初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第8講 由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)

第八講由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)漫長的發(fā)展歷史大致歷經(jīng)四個(gè)時(shí)期：以自然數(shù)、分?jǐn)?shù)體系形成的萌芽期；以代數(shù)符

號(hào)體系形成的常量數(shù)學(xué)時(shí)期；以函數(shù)概念產(chǎn)生的變量數(shù)學(xué)時(shí)期；以集合論為標(biāo)志的現(xiàn)代數(shù)學(xué)

時(shí)期.

函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志，“函數(shù)”是從量的側(cè)面去描述

客.觀世界的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系，從量的側(cè)面反映了客觀世界的動(dòng)態(tài)和它們的相互制約性.

函數(shù)的基本知識(shí)有：與平面直角坐標(biāo)系相關(guān)的概念、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)圖

象概念及畫法.

在坐標(biāo)平面內(nèi)，由點(diǎn)的坐標(biāo)找點(diǎn)和由點(diǎn)求坐標(biāo)是“數(shù)"與''形"相互轉(zhuǎn)換的最基本形式.點(diǎn)

的坐標(biāo)是解決函數(shù)問題的基礎(chǔ)，函數(shù)解析式是解決函數(shù)問題的關(guān)鍵，所以，求點(diǎn)的坐標(biāo)、探

求函數(shù)解析式是研究函數(shù)的兩大重要課題.

【例題求解】

【例1】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)“已知點(diǎn)A(2,2),B(2,-3),點(diǎn)P在y軸上，且4APB為直

角三角形，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為.

思路點(diǎn)撥先在直角坐標(biāo)平面內(nèi)描出A、.B兩點(diǎn)，連結(jié)AB,因題設(shè)中未指明aAPB的哪個(gè)

角是直角，故應(yīng)分別就/A、/B、/C為直角來討論，設(shè)點(diǎn)P(0,x),運(yùn)用幾何知識(shí)建立x

的方程.

注：點(diǎn)的坐標(biāo)是數(shù)與形結(jié)合的橋梁，求點(diǎn)的坐標(biāo)的基本方法有：

(1)利用幾何計(jì)算求；

(2)通過解析式求；

(3)解由解析式聯(lián)立的方程組求.

【例2】如圖，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后,

繼續(xù)注水，直至注滿水槽.水槽中水面上升高度〃與注水時(shí)間f之間的

函數(shù)關(guān)系，大致是下列圖象中的(.)

思路點(diǎn)撥向燒杯注水需要時(shí)間，并且水槽中水面上升高〃=0.

注：實(shí)際生活中量與量之間的關(guān)系可以形象地通過圖象直觀地表現(xiàn)出來，如心電圖、，股市

行情走勢(shì)圖等，圖象中包含著豐富的圖象信息，要善于從圖象的形狀、位置、發(fā)展變化趨勢(shì)

等有關(guān)信息中獲得啟示.

【例3】南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運(yùn)往B市銷售，共有飛機(jī)、火車、汽車三種運(yùn)

輸方式，現(xiàn)只可選擇其中的一種，這三種運(yùn)輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示：

運(yùn)輸工具途中速度（千米/時(shí)）途中費(fèi)用（元/千米）裝卸費(fèi)用（元）裝卸時(shí)間（小時(shí)）

飛機(jī)2001610002

火車100420004

汽車50810002

若這批水果在運(yùn)輸（包括裝卸）過[:程中的損耗為200元〃J、時(shí)，記A、B兩H亍間的距離為X

千米.

（1）如果用W|、W?、W3分別表示使用飛機(jī)、火車、汽車運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用（包括損耗）,

求出Wl、W2、W3與小x間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）應(yīng)采用哪種運(yùn)輸方式，才使運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用最小？

思路點(diǎn)撥每種運(yùn)輸工具總支出費(fèi)用=途中所需費(fèi)用（含裝卸費(fèi)用）+損耗費(fèi)用；總支出費(fèi)用

隨距離變化而變化，由W|—W2=0,W2—W3=0,先確定自變量的特定值，通過討論選擇

最佳運(yùn)輸方式.

【例4】己知在菱形ABCD中，ZBAD=60°,把它放在直角坐標(biāo)系中，使AD邊在y軸

上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2。，8）.

（1）畫出符.合題目條件的菱形與直角坐標(biāo)系；

（2）寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）設(shè)菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為P.問：在y軸上是否存在一點(diǎn)F,使得點(diǎn)P與點(diǎn)F

關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線對(duì)稱，如果存在，寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)

說明理由.

思路點(diǎn)撥（1）關(guān)鍵是探求點(diǎn)A是在y軸正半軸上、負(fù)半軸上還是坐標(biāo)原點(diǎn)，只須判斷NCOy

與NCAD的大?。唬?）利用解直角三角形求A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)；（3）設(shè)軸.上存在點(diǎn)F（0,y）,則P

與F只可能關(guān)于直線DC對(duì)稱.

注：建立函數(shù)關(guān)系式，實(shí)際上都是根據(jù)具體的實(shí)際問題和一些特殊的關(guān)系、數(shù)據(jù)而抽象、歸

納建立函數(shù)的模型.

【例5】如圖，已知在RtZ\ABC中，ZB=90°,BC=4cm,AB=8cm,D、E、F分別為

AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)，若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ〃BC,且交AC于點(diǎn)Q,以

PQ為一邊，在點(diǎn)A的右側(cè)作正方形PQMN,記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為

y-

(1)當(dāng)AP=3cm時(shí)，求的值；

(2)設(shè)AP=cm時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；

(3)當(dāng)y=2cm2,試確定點(diǎn)P的位置.(2001年天津市中考題)

思路點(diǎn)撥對(duì)于(2),由于點(diǎn)P的位置不同，y與x之間存在不同的

函數(shù)關(guān)系，故需分類討論；對(duì)于(3),由相應(yīng)函數(shù)解析式求x值.

注：確定幾何元素間的函數(shù)關(guān)系式，首先是借助幾何知識(shí)與方法把相應(yīng)線段用自變量表示,

再代入相應(yīng)的等量關(guān)系式，需要注意的是：

(1)當(dāng)圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化，需要分類討論；

(2)確定自變量.的幾何意義，常用到運(yùn)動(dòng)變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法.

學(xué)力訓(xùn)練

1.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4,0)、B(4,4),ZOAB=90°,有直角三角形與

RtAABO全等且以AB為公共邊，請(qǐng)寫出這些直角三角形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo).

2.在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(4,0),B(0,2),如果點(diǎn)C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點(diǎn)C

的坐標(biāo)為時(shí)，使得由點(diǎn)B、0、C組成的三角形與AAOB相似(至少找出兩個(gè)滿足

條件的點(diǎn)的坐標(biāo)).

(第1題)(第2題)

3.根據(jù)指令[S,A](S》0,00<A<180°),機(jī)器人在平面上能完成下列動(dòng)作：先原地逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)角度A,再朝其面對(duì)的方向沿直線行走距離S.現(xiàn)機(jī)器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，且

面對(duì)x軸的正方向，(1)若給機(jī)器人下了一個(gè)指令[4,60°],則機(jī)器人應(yīng)移動(dòng)到點(diǎn)；

(2)請(qǐng)你給機(jī)器人下一個(gè)指令，使其移動(dòng)到點(diǎn)(一5,5).

4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸的夾角為60°,且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

點(diǎn)B在x軸上方，設(shè)AB=“，那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為()

5.一天，小軍和爸爸去登山，已知山腳到山頂?shù)穆烦虨?00米，小軍先走了一段路程，爸

爸才開始出發(fā).圖中兩條線段分別表示小軍和爸爸離開山腳登山的路程（米）與登山所用的時(shí)

間（分鐘的關(guān)系）（從爸爸開始登山時(shí)計(jì)時(shí)），根據(jù)圖象，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.爸爸登山時(shí)，小軍已走了50米

B.爸爸走了5分鐘，小軍仍在爸爸的前面

C.小軍比爸爸晚到山頂

D.爸爸前10分鐘登山的速度比小軍慢，10分鐘之后登山的速度比小軍快

6.若函數(shù)>=一」——的自變量x的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，則加的取值范圍是（）

x2+2x+tn

A.m<lB.m=lC.m>lD.mWl

7.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4,0）、點(diǎn)B（0,3）,若有一個(gè)直角三角形與RtaABO

全等，且它們有一條公共邊，請(qǐng)寫出這個(gè)直角三角形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo)（不必寫出計(jì)算過程）.

8.如圖，用同樣規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請(qǐng)觀察下列圖形并解答有關(guān)問

題：

（1）設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為y,請(qǐng)寫出y與〃"表示第n個(gè)圖形）的函數(shù)關(guān)系式;

（2）按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí)〃的值；

（3）若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問題（2）中，共需花多少元錢購買瓷磚？

（4）是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等情形?請(qǐng)通過計(jì)算說明為什么？

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正方形ABCD,它的4個(gè)頂點(diǎn)為A（10,0）,B（0,10）,

C（-10,0）,D（0,一10）,則該正方形內(nèi)及邊界上共有個(gè)整點(diǎn)（即縱橫坐標(biāo)

都是整數(shù)的點(diǎn)）.

《第9題）（第1019）

10.如圖，已知邊長為1的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)在第一象限內(nèi)，0A

與x軸的夾角為30°,那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是.

H.如圖，一個(gè)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)，在第一分鐘內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（1,0）,T

而后它接著按圖所示在與x軸、y軸平行的方向上來回運(yùn)動(dòng)，且每分鐘移動(dòng)1:二（一（

個(gè)單位長度，那么在1989分鐘后這個(gè)粒子所處位置為.石,I.

12.在直角坐標(biāo)系中，己知A（l,1）,在x軸上確定點(diǎn)P,使aAOP為等腰三

角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

13.己知點(diǎn)P的坐標(biāo)是（后+“I,42+b）,這里〃、。是有理數(shù)，PA、PB分別是點(diǎn)P到x軸

和），軸的垂線段，且矩形OAPB的面積為近，則P點(diǎn)可能出現(xiàn)的象限有（)

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

14.甲、乙二人同時(shí)從A地出發(fā)，沿同一條道路去B地，途中都使用兩種不同的速度Vi與

V2(Vi<V2),甲用一半的路程使用速度Vi、另一半的路程使用速度V2；關(guān)于甲乙二人從A

地到達(dá)B地的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象及關(guān)系，有圖中4個(gè)不同的圖示分析.其中橫軸，表示

時(shí)間，縱軸s表示路程，其中正確的圖示分析為()

A.圖⑴B.圖⑴或圖(2)C.圖(3)D.圖.(4)

15.依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù).《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民每月工

資、薪金收入不超過800元，不需交稅；超過800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額.，都.應(yīng)交

稅，且根據(jù)超過部分的多少按不同的稅率交稅，詳細(xì)的稅率如下表:

級(jí)別全月應(yīng)納稅所得額稅率(％)

1不超過500元部分5

2超過500元至2000元部分10

3超過2000元至5000元部分15

???-***

(1)某公民2002年10月的總收人為1350元，問他應(yīng)交稅款多少元？

(2)設(shè)表示每月收入(單位：元)，y表示應(yīng)交稅款(單位：元)，當(dāng)1300<xW2800時(shí)，請(qǐng)寫出y

關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(3)某企業(yè)高級(jí)職員2002年11月應(yīng)交稅款55元，問該月他的總收入是多少元?

16.如圖，在aABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)D是AB上任意一點(diǎn)(A、B兩點(diǎn)

除外)，過D作AB垂線與△ABC的直角邊相交于E,設(shè)AD=x,4ADE的面積為y,當(dāng)點(diǎn)

D在AB上移動(dòng)時(shí)，求y關(guān)于尤之間的函數(shù)關(guān)系式.c

ADB

(第16H)

17.現(xiàn)計(jì)劃把甲種貨物1240噸和乙種貨物880噸用一列貨車運(yùn)往某地，己知這列貨車掛有

A、B兩種不同規(guī)格的貨車廂共40節(jié)，使用A型車廂每節(jié)費(fèi)用6000元，使用月型車廂每節(jié)

費(fèi)用為8000元.

(1)設(shè)運(yùn)送這批貨物的總費(fèi)用為)，萬元，這列貨車掛A型車廂x節(jié)，試寫出y與x之間的函數(shù)

關(guān)系式；

(2)如果每節(jié)A型車廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，每節(jié)月型B車廂最多可

裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸，裝貨時(shí)按此要求安排A、B兩種車廂的節(jié)數(shù)，那么共有

哪幾種安排車廂的方案？

(3)在上述方案中，哪個(gè)方案運(yùn)費(fèi)最高?最少運(yùn)費(fèi)為多少元？

18.如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，A、B、C的坐標(biāo)分別為(14,0),(14,

3),(4,3).點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，

速度為每秒1個(gè)單位；點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)

時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).

(1)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了X秒，如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試分別寫出這時(shí)點(diǎn)Q在0C

上或在CB上時(shí)的坐標(biāo)(用含x的代數(shù)式表示)；

(2)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了x秒，如果點(diǎn)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程之和恰好為梯形OABC的周長的

一半，①試用含x的代數(shù)式表示這時(shí)點(diǎn)Q所經(jīng)過的路程和它的速度；②試問：這時(shí)直線PQ

是否可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分?如有可能，求出相應(yīng)的x的值和P、

Q的坐標(biāo)；如不可能，請(qǐng)說明理由.

參考答會(huì)

因由常■數(shù)學(xué)到變?數(shù)學(xué)

［例題求解］

例1若NA=90°，則PN0,2h若/B=90°.則P2(0,-3),若NP=90?，則PA1+PB2=ABSS6PA2=(2-x)1+2J,PB2=

(*+3)'+22,AB2=(2+3)',.：(2_M)'+2'+(￡+3)'+22=5'，解得z=l或工=-2,即P3(0.1)或P4(0,—2).

例2選B

例3(1)=16x+1000-+-(23Q+2)X200=17X+1400,W：=4x+2OOO+(I^+4)X200?6J-+2800,WJ=8x4-10004-

(JL+2)X2OO=12x4-1400.

(2)W1>W)恒成立.由卬1_亞2=0得才*喘=127；由卬2—卬3=0,得］=寫仁233.J當(dāng)0<工<臂時(shí)，W?>W

:當(dāng)胖V“V竽時(shí),W〉W〉W3，當(dāng)工=竽時(shí),W>WLW,；當(dāng)工>竽時(shí),w>w〉w>

即當(dāng)A、B兩市的距禹不超過233千米時(shí),用汽車運(yùn)輸比較合理；當(dāng)A、B兩市的距禹大約等于233千米時(shí)，采用汽

車、火車均適合，當(dāng)A、B兩市的距離超過233千米時(shí),采用火車運(yùn)輸比較合理.

例4⑴略;(2)A(0,2)，B(2后4)或A(0.14),B(2#,12)i(3)F(0,8).

例5(1)y=MN?DN--1-X-|-

t

⑵VAP=xtAN、"!"了,當(dāng)0<<7<"|"時(shí)，3=0；當(dāng)時(shí)，y=,,4)=-1-jr-2TI當(dāng)44/V竽時(shí),y

=心當(dāng)竽&z&8時(shí)~=2(8—外=-21+16.

2

⑶當(dāng)y=2代入1y=-2z+16(學(xué)《工48)時(shí)，得工=7；將y=2代人>=-1-x-2x(-|-^x<4)時(shí)?得x=

4+29

3,

【學(xué)力訓(xùn)練】

1.(8.0).(8,4),(0,4)2.(-4,0),(1.0),(-1.0)

3.(DA在第一象限?且04=4.240*=60%(2)設(shè)點(diǎn)(一5,5)為B點(diǎn)，則/XOB=135°.OB=5&.

4.D5.D6.C

7.見下圖?未知頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為G(4.3).G(-4,0),C3(-4.3),CJ0.-3).CS

8.(l)y=(”43)(“+2),即y=/+5”+6.(2)由/+5n+6=5O6,得〃=20

(3)白瓷磚塊數(shù)是〃(〃+D=20X(20+1)=420.黑瓷破塊數(shù)是506-420=86.

共需：86X4+42OX3=16O4(元)

(4)”(〃+1)=("2+5”+6)—“(〃+】).解得〃=1±羅1.因〃不為正整數(shù).工

不存在黑、白瓷磚塊數(shù)相等的情形.

9.221

1°??歿§)，作AD，/軸于D.BEJ_jr軸于E,AF_LBE于F,則△AFB&Z\ADO.11.(44,35)

I2?D當(dāng)OA為艘時(shí)，由OA=OP,得H(一,0),尸?(一々,0)；由OA=AP,得2(2,0).當(dāng)OA為底時(shí),得匕(1,0).

13.C由題意得(成■+a)G/?+b)=7f①或(VF+a)(7f+b)=-a②.由①得(ab+2)+(a+b—l)原■=(),則/0十2一0.解

la+b—1—0

得［22閨丁二,同理由②得廣T或

1b——1Ib—2Ib=1Ib=-2.

14.B圖(3)只描述了甲分別用匕、匕走完前半程，再用匕、匕走完后半程的情形；圖(4)是兩組對(duì)邊不平行的四邊形.表示

甲、乙先后不是使用同一速度匕或.因而均不合題意.

15?(1)y=[《1350-800)—500]X10%+500X5%=5+25=30元.

(2)>=[(x-800)-500]X10^4-500X5^=(x-1300)X10%+25

(3)此人的收入在1300元至2800元之間,由(2)式且y=55,得l=1600(元)

16.作CHJ.A8于H.CH=￥,BH=￥。

⑴當(dāng)0Vi4《|".由△AEDc/^ACH.得DE=.,?,?尸/AD?DE=>|"/E/?

<2)當(dāng)卷《5時(shí)，由△BEDco/XBCH,得DE=-|-(5-x)/.》=*/).ADjf----------'

17.(l)jr=O.6x4*0.8(40-x)=-0.2z+32

(2)由「5-25(40r)》1240得2—工的整數(shù)值為24,25,26￡

115J+35(40-X)>880

(3)當(dāng)工=26時(shí),運(yùn)費(fèi)最省y=26?8(萬元)/{

18.(I)當(dāng)Q在0C上時(shí),坐標(biāo)為(±?H，￡1)；當(dāng)點(diǎn)Q在CB上時(shí)，坐標(biāo)為(2i-],3)；

AHDB

②當(dāng)點(diǎn)Q在。C上時(shí)，作QM,OA于M,則QM=(16-J)X

C\Q

???由5皿=兵衛(wèi)(16-1)?z=Q(16-幻=18,得=不、/\

6Xr—rr

10或6.

當(dāng)1=10時(shí)，16?■工=6,這時(shí)點(diǎn)Q不在0C上，故舍去;當(dāng)r=6時(shí),16一1=10,這時(shí)點(diǎn)Q不在0C上，故舍去.

33

當(dāng)Q在CB上時(shí),CQ=16—工-5=11r，,Swm=2又(11一工+工》3=彳￥18?

故PQ不可能同時(shí)把梯形。ABC的面積也分成相等的兩部分?

1.列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟

(1)審題：弄清題意.

(2)找出等量關(guān)系：找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系.

(3)設(shè)出未知數(shù)，列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān)的含字母

的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值.

(5)檢驗(yàn)，寫答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，

是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫出答案.

2.和差倍分問題：增長量=原有量X增長率現(xiàn)在量

=原有量+增長量

3.等積變形問題：常見幾何圖形的面積、體積、周長計(jì)算公式,

依據(jù)形雖變，但體積不變.

①圓柱體的體積公式V=底面積*高=5?卜=乃，11

②長方體的體積V=KX寬義高=abc

4.數(shù)字問題

一般可設(shè)個(gè)位數(shù)字為a,十位數(shù)字為b,百位數(shù)字為c.十位數(shù)

可表示為10b+a,百位數(shù)可表示為100c+10b+a.

然后抓住數(shù)字間或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系找等量關(guān)系列方程.

5.市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)問題

（1）商品利潤=商品售價(jià)一商品成本價(jià)（2）商品利潤率=

商品利潤

X100%

商品成本價(jià)

（3）商品銷售額=商品銷售價(jià)X商品銷售量

（4）商品的銷售利潤=（銷售價(jià)一成本價(jià)）X銷售量

（5）商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的百分之幾十出售，如商品打

8折出售，即按原標(biāo)價(jià)的80%出售.

6.行程問題：路程=速度X時(shí)間時(shí)間=路程+速度速度=路

程小時(shí)間

（1）相遇問題：快行距+慢行距=原距

（2）追及問題：快行距一慢行距=原距

（3）航行問題：順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）

速度

逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度一水流（風(fēng)）

速度

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速(靜不速)不變的特點(diǎn)考

慮相等關(guān)系.

7.工程問題：工作量=工作效率X工作時(shí)間

完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和=總工作量=1

8.儲(chǔ)蓄問題

利潤=每個(gè)期的利息x100%利息=本金義利率義期數(shù)

本￥金7

實(shí)際問題與二元一次方程組題型歸納(練習(xí)題答案)

類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題

【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時(shí)，

那么他們?cè)谝页霭l(fā)2.5小時(shí)后相遇；如果乙比甲先走2小時(shí)，那么他們?cè)诩壮?/p>

發(fā)3小時(shí)后相遇，甲、乙兩人每小時(shí)各走多少千米？

解：設(shè)甲，乙速度分別為x,y千米/時(shí)，依題意得：

(2.5+2)x+2.5y=36

3x+(3+2)y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小時(shí)，乙的速度是3.6千米/每小時(shí)。

【變式2】?jī)傻叵嗑?80千米，一艘船在其間航行，順流用14小時(shí)，逆流用

20小時(shí)，求船在靜水中的速度和水流速度。

解：設(shè)這艘輪船在靜水中的速度x千米/小時(shí)，則水流速度y千米/小時(shí)，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得：x=17,y=3

答：這艘輪船在靜水中的速度17千米/小時(shí)、水流速度3千米/小時(shí)，

類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題

【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個(gè)裝飾公司合作6周完成需工錢5.2

萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若

只選一個(gè)公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請(qǐng)你說

明理由.

解：

設(shè)甲、乙兩公司每周完成工程的X和y,則

'1X=—

X+/=10

（6得，故1+工=10（周）11+2-E5周

［4“x+9c,=l,y=—11015

即甲、乙完成這項(xiàng)工程分別需10周，15周

又設(shè)需付甲、乙每周的工錢分別為3元，b萬元?jiǎng)t

'_3

（6a+6b=5.2“一，必。"0a=6（萬元）

|得.此時(shí)|__

+9b=4.8a=4115b=4②兀）

1?

比較知，從節(jié)約開支角度考慮，選乙公司劃算

類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤問題

【變式1］（2011湖南衡陽）李大叔去年承包了10畝地種植甲、乙兩種蔬菜，

共獲利18000元，其中甲種蔬菜每畝獲利2000元，乙種蔬菜每畝獲利1500元,

李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了多少畝？

解：設(shè)甲、乙兩種蔬菜各種植了x、y畝，依題意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6.y=4

答：李大叔去年甲、乙兩種蔬菜各種植了6畝、4畝

【變式2］某商場(chǎng)用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價(jià)和售價(jià)

如下表：

AB

進(jìn)價(jià)（元/件）12001000

售價(jià)（元/件）13801200

（注：獲利=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）求該商場(chǎng)購進(jìn)A、B兩種商品各多少件;

解：設(shè)購進(jìn)A的數(shù)量為x件、購進(jìn)B的數(shù)量為y件，依據(jù)題意列方程組

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲(chǔ)蓄問題

【變式2】小敏的爸爸為了給她籌備上高中的費(fèi)用，在銀行同時(shí)用兩種方式共

存了4000元錢.第一種，一年期整存整取，共反復(fù)存了3次，每次存款數(shù)都相

同，這種存款銀行利率為年息2.25%；第二種，三年期整存整取，這種存款銀行

年利率為2.70%.三年后同時(shí)取出共得利息303.75元（不計(jì)利息稅），問小敏的爸

爸兩種存款各存入了多少元？

解：設(shè)x為第一種存款的方式，丫第二種方式存款，則

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500?

答:略。

類型五：列二元一次方程組解決一一生產(chǎn)中的配套問題

【變式1】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個(gè)盒身或22個(gè)盒底，一個(gè)盒身與

兩個(gè)盒底配成一個(gè)完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成

一批完整的盒子？

解：設(shè)x張做盒身，y張做盒底，則有盒身8x個(gè)，盒底22y個(gè)

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110張做盒身，80張做盒底

【變式2］某工廠有工人60人，生產(chǎn)某種由一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品,

每人每天生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺

母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套。

解：設(shè)生產(chǎn)螺栓的工人為x人,生產(chǎn)蠅的工人為y人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【變式3】一張方桌由1個(gè)桌面、4條桌腿組成，如果1立方米木料可以做

桌面50個(gè)，或做桌腿300條?，F(xiàn)有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做

桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多

少張方桌？

解：設(shè)用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5..........................⑴

50X：300Y=1：4.......................(2)

解得：Y=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

類型六：列二元一次方程組解決一一增長率問題

【變式2】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計(jì)一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%,農(nóng)村人

口增加1.1%,這樣全市人口增加1%,求這個(gè)城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。

解：設(shè)該城市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有x萬人，農(nóng)村人口有y萬人。

x+y=42

0.8%xX+l.l%xY=42x1%

解這個(gè)方程組，得：x=14,y=28

答：該市現(xiàn)在的城鎮(zhèn)人口有14萬人，農(nóng)村人口有28萬人。

類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題

【變式1】略

【變式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴藍(lán)色游泳帽，女孩戴紅色游泳帽。

如果每位男孩看到藍(lán)色與紅色的游泳帽一樣多，而每位女孩看到藍(lán)色的游泳帽

比紅色的多1倍，你知道男孩與女孩各有多少人嗎？

解：設(shè)：男有X人，女有Y人，則

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

類型八：列二元一次方程組解決一一數(shù)字問題

【變式1］一個(gè)兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個(gè)兩位數(shù)除以

它的各位數(shù)字之和，商是5,余數(shù)是1,這個(gè)兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)這個(gè)兩位數(shù)十位數(shù)是x,個(gè)位數(shù)是y,則這個(gè)數(shù)是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1(2)

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答：這個(gè)兩位數(shù)是56

【變式2】一個(gè)兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個(gè)位上的數(shù)字大5,如果把十位上的數(shù)字與個(gè)

位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9,求這個(gè)兩位數(shù)？

解：設(shè)個(gè)位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+Y=13

解得：X=9,Y=4

這個(gè)數(shù)就是49

【變式3】某三位數(shù)，中間數(shù)字為0,其余兩個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和是9,如果百位

數(shù)字減1,個(gè)位數(shù)字加1,則所得新三位數(shù)正好是原三位數(shù)各位數(shù)字的倒序排列，

求原三位數(shù)。

解：設(shè)原數(shù)百位是x,個(gè)位是y那么

x+y=9

x-y=1

兩式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原數(shù)是504

類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問題

【變式1)要配濃度是45%的鹽水12千克，現(xiàn)有10%的鹽水與85%的鹽水，這兩種鹽水

各需多少？

解：設(shè)10%的X克，85%的丫克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【變式2]一種35%的新農(nóng)藥，如稀釋到1.75%時(shí)，治蟲最有效。用多少千克濃度為35%

的農(nóng)藥加水多少千克，才能配成1.75%的農(nóng)藥800千克？

解：800千克1.75%的農(nóng)藥中含純農(nóng)藥的質(zhì)量為800x1.75%=14千克

含14千克純農(nóng)藥的35%的農(nóng)藥質(zhì)量為14+35%=40千克

由40千克農(nóng)藥稀釋為800千克農(nóng)藥應(yīng)加水的質(zhì)量為800-40=760千克

答：用40F克濃度為35%的農(nóng)藥添加760千克的水，才能配成濃度為1.75%的農(nóng)藥

800千克。

類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問題

【變式1】用長48厘米的鐵絲彎成一個(gè)矩形，若將此矩形的長

邊剪掉3厘米，補(bǔ)到較短邊上去，則得到一個(gè)正方形，求正方形

的面積比矩形面積大多少？

解：設(shè)長方形的長寬分別為x和y厘米，則

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得:x=15,y=9

正方形的面積比矩形面積大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答：略

【變式2】一塊矩形草坪的長比寬的2倍多10m,它的周長是132m,則長和寬分別為多少？

解：設(shè)草坪的長為XIE，寬為則

[2j+10=xly=y

所以寬和長分別為竽m、-y-m.

類型十一：列二元一次方程組解決一一年齡問題

【變式1】今年，小李的年齡是他爺爺?shù)奈宸种?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后,

他的年齡變成爺爺?shù)娜种?試求出今年小李的年齡.

解：設(shè)小李X歲，爺爺Y歲，則

5X=Y

3(X+12)=Y+12

兩式聯(lián)立解得：X=12Y=60

所以小李今年12歲，爺爺今年60歲。

類型十二：列二元一次方程組解決一一優(yōu)化方案問題：

【變式】某商場(chǎng)計(jì)劃撥款9萬元從廠家購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)，已知廠家生產(chǎn)三種不同

型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為：甲種每臺(tái)1500元，乙種每臺(tái)2100元，丙種每臺(tái)2500元。

(1)若商場(chǎng)同時(shí)購進(jìn)其中兩種不同型號(hào)的電視機(jī)50臺(tái)，用去9萬元，請(qǐng)你研究一下商

場(chǎng)的進(jìn)貨方案；

(2)若商場(chǎng)銷售一臺(tái)甲、乙、丙電視機(jī)分別可獲利150元、200元、250元，在以上的

方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進(jìn)貨方案？

解：（1）分情況計(jì)算：設(shè)購進(jìn)甲種電視機(jī)X臺(tái),乙種電視機(jī)y臺(tái)，丙種電視機(jī)Z臺(tái).

x-Fjr=50,r=25,

{1500x+2100y=9000025.

x+z=50,x=35,

{1500x+2500y=90000一解得&=15一

jy+z=50,Jr=875

（HI）購進(jìn)乙、丙兩種電視機(jī)1210°y+2500z=90000解得-375（不合實(shí)際，舍去）

故商場(chǎng)進(jìn)貨方案為購進(jìn)甲種25臺(tái)和乙種25臺(tái)；或購進(jìn)甲種35臺(tái)和丙種15臺(tái).

（2）按方案（I），獲利150x25+200x25=8750（元）；

按方案（U），獲禾IJ150x35+250xl5=9000（元）.

，選擇購進(jìn)甲種35臺(tái)和丙種15臺(tái).

三、列方程解應(yīng)用題

1.將一批工業(yè)最新動(dòng)態(tài)信息輸入管理儲(chǔ)存網(wǎng)絡(luò)，甲獨(dú)做需6小時(shí)，乙獨(dú)做需4小時(shí)，甲先

做30分鐘，然后甲、乙一起做，則甲、乙一起做還需多少小時(shí)才能完成工作？

2.兄弟二人今年分別為15歲和9歲，多少年后兄的年齡是弟的年齡的2倍？

3.將一個(gè)裝滿水的內(nèi)部長、寬、高分別為300毫米，300毫米和80毫米的長方體鐵盒中的

水，倒入一個(gè)內(nèi)徑為200毫米的圓柱形水桶中，正好倒?jié)M，求圓柱形水桶的高（精確到

0.1毫米，7i?=3.14）.

4.有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋，過第二鐵橋比過第一鐵橋

需多5秒，又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米，試求各鐵橋的長.

5.有某種三色冰淇淋50克，咖啡色、紅色和白色配料的比是2：3：5,這種三色冰淇淋

中咖啡色、紅色和白色配料分別是多少克？

6.某車間有16名工人，每人每天可加工甲種零件5個(gè)或乙種零件4個(gè).在這16名工人中,

一部分人加工甲種零件，其余的加工乙種零件.己知每加工一個(gè)甲種零件可獲利16元,

每加工一個(gè)乙種零件可獲利24元.若此車間一共獲利1440元，求這一天有幾個(gè)工人加

工甲種零件.

7.某地區(qū)居民生活用電基本價(jià)格為每千瓦時(shí)0.40元，若每月用電量超過a千瓦時(shí)，則超過

部分按基本電價(jià)的70%收費(fèi).

(1)某戶八月份用電84千瓦時(shí)，共交電費(fèi)30.72元，求a.

(2)若該用戶九月份的平均電費(fèi)為0.36元，則九月份共用電多少千瓦？應(yīng)交電費(fèi)是

多少元？

8.某家電商場(chǎng)計(jì)劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī).已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號(hào)

的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元.

(1)若家電商場(chǎng)同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，請(qǐng)你研究一下

商場(chǎng)的進(jìn)貨方案.

(2)若商場(chǎng)銷售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，

銷售一臺(tái)C種電視機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)方案中，為了使銷

售時(shí)獲利最多，你選擇