初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 數(shù)學(xué)活動(dòng)【區(qū)一等獎(jiǎng)】

數(shù)學(xué)活動(dòng)

折疊問(wèn)題（對(duì)稱問(wèn)題）是近幾年來(lái)中考出現(xiàn)頻率較高的一類題型，學(xué)生往往由于對(duì)折疊的實(shí)質(zhì)理解不夠透徹，導(dǎo)致對(duì)這類中檔問(wèn)題失分嚴(yán)重。本節(jié)課通過(guò)對(duì)在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及到的幾種折疊的典型問(wèn)題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類問(wèn)題的常規(guī)方法。命題方向本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、理解圖形折疊問(wèn)題的實(shí)質(zhì)；2、理解折疊前后關(guān)于折痕成軸對(duì)稱；3、在操作中觀察、分析圖形，從中確定線段、角之間的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合勾股定理利用方程思想解決相關(guān)計(jì)算問(wèn)題；透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì):折疊軸對(duì)稱實(shí)質(zhì)軸對(duì)稱性質(zhì)：ADEF2.點(diǎn)的對(duì)稱性：對(duì)稱點(diǎn)連線被對(duì)稱軸（折痕）垂直平分.1.圖形的全等性：重合部分是全等圖形，對(duì)應(yīng)邊、角相等.由折疊可得：1.△AFE≌△ADE2.折痕AE是DF的中垂線答案解析一、求角度

將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC，BD為折痕，折疊后BG和BH在同一條直線上，∠CBD=

度．解析：BC、BD是折痕，所以有∠1=∠2，∠3=∠4則∠CBD=90°總結(jié)：折疊圖形的翻折部分在折疊前后的形狀和大小不變，是全等圖形，利用性質(zhì)，對(duì)應(yīng)角相等求解。1234902．把矩形紙片ABCD沿BE折疊，使得BA邊與BC重合，然后再沿著B(niǎo)F折疊，使得折痕BE也與BC邊重合，展開(kāi)后如圖所示，則∠DFB等于=_________。1.已知，如圖,Rt△ABC中,∠C=90o,沿過(guò)點(diǎn)B的一條直線BE折疊△ABC,使C恰好落在AB邊的中點(diǎn)D處，則∠A=________.30°112.5°練習(xí)二、求邊長(zhǎng)【一】折疊前后的對(duì)應(yīng)邊相等

如圖，矩形紙片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm,現(xiàn)將其沿AE對(duì)折，使得B點(diǎn)落在AD上的點(diǎn)B1處，折痕與BC交于點(diǎn)E,則CE=_____.2總結(jié)：折疊圖形的翻折部分在折疊前后的形狀和大小不變，是全等圖形，利用性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊相等求解。解析：由翻折可得四邊形ABEB1是正方形1.如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為8，將其沿EF折疊，則圖中①②③④四個(gè)三角形的周長(zhǎng)之和為_(kāi)______.2.如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的中心,E是AB上的點(diǎn)，沿CE折疊，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)O重合，若BC=3,則折痕CE=_________.323練習(xí)3330°30°30°【二】利用勾股定理解決問(wèn)題二、求邊長(zhǎng)如圖，沿AE折疊長(zhǎng)方形，使D點(diǎn)落在BC邊上的F處，已知AB=8,BC=10.求CE的長(zhǎng).解：根據(jù)折疊可知，△AFE≌△ADE，∴AF=AD=10cm，EF=ED，

AB=8cm，EF＋EC=DC=8cm，∴在Rt△ABF中

FC=BC-BF=4cm設(shè)EC=xcm,則EF=DC－EC=(8－x)cm在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理得

EC2=FC2=EF2即x2＋42=（8－x）2，x=3cm，∴EC的長(zhǎng)為3cm。10810x8-x8-x64總結(jié)：2、找相等1、標(biāo)已知3、設(shè)未知，將已知邊和未知邊（用含x的代數(shù)式表示）轉(zhuǎn)化到同一直角三角形中表示出來(lái)。4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。心得：先標(biāo)等量，把條件集中到一Rt△中，利用勾股定理得方程。ABCD

x48-xx66

練習(xí)1.如圖,矩形紙片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，在BC上找一點(diǎn)F，沿DF折疊矩形ABCD，使C點(diǎn)落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)E處，此時(shí)折痕DF的長(zhǎng)是多少？心得：先標(biāo)等量，把條件集中到一Rt△中，利用勾股定理得方程。82.如圖，將一長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在E的位置上，AE交DC于點(diǎn)F,已知AB=8cm,BC=4cm,求線段CF的長(zhǎng).練習(xí)844xx8-x解：根據(jù)折疊可知，△ABC≌△AEC，∴AE=AB=8cm，EC=BC=4，∠EAC=∠BAC，∠E=∠B=90°，又∵∠DCA=∠BAC，∴∠EAC=∠DCA，∴FC=FA，設(shè)FC=xcm,則EF=(8－x)cm在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理得

EC2+FE2=CF2即42+(8－x)2=x2，x=5cm，∴EC的長(zhǎng)為5cm。

角平分線與平行線組合時(shí),能得到等腰三角形在矩形的折疊問(wèn)題中，求線段長(zhǎng)時(shí)，常設(shè)未知數(shù)，找到相應(yīng)的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解決問(wèn)題。

3.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=5cm，BC=10cm，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為DE，則CD的長(zhǎng)為()

練習(xí)D5x10-x10-x三、求面積如圖，將一長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在E的位置上，AE交DC于點(diǎn)F,已知AB=8cm,BC=4cm,求△AFC的面積.若將問(wèn)題換成：求折疊后重合部分的面積呢？我們將幾個(gè)問(wèn)題整合，可以得到：如圖，將一長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在E的位置上，AE交DC于點(diǎn)F,已知AB=8cm,BC=4cm.（1）找出圖中的一對(duì)全等三角形，并證明；（2）△AFC是何種形狀的三角形？說(shuō)明你的理由；（3）求FC的長(zhǎng)。（4）試確定重疊部分△AFC的面積。

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4,AD=3,折疊紙片，使AD邊與對(duì)角線BD重合，折痕為DG,則△A1BG的面積與該矩形的面積比為_(kāi)________。34231：8練習(xí)四、紙片中的折疊如圖，有一條直的寬紙帶，按圖折疊，則∠α的度數(shù)等于__________.75°a2130°BEFACD總結(jié)：紙片折疊，利用角平分線和平行線性質(zhì)得出重疊部分是一個(gè)等腰三角形，折疊問(wèn)題中,求角度時(shí)，往往可通過(guò)動(dòng)手折疊，或?qū)D形還原。

如圖，a是長(zhǎng)方形紙帶，將紙帶沿EF折疊成圖b，如果∠GEF=20°，那么∠AEG=

____.

EADCBF圖aCBDEFGA圖bD′C′C'D'圖cCDBGAFE?20°20°相信你,一定行如果再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是

.140°120°提示：在圖c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°

如圖，a是長(zhǎng)方形紙帶，∠GEF=20°，將紙帶沿EF折疊成圖b，如果再沿BF折疊成圖c，則圖c中的∠CFE的度數(shù)是

.EADCBF圖aCBDEFGA圖b圖cCDBGAFE?相信你,一定行(1)折疊過(guò)程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)軸對(duì)稱變換，折痕就是對(duì)稱軸，變換前后兩個(gè)圖形全等。（2）在矩形的折疊問(wèn)題中，若有求邊長(zhǎng)問(wèn)題，常設(shè)未知數(shù)，找到相應(yīng)的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解決問(wèn)題。（4）在折疊問(wèn)題中，若直接解決較困難時(shí)，可將圖形還原，可讓問(wèn)題變得簡(jiǎn)單明了。有時(shí)還可采用動(dòng)手操作，通過(guò)折疊觀察得出問(wèn)題的答案。小結(jié)(3)在矩形（紙片）折疊問(wèn)題中，重合部分一般會(huì)是一個(gè)以折痕為底邊的等腰三角形重結(jié)果折疊問(wèn)題折疊重過(guò)程利用Rt△利用∽△方程思想軸對(duì)稱全等性對(duì)稱性（折痕）實(shí)質(zhì)精髓利用三角函數(shù)謝謝大家！試