遼寧省丹東市2022年高考沖刺數(shù)學(xué)模擬試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)/(x)滿足(1一力"(力+元/(x)>0,若y=/(x+2)”是奇函數(shù)，則不等式

r/(力-2]1<0的解集是()

A.(-co,2)B.(-oo,l)C,(2,+oo)D.

2.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S“，％=2,$6=21,則為=

A.3B.4C.5D.6

TTTT

3.已知函數(shù)/(x)=sin(2x——)的圖象向左平移。">0)個單位后得到函數(shù)g(x)=sin(2x+—)的圖象，則9的最小

值為(

54

T

2',x<0

已知函數(shù)，(x)=<，則//

log3x,x>0

?og32

5.做拋擲一枚骰子的試驗，當(dāng)出現(xiàn)1點或2點時，就說這次試驗成功，假設(shè)骰子是質(zhì)地均勻的.則在3次這樣的試驗

中成功次數(shù)X的期望為()

6.已知雙曲線C:，余叱的左、右焦點分別為不匕點尸是C的右支上一點，連接可與y軸交于

點M,若忻a=2|OM|(O為坐標(biāo)原點)，PFt-LPF2,則雙曲線C的漸近線方程為()

A.y=±3xB.y=±GxC.y=±2xD.y~+\/2x

7.已知平面向量Z=（4,2），1=（尤,3），a//b9則實數(shù)”的值等于（）

33

A.6B.1C.—D.-----

22

8.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛?！埃?，若/。6=3,貝!nog34+log3“2+…+bg34o=（）

A.1+Iogj5B.6C.4D.5

9.如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸（單位：cm）,則該幾何體的表面積為（）

人入

/5/\Z5/\

t—丁=?:C——，——

A.15兀cm2B.217rcm2

C.24Kcm2D.33"cm2

10.已知斜率為A的直線/與拋物線C:y2=4x交于A,8兩點，線段A3的中點為（加＞0）,則斜率4的取

值范圍是（）

A.(F,1)B.(F,l]C.(l,+oo)D.|l,+oo)

("'

11.函數(shù)y=sin|x——?ln|尤I圖像可能是（

12.用數(shù)學(xué)歸納法證明則當(dāng)-=--：時，左端應(yīng)在-=-的基礎(chǔ)上加上()

1+2+3+…+二；=千~~~一一一

A.二：+/B.(匚+/);

c(二一+1)+仁+二)+…+(二+D*仁+,「+仁~不

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知是定義在R上的偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為/'(%).若%〉0時，/'(x)<2x,則不等式

f(2x)-f(x-1)>3X2+2X-1的解集是.

14.己知函數(shù)/(x)=m(2x+l)3-2",若曲線y=/(x)在(OJ(O))處的切線與直線4x+y-2=()平行，則

15.如圖，棱長為2的正方體ABC?！狝gGQ中，點M,N,E分別為棱AA，A8,AD的中點，以A為圓心，1為半

徑，分別在面AB44和面A3Q9內(nèi)作弧MN和NE,并將兩弧各五等分，分點依次為M、片、鳥、〃、舄、N

以及N、?！?、。3、2、E.一只螞蟻欲從點4出發(fā)，沿正方體的表面爬行至Q,則其爬行的最短距離為

.參考數(shù)據(jù)：cos90=0.9877；cos18°=0.9511；cos27°=0.8910)

16.已知直線x—y+a=0與圓心為C的圓1+9+2》一4｝；-4=0相交于AB兩點，且ACL8C,則實數(shù)〃的值

為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知半徑為5的圓的圓心在x軸上，圓心的橫坐標(biāo)是整數(shù)，且與直線4x+3y-29=0相切.

(1)求圓的方程；

(2)設(shè)直線ox-y+5=0(a>0)與圓相交于A,8兩點，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，是否存在實數(shù)a,使得弦AB的垂直平分線/過點P(-2,4),若存在,求出實數(shù)a的值；

若不存在，請說明理由.

18.(12分)已知函數(shù)/(X)=|X-Q2|+|x-2a+3|,g(x)=x2+ax+3.

(1)當(dāng)a=l時，解關(guān)于x的不等式/。)46；

(2)若對任意內(nèi)eR,都存在/eR,使得不等式/(不)>g(Z)成立，求實數(shù)。的取值范圍.

19.(12分)對于非負(fù)整數(shù)集合S(非空)，若對任意或者x+yeS,或者則稱S為一個好集

合.以下記同為S的元素個數(shù).

(1)給出所有的元素均小于3的好集合.(給出結(jié)論即可)

(2)求出所有滿足|S|=4的好集合.(同時說明理由)

(3)若好集合S滿足間=2019,求證：S中存在元素加，使得S中所有元素均為"?的整數(shù)倍.

20.(12分)已知C(x)=ln(x+m),g(x)=ex.

(1)當(dāng)機=2時，證明：f(x)<g(x)；

(2)設(shè)直線/是函數(shù)/(x)在點4(%,〃引)(0</<1)處的切線，若直線/也與g(x)相切，求正整數(shù)加的值.

x-cos0

21.(12分)已知在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，曲線C的參數(shù)方程為’3.八(。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點。為極點，

y=2sm，

x軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕cos6+。sin。-3=0.

(1)求直線/的直角坐標(biāo)方程；

(2)求曲線C上的點到直線/距離的最小值和最大值.

22.(10分)已知｛4｝,｛〃,｝,｛%｝都是各項不為零的數(shù)列，且滿足。也+4a+…+a也=c,￡,〃eN*,其中S“是數(shù)

列｛凡｝的前〃項和，｛j｝是公差為。0)的等差數(shù)列.

⑴若數(shù)列｛4｝是常數(shù)列，d=2,。2=3,求數(shù)列也｝的通項公式；

⑵若為=而(X是不為零的常數(shù))，求證：數(shù)列｛〃,｝是等差數(shù)列；

(3)若%=C[=d=k(左為常數(shù)，kwN*),bn=cn+k(n>2,ne?/*).求證：對任意"22,〃eN*,&->組-的恒

anan+\

成立.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g（x）根據(jù)已知條件判斷出g（x）的單調(diào)性根據(jù)丁=/。+2）-/是奇函數(shù)，求得/（2）的值,

由此化簡不等式x-f｛x）-2e'“<0求得不等式的解集.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g（x）=24區(qū)，依題意可知g'（X）=07）,/（X）+*"⑴>0,所以g（x）在R上遞增.由于

〉=/（》+2）-/是奇函數(shù)，所以當(dāng)x=o時，>=/（2）-e3=o,所以/（2）=e3,所以g（2）=至U=2e.

e一

由x/x）-2*i<0得g（x）=tJgi<2e=g（2）,所以x<2,故不等式的解集為（一叫2）.

故選：A

【點睛】

本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔

題.

2.C

【解析】

q+d=2

4=1

方法一：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為小貝叫,6x5,，解得，,,所以%=1+(5—l)xl=5.故選C.

6a,+----xd=21a=1

2

方法二：因為S6=*^=3(g+a5),所以3(2+%)=21,則%=5.故選C.

3.A

【解析】

首先求得平移后的函數(shù)g(x)=sin(2x+2°-?J,再根據(jù)sin12x+20-?J=sin12x+?J求。的最小值.

【詳解】

根據(jù)題意，Ax)的圖象向左平移。個單位后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)

JTTTTT

g(x)=sin2(工+夕)=sin(2x+269)=sin(2x+—),

4J44

TTTTTTJT

所以20—<=2br+—,ZeZ,所以+又。>0,所以9的最小值為乙.

4444

故選：A

【點睛】

本題考查三角函數(shù)的圖象變換，誘導(dǎo)公式，意在考查平移變換，屬于基礎(chǔ)題型.

4.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得了￥的值，再求得/f￥的值.

V37kk3A

【詳解】

依題意f=lo§3-y=嘎332

故選：A

【點睛】

本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

每一次成功的概率為二=二=4二服從二項分布，計算得到答案.

53

【詳解】

每一次成功的概率為二=；=:,二服從二項分布，故二(二)=!x，=/.

5ii

故選：二.

【點睛】

本題考查了二項分布求數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.

6.C

【解析】

利用三角形AOM耳與公尸鳥尸相似得歸浦=2歸用，結(jié)合雙曲線的定義求得a,4c的關(guān)系，從而求得雙曲線的漸近線

方程。

【詳解】

設(shè)￡(—c,0),K(c,O),

由|6q=2|OM|,△。用夕與“名尸相似，

所以\F.蜀0\二儼局川=2一,即.附|.=2附.|.，

又因為歸耳|-|尸段=2處

所以|P用=4a,|P周=2%

所以4c2=16/+4/,即°2=5a2,方=4a?，

所以雙曲線C的漸近線方程為y=±2尤.

故選：C.

【點睛】

本題考查雙曲線幾何性質(zhì)、漸近線方程求解，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力。

7.A

【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】

—>—>fT

Qa=(4,2)，b=(x,3)，a//b)

.*.4x3=2%,

即x=6,

故選:A

【點睛】

本題主要考查了向量平行的坐標(biāo)運算，屬于容易題.

8.D

【解析】

由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計算.

【詳解】

由題意10g36+1。83。2+…+1°8360=l°g331%??1?10）

=10&3（%。6）'=510g3（。5%）=510g33=5.

故選：D.

【點睛】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)的運算法則.掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.C

【解析】

由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5。"2,底面直徑是6。加，據(jù)此可計算出答案.

【詳解】

由三視圖知，該幾何體是一個圓錐，其母線長是5c加，底面直徑是6C”?,

該幾何體的表面積S=^X32+ZTX3X5=24%.

故選：C

【點睛】

本題主要考查了三視圖的知識，幾何體的表面積的計算.由三視圖正確恢復(fù)幾何體是解題的關(guān)鍵.

10.C

【解析】

設(shè)A（X1,%）,B（X2,y2）,設(shè)直線/的方程為：y=kx+b,與拋物線方程聯(lián)立，由A＞。得妨＜1,利用韋達定理結(jié)

2-爐2

合已知條件得6=/〃=：,代入上式即可求出〃的取值范圍.

kk

【詳解】

設(shè)直線/的方程為：y=kx+b,&占，y）,B（X],y2）,

y-+b

聯(lián)立方程＜2,，消去）'得：k2x2+（2kh-4）x+b2=Q,

y=4x

A=（2kb-4）2-4k2b2＞0,

:.kb<\,

口4一2妨b2

且玉+工2=一—，玉工2=出，

4

y+%=%(%+々)+抄=:k，

;線段AB的中點為M(l,m)(m>0),

?.?m>0,

：.k>0,

2-k2

把〃=幺人代入幼<1,得2-爐<],

k

k2>\^

故選：C

【點睛】

本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了韋達定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.D

【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項A,C,當(dāng)龍.CT時，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項.

【詳解】

y=sinx——-In|x|=-cosxln|x|,

—cos(-x)ln|-x|=-cosxIn|x|,

即函數(shù)為偶函數(shù)，

故排除選項A,C,

當(dāng)正數(shù)x越來越小，趨近于0時，-cosx<0,ln|x|<0,

所以函數(shù)丁=5皿x-g]-ln|x|>0,故排除選項8,

故選：D

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.

12.C

【解析】

首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+/=_,=：時，當(dāng)n=k+l時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上的式子，可以分別

使得n=k,和n=k+l代入等式，然后把n=k+l時等式的左端減去n=k時等式的左端，即可得到答案.

【詳解】

當(dāng)n=k時，等式左端=1+1+…

當(dāng)n=k+l時，等式左端=1+1+…+k】+ki+l+ki+l+...+(k+1)*,增加了項(k,+l)+(k'+l)+(k'+3)+...+(k+1)*.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題./

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

構(gòu)造g(x)=/(x)-先利用定義判斷g(x)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，轉(zhuǎn)化

/(2幻一/(》一1)>3/+2%一1為8(2為>8(*-1),結(jié)合奇偶性，單調(diào)性求解不等式即可.

【詳解】

令g(x)=/(x)-V,則g(x)是R上的偶函數(shù)，

g'(x)=y'(x)—2x<0,則g(x)在(0,+8)上遞減，于是在(一8,0)上遞增.

由/(2x)一/(x—1)>3/+2x—1得f(2x)—(2x)2>/&一口一1一口2,

即g(2x)>g(x-l),

于是g(|2x|)>g(|x-l|),

則|2xkk-i|,

解得一1<x<一.

3

故答案為：

【點睛】

本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于較難題.

14.--

3

【解析】

先求導(dǎo)/。)=6m(2x+l)2—2e+r(0)=6m—2,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，有尸(0)=-4求解.

【詳解】

因為函數(shù)/(x)=m(2x+1)3-2/,

所以f\x)=6刑(2r+1)2-2e',廣(0)=6根-2,

所以6〃/—2=-4,

解得根=一」.

3

故答案為：-；

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，還考查運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.

15.1.7820

【解析】

根據(jù)空間位置關(guān)系，將平面旋轉(zhuǎn)后使得各點在同一平面內(nèi)，結(jié)合角的關(guān)系即可求得兩點間距離的三角函數(shù)表達式.根據(jù)

所給參考數(shù)據(jù)即可得解.

【詳解】

棱長為2的正方體ABC?！狝4G。中，點",ME分別為棱的中點，以A為圓心，1為半徑，分別在

面4B4A和面A8CO內(nèi)作弧和NE.

將平面ABCQ繞旋轉(zhuǎn)至與平面AB44共面的位置，如下圖所示：

1QA0

則N6A2=『x8=144°，所以出Q4|=2sin720；

將平面ABC。繞AD旋轉(zhuǎn)至與平面A。2A共面的位置，將A844繞44旋轉(zhuǎn)至與平面A。，A共面的位置，如下

QA0

則/勺A&=1-x2+90=126°，所以|AQ|=2sin63°；

因為sin63'<sin72、且由誘導(dǎo)公式可得sin63'=cos27'，

所以最短距離為由⑷=2sin63°=2x0.8910=1.7820,

故答案為：1.7820.

【點睛】

本題考查了空間幾何體中最短距離的求法，注意將空間幾何體展開至同一平面內(nèi)求解的方法，三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)

用，綜合性強，屬于難題.

16.0或6

【解析】

計算得到圓心。（一1,2）,半徑廠=3,根據(jù)AC_LBC得到〃=哼，利用圓心到直線的距離公式解得答案.

【詳解】

x2+y2+2x-4y-4=0,即（x+l『+（^-2了=9,圓心C（—1,2）,半徑廠=3.

ACVBC,故圓心到直線的距離為〃=述，即〃=蚱』=逑，故。=6或4=0.

2V22

故答案為：0或6.

【點睛】

本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

53

17.(2)(x-2)2+y2=2.(2)(—,+<?).(3)存在，a=-

【解析】

(2)設(shè)圓心為0),根據(jù)相切得到」’"-29|=5,計算得到答案.

5

(2)把直線ax-y+5=0,代入圓的方程，計算△=4(5a-2)2-4(a2+2)>0得到答案.

(3)/的方程為y=—：(x+2)+4,BPx+ay+2-4a=0,過點M(2,0),計算得到答案.

【詳解】

(2)設(shè)圓心為M(m,0)(mGZ),由于圓與直線4x+3y-29=0相切，且半徑為5,

所以|4〃L29|=5,即|4m-29|=2.因為m為整數(shù)，故，“=2.

5

故所求圓的方程為(x-2)2+y2=2.

(2)把直線ax-y+5=0,即y=ar+5,代入圓的方程，消去y,

整理得(a2+2)x2+2(5a-2)x+2=0,

由于直線ar-y+5=0交圓于A,3兩點，故△=4(5a-2)2-4(a2+2)>0,

即22a2-5a>0,由于a>0,解得所以實數(shù)a的取值范圍是(2,+8).

1212

(3)設(shè)符合條件的實數(shù)a存在，則直線/的斜率為-』，

a

/的方程為y=-，(x+2)+4,BPx+ay+2-4?=0,

a

由于/垂直平分弦AB,故圓心M(2,0)必在/上，

33<5A3

所以2+0+2-4a=0,解得a=一.由于；目丁,+8],故存在實數(shù)。=一

44<12；4

使得過點尸(-2,4)的直線/垂直平分弦A3.

【點睛】

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.

18.(1){x|-3<x<3}；(2)停+oo).

【解析】

(1)分類討論去絕對值號，然后解不等式即可.

(2)因為對任意玉WR,都存在々WR，使得不等式/(為)>8(毛)成立，等價于/(X)min>gO)min，/")而“根據(jù)絕

對值不等式易求，g(X)m”,根據(jù)二次函數(shù)易求，

然后解不等式即可.

【詳解】

—2x,xv—1,

解：(1)當(dāng)〃=1時，/(x)=|x-l|+|x4-l|,則/(%)=,2,-1?元<1,

2x,x.A.

當(dāng)xv—1時，由/(%),,6得，-2元，6,解得一3,,xv—1；

當(dāng)一1,,%<1時，/(%),,6恒成立；

當(dāng)x.l時，由/。),，6得，2與6,解得啜k3.

所以于66的解集為{x|—34xW3}

(2)對任意不￡/?,都存在馬6R，得/(%)>8(%)成立，等價于/OOmin>g(X)min?

因為。2—2。+3=(a—1)~+2>0,所以/>2Q—3，

且|卜-6r|+1x—2Q+31..)—(x—2tz+3)|—-2Q+3|

=cr—2a+3,①

當(dāng)2a—3領(lǐng)k/時，①式等號成立，即/(項面=/一2。+3.

22

又因為丁+6+3=(X+0)2+3-幺..3-幺，②

244

2

當(dāng)X=-5時，②式等號成立，即g(x)mjn=3-土.

24

2

所以/一2。+3>3—一，即5a2—8a>0

4

即”的取值范圍為：(-8,0)u([,+8].

【點睛】

知識：考查含兩個絕對值號的不等式的解法；恒成立問題和存在性問題求參變數(shù)的范圍問題；能力：分析問題和解決

問題的能力以及運算求解能力；中檔題.

19.(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2}.(2)[0,b,c,b+c}-證明見解析.(3)證明見解析.

【解析】

(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果；

(2)設(shè)5={。,h,。,。},其中a<6<c<d,由OeS知。=0；由()<。一ceS可知d—c=c或d-c=力，分別討論

兩種情況可的結(jié)果；

(3)記“=1009,貝!|同=2〃+1,設(shè)5={0,4X2，3/2"}，由歸納推理可求得王=加。4沐〃)，從而得到

M=2x?=2nm,從而得到S,可知存在元素加滿足題意.

【詳解】

(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2}.

(2)設(shè)5={。,8,。,4},其中av〃<cvd,

則由題意：d+d^S,故OeS,即。=0,

考慮c,d,可知：0<d-cwS,:.d—c=c'^d—c=b,

若d—c=c,則考慮瓦c,

?：c<b+c<2c-d,.'.c—b&S>貝！Jc一人=8,

:.S={a,b,2hAb},但此時3b,5b史S,不滿足題意；

若d—c=b,此時5={0,"cS+c},滿足題意，

:.S={O,b,c,b+c},其中仇c為相異正整數(shù).

(3)記〃=1009,則同=2〃+1,

首先，OGS,設(shè)5={0,%,藥2，???，'2〃},其中0<%=加</<一?<》2.=知，

分別考慮加和其他任一元素七，由題意可得：玉也在S中，

而0cM<M-x2n_2-xt<M,=%2?_,(1</<?),

M

對于考慮.%T，x2n_j,其和大于“，故其差々“T_X2“_j=/_x；wS,

特別的，々-M￡S,/.x2=2xj=2m,

由/-X]￡S,且王<￡—2<￡,x3=x2+xt=3m,

以此類推：x,=zm(l<z<n),

M=2xn=2nm,此時S=,

故S中存在元素相，使得S中所有元素均為〃?的整數(shù)倍.

【點睛】

本題考查集合中的新定義問題的求解，關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求，根據(jù)集合元素的要求進行推理說

明，對于學(xué)生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求，屬于較難題.

20.(1)證明見解析；(2)加=2.

【解析】

⑴令尸(x)=g(x)—/(x)=e*Tn(x+2),求導(dǎo)/(力="一'5，可知?⑺單調(diào)遞增，且小⑼=g,

F'(-l)=i-l<0,因而尸(x)在(—1,0)上存在零點。，/(x)在此取得最小值，再證最小值大于零即可.

(2)根據(jù)題意得到了(x)在點A6,/(xo))(O</<1)處的切線I的方程y=:匕-式7+In(玉>+m)①，再設(shè)

直線/與g(x)相切于點(斗e"),有即％=-ln(x0+m),再求得g(x)在點國/1)處的切線直線/的

方程為，=」+皿3+，②由①②可得g?+，=3+in(x0+，〃)，即

AQ+mxQ+mxQ+mxQ+m%+m

x()+1

(x+m-l)In(x+m)=x+l,根據(jù)/+加一1>。，轉(zhuǎn)化為ln(x°+根)=

0000<x0<1,令

x0+m-l

xi11

/?(x)=ln(x+m)--——j-(0<x<l),轉(zhuǎn)化為要使得〃(x)在(0,1)上存在零點，則只需〃(0)=Inm---j<0,

2

/?(l)=ln(m+l)——>0求解.

m

【詳解】

(1)證明:設(shè)F(x)=g(x)-/(x)=e*-ln(x+2),

則尸(%)=，一三，/(x)單調(diào)遞增，且尸⑼=；,=

因而k(x)在(—1,0)上存在零點。，且尸(x)在(-2,a)上單調(diào)遞減，在(a,例)上單調(diào)遞增,

從而尸(力的最小值為ln(a+2)=—15+a=(。+1『

>0-

a+2

所以方(x)>0,即f(x)<g(x).

⑵尸(*￡1'故,⑻=六

XX

故切線/的方程為y=----------J+ln(x°+加)①

x0+mx0+m

設(shè)直線/與g(x)相切于點(M),注意到g<X)=，,

*1

從而切線斜率為e'=-----,

玉)+m

因此%=-ln(x0+m),

而g(xj=e*,從而直線/的方程也為y=」—+業(yè)jl+-1—②

m

%+x0+mx0x0+m

由①(D可知"(/+加)+—i—=—々一+ln(x0+m),

%+優(yōu)xQ+mx0+m

故(/+m_l)ln(%+m)=%+],

由機為正整數(shù)可知，x0+m-l>(),

wln(x()+m)=_A±L_,O<xo<i,

x+1

令〃(x)=ln(x+/n)-(0<x<l),

x+m-l

x(x+m)+l

貝!P'(x)>0,

當(dāng)m=1時，〃⑺=ln(x+l)—丁為單調(diào)遞增函數(shù)，且為(1)=m2—2<0,從而M”)在(0,1)上無零點;

12

當(dāng)機>1時，要使得〃(x)在(0,1)上存在零點，貝!I只需/2(0)=ln〃?-----<0,A(l)=ln(m+1)——>0,

m—\m

因為九(m)=lnm-士為單調(diào)遞增函數(shù)，4(3)=ln3-g>0,

所以加<3；

2/

因為小(〃z)=ln(加+1)-一為單調(diào)遞增函數(shù)，且4(1)=加2-2<0,

m

因此加>1；

因為加為整數(shù)，且1<〃?<3,

所以機=2.

【點睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題.

21.(1)x+y-3=0(2)最大值3&+W最小值

2

【解析】

(1)結(jié)合極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式可得；

(2)利用參數(shù)方程，求解點到直線的距離公式，結(jié)合三角函數(shù)知識求解最值.

【詳解】

解：(1)因為尤=pcos(9,y=psin(9,代入/?cos(9+/7sine-3=0,可得直線/的直角坐標(biāo)方程為x+y-3=0.

cos+in3

(2)曲線C上的點(cos2sin6)到直線/的距離d=l^1-I

叵山T,其中cos展2,sin^-L

V215yJ5

故曲線C上的點到直線/距離的最大值dnm

|6-3|3丘府

曲線C上的點到直線/的距離的最小值”.

V22

【點睛】

本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化及最值問題，橢圓上的點到直線的距離的最值求解優(yōu)先考慮參數(shù)方法，側(cè)重考

查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).

22.(1)b=4n-3;(2)詳見解析；(3)詳見解析.

【解析】

⑴根據(jù)d=2,=3可求得%，再根據(jù)｛an｝是常數(shù)列代入4。++…+anbn=c“S”,〃eN*,根據(jù)通項與前〃項和

的關(guān)系求解｛2｝即可.

(2)取n=1，并結(jié)合通項與前〃項和的關(guān)系可求得S,￡「S“_￡i=a?",再根據(jù)an=S,-5?_,化簡可得

3"+助。”=