專(zhuān)題4.4等比數(shù)列（十一個(gè)重難點(diǎn)突破）-2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期重難點(diǎn)突破及混淆易錯(cuò)規(guī)避（人教A版2019）（原卷版）

專(zhuān)題4.4等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式1.等比數(shù)列的定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示（顯然）.注意：（1）等比數(shù)列中不能有0項(xiàng)（2）常數(shù)列都是等差數(shù)列,但卻不一定是等比數(shù)列.如常數(shù)列是各項(xiàng)都為0的數(shù)列,它就不是等比數(shù)列;當(dāng)常數(shù)列各項(xiàng)不為0時(shí),是等比數(shù)列,對(duì)于含字母的數(shù)列應(yīng)注意討論.2.等比中項(xiàng)如果在與中間插入一個(gè)數(shù),使成等比數(shù)列,那么叫做與的等比中項(xiàng),此時(shí),.3.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為,公比為,則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）第項(xiàng)與第項(xiàng)的關(guān)系為,變形得.（3）由可知,當(dāng)且時(shí),等比數(shù)列的第項(xiàng)是指數(shù)函數(shù)當(dāng)時(shí)的函數(shù)值,即.知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）如果,則有.（2）如果,則有.（3）若成等差數(shù)列,則成等比數(shù)列.（4）在等比數(shù)列中,每隔項(xiàng)取出一項(xiàng),按原來(lái)的順序排列,所得的新數(shù)列仍為等比數(shù)列.（5）如果均為等比數(shù)列,且公比分別為,那么數(shù)列仍是等比數(shù)列,且公比分別為.（6）等比數(shù)列的項(xiàng)的對(duì)稱(chēng)性:在有窮等比數(shù)列中,與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積,即（7）等比數(shù)列的單調(diào)性①當(dāng)或時(shí),等比數(shù)列為遞增數(shù)列;②當(dāng)或時(shí),等比數(shù)列為遞減數(shù)列;③當(dāng)時(shí),等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列.重難點(diǎn)1利用定義判斷等比數(shù)列1．在數(shù)列中，，則（

）A．12 B．16 C．32 D．642．已知數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意的m，，都有，且，則（

）A． B． C． D．3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則數(shù)列是（

）A．以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列 B．以3為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列C．以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列 D．以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列4．（多選）設(shè)是等比數(shù)列，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C．是等比數(shù)列 D．是等比數(shù)列5．已知和為項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，公比分別為和．求證：為等比數(shù)列，其公比為．6．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，求證：是等比數(shù)列，并求該數(shù)列的公比．重難點(diǎn)2等比數(shù)列基本量的計(jì)算7．在等比數(shù)列中，若，則的公比（

）A． B． C． D．48．在等比數(shù)列中，，則（

）A．8 B．6 C．4 D．29．若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足，，，則的公差為（

）A． B． C． D．10．在等比數(shù)列中，成等差數(shù)列，則（

）A．3 B． C．9 D．11．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足:，若存在兩項(xiàng)使得，則的最小值為（

）A． B． C． D．不存在12．在等比數(shù)列中，若，則.重難點(diǎn)3等比中項(xiàng)及其應(yīng)用13．與的等比中項(xiàng)是．14．在等比數(shù)列中，，則與的等比中項(xiàng)為.15．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則.16．在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為．17．記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，且成等比數(shù)列，則的值為．18．已知數(shù)列，，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，則的值是.重難點(diǎn)4等比數(shù)列的性質(zhì)19．在等比數(shù)列中，，則的值為（

）A．48 B．72 C．144 D．19220．已知等比數(shù)列的公比q為整數(shù)，且，，則（

）A．2 B．3 C．-2 D．-321．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，且，則．22．等比數(shù)列滿(mǎn)足：，則的最小值為．23．若等比數(shù)列滿(mǎn)足，，則．24．設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足，則.25．在數(shù)列中：(1)若為等差數(shù)列，且，求．(2)若為正項(xiàng)等比數(shù)列，且，求的值．重難點(diǎn)5等比數(shù)列的證明26．已知數(shù)列的首項(xiàng)為3，且滿(mǎn)足.(1)求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.27．已知數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)求證：是等比數(shù)列.(2)求.28．已知數(shù)列滿(mǎn)足，.(1)若數(shù)列滿(mǎn)足，求證：是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.29．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足，，，成等差數(shù)列，證明:數(shù)列是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式.30．已知數(shù)列滿(mǎn)足，且點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式：31．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；知識(shí)點(diǎn)三等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量公式首項(xiàng)與公比首項(xiàng),末項(xiàng)與公比知識(shí)點(diǎn)四等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)（1）等比數(shù)列中,若項(xiàng)數(shù)為,則;若項(xiàng)數(shù)為,則.（2）若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則成等比數(shù)列(其中均不為,公比為.（3）若一個(gè)非常數(shù)列的前項(xiàng)和,則數(shù)列為等比數(shù)列,即數(shù)列為等比數(shù)列.重難點(diǎn)6前n項(xiàng)和基本量運(yùn)算32．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．33．已知為等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和，若，且與的等差中項(xiàng)為，則S5等于（

）A． B． C． D．34．已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為.若，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．735．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比的值為36．已知等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為，若，則．37．在公比為的等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，（），且，則．38．等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則.重難點(diǎn)7前n項(xiàng)和的性質(zhì)39．已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（

）A．2 B．3 C．4 D．540．已知一個(gè)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是是偶數(shù)，其奇數(shù)項(xiàng)之和1011，偶數(shù)項(xiàng)之和為2022，則這個(gè)數(shù)列的公比為（

）.A．8 B． C．4 D．241．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則（

）A．786 B．240 C．486 D．72642．記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．43．設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和是.已知,，則.44．已知是正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的最小值為.重難點(diǎn)8與的關(guān)系45．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．3 B．6 C．9 D．1846．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則（

）A． B． C． D．47．等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則的值為.48．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則．49．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．(1)證明：為等比數(shù)列，并寫(xiě)出它的通項(xiàng)公式：(2)若正整數(shù)m滿(mǎn)足不等式，求m的最大值．50．已知數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：當(dāng)時(shí)，．重難點(diǎn)9等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用51．某家庭打算為子女儲(chǔ)備“教育基金”，計(jì)劃從2021年開(kāi)始，每年年初存入一筆專(zhuān)用存款，便這筆款到2027年底連本帶息共有40萬(wàn)元收益.如果每年的存款數(shù)額相同，依年利息并按復(fù)利計(jì)算（復(fù)利是一種計(jì)算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計(jì)算下一期的利息），則每年應(yīng)該存入約（

）萬(wàn)元.（參考數(shù)據(jù)：，）A．5.3 B．4.1 C．7.8 D．652．有一個(gè)人進(jìn)行徒步旅行，他6天共走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半.則此人第4天和第7天共走了里.53．一個(gè)小球從54米高處自由落下，每次著地后又彈回到原來(lái)高度的處，則小球第2次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是米；小球第次落地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是米．54．我國(guó)某西部地區(qū)要進(jìn)行沙漠治理，已知某年（第1年）年底該地區(qū)有土地1萬(wàn)平方千米，其中是沙漠.從第2年起，該地區(qū)進(jìn)行綠化改造，每年把原有沙漠的改造成綠洲，同時(shí)原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠.設(shè)綠洲面積為萬(wàn)平方千米，第年綠洲面積為萬(wàn)平方千米.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)至少經(jīng)過(guò)幾年，綠洲面積可超過(guò)（參考數(shù)據(jù)：）？重難點(diǎn)10等比數(shù)列與數(shù)學(xué)文化的結(jié)合55．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題（意為）：“有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”那么，此人第1天走的路程是（

）A．24里 B．60里 C．192里 D．216里56．《塵劫記》是元代一部經(jīng)典的古典數(shù)學(xué)著作，里面記載了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：假設(shè)每對(duì)老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個(gè)月后，有一對(duì)老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個(gè)月后，每對(duì)老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類(lèi)推.記每個(gè)月新生的老鼠數(shù)量為，每個(gè)月老鼠的總數(shù)量為，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，可知，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．57．公元前1650年的埃及萊因德紙草書(shū)上載有如下問(wèn)題：“十人分十斗玉米，從第二人開(kāi)始，各人所得依次比前人少八分之一，問(wèn)每人各得玉米多少斗？”在上述問(wèn)題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗58．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中提出了高階等差數(shù)列的問(wèn)題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱(chēng)數(shù)列為一階等差數(shù)列），或者仍舊不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列（則稱(chēng)數(shù)列為二階等差數(shù)列），依次類(lèi)推，可以得到高階等差數(shù)列．類(lèi)比高階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義高階等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列1，1，2，8，64…是一階等比數(shù)列，則該數(shù)列的第8項(xiàng)是（

）．A． B． C． D．59．明代朱載堉發(fā)現(xiàn)的十二平均律，又稱(chēng)“十二等程律”，是世界上通用的一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的波長(zhǎng)之比完全相同.已知大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應(yīng)鐘的波長(zhǎng)成等比數(shù)列，且大呂和林鐘的波長(zhǎng)分別是m，n，則夾鐘和南呂的波長(zhǎng)之積為（

）A． B．C． D．60．（多選）《塵劫記》是元代一部經(jīng)典的古典數(shù)學(xué)著作，里面記載了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：假設(shè)每對(duì)老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個(gè)月后，有一對(duì)老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個(gè)月后，每對(duì)老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類(lèi)推.記每個(gè)月新生的老鼠數(shù)量為，每個(gè)月老鼠的總數(shù)量為，數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，可知，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．重難點(diǎn)11等差等比的綜合應(yīng)用61．（多選）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的公比可能為（