同角三角比的關(guān)系和誘導(dǎo)公式

一、同角三角比的關(guān)系式：1、已知角終邊上一點，，則角的六個三角比分別是什么？2、討論角的六個三角比之間有什么關(guān)系？（1）倒數(shù)關(guān)系（2）商數(shù)關(guān)系（3）平方關(guān)系由三角比的定義，我們可以得到以下關(guān)系：理論證明：（采用定義）（1）倒數(shù)關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：（3）平方關(guān)系：[說明]①注意“同角”，至于角的形式無關(guān)重要，如,等；②注意這些關(guān)系式都是對于使它們有意義的角而言的，如；③對這些關(guān)系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運(yùn)用（正用、反用、變形用），如：，，等。④據(jù)此，由一個角的任一三角函數(shù)值可求出這個角的另兩個三角函數(shù)值，且因為利用“平方關(guān)系”公式，最終需求平方根，會出現(xiàn)兩解，因此應(yīng)盡可能少用（實際上，至多只要用一次）。二．公式的應(yīng)用例題1：已知且為第四象限的角，求的其他三角比的值；解：為第四象限的角，提問：如果去掉為第四象限的角這個條件，應(yīng)如何求的其他三角比的值？例題2：已知，求和；解:∵,∴∵,∴是第一或第三象限角當(dāng)是第一象限角時,當(dāng)是第三象限角時,[說明]已知一個角的某一個三角比的值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角比的值。在求值中，確定角的終邊位置是關(guān)鍵和必要的。有時，由于角的終邊位置的不確定，因此解的情況不止一種。解題時產(chǎn)生遺漏的主要原因是：①沒有確定好或不去確定角的終邊位置；②利用平方關(guān)系開平方時，漏掉了負(fù)的平方根。例題3：已知，求；解:∵,∴角的終邊不在坐標(biāo)軸上.當(dāng)是第一象限或第二象限角時,當(dāng)是第三象限或第四象限角時,[說明](1)如果已知角的一個三角比和它所在的象限,那么角的其他三角比就可以唯一確定.如果僅知道的一個三角比,那么就應(yīng)該根據(jù)角的終邊的所有可能的情況分別求出其他三角比.(2)例1是給出一個三角比的值,并給出了角所在的象限,這樣的題目只有一組解;例2是給出一個三角比的值,未給出角所在的象限,要先確定角所在的象限,然后分情況求解,這樣的題有兩組解;例3是給出了一個三角比的值,但是字母,因此先要根據(jù)字母的取值確定所在的位置.3．歸納總結(jié)：總結(jié)解題的一般步驟：①確定終邊的位置（判斷所求三角函數(shù)的符號）；②根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式求值。三、．第一組誘導(dǎo)公式：（其中）公式一的作用：把任意角的三角比轉(zhuǎn)化為之間角的三角比，其方法是先在內(nèi)找出與角終邊相同的角，再把它寫成誘導(dǎo)公式一的形式，然后得出結(jié)果.上述一組公式叫做任意角三角比的第一組誘導(dǎo)公式，其特征是：等號兩邊是同名三角比，且符號都為正.xyP(x,y)P’(x，-y)OM說明：運(yùn)用公式時，注意xyP(x,y)P’(x，-y)OM四、第二組誘導(dǎo)公式1．討論角與的三角比的關(guān)系若角的終邊與單位圓交于點P(x，y)，則角-的終邊與單位圓的交點必為P′(x，-y)（如圖）．由正弦、余弦三角比的定義，即可得sin=y，cos=x,sin(-)=-y,cos(-)=x,所以：sin(-)=-sin,cos(-)=cosα由三角比的商數(shù)關(guān)系，得：即類似可得這組公式叫任意角三角比的第二組誘導(dǎo)公式。（公式2可以把負(fù)角轉(zhuǎn)化成正角）五、第三組誘導(dǎo)公式討論角與的三角比的關(guān)系？若將角的終邊繞著原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)弧度，得到角，則角與角的三角比有什么關(guān)系呢？（學(xué)生討論回答）MP(x,y)yM’180MP(x,y)yM’180xP’(-x，-y)O邊的反向延長線，即180o+角的終邊與單位圓的交點必為P′(-x，-y)（如圖2）．由正弦、余弦三角比的定義，即可得sin=y， cos=x,sin(180o+)=-y, cos(180o+)=-x,所以:sin(180o+)=-sin，cos(180o+)=-cos．公式三：用角度可表示如下：[說明]公式二、三的獲得主要借助于單位圓及正弦、余弦比的定義．根據(jù)點P的坐標(biāo)準(zhǔn)確地確定點P′的坐標(biāo)是關(guān)鍵，這里充分利用了對稱的性質(zhì)．直觀的對稱形象為我們準(zhǔn)確寫出P′的坐標(biāo)鋪平了道路，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合這一數(shù)學(xué)思想的優(yōu)越性.練習(xí)：求下列三角比的值：（1）(2)分析：本題是誘導(dǎo)公式二的鞏固性練習(xí)題．求解時，只須設(shè)法將所給角分解成180o+或（π+），為銳角即可．解：（1）cos210o=cos(180o+30o)=－cos30o=－；（2）sin=sin()=－sin=－.六、第四組誘導(dǎo)公式把第三組誘導(dǎo)公式中的換成，得第四組誘導(dǎo)公式：（“代換思想”---在三角公式的推導(dǎo)中經(jīng)常應(yīng)用）[說明]這組公式均可由前面學(xué)過的誘導(dǎo)公式直接推出，體現(xiàn)了把未知問題化為已知問題處理這一化歸的數(shù)學(xué)思想.公式的推導(dǎo)并不難，然而推導(dǎo)中的化歸意識和策略是值得我們關(guān)注的.四組誘導(dǎo)公式可概括為：+（k∈Z），-，±，-的三角比值，等于的同名三角比的值，前面加上一個把看成銳角時原三角比的符號.[說明]這里的“同名三角比值”是指等號兩邊的三角比名稱相同；“把看成銳角”是指原本是任意角，這里只是把它視為銳角處理；“前面加上一個……符號”是指的同名三角比值未必就是最后結(jié)果，前面還應(yīng)添上一個符號（正號或負(fù)號，主要是負(fù)號，正號可省略），而這個符號是把任意角視為銳角情況下的原三角比的符號.應(yīng)注意講清這句話中每一詞語的含義，特別要講清為什么要把任意角α看成銳角．建議通過實例分析說明.練習(xí)：求下列各式的值：（1）sin(－)；(2)cos(－60o)－sin(－210o)分析：本題是誘導(dǎo)公式二、三的鞏固性練習(xí)題．求解時一般先用誘導(dǎo)公式三把負(fù)角的正弦、余弦化為正角的正弦、余弦，然后再用誘導(dǎo)公式二把它們化為銳角的正弦、余弦來求．運(yùn)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化角的一般途徑：（1）負(fù)角---正角---內(nèi)的角----銳角。（2）從任意角到銳角的轉(zhuǎn)化途徑是不唯一的。解：（1）sin(－)=－sin()=sin=；（2）原式=cos60o+sin(180o+30o)=cos60o－sin30o=－=0七、例題講解例1根據(jù)條件，求角：已知；已知.[說明]由三角比求特殊角的問題，是個“反”問題，三、恒等式的證明例2、證明：例3、證明：注：化簡時盡量使三角比的種類最少，盡量化成整式形式。利4、證明：例1：（1）已知，且是第四象限角，求角的其他三角比的值。(2)已知，求