2024學(xué)生版大二輪數(shù)學(xué)新高考提高版（京津瓊魯遼粵冀鄂湘渝閩蘇浙黑吉晉皖云豫新甘貴贛桂）專題六　培優(yōu)點(diǎn)7　隱圓、蒙日?qǐng)A與阿基米德三角形45

培優(yōu)點(diǎn)7隱圓、蒙日?qǐng)A與阿基米德三角形1．若橢圓C：eq\f(x2,a＋2)＋eq\f(y2,a)＝1(a>0)的蒙日?qǐng)A為x2＋y2＝6，則a等于()A．1B．2C．3D．42．(2023·煙臺(tái)模擬)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2相交于點(diǎn)P，△PAB的面積S的最小值為()A.eq\f(4,3) B．2C．4 D．4eq\r(2)3．已知在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A(－2,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足|MA|＝eq\r(2)|MO|，得到動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是阿氏圓C.若對(duì)任意實(shí)數(shù)k，直線l：y＝k(x－1)＋b與圓C恒有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(5)，\r(5))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(6)，\r(6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(7)，\r(7))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2\r(2)，2\r(2)))4．拋物線上任意兩點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，稱△PAB為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下特征：①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PF⊥AB.若經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4，則直線AB的方程為()A．x－2y－1＝0 B．2x＋y－2＝0C．x＋2y－1＝0 D．2x－y－2＝05．(多選)(2023·廊坊模擬)如圖，△PAB為阿基米德三角形．拋物線x2＝2py(p>0)上有兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線PA，PB相交于點(diǎn)P.給出如下結(jié)論，其中正確的為()A．若弦AB過焦點(diǎn)，則△ABP為直角三角形且∠APB＝90°B．點(diǎn)P的坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(x1x2,2)))C．△PAB的邊AB所在的直線方程為(x1＋x2)x－2py－x1x2＝0D．△PAB的邊AB上的中線與y軸平行(或重合)6．(多選)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，A，B為橢圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．直線l的方程為bx＋ay－a2－b2＝0.下列說法正確的是()A．C的蒙日?qǐng)A的方程為x2＋y2＝3b2B．對(duì)直線l上任意一點(diǎn)P，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))>0C．記點(diǎn)A到直線l的距離為d，則d－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF2))的最小值為eq\f(4\r(3),3)bD．若矩形MNGH的四條邊均與C相切，則矩形MNGH面積的最大值為6b27．拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常稱為阿基米德三角形，因?yàn)榘⒒椎伦钤缋帽平乃枷胱C明了：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積等于阿基米德三角形面積的eq\f(2,3).已知A(－2,1)，B(2,1)為拋物線C：x2＝4y上兩點(diǎn)，則在A點(diǎn)處拋物線C的切線的斜率為________；弦AB與拋物線所圍成的封閉圖形的面積為________．8．(2023·贛州模擬)已知兩動(dòng)點(diǎn)A，B在橢圓C：eq\f(x2,a2)＋y2＝1(a>1)上，動(dòng)點(diǎn)P在直線3x＋4y－10＝0上，若∠APB恒為銳角，則橢圓C的離心率的取值范圍為__________．9．(2023·開封模擬)如圖，過點(diǎn)P(m，n)作拋物線C：x2＝2py(p>0)的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B，動(dòng)點(diǎn)Q為拋物線C上在A，B之間的任意一點(diǎn)，拋物線C在點(diǎn)Q處的切線分別交PA，PB于點(diǎn)M，N.(1)若AP⊥PB，證明：直線AB經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))；(2)若分別記△PMN，△ABQ的面積為S1，S2，求eq\f(S1,S2)的值．10.已知圓O：x2＋y2＝5，橢圓：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓和圓所截得弦長(zhǎng)分別為1和2eq\r(2).(