（新高考通用）2024年高考數(shù)學高頻考點題型 第24講 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（精講）解析版

【一輪復習講義】2024年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）第24講平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用（精講）題型目錄一覽①平面向量的數(shù)量積的運算②平面向量的模長③平面向量的夾角④兩個向量的垂直問題⑤平面向量的投影數(shù)量、投影向量⑥平面向量的應(yīng)用一、知識點梳理一、知識點梳理一、平面向量的數(shù)量積（1）平面向量數(shù)量積的定義已知兩個非零向量與，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即=，規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．（2）平面向量數(shù)量積的幾何意義投影向量：設(shè)a，b是兩個非零向量，如圖(1)(2)，eq\o(OA,\s\up6(→))表示向量a，eq\o(OB,\s\up6(→))表示向量b，過點A作eq\o(OB,\s\up6(→))所在直線的垂線，垂足為點A1.我們將上述由向量a得到向量eq\o(OA1,\s\up6(→))的變換稱為向量a向向量b投影，向量eq\o(OA1,\s\up6(→))稱為向量a在向量b上的投影向量.,向量a在向量b上的投影向量為(|a|cosθ)eq\f(b,|b|).二、數(shù)量積的運算律已知向量、、和實數(shù)，則：①；②；③．三、數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則①．②．③當與同向時，；當與反向時，．特別地，或．④．⑤．四、數(shù)量積的坐標運算已知非零向量，，為向量、的夾角．結(jié)論幾何表示坐標表示模數(shù)量積夾角的充要條件的充要條件與的關(guān)系(當且僅當時等號成立)【常用結(jié)論】(1)在上的投影是一個數(shù)量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．(2)兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線二、題型分類精講二、題型分類精講題型一平面向量的數(shù)量積的運算策略方法平面向量數(shù)量積的三種運算方法【典例1】已知向量的夾角為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積公式和運算律計算即可.【詳解】.故選：D.【典例2】已知的外接圓圓心為，且，，則（

）A．0 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知△為直角三角形，△為等邊三角形，即可求出的值.【詳解】由知是邊中點，因為是△的外接圓圓心，所以△為直角三角形，且，因為，所以△為等邊三角形，所以，，所以.故選：C.【題型訓練】一、單選題1．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測）將向量繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的坐標求出模長，再利用向量的數(shù)量積公式即可求解.【詳解】因為，所以，因為向量繞坐標原點順時針旋轉(zhuǎn)得到，所以向量與向量的夾角為，且，所以.故選：B2．（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學?？寄M預(yù)測）已知向量，，（），則（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】求出向量的坐標，根據(jù)數(shù)量積坐標表示，即可求得答案.【詳解】由題意向量，，可得，故，故選：B3．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四中學校?？寄M預(yù)測）如圖，已知的半徑為2，，則（

）

A．1 B．-2 C．2 D．【答案】C【分析】判斷形狀可得，然后根據(jù)數(shù)量積定義直接求解即可.【詳解】由題知，為正三角形，所以，所以.故選：C4．（2023春·海南·高三海南中學校考階段練習）已知向量滿足，且與夾角的余弦值為，則（

）A． B． C．12 D．72【答案】A【分析】運用平面向量的數(shù)量積運算可求得結(jié)果.【詳解】因為，且與夾角的余弦值為，所以.故選：A.5．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若等邊的邊長為2，平面內(nèi)一點滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解與合成，再利用向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】，，.故選：C.6．（2023·山西朔州·懷仁市第一中學校校考模擬預(yù)測）已知菱形的邊長為2，且，則的值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及運算律，結(jié)合菱形圖形特征，計算求解可得.【詳解】由條件可知，所以，在中，由余弦定理，可得，，菱形的對角線互相垂直，則向量與向量的夾角為，則.故選：D.7．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，M是的中點，，點P在上且滿足，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)向量的加法求出，然后求出，進而可直接求解.【詳解】因為M是的中點，所以，

又因為點P在上且滿足，，所以，所以.故選：A.8．（2023·湖南長沙·周南中學?？级＃┮阎庑蜛BCD的邊長為1，，G是菱形ABCD內(nèi)一點，若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】由題意可得出，點G為的重心，所以，，再由向量的數(shù)量及定義求解即可.【詳解】在菱形ABCD，菱形ABCD的邊長為1，，所以，所以，則為等邊三角形，因為，所以，設(shè)點M為BC的中點，則，所以，所以G，A，M三點共線，所以AM為BC的中線，所以，同理可得點AB，AC的中線過點G，所以點G為的重心，故，在等邊中，M為BC的中點，則，所以.故選：A

9．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知向量滿足，且夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律結(jié)合數(shù)量積的定義，即可求得答案.【詳解】由向量滿足，且夾角為，可得，故選：B10．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）在矩形中，與相交于點，過點作于，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標系，設(shè)，由和可列方程求出點E，再根據(jù)數(shù)量積坐標運算即可求解.【詳解】建立如圖所示直角坐標系：

則，設(shè)，則且，，解得，，在矩形中，為的中點，所以，由，所以，，故選：D.二、多選題11．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）圓為銳角的外接圓，，則的值可能為（

）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用正弦定理表示出R，借助角C表示出所求，根據(jù)為銳角三角形，結(jié)合圖形可得范圍，然后可得.【詳解】記圓的半徑為R，則，又，所以.因為為銳角三角形，如圖，易知，所以，所以，即.故選：BC.12．（2023·全國·模擬預(yù)測）在菱形中，，，點為線段的中點，和交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】以為坐標原點可建立平面直角坐標系，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算依次驗證各個選項即可.【詳解】四邊形為菱形，，則以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示平面直角坐標系，，，，，，，，，，對于A，，，A正確；對于B，，，，B正確；對于C，，，，C錯誤；對于D，，，，D正確.故選：ABD.13．（2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習）設(shè)為的外心，，，的角平分線交于點，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】對于A、B：根據(jù)題意結(jié)合正弦定理可得，結(jié)合平面向量的線性運算求；對于C、D：根據(jù)外心的性質(zhì)結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算求解.【詳解】在中，有正弦定理可得，可得，在中，有正弦定理可得，可得，因為，，為的角平分線，可知，則，可得，所以，即，可得，故A正確，B錯誤；分別取的中點，連接，可知，因為為的外心，則，，所以，故C正確；D錯誤.故選：AC.

三、填空題14．（2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學?？寄M預(yù)測）已知向量,,若，則______．【答案】【分析】根據(jù)平面向量線性運算和數(shù)量積的坐標運算可得答案.【詳解】因為,，所以，所以，即，所以.故答案為：.15．（2023·山東威?！そy(tǒng)考二模）已知向量，，，若，則t＝______．【答案】【分析】根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示可得，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標公式計算即可求解.【詳解】由題意知，，因為，所以，解得，即t的值為.故答案為:.16．（2023·全國·高三專題練習）已知非零向量，的夾角為，，，則______．【答案】9【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義結(jié)合數(shù)量積的運算律，即可求得答案.【詳解】由及，夾角為可知，又，解得，則，故，故答案為：917．（2023·河北·校聯(lián)考一模）已知O為的外心，若，且，則__________.【答案】【分析】由平面向量數(shù)量積公式進行求解.【詳解】由圓的性質(zhì)可得，，故.故答案為：18．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學校考模擬預(yù)測）已知菱形中，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)菱形對角線互相垂直，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式求出答案.【詳解】設(shè)與交于，則且是線段的中點，，由平面向量數(shù)量積的幾何意義知，.故答案為：19．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）已知正六邊形的邊長為1，為邊的中點，為正六邊形的中心，則______．【答案】【分析】利用平面向量數(shù)量積公式進行求解.【詳解】根據(jù)題意得，，，故．故答案為：20．（2023·北京通州·統(tǒng)考三模）已知等邊三角形ABC的邊長為2，⊙A的半徑為1，PQ為⊙A的任意一條直徑，則=___________.【答案】1【分析】根據(jù)平面向量基本定理并借助圓心和圓內(nèi)向量互為相反向量即可求解.【詳解】.故答案為:1.21．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）在中，，，，，求_________.【答案】【分析】根據(jù)已知條件得出,,化簡應(yīng)用數(shù)量積公式計算求解即得.【詳解】，，，,,.故答案為：22．（2023·全國·高三專題練習）如圖，圓為的外接圓，，，為邊的中點，則______.【答案】【分析】由三角形中線性質(zhì)可知，再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交點可知，同理可得，再由數(shù)量積運算即可得解.【詳解】是BC中點，，M為的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，，同理可得，.故答案為：.題型二平面向量的模長策略方法求向量模的方法(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)．(2)|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)．(3)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(x2＋y2)．【典例1】已知，均為單位向量，且與夾角為，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】D【分析】先求，再利用模長公式可得答案.【詳解】因為，均為單位向量，且與夾角為，所以；因為，所以.故選：D.【典例2】已知向量滿足，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量坐標運算和數(shù)量積運算的性質(zhì)，結(jié)合可求得，由此可得，進而求得結(jié)果.【詳解】，，，解得：，，解得：.故選：C.【題型訓練】一、單選題1．（2023春·安徽·高三校聯(lián)考開學考試）已知向量，，，若，則實數(shù)（

）．A．1或 B．或4C．0或8 D．0或【答案】D【分析】根據(jù)向量模的坐標表示求解.【詳解】由題意得，，∴，解得或．故選：D．2．（2023·全國·高三專題練習）平面向量與的夾角為，，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量，求得，再結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，向量，可得，又由向量與的夾角為，，則.故選：D.3．（2023·河北衡水·模擬預(yù)測）已知平面向量滿足，則（

）A． B． C． D．33【答案】C【分析】根據(jù)題意，由平面向量模長的計算公式，代入計算即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，則，所以，即.故選：C.4．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，滿足，，，，則（

）A．3 B． C． D．5【答案】D【分析】設(shè)出向量，根據(jù)向量的數(shù)量積和向量的模的公式，即可求出向量.【詳解】設(shè)，因為，，所以

①，

②，由①②解得，，所以，.故選：D.5．（2023·四川遂寧·射洪中學?？寄M預(yù)測）已知平面向量，，的夾角為，，則實數(shù)（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】對兩邊平方，再由數(shù)量積公式計算可得答案.【詳解】因為，所以，即，解得.故選：A.6．（2023·河北唐山·開灤第二中學?？寄M預(yù)測）已知向量，，且，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求得m，再利用向量的模公式求解.【詳解】解：因為向量，，所以，又因為，所以，解得，所以，故選：C7．（2023·重慶·校聯(lián)考三模）在△ABC中，，且點D滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量線性運算和題干條件得到，從而得到.【詳解】由題意得，平方得，故，因為點D滿足，所以，平方得，故.故選：D8．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考模擬預(yù)測）向量滿足，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用向量垂直的條件，即數(shù)量積為，結(jié)合向量的平方即為模的平方，化簡整理，計算即可得到所求值．【詳解】由，得，又，所以，又，則，，所以，即，所以，又，所以，綜上，，故選：C．9．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，M為線段BC的中點，則（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用數(shù)量積的定義及運算律求解作答.【詳解】在中，M為線段BC的中點，則有，由，，，得，所以.故選：B二、填空題10．（2023春·廣西·高三校聯(lián)考階段練習）已知，，若，則______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標表示求出，即可求出的坐標，再利用坐標法求出模.【詳解】因為，且，所以，解得，所以，所以，所以.故答案為：11．（2023·四川南充·閬中中學?？级＃┮阎獮閱挝幌蛄浚覞M足，則______.【答案】【分析】將兩邊平方可得，進而可得.【詳解】為單位向量，且滿足，所以，即，解得，所以.故答案為：.12．（2023·安徽亳州·高三校考階段練習）已知向量，，滿足，則__________．【答案】/或/或【分析】利用，求出的值，利用平面向量坐標表示建立方程求解即可【詳解】因為，，所以，，得．故答案為：13．（2023·全國·高三專題練習）已知向量滿足，，則______．【答案】【分析】應(yīng)用向量的性質(zhì)即可列方程組求解.【詳解】由，得，即①．又由，得，即，代入①，得，整理，得，所以．故答案為：14．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，則的最大值為_________．【答案】【分析】利用向量模的坐標形式可求的最大值.【詳解】，所以當時，的最大值為：.故答案為：.15．（2023·全國·高三專題練習）已知，，則的最小值是______.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)條件得出點滿足的條件，然后由向量的模長公式求的最小值.【詳解】設(shè)，則由，則即點在以為焦點，長軸為的橢圓上所以滿足則，且故當時，有最小值,故答案為：題型三平面向量的夾角策略方法求向量夾角問題的方法【典例1】已知非零向量，，滿足，，，.則向量與的夾角（

）A．45° B．60° C．135° D．150°【答案】C【分析】由向量的數(shù)量積運算公式，再應(yīng)用向量夾角公式求夾角，最后結(jié)合向量反向共線求出夾角即可.【詳解】∵，，∴.∵，∴，，則，設(shè)向量與的夾角為，與反向,則.故選：C.【題型訓練】一、單選題1．（江西省重點中學協(xié)作體2023屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學（文）試題）已知為單位向量，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，根據(jù)向量數(shù)量積定義和運算律可求得夾角，即為的夾角.【詳解】，，又與同向，，，.故選：C.2．（河南省青桐鳴大聯(lián)考2023屆高三下學期5月考試文科數(shù)學試題）在中，，，D為AC的中點，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量的數(shù)量積公式及向量夾角的范圍可得答案.【詳解】，則，又，則．故選：B．3．（華大新高考聯(lián)盟2023屆高三名校預(yù)測卷全國數(shù)學文科試題）已知平面向量，滿足，，，則，夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對進行平方可得，可算出，最后利用夾角公式即可【詳解】依題意，，解得，故，故，故選：A．4．（北京市海淀區(qū)2023屆高三數(shù)學查缺補漏題（1））已知向量是兩個單位向量，則“”是“為銳角”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由求出的范圍，進而可得結(jié)果.【詳解】因為為單位向量，所以由兩邊平方得，所以得，而，所以夾角為0或銳角；所以“”是“為銳角”的必要而不充分條件.故選：B.5．（湖南省郴州市九校聯(lián)盟2023屆高三下學期適應(yīng)性測試數(shù)學試題）已知向量滿足，則向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直關(guān)系的向量表示及數(shù)量積的運算律，結(jié)合向量的夾角公式求解作答.【詳解】由，得，則，由，得，即，整理得，因此，而，解得，所以向量的夾角為.故選：B.6．（江蘇省鎮(zhèn)江第一中學2023屆高三下學期4月檢測數(shù)學試題）單位向量，為的夾角為，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義可得，再結(jié)合數(shù)量積的運算律運算求解.【詳解】由題意可得：，因為，所以，解得.故選：C.二、多選題7．（山東省聊城市2023屆高三三模數(shù)學試題）已知向量，滿足，，則與的夾角可以為（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)題意，將式子兩邊同時平方，然后相減即可得到，，然后結(jié)合向量夾角公式即可得到，從而得到結(jié)果.【詳解】因為，則，且，則，所以，即，則，又因為，即，設(shè)與的夾角為，則，即，且，則，所以，則與的夾角可以為，.故選：AB8．（河北省部分學校2023屆高三下學期二月聯(lián)考數(shù)學試題）已知單位向量的夾角為，則使為鈍角的一個充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】當時即可判斷A，將兩邊平方，得到，從而求出即可判斷B選項，利用向量數(shù)量積的運算展開即可判斷的值或范圍即可得到C選項，由得，當即可判斷選項D.【詳解】若，則可能為，A選項不是為鈍角的充分條件，故A不正確，若，兩邊平方得，即向量的余弦值為，所以，B選項是為鈍角的一個充分條件；故B選項正確，若，則，即向量的余弦值為，所以且為鈍角，，C選項是為鈍角的充分條件，故C選項正確，若，兩邊平方得，當時滿足題意所以不一定為鈍角，D不是為鈍角的充分條件，故D不正確，故選：BC.三、填空題9．（河南省駐馬店市2023屆高三二模理科數(shù)學試題）若單位向量，滿足，則向量，夾角的余弦值為____________．【答案】【分析】利用性質(zhì)，將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)量積求解即可.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，因為，所以．又，所以，所以．故答案為：10．（湖南省普通高中2023屆高三高考前模擬數(shù)學試題）已知單位向量，滿足，則向量與的夾角為_______________．【答案】【分析】根據(jù)可得，再利用向量數(shù)量積定義可求得其夾角為.【詳解】由，可知，解得．設(shè)向量與向量的夾角為θ，且，則，又，所以．故答案為：11．（2023屆四川省名校聯(lián)考高考仿真測試（三）文科數(shù)學試題）若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角大小為________.【答案】【分析】先利用數(shù)量積公式求出，再求出，最后代入向量的夾角公式得解.【詳解】是夾角為的兩個單位向量，則，，，，，，.故答案為：12．（重慶市第一中學校2023屆高三下學期5月月考數(shù)學試題）已知向量和滿足：，，，則與的夾角為__________．【答案】【分析】記向量和的夾角為，將平方化簡即可求出答案.【詳解】記向量和的夾角為，將平方得到：或，又因為，即．故答案為：.題型四兩個向量的垂直問題策略方法1．利用坐標運算證明兩個向量的垂直問題若證明兩個向量垂直，先根據(jù)共線、夾角等條件計算出這兩個向量的坐標；然后根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進而求解參數(shù)．【典例1】已知非零向量，滿足，，若，則實數(shù)的值為（

）A．4 B．-4 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算規(guī)則計算.【詳解】，即；故選：D.【題型訓練】一、單選題1．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學?？寄M預(yù)測）已知向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的坐標運算，即可計算出答案.【詳解】，又，知，即.故選：A2．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標表示即可求出．【詳解】因為，所以，，由可得，，即，整理得：．故選：D．3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若平面向量，滿足，且與垂直，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂直的向量表示求出的表達式，再利用向量夾角公式求解作答.【詳解】因為與垂直，則，即，化簡得，而，則．又，有，所以與的夾角為.故選：B4．（2023·山西呂梁·統(tǒng)考三模）已知向量滿足，且，則實數(shù)（

）A．1或 B．-1或 C．1或 D．-1或【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性計算和垂直的坐標表示即可求解.【詳解】所以，因為，所以，解得或，故選：D.5．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知向量的夾角為，若，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】利用向量垂直的條件及向量數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】因為，所以，即，又因為，向量的夾角為，所以，即，解得.故選：D.6．（2023春·江蘇南京·高三南京師大附中?？奸_學考試）已知向量的夾角的余弦值為，，，則（

）A．-4 B．-1 C．1 D．4【答案】C【分析】可由題意設(shè)出，，由，根據(jù)向量垂直的性質(zhì)得，再由向量的夾角的余弦值為，可解得，再代入求解即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，，則，，由，可得，即，又由，解得，所以.故選：C.7．（2023·新疆·校聯(lián)考二模）平面內(nèi)三個單位向量，，，滿足，若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由，可得，后結(jié)合與可得答案.【詳解】由得，所以，即.因為，所以，又將代入，整理得，解得.故選：D．8．（2023·浙江嘉興·?？寄M預(yù)測）已知兩個非零向量，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積運算律和夾角公式求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，，故選:D.9．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考一模）已知兩個單位向量，滿足與垂直，則（

）A． B．

C．

D．【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直列方程，化簡求得的值.【詳解】依題意可得，即，則.故選：B10．（2023春·河北衡水·高三河北衡水中學校考階段練習）已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由求得，再用倍角公式求即可.【詳解】因為，，，所以，即，所以，解得或（舍），所以，故選：B11．（2023·全國·高三專題練習）已知非零向量，，滿足，，，則,（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直得到，再應(yīng)用數(shù)量積公式及夾角公式計算即可.【詳解】，．所以，又，，，由，，均為非零向量，則，且在到之間，故．故選:D.12．（2023·全國·高三專題練習）在中，設(shè)，那么動點的軌跡必通過的（

）A．垂心 B．內(nèi)心 C．重心 D．外心【答案】D【分析】設(shè)線段的中點為，推導出，結(jié)合外心的定義可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)線段的中點為，則、互為相反向量，所以，，因為，即，所以，，即，即，即，所以，垂直且平分線段，因此動點的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.故選：D.二、填空題13．（2023·全國·模擬預(yù)測）向量，且，則實數(shù)_________．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示列方程求.【詳解】因為向量，所以，又，所以，得，解得．故答案為：.14．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知向量，．若，則______．【答案】【分析】利用向量加法、減法和數(shù)量積的坐標表示求解即可【詳解】因為向量，，所以，，又，所以所以，故答案為：.15．（2023春·安徽合肥·高三校考開學考試）已知向量，，．若，且，則______．【答案】【分析】根據(jù)向量垂直、平行列方程，從而求得的值.【詳解】，由于、，所以，解得.故答案為：16．（2023·全國·高三專題練習）非零向量，，若，則______.【答案】【分析】由得，從而求得的值.【詳解】因為，所以，由題易知，，所以.故答案為：題型五平面向量的投影數(shù)量、投影向量【典例1】向量與的夾角為，，，在上投影數(shù)量為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)向量投影數(shù)量的概念計算即可.【詳解】在上投影數(shù)量為.故選：D【典例2】已知向量，，若與反向，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可先求出的值，從而可得的坐標，再用投影向量的定義即可求解.【詳解】依題意，，，所以，解得或，又與反向，則時，向量與同向，不合舍去，故，此時，，，則向量在向量上的投影向量為.故選：D【題型訓練】一、單選題1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學?？寄M預(yù)測）設(shè)非零向量滿足，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用性質(zhì)結(jié)合已知求出，然后可得投影向量.【詳解】因為，所以，解得，所以在上的投影向量為.故選：D2．（2023·四川綿陽·三臺中學?？家荒＃┤粝蛄浚瑵M足，，則在方向上的投影為（

）A．1 B． C． D．－1【答案】B【分析】先利用向量數(shù)量積的運算求得，再利用投影的定義求解即可.【詳解】因為，，所以，即，則，故在方向上的投影.故選：B.3．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知向量滿足，且，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)投影向量的定義可得，將數(shù)據(jù)代入計算，即可得到答案；【詳解】由,得,,于是,因此在方向上的投影向量為.故選：B4．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，的夾角為，且，，則在方向上的投影為（

）A．2 B．4 C．-2 D．-4【答案】C【分析】根據(jù)投影公式和平面向量的數(shù)量積，直接計算即可得解.【詳解】.故選：C.5．（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學?？既＃┮阎蛄?，且滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)求出，再根據(jù)投影向量公式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，得，所以，，所以向量在向量上的投影向量為.故選：C6．（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學?？级＃┮阎獑挝幌蛄浚膴A角為，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及投影向量的定義即可求解.【詳解】依題意，因為兩個單位向量和的夾角為，所以，所以，，，故向量在向量上的投影向量為．故選：C.7．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知向量在向量上的投影向量是，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量求出，代入的定義式即可.【詳解】因為向量在向量上的投影向量是，所以,因此.故選：A.二、多選題8．（2023·廣東梅州·大埔縣虎山中學?？寄M預(yù)測）已知平面向量，，則下列說法正確的是（

）A．B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標為D．若向量與非零向量共線，則【答案】AD【分析】本題考查了平面向量的坐標運算，主要考查了兩向量的夾角、投影向量、向量的平行與垂直的基本知識，一一驗證即可.【詳解】由題意知，，，則，因此A正確；在方向上的投影向量為，因此B錯誤；與垂直的單位向量的坐標為或，因此C錯誤；因為，，若向量與向量共線，則，解得，因此D正確.故選：AD.9．（2023·全國·高三專題練習）已知向量，，，則下列命題正確的是（

）A．當且僅當時， B．在上的投影向量為C．存在θ，使得 D．存在θ，使得【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標表示判斷A；求出投影向量判斷B；利用向量的坐標運算判斷C；利用數(shù)量積的運算律結(jié)合坐標運算判斷D作答.【詳解】向量，，，對于A，，A正確；對于B，因為，則在上的投影向量為，B正確；對于C，，假定存在θ，使得，則有，而，即不成立，因此不存在θ，使得，C錯誤；對于D，，即，則，因此存在θ，使得，D正確.故選：ABD三、填空題10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中學?？寄M預(yù)測）已知，則向量在向量上的投影向量為___________.【答案】【分析】設(shè)之間的夾角為，利用題意得到，，然后用投影向量公式進行求解即可【詳解】設(shè)之間的夾角為，，又，又，所以向量在向量方向上的投影向量為.故答案為：.11．（2023·甘肅張掖·高臺縣第一中學?？寄M預(yù)測）已知向量，，且，則向量在方向上的投影為______．【答案】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，求出，再結(jié)合投影公式，即可求解．【詳解】向量，，由，得，所以，所以在方向上的投影為．故答案為：.12．（2023·吉林·吉林省實驗校考模擬預(yù)測）設(shè)，，則在方向上的投影向量的坐標為_________．【答案】【分析】根據(jù)投影向量的定義求解即可.【詳解】因為，，所以向量在方向的投影向量為.故答案為：.13．（2023·湖北恩施·?？寄M預(yù)測）已知向量，的夾角為60°，向量在向量上的投影向量的長度為1，，則______．【答案】【分析】由向量數(shù)量積的幾何意義有，得，再應(yīng)用向量數(shù)量積運算律求目標向量的模.【詳解】由題意，則，由，故.故答案為：14．（2023·全國·高三專題練習）已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是________.【答案】【分析】由垂直關(guān)系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由兩式得出，進而得出夾角.【詳解】因為，所以，即①.因為向量在向量方向的投影向量是，所以.所以②，將①代入②得，，又，所以.故答案為：題型六平面向量的應(yīng)用策略方法平面向量常與平面幾何、三角函數(shù)、解三角形、不等式、解析幾何的問題綜合起來考查，還會與一些物理知識相結(jié)合考查．解決此類問題的關(guān)鍵是把向量作為載體，將題干關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量的運算，進一步轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算來求解．【典例1】已知中，，，則此三角形為（）A．直角三角形 B．等邊三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】根據(jù)即可得為等腰三角形，又因為可知，所以為等邊三角形.【詳解】如下圖所示：

設(shè)M為AC中點，則，所以，即為等腰三角形，又，所以，即，所以，可得，綜上可知三角形為等邊三角形.故選：B.【題型訓練】一、單選題1．（2023·廣東深圳·校考一模）已知△ABC是單位圓O的內(nèi)接三角形，若，則的最大值為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由題設(shè)易知且、，進而判斷最大時的關(guān)系即可得答案.【詳解】由圓O是△ABC的外接圓，且，故，所以，則，所以，故反向共線時最大，所以.故選：C2．（2023·陜西西安·西北工業(yè)大學附屬中學?？寄M預(yù)測）已知向量，滿足同向共線，且，，則（

）A．3 B．15 C．或15 D．3或15【答案】D【分析】先根據(jù)題意確定向量，的倍數(shù)關(guān)系，然后可直接求解.【詳解】因為向量，滿足同向共線，所以設(shè)，又因為，，所以，所以或，即或.①當時，；②當時，；所以的值為3或15.故選：D.3．（2023·全國·高三專題練習）如圖所示，在正方形ABCD中，已知||=2，若點N為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點，則的最大值是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】以A為坐標原點建立直角坐標系，用坐標來求解即可.【詳解】以A為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系，則，設(shè)，則，，，所以的最大值是4，當N在線段BC上時，都可以取到.故選：C.4．（2023·北京海淀·北大附中?？既＃┰O(shè)均為非零向量，則“”是“對于任意的實數(shù)，都有”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不允分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)向量的運算法則和公式進行化簡，結(jié)合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由，則，即，當時，可得，此時恒成立，即充分性成立；當對于任意的實數(shù)恒成立時，可得，又，所以，即必要性成立，綜上可得，“”是“對于任意的實數(shù)，都有”的充分必要條件.故選：C.5．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）在中，已知，向量在向量上的投影向量為，點是邊上靠近的三等分點，則（

）A．3 B．6 C．7 D．9【答案】C【分析】先根據(jù)投影向量的公式結(jié)合題干條件得到，然后利用向量的運算將用表示，然后用向量的數(shù)量積進行運算.【詳解】

根據(jù)投影向量的計算公式，向量在向量上的投影向量為，由題意，，于是，即.又，∴．故選：C6．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預(yù)測）在矩形中，與相交于點，過點作于，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立直角坐標系，設(shè)，由和可列方程求出點E，再根據(jù)數(shù)量積坐標運算即可求解.【詳解】建立如圖所示直角坐標系：

則，設(shè)，則且，，解得，，在矩形中，為的中點，所以，由，所以，，故選：D.7．（2023春·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學校聯(lián)考階段練習）已知平面向量，，均為單位向量，且，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由平面向量，，均為單位向量，且，根據(jù)向量的減法的幾何意義，可判定，與構(gòu)成等邊三角形，，向量夾角為，再化簡原式即可求解.【詳解】由平面向量，，均為單位向量，且，