四川省德陽市德陽中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題

德陽中學(xué)高2026屆高一上期第二次月考數(shù)學(xué)試題考試時間：2023年11月14日第I卷（選擇題共36分）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解出集合，根據(jù)并集的運(yùn)算法則求得結(jié)果.詳解】由，得，得即，則故選：A.2.函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零點存在定理，計算求解即可【詳解】根據(jù)條件，，，，可得，，所以，函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間是故選：B【點睛】本題考查零點存在定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題3.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性計算，，，得到答案.【詳解】，，，故.故選：A4.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合偶函數(shù)定義與函數(shù)的單調(diào)性判斷即可得.【詳解】A中定義域為，故錯誤；B中定義域為，令，則，為奇函數(shù)，故錯誤；C中定義域為，故錯誤；D中定義域為，令，則，為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，故正確.故選：D.5.下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)的定義域和值域相同的是（）A.y=x B.y=lnx C.y= D.y=【答案】D【解析】【分析】分別求出各個函數(shù)的定義域和值域，比較后可得答案．【詳解】解：函數(shù)的定義域和值域均為，函數(shù)的定義域為，值域為，不滿足要求；函數(shù)的定義域為，值域為，不滿足要求；函數(shù)的定義域為，值域為，不滿足要求；函數(shù)的定義域和值域均為，滿足要求；故選：．【點睛】本題考查的知識點是函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握各種基本初等函數(shù)的定義域和值域，是解答的關(guān)鍵．6.已知的值城為，且在上是增函數(shù)，則的范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，可將問題轉(zhuǎn)化在上恒成立，且在上是減函數(shù)，計算即可得.【詳解】設(shè)，由為定義在上的減函數(shù)，故在上恒成立，且在上是減函數(shù)，則，，故.故選：A.7.為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上所有的點（）A.關(guān)于y軸對稱，再向左平移3個單位長度B.關(guān)于y軸對稱，再向右平移3個單位長度C.向左平移3個單位長度，再關(guān)于x軸對稱D.向右平移3個單位長度，再關(guān)于x軸對稱【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性和平移變換即可求解.【詳解】A：函數(shù)，關(guān)于y軸對稱得，再向左平移3個單位長度得，故A錯誤；B：函數(shù)，關(guān)于y軸對稱得，再向右平移3個單位長度得，故B正確；C：函數(shù)，向左平移3個單位長度得到，再關(guān)于x軸對稱得，故C錯誤；D：函數(shù)，向右平移3個單位長度得到，再關(guān)于x軸對稱得，故D錯誤；故選：B.8.已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，滿足，且，若，則與的關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意，設(shè)，可得，代入，解得，從而得函數(shù)，所以可得，可得，得，然后求解的值，即可得.【詳解】解：∵是定義在上的單調(diào)函數(shù)，滿足，∴是一個常數(shù)，設(shè)，則，由，得.令，得，解得，∵，∴，∴，∵，∴，解得或（舍去），∴．故選：C．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的解析式求解和單調(diào)性的應(yīng)用，以及對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，計算的過程中注意：（1）根據(jù)題意，設(shè)，求得的值，確定出函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)的單調(diào)性判斷出的大小關(guān)系，推導(dǎo)出；（3）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式，列式求解出.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）9.下列結(jié)論中不正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等式性質(zhì)得到A正確，取特殊值得到BCD錯誤，得到答案.【詳解】對選項A：，不等式兩邊除以，則，正確；對選項B：取，，滿足，，錯誤；對選項C：取，滿足，，，錯誤；對選項D：取，滿足，，錯誤.故選：BCD10.在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理可應(yīng)用到有限維空間，并是構(gòu)成一般不動點定理的基石，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（）A B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題中“不動點”函數(shù)所給定義，只需判斷是否有解即可【詳解】對于A：由題意，所以，此方程無解，所以A中函數(shù)不是“不動點”函數(shù)；對于B：由題意，即，記，因為，，，，由零點存在性定理知，函數(shù)在區(qū)間和區(qū)間上有零點，即方程有解，故B中函數(shù)是“不動點”函數(shù)；對于C：由題意，解得：，所以C中函數(shù)是“不動點”函數(shù)；對于D：，在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)以及的圖像，可確定兩個函數(shù)的圖像有交點，即方程有解，所以D中函數(shù)是“不動點”函數(shù)；故選：BCD.11.給出下列說法，正確的有（）A.函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是B.已知的定義域為，則的取值范圍是C.若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，則D.若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，且為增函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】計算對數(shù)函數(shù)的定義域可得A；借助對數(shù)函數(shù)的定義域可將問題轉(zhuǎn)化為，可得，計算即可得B；運(yùn)用奇函數(shù)的定義計算即可得C；運(yùn)用奇函數(shù)的定義及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷即可求解D.【詳解】A選項，由，得，故A錯誤；B選項，定義域為，則恒成立，則，∴，故B正確；C選項，定義域為，且為奇函數(shù)，∴，∴，當(dāng)時，，滿足題意，故C正確；D選項，∵，∴的定義域為，且，∴為奇函數(shù)，又時，，均為增函數(shù)，∴也是增函數(shù)，而為增函數(shù)，∴為增函數(shù)，故D正確.故選：BCD.12.已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則一定成立的有（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性，運(yùn)用賦值法可得出該函數(shù)的對稱性與周期性，結(jié)合對應(yīng)性質(zhì)，運(yùn)用賦值法可求出特定點的值.【詳解】由定義域為，且為偶函數(shù)，∴①，∴關(guān)于直線對稱，故A正確；又為奇函數(shù)，∴，即，用替換上式中，得②，∴關(guān)于點對稱，又關(guān)于直線對稱，故關(guān)于軸對稱，即為偶函數(shù)，無法確定的圖象是否關(guān)于原點對稱，故B錯誤；由①②得③，∴④，∴，∴，所以函數(shù)周期為4，在②式中，令得，解得，①式中令得，②式中令得，∴，故C正確，無法判斷結(jié)果，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知函數(shù)，則__________.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)求出，代入根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以.故答案為：7.14.函數(shù)的定義域為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式列出相應(yīng)不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意可得函數(shù)需滿足，解得，故函數(shù)的定義域為，故答案為：.15.若，則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算找出之間的關(guān)系，再利用基本不等式求出最值.【詳解】即：則，于是當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：.【點睛】靈活使用對數(shù)的運(yùn)算法則，以及掌握基本的基本不等式題型.16.已知，函數(shù)的零點分別為，函數(shù)的零點分別為，則的最小值是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)零點的定義分別求解出，代入中可得到，根據(jù)的范圍得到的最小值，從而得到結(jié)果.【詳解】由得：，則，，則，由得：，則，，則，由得：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查函數(shù)零點的具體應(yīng)用，關(guān)鍵是通過零點的定義求得零點的坐標(biāo)，從而可將所求式子化簡為關(guān)于變量的函數(shù)，根據(jù)對數(shù)型函數(shù)最值得求解方法求得結(jié)果.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.求下列各式的值.（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計算即可；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算即可.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式.18.已知集合，，全集（1）當(dāng)時，求；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代入得到，根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算求出.然后解可求出，進(jìn)而根據(jù)交集的運(yùn)算，即可得出結(jié)果；（2）顯然成立.時，解即可得出實數(shù)取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時，，所以或.由以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可解得，所以.所以.【小問2詳解】當(dāng)時，有時，即，此時滿足；當(dāng)時，由得，，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.19.把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，t分鐘后物體的溫度可由公式：（k為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）得到，現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，1分鐘以后物體的溫度是.（1）求常數(shù)k的值：（2）該物體冷卻多少分鐘后物體溫度是.（精確到1）（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）；（2）4【解析】【分析】（1）由題意列出方程，結(jié)合指數(shù)式和對數(shù)式的互化解之即可；（2）由（1）知，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算即可求解.【小問1詳解】由題意可知，∴可列：，解得：，∴，∴；【小問2詳解】由已知可知：，即，∴，∴，∴物體冷卻4分鐘后物體溫度是.20.已知指數(shù)函數(shù)（，且）的圖象過點.（1）求的解析式：（2）若函數(shù)，且在區(qū)間上有零點，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念直接求出參數(shù)即可；（2）由（1）可得，令，利用換元法可知在上有解，分類參數(shù)可得，結(jié)合基本不等式即可求解.【小問1詳解】由題意，的圖象過點，∴，解得，故函數(shù)的解析式為；【小問2詳解】∵，∴，令，由于，則，∴，，函數(shù)在上有零點，等價于方程在上有解，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，∴，即，故實數(shù)m的取值范圍為.21.已知函數(shù)（且）的定義域為或，.（1）求實數(shù)m的值：（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義法證明；（3）若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，求的值.【答案】（1）；（2）證明見解析（3）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域要求，結(jié)合一元二次不等式即可求解，（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合單調(diào)性的定義即可求解,（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求解值域作答.【小問1詳解】由已知，即：的解集為或，∴.【小問2詳解】當(dāng)時，在區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)時，在區(qū)間上為減函數(shù)；證明：任取，，且，∵∴，∵，∴，∴，∴當(dāng)時，，即，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時，，即，∴在區(qū)間上為減函數(shù).【小問3詳解】，由（2）可知①若，在上單調(diào)遞增∴，又，∴，∴，或（舍去）∴；②若，上單調(diào)遞減∴∴，，∴，∴.綜上所示，或.22.已知函數(shù).（1）若為偶函數(shù)，求實數(shù)m的值；（2）當(dāng)時，若不等式對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)時，關(guān)于x的方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)解得：m=1，再用定義法進(jìn)行證明；（2）記，判斷出在上單增，列不等式組求出實數(shù)a的取值范圍；（3）先判斷出在R上單增且，令，把問題轉(zhuǎn)化為在上有兩根，令，，利用圖像有兩個交點，列不等式求出實數(shù)m的取值范圍.【小問1詳解】定義域為R.因為為偶函數(shù)，所以，即，解得：m=1.此時，所以所以為偶函數(shù)，所以m=1.【小問2詳解】當(dāng)時，不等式可化為：，即對任意恒成立.記，只需.因為在上單增，在上單增，所以在上單增，所以，所以，解得：，即實數(shù)a的取值范圍為.【小問3詳解】當(dāng)