正余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式(第一課時(shí))

§1.4正弦、余弦函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式（一）【教材版本】北師大版【教材分析】在講述“三角函數(shù)”之前，教材指出周期現(xiàn)象在自然界是大量地存在的，以凸顯“三角函數(shù)”的重要作用。“三角函數(shù)”雖然在初中出現(xiàn)過(guò)，但只是對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行講解，并沒有把它們作為函數(shù)的研究。在本節(jié)中，正弦、余弦函數(shù)是用角的終邊和單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義的。這種定義方法一方面可以利用單位圓來(lái)體現(xiàn)三角函數(shù)的周期性，另一方面可以利用圓的對(duì)稱性充分顯示誘導(dǎo)公式，并能很方便地說(shuō)明三角函數(shù)在各象限的符號(hào)。怎樣從直角三角形過(guò)渡到利用直角坐標(biāo)系中的單位圓來(lái)定義正弦、余弦函數(shù)是學(xué)生思維上的“盲點(diǎn)”。建議設(shè)計(jì)一些啟發(fā)性的問(wèn)題，幫助學(xué)生完成這一思維“過(guò)渡”。例如：①能否在直角坐標(biāo)系的單位圓中，畫出下列各角:，，，？②能否求出這些角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)？③能否求出這些角的正弦、余弦函數(shù)值？講解時(shí)必須說(shuō)明對(duì)于正弦﹑余弦函數(shù)的定義而言，其實(shí)就是終邊上一點(diǎn)中的坐標(biāo)與到原點(diǎn)的距離的比值，而且與的位置沒有關(guān)系，因此取即取為單位圓與終邊的交點(diǎn)最為便利，這也體現(xiàn)了單位圓的妙處，而這種化歸的思想和利用單位圓的對(duì)稱性推導(dǎo)誘導(dǎo)公式中體現(xiàn)的用幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題的思想是本節(jié)解決問(wèn)題的的主要方法。為了使學(xué)生更好地借助單位圓體會(huì)正弦、余弦函數(shù)的周期性，建議教師從遵循由特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律。應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)的是，對(duì)于不為零的常數(shù)，如果等式不是對(duì)定義域中的每一個(gè)值都成立，那么常數(shù)就不是函數(shù)的周期。【學(xué)情分析】學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)銳角三角函數(shù)，它是用直角三角形邊長(zhǎng)的比來(lái)刻畫的。銳角三角函數(shù)的引入與“解三角形”有直接關(guān)系，任意角的三角函數(shù)是刻畫周期變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它與“解三角形”已經(jīng)沒有什么關(guān)系了。因此，與學(xué)習(xí)其他基本初等函數(shù)一樣，學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，關(guān)鍵是要使學(xué)生理解三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，并能用三角函數(shù)描述一些簡(jiǎn)單的周期變化規(guī)律，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1．知識(shí)與技能（1）理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義，理解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)；（2）從任意角的三角函數(shù)定義認(rèn)識(shí)正弦、余弦函數(shù)的定義域，熟記正弦、余弦函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào).（3）掌握周期函數(shù)的概念及最小正周期的意義，理解會(huì)運(yùn)用誘導(dǎo)公式（一）2．過(guò)程與方法以銳角三角函數(shù)為引子，利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)。由于三角函數(shù)與單位圓之間的這種緊密的內(nèi)部聯(lián)系，使得我們?cè)谟懻撊呛瘮?shù)的問(wèn)題時(shí)，對(duì)于研究哪些問(wèn)題以及用什么方法研究這些問(wèn)題等，都可以從圓的性質(zhì)中得到啟發(fā)。三角函數(shù)的研究中,數(shù)形結(jié)合思想起著非常重要的作用3．情感、態(tài)度與價(jià)值觀在由銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)的過(guò)程中，讓學(xué)生體會(huì)特殊與一般的關(guān)系，形成一種辯證統(tǒng)一的思想；通過(guò)單位圓的學(xué)習(xí)，建立數(shù)形結(jié)合的思想，激發(fā)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)積極性；培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力【重點(diǎn)難點(diǎn)】1．教學(xué)重點(diǎn)：任意角的正弦、余弦函數(shù)的定義，周期性與誘導(dǎo)公式（一）。2．教學(xué)難點(diǎn)：用角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)刻畫三角函數(shù)；三角函數(shù)值的符號(hào)。【教學(xué)環(huán)境】1．多媒體課件。2．多媒體教室?！窘虒W(xué)思路】本節(jié)把三角函數(shù)的自變量從銳角推廣到任意角，借助直角坐標(biāo)系和單位圓定義了任意角的三角函數(shù)的概念，推出“終邊相同的角的正弦﹑余弦函數(shù)的值相等”這一結(jié)論，并由此結(jié)論對(duì)比正弦﹑余弦函數(shù)給出周期函數(shù)的概念?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、導(dǎo)入新課我們把角的范圍推廣了，銳角三角函數(shù)的定義還能適用嗎？譬如三角形內(nèi)角和為，那么的值還是三角形中的對(duì)邊與斜邊的比值嗎？類比角的概念的推廣，怎樣修正三角函數(shù)定義？由此展開新課。二、新知探究1．正弦、余弦函數(shù)的定義問(wèn)題1：初中如何定義銳角三角函數(shù)？活動(dòng)：教師提問(wèn)，學(xué)生口答，突出它是以銳角為自變量、邊的比值為函數(shù)值的三角函數(shù)。問(wèn)題2：你能用直角坐標(biāo)系中角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示銳角三角函數(shù)嗎？活動(dòng)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，則它的終邊在第一象限。在的終邊上任取一點(diǎn)，它與原點(diǎn)的距離。過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M，則線段OM的長(zhǎng)度為，線段MP的長(zhǎng)度為。根據(jù)銳角三角函數(shù)定義：，問(wèn)題3：如果改變終邊上的點(diǎn)的位置，比值會(huì)改變嗎，為什么？活動(dòng)：教師先讓學(xué)生們相互討論、動(dòng)手畫圖，再引導(dǎo)學(xué)生選幾個(gè)點(diǎn)，計(jì)算一下對(duì)應(yīng)的比值，獲得具體認(rèn)識(shí)，并由相似三角形的性質(zhì)來(lái)證明：對(duì)于確定的角α，比值不會(huì)隨點(diǎn)P在α的終邊上的位置的改變而改變.定義1：（終邊定義法）設(shè)是一個(gè)任意角，終邊上任意一點(diǎn)（除了原點(diǎn)）的坐標(biāo)為，它與原點(diǎn)的距離為，那么（1）比值叫做的正弦，記作，即；（2）比值叫做的余弦，記作，即；問(wèn)題4：能否通過(guò)取適當(dāng)點(diǎn)而將上述三角函數(shù)的表達(dá)式簡(jiǎn)化？活動(dòng)：通過(guò)圖形引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡(jiǎn)化。當(dāng)時(shí)，點(diǎn)就是α的終邊與單位圓的交點(diǎn)。銳角三角函數(shù)可以用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示。xyO定義2：（單位圓定義法）設(shè)是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則：xyO（1）叫做的正弦，記作，即（2）叫做的余弦，記作，即所以，正弦、余弦都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)。通常，用表示自變量，用表示函數(shù)值，這樣就定義了任意角的三角函數(shù)和注意：（1）不是與的乘積，而是一個(gè)比值；三角函數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體，離開自變量的、是沒有意義的。（2）根據(jù)相似三角形的知識(shí)，對(duì)于確定的角，正弦、余弦值不隨點(diǎn)的位置的改變而改變；比值只與角的終邊位置有關(guān)。2．正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域?qū)τ谡液瘮?shù),因?yàn)槿∪我鈱?shí)數(shù)，恒有意義，也就是說(shuō)恒有意義，所以正弦函數(shù)的定義域是；類似地，余弦函數(shù)的定義域也是。利用單位圓引入了任意角的三角函數(shù)后，正弦、余弦的值域是。3．正弦、余弦函數(shù)的符號(hào)由定義可知，正弦、余弦函數(shù)在各象限內(nèi)的符號(hào)，取決于角終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)。當(dāng)點(diǎn)在第一、二象限時(shí)，縱坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)在第三、四象限時(shí)，縱坐標(biāo)。所以正弦函數(shù)值對(duì)于第一、二象限角是正的，對(duì)于第三、四象限角是負(fù)的；余弦函數(shù)值在第一、四象限是正的，在第二、三象限是負(fù)的，從而完成課本的思考交流。xxyyxOO++++____4．單位圓與周期性問(wèn)題5：終邊相同角的表示法有什么特點(diǎn)？終邊相同的角相差2π的整數(shù)倍，那么這些角的同名三角函數(shù)值有何關(guān)系?活動(dòng)：以與，與，與為例，請(qǐng)同學(xué)們畫圖，引導(dǎo)學(xué)生從角終邊的關(guān)系到角之間的關(guān)系再到函數(shù)值之間的關(guān)系進(jìn)行討論，然后再用三角函數(shù)的定義證明得：終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等。由此得到一組公式(公式一):利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求到(或到)角的三角函數(shù)值。這個(gè)公式稱為三角函數(shù)的“誘導(dǎo)公式一”。終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等，說(shuō)明對(duì)于任意一個(gè)角，每增加的整數(shù)倍，其正弦、余弦函數(shù)值不變。象正弦、余弦函數(shù)這種隨自變量的變化呈周期性變化的函數(shù)叫作周期函數(shù)。正弦、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，為正弦、余弦函數(shù)的周期。是正弦、余弦函數(shù)的正周期中最小的一個(gè)，稱為最小正周期。一般地，對(duì)于函數(shù)，若存在非零的常數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè),都有我們就把稱為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期.注意：的成立，必須對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)都成立。如，雖然有，但，所以不是的周期。三、應(yīng)用示例例1求的正弦、余弦值。解：在坐標(biāo)系中作，易知的終邊與單位圓的交點(diǎn)為(,)，所以sin=，cos=點(diǎn)評(píng)：畫終邊與單位圓，找交點(diǎn)，求值。例2（1）已知角的終邊經(jīng)過(guò),求的值（2）已知角的終邊經(jīng)過(guò),(a0)求的值解：（1）由定義：（2）若則若則點(diǎn)評(píng)：先求，再按定義求。例3求函數(shù)的值域解：先求定義域：∴的終邊不在軸上又∴的終邊不在軸上當(dāng)是第Ⅰ象限角時(shí)，∴當(dāng)是第Ⅱ象限角時(shí),∴當(dāng)是第Ⅲ象限角時(shí),∴當(dāng)是第Ⅳ象限角時(shí),∴點(diǎn)評(píng)：討論函數(shù)的性質(zhì)要有“定義域優(yōu)先”的意識(shí)；三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律是化簡(jiǎn)解析式求值的切入點(diǎn)。例4求值：解：四、鞏固練習(xí)1．已知點(diǎn)在角α的終邊上，求、的值2．已知角α的終邊在直線y＝2x上，求α的正弦、余弦值3．解方程：4．求下列三角函數(shù)的值：(1)(2)五、說(shuō)學(xué)小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了任意角的正弦、余弦函數(shù)定義，其實(shí)質(zhì)上是銳角三角函數(shù)的擴(kuò)展