初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)3 相似三角形的性質(zhì) 全國(guó)優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)

22.3相似三角形的性質(zhì)1、相似三角形有哪些性質(zhì)？2、相似三角形有哪些判定方法？對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，對(duì)應(yīng)角相等。⑴定義對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。⑵判定定理1兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。⑶判定定理2兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似。⑷判定定理3三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。？？溫故知新相似三角形的性質(zhì)幾何語(yǔ)言與運(yùn)用

角：對(duì)應(yīng)角相等∴邊：對(duì)應(yīng)邊成比例相似比=對(duì)應(yīng)邊的比值=

如右圖，∵△ABC∽△A'B'C'全等三角形中對(duì)應(yīng)邊上的高、中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)相等。

問(wèn)：那么相似三角形中的這些對(duì)應(yīng)線(xiàn)段又有哪些性質(zhì)呢？想一想：如左下圖，已知:△

ABC∽

△

A'B'C'，它們的相似比為k，AD、A'D'是對(duì)應(yīng)高。求證：ABDCA'B'D'C'證明：∵△

ABC∽△

A'B'C'∴∠B=∠B'∵AD、A'D'分別為BC、B'C'邊上的高∴∠ADB=∠A'D'B'=90°

∴

△

ABD∽△

A'B'D'∴AD：A'D'=AB：A'B'=k結(jié)論1相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比。試一試：

若AD、A'D'分別為BC、B'C'邊上的中線(xiàn)，那么AD、A'D'之間有什么關(guān)系？若AD、A'D'分別為∠BAC、∠B'A'C'的角平分線(xiàn)呢？

結(jié)論2

相似三角形對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比均為相似比。ABCDB'C'A'D'定理1：相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比。ABCB'C'A'如左圖，已知：△

ABC∽

△

A'B'C'，且它們的相似比為k。求：它們的周長(zhǎng)比。解：∵△

ABC∽△

A'B'C'∴∴定理2:相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。繼續(xù)探究做一做

如下圖⑴、⑵、⑶分別是邊長(zhǎng)為1、2、3的等邊三角形，它們都相似。⑴⑵⑶⑵與⑴的相似比=（）⑵與⑴的面積比=（）⑶與⑴的相似比=（）⑶與⑴的面積比=（）由此我們可以得到什么結(jié)論？對(duì)等邊三角形而言，面積比=相似比的平方。2:14:13:19:1

動(dòng)動(dòng)你聰明的腦子，想一想

上述結(jié)論是否適用于一般的相似三角形？ABCA′B′C′DD′證明：∽△△分別過(guò)A、A′，作AD⊥BC于D，∵∴∴∴

定理3

相似三角形面積的比等于相似比的平方。例1：如圖，一塊鐵皮呈銳角三角形，它的邊BC=80cm，高AD=60cm。要把它加工成矩形零件，使矩形的長(zhǎng)、寬之比為2:1，并且矩形長(zhǎng)的一邊位于邊BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在邊AB、AC上。求這個(gè)矩形零件的長(zhǎng)與寬。ABC┐D解：如圖，矩形PQRS為加工成的矩形零件，邊SR在BC上，頂點(diǎn)P、Q分別在AB、AC上，

△

ABC的高AD交PQ于點(diǎn)E。設(shè)PS為xcm，則PQ為2xcm?！逷Q//BC∴△

APQ∽△

ABC∴即

解方程，得

因而，這個(gè)矩形零件的長(zhǎng)是48cm，寬是24cm.PQSRE請(qǐng)回答1、若兩個(gè)三角形的相似比為3：5，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)高的比為（），對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比為(），周長(zhǎng)之比為（），對(duì)應(yīng)中線(xiàn)之比為（）。2、把一個(gè)三角形改成和它相似的三角形，如果面積擴(kuò)大為原來(lái)的100倍，那么邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的幾倍？3、已知兩個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)之比為2：3，且它們的面積之和為26cm2，則較小的等邊三角形的面積為多少？3：53：53：510倍8cm23：5小試牛刀:小試牛刀4、順次連接三角形三邊中點(diǎn)所得的三角形與原三角形周長(zhǎng)比是_____,面積比是1／21／4再接再厲

5，如圖DE∥BC,EF∥AB,S△ADE=25,S△CEF=36.求△ABC的面積.ABCDEF2536解：∵DE∥BC，EF∥AB∴∠A=∠CEF,∠AED=∠C∴△ADE∽△EFC∴∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∵S△ADE=25∴S△ABC=121∴∴∴EABC.6、如圖,在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一點(diǎn),AE=2,在AC上取一點(diǎn)F,使以A、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似,那么AF=________F2F1再接再厲DQABCP

如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,P是邊BC上的一點(diǎn),QP⊥AP

交DC于Q,設(shè)

BP=x,△ADQ的面積為y.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求自變量x的取值范圍;(2)問(wèn)P點(diǎn)在何位置時(shí),△ADQ的面積最小?最小面積是多少?相似與函數(shù)的相關(guān)習(xí)題對(duì)于例1，要使得內(nèi)接矩形PQRS的面積最大，此時(shí)該矩形的長(zhǎng)與寬各是多少？拓展練習(xí)PQSREABC┐D1、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成____,對(duì)應(yīng)角______.2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高、對(duì)應(yīng)邊上的中線(xiàn)、