河南省周口市川匯區(qū)重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題(含答案)

-2024學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)開學(xué)考試卷數(shù)學(xué)試題試卷考試時間：120分鐘滿分：150第I卷（選擇題）單項選擇題（每小題5分，共40分）1．某人設(shè)計的一個密碼由2個英文字母（不分大小寫）后接2個數(shù)字組成，且2個英文字母不相同，2個數(shù)字也互不相同，則該密碼可能的個數(shù)是（

）A． B．C． D．2．已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公比（

）A． B． C． D．3．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．4．已知設(shè)，則，則的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．65．已知函數(shù)，若存在四個互不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知，，，則（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．8．某校抽取名學(xué)生做體能測認，其中百米測試中，成績?nèi)拷橛诿肱c秒之間，將測試結(jié)果分成五組：第一組，第二組，，第五組．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，若成績低于即為優(yōu)秀，如果優(yōu)秀的人數(shù)為人，則的估計值是（）A． B． C． D．二．多項選擇題（每小題5分，共20分，有多項符合要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9．已知，，則（

）A． B．C． D．10．若復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限 B．的虛部為C． D．的共軛復(fù)數(shù)11．如圖，正方體的棱長為2，E是的中點，則（

）

A．B．點E到直線的距離為C．直線與平面所成的角的正弦值為D．點到平面的距離為12．下列選項中，與的值相等的是（

）A． B．C． D．第II卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分，共20分）13．設(shè)，則.14．已知在R上是奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時，，則.15．從3名男醫(yī)生和6名女醫(yī)生中選出5人組成一個醫(yī)療小組．如果這個小組中男女醫(yī)生都不能少于2人則不同的建組方案共有種．16．已知，，則四、解答題（共6小題，共計70分.第17題10分，第1822題，每題12分）17．（1）已知圓經(jīng)過，兩點，且被直線截得的線段長為．求圓的方程．（2）已知點和圓，過點的動直線與圓交于，兩點，求線段的中點的軌跡方程．18．函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，且，求.19．已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)若對任意，總存在使得成立，求的取值范圍．20．某學(xué)校從4名男生和3名女生中任選3人作為志愿者．（1）求所選的3人中至少有2名男生的概率；（2）設(shè)隨機變量表示所選3人中女生的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．21．已知函數(shù)，．（1）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)遞增，求的取值范圍；（2）證明：對任意，22．已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)表示不超過x的最大整數(shù)，證明：，．參考答案1．C【分析】由分步計數(shù)原理，把選擇26個不同英文字母的排列數(shù)與選擇2個不同數(shù)字的排列數(shù)相乘即可.【詳解】因為英文字母有26個，所以2個不同英文字母的排列有種，因為數(shù)字有10個，所以2個不同數(shù)字的排列有種，由分步計數(shù)原理，所以該密碼可能的個數(shù)是.故選：C2．C【解析】用和表示出已知條件后可解得．【詳解】由已知，則，解得．故選：C．3．D【分析】根據(jù)交集的定義由條件求.【詳解】∵，，∴

，故選：D.4．A【分析】先求得復(fù)數(shù)實部與虛部的關(guān)系，再去求的最小值即可解決.【詳解】由，可得，可令，則（為銳角，且）由，可得則的最小值為3.故選：A5．D【分析】由題可得和各有兩個解，利用數(shù)形結(jié)合即得.【詳解】令，則，由題意，有兩個不同的解，有兩個不相等的實根，由圖可知，得或，所以和各有兩個解，要使和各有兩個解，必須滿足，由，則，由圖可知，當(dāng)時，有兩個解(一解為，一解為3)，當(dāng)時，有三個解(為，3)，當(dāng)時，有兩個解(為)，所以，存在四個互不相等的實數(shù)根，實數(shù)的取值范圍是.故選：D．6．A【解析】利用三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解．【詳解】解：，，，，，，，．故選：A．【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，解答的關(guān)鍵時利用函數(shù)的性質(zhì)比較其與中間值的大小，即可判斷．7．C【分析】由題可得，即得.【詳解】由題意得，解得，所以所求函數(shù)的定義域為.故選：C.8．B【分析】利用左邊的矩形面積之和為列等式可求得實數(shù)的值.【詳解】優(yōu)秀人數(shù)所占的頻率為，測試結(jié)果位于的頻率為，測試結(jié)果位于的頻率為，所以，，由題意可得，解得.故選：B.9．BC【分析】根據(jù)得到，計算，再利用二倍角公式得到和，對比選項得到答案.【詳解】，則，，故，，，，得到，A錯誤；，得到，C正確；，B正確；，D錯誤.故選：BC.10．AD【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義判斷A；求出復(fù)數(shù)的虛部判斷B；求出復(fù)數(shù)的平方判斷C；求出共軛復(fù)數(shù)判斷D作答.【詳解】對于A，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，A正確；對于B，的虛部為，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，的共軛復(fù)數(shù)，D正確.故選：AD11．AC【分析】以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法逐一判斷分析各個選項即可.【詳解】如圖以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，所以，故A正確；，則，所以，所以點E到直線的距離為，故B錯誤；因為平面，所以即為平面的一條法向量，則直線與平面所成的角的正弦值為，故C正確；設(shè)平面的法向量為，則有，可取，則點到平面的距離為，故D錯誤.故選：AC.

12．ABC【分析】先求出，根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡求值判斷A，根據(jù)兩角差的正弦公式化簡求值判斷B，根據(jù)兩角和的正切公式化簡求值判斷C，根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡判斷D.【詳解】，A選項：，故A對；B選項：，故B對；C選項：，故C對；D選項：，故D錯.故選：ABC13．2020【詳解】解析：注意到，故，所以.故答案為：2020.14．【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性求得正確答案.【詳解】，所以是周期為的奇函數(shù)，所以.故答案為：15．75【分析】分兩種情況：一種是3名男醫(yī)生2名女醫(yī)生，另一種是2名男醫(yī)生3名女醫(yī)生，利用分類計數(shù)原理求解即可【詳解】解：由題意可知有兩種情況：一種是選3名男醫(yī)生2名女醫(yī)生，有種，另一種是選2名男醫(yī)生3名女醫(yī)生，有，所以由分類計數(shù)原理可得共有種建組方案，故答案為：7516．或【分析】先求，值，再代入即得結(jié)果【詳解】，所以，，解得，，所以，即為或.故答案為：或.17．（1）或．（2）．【分析】（1）設(shè)圓方程為，代入，，利用圓被直線截得的線段長為，即可求圓的方程．（2）設(shè)點，圓的圓心坐標(biāo)為，由題意當(dāng)且可得，即可得到方程，整理可得．【詳解】解：（1）設(shè)圓方程為．因為點，在圓上，代入可得，，又由已知，聯(lián)立，解得，由韋達定理知，．所以即．即．則，或，．則所求圓方程為：或．（2）設(shè)點，若，此時，即，若，則，即，圓，即，所以圓心坐標(biāo)為．若且，則，即，整理得，即，顯然和也滿足所以點的軌跡方程為．18．（1）（2）【分析】（1）根據(jù)五點作圖法和圖象，求正弦型函數(shù)的解析式.（2）利用兩角和與差公式求解.【詳解】解：（1）由圖像可知,則，代入點，得，得，由，得，故.（2）由題意知,得，由，則，則，.【點睛】本題考查了由函數(shù)的圖象求正弦型函數(shù)的解析式，利用兩角和差公式求值及角變換技巧.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合指數(shù)運算，將自變量代入求值即可；（2）將問題化為在上值域是在上值域的子集，討論參數(shù)m，結(jié)合指對數(shù)函數(shù)、分式型函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值域，進而確定參數(shù)范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，則，所以.（2）若在上的值域為，在上的值域為，由題意知：，即是的子集，而，且僅當(dāng)時等號成立，則在上，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；對于的值域：當(dāng)時，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)恒成立，不是的子集，不合題意；時，，則，故；時，，只需，即，移項得：，由在上為單調(diào)增函數(shù)，故；綜上，.20．（1）；（2）分布列見解析，.【分析】（1）記“所選3人至少有2名男生”事件為A，利用組合分別求出事件總的個數(shù)和事件A所包含的基本事件的個數(shù)，利用古典概型的概率公式即可求解；（2）先分別求出X=0,X=1,X=2,X=3的概率，寫出分布列，即可求出數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）記“所選3人至少有2名男生”事件為A，從4名男生和3名女生中選3人，總選法為：，至少2名男生即2名男生或3名男生：所造3人中至少有2名男生概率為．（2）的所有可能取值為：0，1，2，3…，∴的分布列：0123.21．（1）；（2）證明見解析.【分析】(1)對求導(dǎo)得，對的取值分類討論即可.(2)由(1)可得，即，結(jié)合，可得，由不等式的放縮法可得，進而得出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以．因為，所以，則．（?。┊?dāng)時，則，，∴，即此時在上單增．∴符合題意．（ⅱ）當(dāng)時，此時，在上單減．∴要使在上單增，只需要對恒成立，即只需要恒成立即可，∴，∴．綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當(dāng)時，，即，所以．令，所以，從而，所以，首先，當(dāng)時，，所以；其次，因為，所以，所以．故可得到對恒成立．【點睛】(1)導(dǎo)函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化方法：利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；(2)函數(shù)中與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其實質(zhì)是利用函數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式，證明此類問題時常根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和達到證明的目的.22．(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，分和，討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得出函數(shù)的單調(diào)性.（2）當(dāng)時，由（1）可知，，由此可得，由裂項相消法結(jié)合題意放縮可證明，即可證明.【詳解】（1）因為，，所以．當(dāng)時，恒成立，故在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，由，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：當(dāng)時，由（1）可知，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，則，則．又，所以，故，