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圓周角定理及其推論1.復(fù)習(xí)提問:(2)圓心角,弧,弦,弦心距關(guān)系定理是什么?(1)什么是圓心角?知識回顧如圖是一個(gè)圓柱形的海洋館的橫截面的示意圖,人們可以通過其中的圓弧形玻璃AB觀看窗內(nèi)的海洋動(dòng)物,同學(xué)甲站在圓心的O位置,同學(xué)乙站在正對著玻璃窗的靠墻的位置C,他們的視角(∠AOB和∠ACB)有什么關(guān)系?如果同學(xué)丙、丁分別站在他靠墻的位置D和E,他們的視角(∠ADB和∠AEB)和同學(xué)乙的視角相同嗎?情境引入1.∠ACB與
∠AOB有何異同點(diǎn)?BACO自主預(yù)習(xí)2.你知道∠ACB這一類的角名字嗎?
(1)∠ACB的頂點(diǎn)C在⊙O上,而
∠AOB的頂點(diǎn)C在⊙O內(nèi)。(2)兩個(gè)角的大小不同。頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都與圓還另有一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。
1.圓周角的概念:
BACO一個(gè)角是圓周角的條件:①頂點(diǎn)在圓上;②兩邊都和圓相交。新知探究練習(xí):指出下圖中的圓周角.(1)(2)(3)(4)(5)(6)×√×××√·CABO分別量出圖中AB所對的圓周角和圓心角的度數(shù),比較一下,你有什么發(fā)現(xiàn)?⌒2.圓周角定理
·COAB即∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.又∠AOB=∠OCB+∠OBC∴∠AOB=2∠OCB1.如圖,在⊙O中,AC為直徑,∠AOB和∠ACB分別是所對的圓心角和圓周角,你認(rèn)為∠AOB與∠ACB的大小具有什么關(guān)系?說出你的理由.AB⌒·COAB·COABDD2.如圖,在⊙O中,當(dāng)所對的圓心角∠AOB與圓周角∠ACB具有如圖所示的兩種位置關(guān)系時(shí),它們是否還具有上述的數(shù)量關(guān)系?為什么?⌒AB·COABD(1)圓心在∠BCA的內(nèi)部.作直徑CD.由于∠AOD=2∠ACD∠BOD=2∠BCD,所以∠AOD+∠BOD=2(∠ACD+∠BCD)即∠AOB=2∠ACB作直徑CD.由于∠BOD=2∠BCD∠AOD=2∠ACD,所以∠BOD-∠AOD=2(∠BCD-∠ACD)即∠AOB=2∠ACB·OBDCA(2)圓心在∠BAC的外部.結(jié)論:圓周角定理
一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半.
∠ACB=
;∠ADB=
;∠
=∠.
如圖:則有ACBADB如圖同弧或等弧所對的圓周角相等;相等的圓周角所對的弧也相等.
1.在一個(gè)圓中,并畫出AB所對的圓周角能畫多少個(gè)?它們有什么關(guān)系?⌒·ABDEOC2.在同圓和等圓中,如果兩個(gè)弧相等,它們所對的圓周角一定相等嗎?為什么?反過來呢?推論1:3.”同弧”能否改成“同弦”呢?同弦所對的圓周角一定相等嗎?如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,
請思考當(dāng)∠AOB為180°時(shí),∠ACB的度數(shù)是多少?從而你得到什么結(jié)論?探索半圓或直徑所對的圓周角的度數(shù)。
·ABCO推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;
90°的圓周角所對的弦是直徑.∴
△AOC、△BOC都是等腰三角形∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB又∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°
∠ACB=∠OCA+∠OCB==90°
因此,不管點(diǎn)C在⊙O上何處(除點(diǎn)A、B),∠ACB總等于90°
證明:因?yàn)镺A=OB=OC,
例1.如圖,AB是O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)P,∠ACD=60°,∠ADC=70°.求∠APC的度數(shù)..OADCPB解:連接BC,則∠ACB=90°,∠DCB=∠ACB-∠ACD=90°-60°=30°.又∵∠BAD=∠DCB=30°,∴∠APC=∠BAD+∠ADC=30°+70°=100°.1.如圖,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.●OBAC解:∠A=∠BOC=25°.
課堂練習(xí)2.試找出下圖中所有相等的圓周角。
ABCD12345678∠2=∠7∠1=∠4∠3=∠6∠5=∠83:已知⊙O中弦AB的等于半徑,求弦AB所對的圓心角和圓周角的度數(shù)。OAB圓心角為60度圓周角為
30度或
150度。4.如圖,AB是⊙O的直徑AB=10cm,弦AC=6cm,∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D.求BC,AD,BD的長.106(1)一個(gè)概念(圓周角)(2)一個(gè)定理:一條弧所
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