gè)小組由兩名隊(duì)員組成，隊(duì)員甲與隊(duì)員乙組成一個(gè)小組．游戲規(guī)則如下：每個(gè)小組的兩名隊(duì)員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱為“神投小組”．已知甲組兩名隊(duì)員投進(jìn)籃球的概率分別為p1，p2．（1）若p1＝，p2＝，求他們?cè)诘谝惠営螒颢@得“神投小組”稱號(hào)的概率；（2）若p1+p2＝，則在游戲中，甲、乙兩名隊(duì)員想要獲得297次“神投小組”的稱號(hào)，理論上他們小組至少要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時(shí)p1，p2的值．47．（2023?湖南模擬）國(guó)產(chǎn)科幻電影《流浪地球2》在給觀眾帶來(lái)視覺(jué)震撼的同時(shí)，也引領(lǐng)觀眾對(duì)天文，航天、數(shù)字科技等領(lǐng)域展開(kāi)了無(wú)限遐想，某校為激發(fā)學(xué)生對(duì)天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識(shí)的興趣，舉行了一次知識(shí)競(jìng)賽（競(jìng)賽試題中天文、航天、數(shù)字科技三類相關(guān)知識(shí)題量占比分別為40%，40%，20%）．某同學(xué)回答天文、航天、數(shù)字科技這三類問(wèn)題中每個(gè)題的正確率分別為，，．（1）若該同學(xué)在該題庫(kù)中任選一題作答，求他回答正確的概率；（2）若該同學(xué)從這三類題中各任選一題作答，每回答正確一題得2分，回答錯(cuò)誤不得分，設(shè)該同學(xué)回答三題后的總得分為X分，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．48．（2023?東方校級(jí)模擬）為了解某班學(xué)生喜愛(ài)打羽毛球是否與性別有關(guān)，故對(duì)本班60名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表：喜愛(ài)不喜愛(ài)合計(jì)男6女16合計(jì)60已知在全班60人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜愛(ài)打羽毛球的學(xué)生的概率為．（1）請(qǐng)將上面的2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并推斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生喜愛(ài)打羽毛球與性別有關(guān)；（2）采用分層抽樣的方法在喜愛(ài)打羽毛球的學(xué)生中抽取5人，再選出2人參加學(xué)校組織的羽毛球比賽，記選出的2人中女生數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828一十四．二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型（共3小題）49．（2023?雨花區(qū)校級(jí)一模）若，則當(dāng)k＝0，1，2，…，100時(shí)（）A．P（X＝k）≤P（X＝50） B．P（X＝k）≤P（X＝32） C．P（X＝k）≤P（X＝33） D．P（X＝k）≤P（X＝49）50．（2023?濟(jì)南三模）已知隨機(jī)變量X，Y，其中X～B（6，），Y～N（μ，σ2），E（X）＝E（Y），P（|Y|＜2）＝0.3，則P（Y＞6）＝．51．（2023?湖北模擬）已知隨機(jī)變量X服從B（9，0.6），則當(dāng)k＝時(shí)，概率P（X＝k）最大．一十五．正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)