數(shù)學-專題13.1 期中期末專項復習之平面圖形的認識（二）二十五大必考點（舉一反三）（蘇科版）（原版）

專題13.1平面圖形的認識（二）二十五大必考點【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】 1【考點2三線八角中的截線問題】 3【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行證明】 4【考點4直線旋轉中的平行線的判定】 6【考點5與垂線有關的角度計算或證明】 7【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】 9【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應用】 10【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關系】 12【考點9平行線的運用（單一輔助線）】 13【考點10平行線的運用（多條輔助線）】 15【考點11平行線在折疊問題的運用】 17【考點12平行線在三角尺中的運用】 18【考點13平行線中的規(guī)律問題】 20【考點14平行線中的轉角問題】 22【考點15與角平分線有關的三角形內(nèi)角和問題】 24【考點16利用平行線的判定與性質(zhì)證明三角形中角度關系】 26【考點17與平行線有關的三角形內(nèi)角和問題】 27【考點18與折疊有關的三角形內(nèi)角和問題】 29【考點19三角形的三邊關系的運用】 30【題型20三角形的中線、高、角平分線】 31【題型21多邊形的內(nèi)角和與外角和】 32【題型22生活中的平移現(xiàn)象】 32【題型23圖形的平移】 33【題型24利用平移的性質(zhì)求解】 34【題型25利用平移解決實際問題】 35【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】【例1】（2022·河南新鄉(xiāng)·七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（

）

A．∠1和∠2是同旁內(nèi)角 B．∠1和∠3是對頂角C．∠3和∠4是同位角 D．∠1和∠4是內(nèi)錯角【變式1-1】（2022·青?！ぶ锌颊骖}）數(shù)學課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大拇指代表被截直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（

）A．同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角B．同位角、內(nèi)錯角、對頂角C．對頂角、同位角、同旁內(nèi)角D．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角【變式1-2】（2022·河北保定·七年級期末）如圖所示，下列說法錯誤的是()A．∠C與∠1是內(nèi)錯角B．∠2與∠3是內(nèi)錯角C．∠A與∠B是同旁內(nèi)角D．∠A與∠3是同位角【變式1-3】（2022·河南·商水縣希望初級中學七年級期末）如圖所示，同位角有a對，內(nèi)錯角有b對，同旁內(nèi)角有c對，則a+b?c的值是____________

【考點2三線八角中的截線問題】【例2】（2022·四川省廣元市寶輪中學七年級期末）如圖，已知∠1和∠2是內(nèi)錯角，則下列表述正確的是（

）A．∠1和∠2是由直線AD、AC被CE所截形成的B．∠1和∠2是由直線AD、AC被BD所截形成的C．∠1和∠2是由直線DA、DB被CE所截形成的D．∠1和∠2是由直線DA、DB被AC所截形成的【變式2-1】（2022·山東濟寧·七年級期末）如圖，∠ABD與∠BDC是（

）形成的內(nèi)錯角A．直線AD、BC被直線BD所截 B．直線AB、CD被直線BD所截C．直線AB、CD被直線AC所截 D．直線AD、BC被直線AC所截【變式2-2】（2022·甘肅·隴西縣鞏昌中學七年級期末）如圖，∠2與∠3是直線______、____被第三條直線_____所截形成的_______．

【變式2-3】（2022·全國·七年級）如圖所示，從標有數(shù)字的角中找出：(1)直線CD和AB被直線AC所截構成的內(nèi)錯角.(2)直線CD和AC被直線AD所截構成的同位角.(3)直線AC和AB被直線BC所截構成的同旁內(nèi)角.【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行證明】【例3】（2022·浙江臺州·七年級期末）如圖，已知：∠1=∠2，∠A=∠D．求證：∠B=∠C．證明：∵∠1=∠2（已知），∴______∥______（________________________）．∴∠A=∠BED（_____________________________）．∵∠A=∠D（已知），∴∠BED=∠D（等量代換）．∴______∥______（__________________________）．∴∠B=∠C（______________________________）．【變式3-1】（2022·黑龍江·遜克縣教師進修學校七年級期末）如圖所示，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點G，H，HN是∠

(1)如果GM是∠BGE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關系；證明：∵AB∥∴∠BGE＝______（兩直線平行，同位角相等．）∵GM是∠BGE的平分線，∴______＝______=∵HN是∠DHG的平分線∴______＝______=∴∠MGE＝∠NHG（等量代換）∴GM和HN的位置關系是______，（___________________）．(2)如果GM是∠AGH的平分線，（如圖②）（1）中的結論還成立嗎？（不必證明）(3)如果GM是∠BGH的平分線，（如圖③）（1）中的結論還成立嗎？如果不成立，GM與HN又有怎樣的位置關系？請直接寫出你的猜想不必證明．【變式3-2】（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有以下結論：①AB∥EF；②2∠1?∠4=90°；③2∠3?∠2=180°；④∠3+12【變式3-3】（2022·廣東·廣州市第四中學七年級期末）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C．

(1)求證：∠B＝∠D；(2)如圖2，點E在線段AD上，點G在線段AD的延長線上，連接BG，∠AEB＝2∠G，求證：BG是∠EBC的平分線；(3)如圖3，在(2)的條件下，點E在線段AD的延長線上，∠EDC的平分線DH交BG于點H，若∠ABE＝66°，求∠BHD的度數(shù)．【考點4直線旋轉中的平行線的判定】【例4】（2022·河南洛陽·七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板AB繞中點O上下轉動，立柱OC與地面垂直，當橫板AB的A端著地時，測得∠OAC=28°，則在玩蹺蹺板時，小明坐在A點處，他上下最大可以轉動的角度為（

）A．28° B．56° C．62° D．84°【變式4-1】（2022·山東臨沂·七年級期末）如圖將木條a，b與c釘在一起，∠1=75°，要使木條a與b平行，木條a順時針旋轉了35°，∠2是（

）A．25° B．35° C．40° D．50°【變式4-2】（2022·云南昆明·七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC，DF

在同一條直線上，現(xiàn)將三角板DEF繞點D順時針旋轉，當EF第一次與AB平行時，∠CDF的度數(shù)是（A．15° B．30° C．45° D．75°【變式4-3】（2022·湖南永州·七年級期末）如圖，直線l1∥l2，現(xiàn)將一個含30°角的直角三角板的銳角頂點B放在直線l2上，將三角板繞點B旋轉，使直角頂點C落在l1與l2之間的區(qū)域，邊AC與直角l1相交于點A．65° B．75° C．85° D．80°【考點5與垂線有關的角度計算或證明】【例5】（2022·湖南·測試·編輯教研五七年級期末）如圖，已知∠1=∠C，∠2=∠3，F(xiàn)G⊥AC于G，你能說明BD與AC互相垂直嗎？【變式5-1】（2022·安徽合肥·七年級期末）請補充完整下列推理過程及證明過程中的依據(jù)．如圖，已知DG//BA，EF⊥BC，∠1=∠2．試證明：

解：因為DG//所以∠2=∠BAD（____________）．因為∠1=∠2（已知），所以______（等量代換），所以EF//所以∠EFB=______（兩直線平行，同位角相等）因為EF⊥BC（已知），所以∠EFB=90°（____________）．所以∠ADF=90°（等量代換），所以______（垂直的定義）．【變式5-2】（2022·江蘇鹽城·七年級期末）如圖，AB⊥AC，垂足為A，∠1=30°，∠B=60°．（1）AD與BC平行嗎？為什么？（2）根據(jù)題中的條件，能判斷AB與CD平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一個條件，使它們平行（不必說明理由）．【變式5-3】（2022·全國·七年級）已知：直線MN、PQ被AB所截，且MN∥PQ，點C是線段AB上一定點，點D是射線AN上一動點，連接CD．

(1)在圖1中過點C作CE⊥CD，與射線BQ交于E點．①依題意補全圖形；②求證：∠ADC+∠BEC＝90°；(2)如圖2所示，點F是射線BQ上一動點，連接CF，∠DCF＝α，分別作∠NDC與∠CFQ的角平分線交于點G，請用含有α的代數(shù)式來表示∠DGF，并說明理由．【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】【例6】（2022·福建福州·七年級期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，點F，G在BC上，EF與DG交于點O，∠1+∠2=180°，∠B=∠3．(1)判斷DE與BC的位置關系，并證明；(2)若∠AED+∠EFC=118°，求∠A的度數(shù)．【變式6-1】（2022·河南漯河·七年級期末）已知：如圖，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E．(1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度數(shù)；(2)判斷BE與CD的位置關系，并證明你的猜想．【變式6-2】（2022·廣東湛江·七年級期末）如圖所示，已知射線CB∥OA，∠C=∠OAB=110°，E、F在CB上，且滿足∠FOB=∠AOB，OE平分

(1)證明：OC∥(2)求∠EOB的度數(shù)；(3)若平行移動AB，那么∠OBC:∠OFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化，請說明理由．【變式6-3】（2022·北京密云·七年級期末）已知：點C是∠AOB的OA邊上一點（點C不與點O重合），點D是∠AOB內(nèi)部一點，射線CD不與OB相交．(1)如圖1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，過點O作射線OE，使得OE//CD．（其中點E在∠AOB內(nèi)部）．①依據(jù)題意，補全圖1；②直接寫出∠BOE的度數(shù)．(2)如圖2，點F是射線OB上一點，且點F不與點O重合，當∠AOB=α0°<α≤180°時，過點F作射線FH，使得FH//CD（其中點H在∠AOB的外部），用含α的代數(shù)式表示∠OCD與∠BFH【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應用】【例7】（2022·湖北武漢·七年級期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB∥直線CD，光線EF經(jīng)過鏡子AB反射到鏡子CD，最后反射到光線GH.光線反射時，∠1=∠2，∠3=∠4，下列結論：①直線EF平行于直線GH；②∠FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB；③∠BFE的角平分線所在的直線垂直于∠4的角平分線所在的直線；④當CD繞點G順時針旋轉90時，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是（

）

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③【變式7-1】（2022·江蘇宿遷·七年級期末）實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MN,NP，一束光線AB射在其中一塊MN上，經(jīng)另外一塊NP反射，兩束光線會平行嗎？若不平行，請說明理由，若平行，請給予證明【變式7-2】（2022·浙江杭州·七年級期末）（1）若組成∠1和∠2的兩條邊互相平行，且∠1是∠2的2倍小15°，求∠1的度數(shù)．（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平行于AB,EF與上拉桿CF形成的∠F=145°，主柱AD垂直于地面，通過調(diào)整CF和后拉桿BC的位置來調(diào)整籃筐的高度．當∠CDB=25°時，點H，D，B在同一直線上，求∠H的度數(shù)．【變式7-3】（2022·湖南·師大附中梅溪湖中學七年級期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線（AB∥CD）如圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和Q，若燈P射線自PA逆時針旋轉至PB便立即回轉，燈Q射線自QD逆時針旋轉至OC便立即回轉，每天晚間兩燈同時開啟不停交叉照射巡視．設燈P轉動的速度是10度/秒，燈Q轉動的速度是4度/秒，湖面上點M是音樂噴泉的中心．

（1）若把燈P自PA轉至PB，或者燈Q自QD轉至QC稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照射一次各需要的時間；（2）12秒時，兩光束恰好在M點匯聚，求∠PMQ；（3）在兩燈同時開啟后的35秒內(nèi)，請問開啟多長時間后，兩燈的光束互相垂直？【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關系】【例8】（2022·河北唐山·七年級期末）己知三角形ABC，EF∥AC交直線AB于點E，DF∥AB交直線(1)如圖1，若點F在邊BC上，直接寫出∠BAC與∠EFD的數(shù)量關系；(2)若點F在邊BC的延長線上，（1）中的數(shù)量關系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的數(shù)量關系，請在備用圖中畫出圖形并說明理由．【變式8-1】（2022·湖北襄陽·七年級期末）如圖，已知AM∥BN，P是射線AM上一動點（不與點A重合），BC，BD分別平分∠ABP與∠PBN，分別交射線AM于點C，(1)若∠A=50°，求∠CBD的度數(shù)；(2)在點P的運動過程中，∠BPA與∠BDA

的數(shù)量關系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出∠BPA與∠BDA的數(shù)量關系；(3)當點P運動到使∠ACB＝∠ABD時，探究∠ABC與∠DBN的數(shù)量關系，并證明你的結論．【變式8-2】（2022·安徽合肥·七年級期末）已知：直線AB∥CD，經(jīng)過直線AB上的定點P的直線EF交CD于點O，點M，N為直線CD上的兩點，且點M在點O右側，點N的左側時，連接PM，PN，滿足(1)如圖1，若∠MPO=25°，∠MNP=50°，直接寫出∠COP的度數(shù)為：______．(2)如圖2，射線PQ為∠MPE的角平分線，用等式表示∠NPQ與∠POM之間的數(shù)量關系，并證明．【變式8-3】（2022·湖北孝感·七年級期末）在三角形ABC中，點D在線段AC上，DE∥BC交AB于點E，點F在線段AB上（點F不與點A，E，B重合），連接DF，過點D作FG⊥FD交射線CB于點(1)如圖1，點F在線段BE上，①用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關系，并說明理由；②如圖，求證：∠ABC+∠BFG?∠EDF=90°；(2)當點F在線段AE上時，依題意，在圖2中補全圖形，請直接用等式表示∠EDF與∠BGF的數(shù)量關系，不需證明．

【考點9平行線的運用（單一輔助線）】【例9】（2022·四川德陽·七年級期末）已知：AB∥CD，點P、Q分別在AB、CD上，在兩直線間取一點E．(1)如圖1，求證：∠E=∠APE+∠CQE；(2)將線段EQ沿DC平移至FG，∠CGF的平分線和∠APE的平分線交于直線AB、CD內(nèi)部一點H．①如圖2，若∠E=90°，求∠H的度數(shù)；②如圖3，若點I在直線AB、CD內(nèi)部，且PI平分∠BPE，連接HI，若∠I?∠H=m°，∠E=n°，請直接寫出m與n的數(shù)量關系，不必證明．【變式9-1】（2022·廣東梅州·八年級期末）已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一塊三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，將三角板CDE如圖所示放置，使頂點C落在OB邊上，經(jīng)過點D作直線MN∥OB交OA邊于點M，且點M在點D的左側．(1)如圖1，若CE∥OA，EF∥MN，∠NDE＝45°，求α的度數(shù)；(2)若∠MDC的平分線DF交OB邊于點F，如圖2，當DF∥OA，且α＝60°時，證明：CE∥OA．【變式9-2】（2022·陜西西安·八年級期末）在綜合與實踐課上，同學們以“一個含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數(shù)學活動如圖1，已知兩直線a，b，且a∥b和直角三角形ABC，∠BCA=90°，

(1)在圖1中，∠1＝46°，求∠2的度數(shù)；(2)如圖2，創(chuàng)新小組的同學把直線a向上平移，并把∠2的位置改變，發(fā)現(xiàn)∠2?∠1=120°，說明理由；(3)競賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結論的基礎上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，當AC平分∠BAM時，此時發(fā)現(xiàn)∠1與∠2又存在新的數(shù)量關系，請寫出∠1與∠2的數(shù)量關系并證明．【變式9-3】（2022·遼寧葫蘆島·七年級期末）如圖1，點A在直線MN上，點B在直線ST上，點C在MN，ST之間，且滿足∠MAC＋∠ACB＋∠SBC＝360°．(1)證明：MN∥(2)如圖2，若∠ACB＝60°，AD∥CB，點E在線段BC上，連接AE，且∠DAE＝2∠CBT，試判斷∠CAE與∠(3)如圖3，若∠ACB＝45°，點E在線段BC上，連接AE，若∠MAE＝4∠CBT，直接寫出∠CAE：∠CAN的值．【考點10平行線的運用（多條輔助線）】【例10】（2022·云南普洱·七年級期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE//GF．如圖（1），若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點M，AB⊥DE于點N．

(1)請你直接寫出：∠CAF＝_____°，∠EMC＝______°．(2)若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想∠EMC與∠CAF的數(shù)量關系？并說明理由．(3)請你總結（1），（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關系？并說明理由．【變式10-1】（2022·湖北武漢·七年級期末）直線AB∥CE，BE—EC是一條折線段，BP平分(1)如圖1，若BP∥CE，求證：(2)CQ平分∠DCE，直線BP，CQ交于點F．①如圖2，寫出∠BEC和∠BFC的數(shù)量關系，并證明；②當點E在直線AB，CD之間時，若∠BEC=40°，直接寫出∠BFC的大?。咀兪?0-2】（2022·廣東·新豐縣教育局教研室七年級期末）細觀察，找規(guī)律．（1）下列各圖中的MA1與

①圖①中的∠A②圖②中的∠A③圖③中的∠A④圖④中的∠A⑤第⑩個圖中的∠A⑥第n個圖中的∠A（2）下列各圖中AB//①圖甲中∠B、∠C、∠BEC的數(shù)量關系是______．②圖乙中∠B，∠E，∠G，∠F，∠C的數(shù)量關系是______．③圖丙中∠B，∠E，∠F，∠G，∠H，∠M，∠C的數(shù)量關系是______．【變式10-3】（2022·北京師范大學附屬實驗中學分校七年級期末）已知，如圖1，射線PE分別與直線AB，CD相交于E、F兩點，∠PFD的平分線與直線AB相交于點M，射線PM交CD于點N，設∠PFM＝α°，∠EMF＝β°，且80?2α＋|β﹣40|＝0(1)α＝，β＝；直線AB與CD的位置關系是；(2)如圖2，若點G、H分別在射線MA和線段MF上，且∠MGH＝∠PNF，試找出∠FMN與∠GHF之間存在的數(shù)量關系，并證明你的結論；(3)若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉（如圖3），分別與AB、CD相交于點M1和點N1時，作∠PM1B的角平分線M1Q與射線FM相交于點Q，問在旋轉的過程中∠FPN

【考點11平行線在折疊問題的運用】【例11】（2022·山東濰坊·七年級期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊AD//BC，則翻折角∠1與∠2一定滿足的關系是（

）A．∠1=2∠2 B．∠1+∠2=90° C．∠1?∠2=30° D．2∠1?3∠2=30°【變式11-1】（2022·山東·滕州市龍泉街道滕東中學七年級期末）如圖，四邊形ABCD中，點M、N分別在AB、BC上，將△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，F(xiàn)N∥DC，則∠B=(

)A．60° B．70° C．80° D．90°【變式11-2】（2022·全國·七年級單元測試）如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，將三角形ABC向下翻折，使點A與點C重合，折痕為DE.試說明：DE∥BC．【變式11-3】（2022·江蘇·常州市第二十四中學七年級期末）在△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC上一點，將△ABD沿AD翻折后得到△AED，邊AE交BC于點F．

(1)如圖①，當AE⊥BC時，寫出圖中所有與∠B相等的角：；所有與∠C相等的角：．

(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45)．①求∠B的度數(shù)；②是否存在這樣的x的值，使得△DEF中有兩個角相等．若存在，并求x的值；若不存在，請說明理由．【考點12平行線在三角尺中的運用】【例12】（2022·浙江寧波·七年級期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，∠BAC=45°，∠DAC=30°．接著如圖2保持三角板ABC不動，將三角板ACD繞著點C按順時針以每秒15°的速度旋轉90°后停止．在此旋轉過程中，當旋轉時間t=______________秒時，三角板A′CD【變式12-1】（2022·河北·青縣教育局教研室七年級期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點C與點E重合，BC邊與EF邊都在直線l上，若直線MN∥AC，且MN經(jīng)過點D，則∠CDN=_________；【變式12-2】（2022·四川達州·八年級期末）一副三角板ADE和ABC按如圖1所示放置，點B在斜邊AD上，其中∠E＝∠BAC＝90°，∠D＝45°，∠C＝30°．現(xiàn)將三角板ADE固定不動，三角板ABC繞點A

順時針旋轉α0°<α<180°，使兩塊三角板至少有一組邊互相平行，如圖2，當∠BAD＝15°時，BC∥DE，則∠BAD【變式12-3】（2022·江蘇蘇州·七年級期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC上，∠C=∠DAE=90°，∠B=60°，∠D=45°．小明將△ADE從圖中位置開始，繞點A按每秒6°的速度順時針旋轉一周，在旋轉過程中，第____秒時，邊AB與邊DE平行．【考點13平行線中的規(guī)律問題】【例13】（2022·山東泰安·期末）如圖，AB∥CD，點(1)如圖1，若∠BAE=35°，∠DCE=20°，則∠AEC=____________；(2)如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；(3)①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關系，并說明理由；②如圖4，若設∠E=m，∠BAF=1n∠FAE，∠DCF=1n∠FCE，請直接用含【變式13-1】（2022·山東煙臺·七年級期末）問題情境：

如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC＝∠APE+∠CPE＝50°+60°＝110°．問題解決：（1）如圖2，AB∥CD，直線l分別與AB、CD交于點M、N，點P在直線I上運動，當點P在線段MN上運動時（不與點M、N重合），∠PAB＝α，∠PCD＝β，判斷∠APC、α、β之間的數(shù)量關系并說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點P在線段MN或NM的延長線上運動時．請直接寫出∠APC、α、B之間的數(shù)量關系；（3）如圖3，AB∥CD，點P是AB、CD之間的一點（點P在點A、C右側），連接PA、PC，∠BAP和∠DCP的平分線交于點Q．若∠APC＝116°，請結合（2）中的規(guī)律，求∠AQC的度數(shù)．【變式13-2】（2022·四川·樹德中學七年級期末）（1）如圖①，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，（2）如圖②，已知AB∥CD，圖中∠1，∠2，∠3，（3）如圖③，已知AB∥CD，請直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，（4）通過以上3個問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【變式13-3】（2022·北京市第一零一中學溫泉校區(qū)七年級期末）喜歡思考的小澤同學，設計了一種折疊紙條的游戲．如圖1，紙條的一組對邊PN∥QM（紙條的長度視為可延伸），在PN，QM上分別找一點A，B，使得∠ABM＝α．如圖2，將紙條作第一次折疊，使BM′與BA在同一條直線上，折痕記為

解決下面的問題：（1）聰明的小白想計算當α＝90°時，∠BR1N′的度數(shù)，于是他將圖2轉化為下面的幾何問題，請幫他補全問題并求解：如圖3，PN∥QM，A，B分別在PN,QM上，且∠ABM＝90°，由折疊：BR1平分_________，（2）聰穎的小桐提出了一個問題：按圖2折疊后，不展開紙條，再沿AR1折疊紙條（如圖4），是否有可能使AM′′⊥BR1？如果能，請直接寫出此時（3）笑笑看完此題后提出了一個問題：當0°<α≤90°時，將圖2記為第一次折疊；將紙條展開，作第二次折疊，使BM′與BR1在同一條直線上，折痕記為BR2（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使BM′與BR①第二次折疊時，∠BR2N②第n次折疊時，∠BRnN【考點14平行線中的轉角問題】【例14】（2022·黑龍江·綏棱縣綏中鄉(xiāng)學校七年級期末）將兩個等邊三角形（每個內(nèi)角都等于60°）如圖1疊放在一起，現(xiàn)將△CDE繞點C順時針旋轉，旋轉角為α（旋轉角0°

(1)如圖2，當旋轉角滿足0°<α≤60°時，請寫出∠(2)如圖3，當旋轉角滿足60°<α≤120°時，請寫出∠(3)當DE//BC時請直接寫出旋轉角的度數(shù)．【變式14-1】（2022·福建泉州·七年級期末）現(xiàn)有一塊含30°角的直角三角板AOB，其直角頂點O在直線l上，將三角板AOB繞著點O按逆時針方向旋轉∠2的度數(shù)（0°<∠2<360°）．請你解決下列問題：(1)當∠2的度數(shù)為多少時，AB∥(2)如右圖，作AC⊥l于點C，BD⊥l于點D，試探究：圖中提供的字母或數(shù)字能表示的所有角（不包含該圖中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，試寫出所有相等的角，并說明理由；若不存在，請舉例說明．【變式14-2】（2022·河南·漯河市郾城區(qū)郾城初級中學七年級期末）如圖1，已知PQ∥MN，點A，B分別在MN，PQ上，且∠BAN=45°，射線AM繞點A順時針旋轉至AN便立即逆時針回轉（速度是a°/秒），射線BP繞點B順時針旋轉至BQ便立即逆時針回轉（速度是b°/秒）、且a、b滿足a?3+(1)a=_____________，b=____________；(2)如圖2，兩條射線同時旋轉，設旋轉時間為t秒（t<60），兩條旋轉射線交于點C，過C作CD⊥AC交

PQ于點D，求∠BAC與∠BCD的數(shù)量關系；(3)若射線BP先旋轉20秒，射線AM才開始旋轉，設射線AM旋轉時間為t秒（t<160），若旋轉中AM∥BP，求t的值．【變式14-3】（2022·浙江湖州·七年級期末）如圖1，已知直線AB∥CD，∠CMN=60°，射線ME從MD出發(fā)，繞點M以每秒a度的速度按逆時針方向旋轉，到達MC后立即以相同的速度返回，到達MD后繼續(xù)改變方向，繼續(xù)按上述方式旋轉；射線NF從NA出發(fā)，繞點N以每秒b度的速度按逆時針方向旋轉，到達NB后停止運動，此時ME也同時停止運動．其中a，(1)求a，b的值；(2)若NF先運動30秒，然后ME一起運動，設ME運動的時間為t，當運動過程中ME∥NF時，求(3)如圖2，若ME與NF同時開始轉動，在ME第一次到達MC之前，ME與NF交于點P，過點P作PQ⊥ME于點P，交直線AB于點Q，則在運動過程中，若設∠NME的度數(shù)為m，請求出∠NPQ的度數(shù)（結果用含m的代數(shù)式表示）．【考點15與角平分線有關的三角形內(nèi)角和問題】【例15】（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學七年級階段練習）【認識概念】如圖1，在△ABC中，若∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，則AD，AE叫做∠BAC的“三分線”．其中，AD是“近AB三分線”，AE是“遠AB三分線”．【理解應用】(1)在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，若∠A的三分線AD與∠B

＝____________；(2)如圖2，在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC的近AB三分線和∠ACB近AC三分線，若BO⊥CO，求∠A的度數(shù)；【拓展應用】(3)如圖3，在△ABC中，BO、CO分別是∠ABC的遠BC三分線和∠ACB遠BC三分線，且∠A＝m°，直線PQ過點O分別交AC、BC于點P、Q，請直接寫出∠1﹣∠2的度數(shù)（用含【變式15-1】（2022·江蘇揚州·七年級期末）如圖：PC、PB是∠ACB、∠ABC的平線，∠A=40o，∠BPC=________．【變式15-2】（2022·全國·八年級專題練習）（1）如圖1，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACB，則∠P的度數(shù)是．（2）如圖2，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠EBC和∠FCD，則∠P的度數(shù)是．（3）如圖3，∠A＝70°，BP、CP分別平分∠ABC和∠ACD，求∠P的度數(shù)．

【變式15-3】（2022·廣東韶關實驗中學七年級期中）如圖，AB∥CD，點E是AB上一點，連結CE．(1)如圖1，若CE平分∠ACD，過點E作EM⊥CE交CD于點M，試說明∠A＝2∠CME；(2)如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)．(3)如圖3，過點E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點M，MN⊥CM交AB于點N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH＝12∠ECH請直接寫出∠MNB與∠A【考點16利用平行線的判定與性質(zhì)證明三角形中角度關系】【例16】（2022·安徽合肥·七年級期末）已知：三角形ABC和同一平面內(nèi)的點D．(1)如圖①，點D在BC邊上，DE∥BA交AC于點E，DF∥AC交AB于點F若∠EDF=85°，則∠A的度數(shù)為______；(2)如圖②，點D在BC的延長線CM上，DF∥CA交BA延長線于點F，DE在∠FDM內(nèi)部，若∠EDF=∠BAC，試說明DE∥BA；(3)如圖③，點D是三角形ABC外部的一個動點，過點D畫DE∥BA交直線AC于點E，畫DF∥CA交直線AB于點F，請用等式直接表示∠EDF與∠BAC之間的關系．

【變式16-1】（2022·山東煙臺·期末）如圖，點D、E、F分別在三角形ABC的三條邊上，點G在DF上，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B，DE與BC所在的直線存在什么位置關系？請詳細說明理由．【變式16-2】（2022·吉林·前郭縣一中七年級期末）兩個三角形ABC和DEC中，∠ACB=∠CDE=90°，∠A=60°，∠DCE=∠E=45°．(1)當AB∥DC時，如圖①，求(2)當CD與CB重合時，如圖②，判斷DE與AC的位置關系，并說明理由．(3)如圖③，當AB∥EC時，求【變式16-3】（2022·廣東·佛山市順德區(qū)勒流育賢實驗學校七年級期末）知識延展：三角形的一邊和另一邊的反向延長線組成的角叫三角形的外角，如∠ACD是三角形的外角．容易說明，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和，如圖可得：∠ACD=∠A十∠B．請你用所學的知識和延展知識解決如下問題：(1)如圖，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E，AB∥CD，∠ADC=40°，∠ABC=30°，求∠AEC的大小：(2)如圖，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E，∠ADC=m°，∠ABC=n°，求∠AEC的大??；(3)如圖，∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點E，則∠AEC、∠ADC、∠ABC之間是否存在某種等量關系？若存在，請你得出結論，說明理由；若不存在，請說明理由．

【考點17與平行線有關的三角形內(nèi)角和問題】【例17】（2022·遼寧盤錦·七年級期末）（1）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PMB=140°，∠PND=120°，求∠MPN的度數(shù)；（2）問題遷移：在（1）的條件下，如圖2，∠AMP的角平分線與∠CNP的角平分線交于點F，則∠MFN的度數(shù)為多少？請說明理由；（3）問題拓展：如圖3，AB∥CD，點P在射線OM上移動時（點P與點O，M，D三點不重合），記∠PAB=α，∠PCD=β，請直接寫出∠APC與α，β之間的數(shù)量關系．【變式17-1】（2022·山東德州·七年級期中）如圖所示，DE∥BC，∠1=∠3，(1)求證：FG⊥AB．(2)若∠3=45°，求∠ADE的度數(shù)．【變式17-2】（2022·江蘇南通·七年級期末）在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，點E是射線AB上的動點（不與點D重合），過點E作EF∥BC交直線CD于點F，∠BEF的角平分線所在的直線與射線CD交于點(1)如圖1，點E在線段AD上運動．①若∠B=60°，∠ACB=30°，則∠EGC=______°；②若∠A=80°，求∠EGC的度數(shù)；

(2)若點E在射線DB上運動時，探究∠EGC與∠A之間的數(shù)量關系，請直接寫出答案．【變式17-3】（2022·江蘇宿遷·七年級期末）如圖，在△ABC中，點D在AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點P，CP與DE相交于點G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________(2)若∠A=50°，當∠B的度數(shù)發(fā)生變化時，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；(3)若∠A=x°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代數(shù)式表示）；(4)若△PCQ中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，請直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)．【考點18與折疊有關的三角形內(nèi)角和問題】【例18】（2022·江蘇·睢寧縣桃園中學七年級期中）如圖所示，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=70°，將紙片沿著MN折疊，使C，D分別落在直線AB上的C′，D′處，則∠AMD′+∠A．50° B．60° C．70° D．80°【變式18-1】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，在AC邊上取點D，使得AD=AB，連接BD．點E、F分別為AD、BD邊上的點，且∠DEF=48°，將△DEF沿直線EF翻折，使點D落在AB邊上的點G處，若GF//BC，則∠C的度數(shù)為_______．

【變式18-2】（2022·全國·八年級課時練習）直線MN與直線PQ垂直相交于O，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動，連接AB．（1）如圖1，已知AC，BC分別是∠BAP和∠ABM角的平分線，①點A，B在運動的過程中，∠ACB的大小是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠ACB的大小．②如圖2，將ΔABC沿直線AB折疊，若點C落在直線PQ上，記作點C′，則∠ABO=_______°；如圖3，將ΔABC沿直線AB折疊，若點C落在直線MN上，記作點C′′，則∠ABO=（2）如圖4，延長BA至G，已知∠BAO，∠OAG的角平分線與∠BOQ的角平分線交其延長線交于E，F(xiàn)，在ΔAEF中，如果有一個角是另一個角的32倍，求∠ABO【變式18-3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖1，三角形ABC中，∠A=58°,∠B=90°,∠C=32°．點E是BC邊上的定點，點D在AC邊上運動．沿DE折疊三角形CDE，點C落在點G處．（1）如圖2，若DE//AB，求∠ADG的度數(shù)．（2）如圖3，若EG//AB，求∠ADG的度數(shù)．

（3）當三角形DEG的三邊與三角形ABC的三邊有一組邊平行時，直接寫出∠CDG的度數(shù)【考點19三角形的三邊關系的運用】【例19】（2022秋·湖北黃石·八年級黃石十四中?？计谥校┮韵铝懈鹘M線段為邊，能組成三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．2cm，3cm，6cmC．2cm，3cm，4cm D．2cm，3cm，5cm【變式19-1】（2022春·河南鄭州·七年級?？计谥校┰Oa，b，c是△ABC的三邊，化簡：a+b?c?【變式19-2】（2022秋·安徽馬鞍山·八年級?？计谥校┯?cm、5cm、7cm、9cm、11cm的五根木棒可組成不同的三角形的個數(shù)是（

）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個【變式19-3】（2022秋·安徽蕪湖·八年級蕪湖市第二十九中學?？计谥校┮阎粋€三角形的三邊長分別為2a，a?1，5，求整數(shù)a的值．【題型20三角形的中線、高、角平分線】【例20】（2022春·福建廈門·七年級廈門雙十中學校考期末）在△ABC中，AD、AE、AF分別是它的高線、角平分線和中線，則下列說法中錯誤的是（）A．BF=CF B．∠ACD+∠CAD=90° C．AD≤AE D．S【變式20-1】（2022春·內(nèi)蒙古包頭·七年級包頭市第二十九中學?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，點D是BC的中點，點E是AD上的一點，AE=2ED，且S△ABC=122，則【變式20-2】（2022春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期末）如圖，已知AD、AE分別是△ABC的高和中線AB=9cm,AC=12cm，BC=15

(1)△ABE的面積；(2)AD的長度；(3)△ACE與△ABE的周長的差．【變式20-3】（2022秋·安徽合肥·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中（AB＞BC），AC＝2BC，BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成70和【題型21多邊形的內(nèi)角和與外角和】【例21】（2022秋·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）如圖，六邊形ABCDEF中，CD∥AF，∠D=∠A，AB⊥BC，∠C=120°，∠E=80°，則∠F的度數(shù)為（A．120° B．125° C．130° D．140°【變式21-1】（2021秋·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·八年級統(tǒng)考期末）在計算某n邊形的內(nèi)角和時，不小心少算了一個內(nèi)角，得到和為2021°，這個角的大小是_____________．【變式21-2】（2022秋·湖北宜昌·八年級統(tǒng)考期末）如圖，小亮從點A出發(fā)，沿直線前進15米后向左轉30°，再沿直線前進15米，又向左轉30°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地點A時，共走了_____米．【變式21-3】（2022秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）若一個正多邊形的外角與其相鄰的內(nèi)角之比為1:5，則該正多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)為________．

【題型22生活中的平移現(xiàn)象】【例22】（2022春·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（

）①方向盤