初中數(shù)學(xué)八年級上冊（五·四學(xué)制）4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題（省一等獎）

20.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題1.體育課上，老師測量小明跳遠(yuǎn)成績的依據(jù)是(

)A．過直線上一點且垂直于這條直線的直線有且

只有一條B．兩點之間，線段最短

C．垂線段最短D．兩點確定一條直線C如圖，l為河岸(視為直線)，要想開一條溝將河里的水從A處引到田地里去，則應(yīng)從河邊l的何處開口才能使水溝最短，找出開口處的位置并說明理由.23：如圖，要在燃?xì)夤艿纋上修建一個泵站，分別向A、B兩村供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短.

問題

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的A

地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B

地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？BAl1知識點運用“兩點之間線段最短”解決最短路徑問題追問這是一個實際問題，你打算首先做什么？首先是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題將A，B兩地抽象為兩個點，將河l抽象為一條直線．B··Al追問你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？(1)從A

地出發(fā)，到河邊l

飲馬，然后到B

地；(2)在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與A，B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A

地到飲馬地點，再回到B

地的路程之和最短；

(3)．設(shè)C

為直線上的一個動點，上面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點C

在l

的什么位置時，

AC

與CB

的和最小(如圖)．BAlC現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線l上的點？作法：(1)作點B關(guān)于直線l

的對稱點B′；(2)連接AB′，與直線l

相交于點C．則點C

即為所求．B·lA·B′C知2－導(dǎo)2知識點運用“兩點之間線段最短”解決最短路徑問題你能用所學(xué)的知識證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C如圖，在直線l上任取一點C′(與點C不重合)，連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，

AC′+BC′=AC′+B′C′．知2－講證明：

B·lA·B′CC′知1－導(dǎo)在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC

最短．

練習(xí)：

如圖,一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客,然后將游客送往河岸BC上,再返回P處.

請畫出旅游船的最短路徑

解決“一線＋兩點”型最短路徑問題的方法：1.當(dāng)兩點在直線異側(cè)時，連接兩點，與直線的交點即為所求作的點；2.當(dāng)兩點在直線同側(cè)時，作其中某一點關(guān)于直線的對稱點，對稱點與另一點的連線與直線的交點即為所求作的點．知2－講

如圖:牧馬營地在點P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b飲水，最后回到營地．請你設(shè)計一條放牧路線，使其所走的總路程最短．例:

草地河邊．p

如圖:牧馬營地在點P處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b飲水，最后回到營地．請你設(shè)計一條放牧路線，使其所走的總路程最短．例

解決“兩線＋一點”型最短路徑問題，要作兩次軸對稱，從而構(gòu)造出最短路徑．知2－講

茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會,桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了橘子,OB桌面上擺滿了糖果,站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D處座位上,請你幫助他設(shè)計一條行走路線,使其所走的總路程最短?知2－練(中考?黔南州)如圖，直線l外不重合的兩點A、B，在直線l上求作一點C，使得AC＋BC的長度最短，作法為：①作點B關(guān)于直線l的對稱點B′；②連接AB′與直線l相交于點C，則點C為所求作的點．在解決這個問題時沒有運用到的知識或方法是(

)A．轉(zhuǎn)化思想B．三角形的兩邊之和大于第三邊C．兩點之間，線段最短D．三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角1D知2－練如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A(－2，4)，B(4，2)，在x軸上取一點P，使點P到點A和點B的距離之和最小，則點P的坐標(biāo)是(

)A．(－2，0)

B．(4，0)

C．(2，0)

D．(0，0)2C最短路徑問題的類型：(1)兩點之間的最小值問題；(2)一點一線之間的最小值問題；(3)兩點一線型的線段和最小值問題；(4)兩線一點型線段和最小