八年級數(shù)學(xué)上冊專題12.4 三角形全等的九大基本模型（學(xué)生版）

專題12.4三角形全等的九大基本模型模型一：平移模型【模型解讀】把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.【常見模型】例1．（2022·浙江杭州市·八年級期中）如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，AB//DE，AB=DE，∠A=∠D．（1）求證：；（2）若BF=11，EC=5，求BE的長．變式1.（2021?富順縣校級月考）如圖1，A，B，C，D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖2，3時，其余條件不變，結(jié)論是否成立？如果成立，請予以證明；如果不成立，請說明理由．模型二：軸對稱模型【模型解讀】將原圖形沿著某一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這兩個三角形稱之為軸對稱型全等三角形，此類圖形中要注意期隱含條件，即公共邊或公共角相等.【常見模型】例2．（2021·河南南陽市·八年級期末）如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O，（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數(shù)．變式2.（2021·安徽·八年級期末）如圖，AB＝AC，D、E分別是AB、AC的中點，AM⊥CD于M，AN⊥BE干N．求證：AM＝AN．模型三：旋轉(zhuǎn)模型【模型解讀】將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度后，兩個三角形能夠完全重合，則稱這兩個三角形為旋轉(zhuǎn)型三角形，識別旋轉(zhuǎn)型三角形時，涉及對頂角相等、等角加（減）公共角的條件.【常見模型】例3．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期末）如圖，，求證：（1）；（2）．變式3.（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．型四：一線三等角模型【模型解讀】基本圖形如下：此類圖形通常告訴BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B=∠CAE.【常見模型】例4．（2022?覃塘區(qū)期中）已知：D，A，E三點都在直線m上，在直線m的同一側(cè)作△ABC，使AB＝AC，連接BD，CE．（1）如圖①，若∠BAC＝90°，BD⊥m，CE⊥m，求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖②，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，請判斷BD，CE，DE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．4.（2021?香坊區(qū)期末）如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一點，CD＝AB，點E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如圖1，求證：BD＝CE；（2）如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．模型五：三垂直全等模型【模型解讀】模型主體為兩個直角三角形，且兩條斜邊互相垂直?！境Ｒ娔Ｐ汀坷?．（2020·江西贛州市·八年級期末）已知：，，，．（1）試猜想線段與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．變式5.（2021·廣東省龍嶺初級中學(xué)初二期中）如圖，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE⊥AC于B，且DC=EC．（1）∠D和∠ECB相等嗎？若相等，請說明理由；（2）△ADC≌△BCE嗎？若全等，請說明理由；（3）能否找到與AB+AD相等的線段，并說明理由。模型六：手拉手模型【模型分析】將兩個三角形繞著公共頂點（即頭）旋轉(zhuǎn)某一角度后能完全重合，則這兩個三角形構(gòu)成手拉手全等，也叫旋轉(zhuǎn)型全等，常用“邊角邊”判定定理證明全等?！灸Ｐ蛨D示】公共頂點A記為“頭”，每個三角形另兩個頂點逆時針順序數(shù)的第一個頂點記為“左手”，第二個頂點記為“右手”。對應(yīng)操作：左手拉左手（即連結(jié)BD），右手拉右手（即連結(jié)CE），得?！境Ｒ娔Ｐ汀浚ǖ妊ǖ冗叄ǖ妊苯牵├?．（2021·甘肅慶陽市·八年級期末）在學(xué)習全等三角形知識時、教學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成．在相對位置變化的同時，始終存在一對全等三角形．通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”興趣小組進行了如下操究：（1）如圖1、兩個等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，連接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點，類似大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△ADB全等的三角形是，此線BD和CE的數(shù)量關(guān)系是（2）如圖2、兩個等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，兩線交于點P，請判斷線段BD和CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由：（3）如圖3，已知△ABC、請完成作圖：以AB、AC為邊分別向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE（等邊三角形三條邊相等，三個角都等于60°），連接BE，CD，兩線交于點P，并直接寫出線段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠PBC+∠PCB的度數(shù)、變式6.（2022·江西上饒市·南屏中學(xué)八年級月考）如圖,AB=CB,BD=BE,∠ABC=∠DBE=a.（1）當a=60°,如圖①則，∠DPE的度數(shù)______________（2）若△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖②所示，求∠DPE（用a表示）模型七：半角全等模型【模型分析】過等腰三角形頂點兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型?！境Ｒ娔Ｐ汀砍Ｒ姷膱D形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.例7．（2021·河南新鄉(xiāng)市·八年級期中）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F(xiàn)．（1）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），求證：△ABE≌△CBF．（2）當∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時，如圖2，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．（3）當∠MBN繞點B旋轉(zhuǎn)到圖3這種情況下，猜想線段AE，CF，EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．變式7.（2021·南昌市心遠中學(xué)八年級期中）在圖1、圖2，圖3中．點E、F分別是四邊形邊上的點；下面請你根據(jù)相應(yīng)的條件解決問題．特例探索：（1）在圖1中，四邊形為正方形（正方形四邊相等，四個內(nèi)角均為直角），，延長至G，使．則__________．在圖2中，，，，，，；則__________．

歸納證明：（2）在圖3中，，．且，請你觀察（1）中的結(jié)果，猜想圖3中線段之間的數(shù)量關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式．實際應(yīng)用:（3）圖4是某公路筑建工程平面示意圖，指揮中心設(shè)在O處，A處、B處分別是甲、乙兩公路起點，它們分別在指揮中心的北偏東和南偏東的方向上．且A、B兩處分別與指揮中心O的距離相等：其中甲公路是從A處開始沿正東方向筑建，乙公路是從B處開始沿北偏東40方向筑建：甲、乙兩公路的路基筑建速度分別是每天150米、180米，當兩公路同時開工后的第五天收工時，分別筑建到C、D處，經(jīng)測量．試求C與D兩處之間的距離．模型八：倍長中線模型【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．【常見模型】例8．（2021·河南新鄉(xiāng)學(xué)院附屬中學(xué)八年級月考）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線，AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜4變式8.（2021·湖北八年級期末）在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點在邊上，交于點且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點是的中點，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．模型九：截長補短法【模型分析】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系。截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段。該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補短法（往往需證2次全等）。【模型圖示】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段。例：如圖，求證BE+DC=AD方法：①在AD上取一點F，使得AF=BE，證DF=DC；②在AD上取一點F，使DF=DC，證AF=BE（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE+DC=AD方法：①延長DC至點M處，使CM=BE，證DM=AD；②延長DC至點M處，使DM=AD，證CM=BE例9．（2021·廣西玉林市·八年級期末）在中，，點D、E分別在、上，連接、和；并且有，．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．變式9.（2022·四川南充·八年級期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補”可以通過“截長、補短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進而解決問題；方法2：延長到點，使得，連接，得到全等三角形，進而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；課后訓(xùn)練：1.（2022·河南新鄉(xiāng)學(xué)院附屬中學(xué)八年級月考）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD是BC邊上的中線，AD的取值范圍是（）A．1＜AD＜6 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜8 D．2＜AD＜42.（2021·湖北八年級期末）如圖，△ABC中，∠B=2∠A，∠ACB的平分線CD交AB于點D，已知AC=16，BC=9，則BD的長為（）A．6 B．7 C．8 D．93．（2021·浙江溫州市·八年級期末）如圖，，，要說明，需添加的條件不能是（）A． B． C． D．4．（2022·武漢市六中位育中學(xué)八年級）如圖，已知，，且，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（2020·浙江杭州市·八年級期末）如圖，已知，若要使得，則添加的一個條件不能是（）A．B．C．AB=DCD．AC=DB6．（2021·四川七年級期末）在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC內(nèi)一點，點E是CD的中點，連接AE，作EF⊥AE，若點F在BD的垂直平分線上，∠BAC＝α，則∠BFD＝_________．（用α含的式子表示）7.（2022·山東周村初三一模）如圖，中，為的中點，是上一點，連接并延長交于，，且，，那么的長度為__．8.如圖，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于點O，求證：OB＝OC．9．（2021·廣西百色市·八年級期末）如圖，已知點是的中點，∥，且．（1）求證：△ACD≌△CBE．（2）若，求∠B的度數(shù)．10．（2022·河南鄭州·七年級期末）在直線上依次取互不重合的三個點，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當時，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是12，求與的面積之和．11．（2022·吉林長春·八年級期末）在中，，，直線MN經(jīng)過點C且于D，于E．(1)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①≌；②；(2)當直線MN燒點C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，求證：；(3)當直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．12．（2021·黑龍江·哈爾濱市第六十九中學(xué)校八年級開學(xué)考試）如圖所示，中，，，點為上一點，過點作直線的垂線，垂足為，連接，過點作的垂線交于點．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，連接，且，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，為上一點，連接，若，，求的長．13．（2021·綿陽市八年級期中）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E、F．（1）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE＝CF時（如圖1），試猜想AE，CF，EF之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請將三條線段分別填入后面橫線中：＋＝．（不需證明）（2）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖2）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？請說明理由．（3）當∠MBN繞B點旋轉(zhuǎn)到AE≠CF（如圖3）時，上述（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明．14．（2022.湖北八年級期中）已知：正方形中，，繞點順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于點．當繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖1），易證．（1）當繞點旋轉(zhuǎn)到時（如圖2），線段和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．（2）當繞點旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．15．（2021·安徽合肥市·八年級期末）如圖，在中，，平分．（1）如圖1，若，求證：；（2）如圖2，若，求的度數(shù)；（3）如圖3，若，求證：．16.（2022?歷下區(qū)期中）CD是經(jīng)過∠BCA定點C的一條直線，CA＝CB，E、F分別是直線CD上兩點，且∠BEC＝