初高中數(shù)學知識銜接資料

初高中數(shù)學銜接讀本

數(shù)學是一門重要的課程，其地位不容置疑，同學們在初中已經(jīng)學

過很多數(shù)學知識，這是遠遠不夠的，而且現(xiàn)有初高中數(shù)學知識存在以

下“脫節(jié)”：

1.立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。

2.因式分解初中一?般只限于二次項且系數(shù)為“1”的分解，對系數(shù)不為“1”

的涉及不多，而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多

化簡求值都要用到，如解方程、不等式等。

3.二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是

高中函數(shù)、不等式常用的解題技巧。

4.初中教材對二次函數(shù)要求較低，學生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高

中貫穿始終的重要內(nèi)容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調(diào)區(qū)間、

求最大、最小值，研究閉區(qū)間上函數(shù)最值等等是高中數(shù)學必須掌握的基本題型與

常用方法。

5.二次函數(shù)、二次不等式與二次方程的聯(lián)系，根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）

在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規(guī)運算和難度不大的應用題型，而在高

中二次函數(shù)、二次不等式與二次方程相互轉(zhuǎn)化被視為重要內(nèi)容，高中教材卻未安

排專門的講授。

6.圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數(shù)后，對

其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數(shù)關(guān)于原點，軸、直線的對稱問題必須掌

握。

7.含有參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究，而高

中這部分內(nèi)容視為重難點。方程、不等式、函數(shù)的綜合考查常成為高考綜合題。

8.幾何部分很多概念（如重心、垂心、外心、內(nèi)心等）和定理（如平行線

分線段比例定理，射影定理，相交弦定理、角平分線定理等）初中生大都沒有學

習，而高中都要涉及。

另外，像配方法、換元法、待定系數(shù)法初中教學大大弱化，不利于高中知識

的講授。有鑒于此，特編寫該讀本，供教學之用，希望認真學習。

fl錄

1.1數(shù)與式的運算

1.1.1絕對值

1.1.2乘法公式

1.1.3二次根式

1.1.4分式

1.2分解因式

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式

2.2.3二次函數(shù)的簡單應用

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組解法

2.3.2一元二次不等式解法

1.1數(shù)與式的運算

1.1.1.絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù),

零的絕對值仍是零.即

a.a>0,

|a|=<0,a=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：|。-司表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)b之間的

距離.

例1解不等式:|x-l|+|x-3|>4.

練習

1.填空：

(1)若=5,貝x=；若|x|=|-4|,則x=.

(2)如果H+問=5,且a=—1,則b=；若|1—c|=2,則c=

2.選擇題：

下列敘述正確的是()

(A)若同=網(wǎng)，則a=b(B)若同>網(wǎng)，則a>b

(C)若a<b,則14cMi(D)若同=網(wǎng)，則a=±C

3.化簡：|x—5|—|2x—13|(x>5).

1.1.2.乘法公式

我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式:

(1)平方差公式(a^-b)(a-b)=a2-b2；

(2)完全平方公式(a±/?)2=a2±2ab+b2.

我們還可以通過證明得到下列?些乘法公式:

(1)立方和公式

(2)立方差公式(a-h)(a2+ab+h2)=a3-h3；

(3)三數(shù)和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c24-2(ab+be+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+Z?)3=a3+3a2b+3abi+b3；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-h)3=a3-3a2b-^3ab2-h\

對上面列出的五個公式，有興趣的同學可以自己去證明.

例1計算：(X+l)(x-l)(x2-X+l)(x2+X+1).

例2已知a+b+c=4,ah+he+ac-4,求a?+6?+c?的值.

練習

1.填空:

(1)—/72=(--/?+—()；

9423

(2)(4m+>=16〃/+4優(yōu)+()；

(3)(〃+2h—C)2=/+4/+C2+().

2.選擇題：

(1)若/+!機x+Z是一個完全平方式，則左等于

)

2

(A)m2(B)-m2(C)-m2(D)—m2

4316

(2)不論a,〃為何實數(shù)，a2+b2-2a-4h+Sm)

(A)總是正數(shù)(B)總是負數(shù)

(C)可以是零(D)可以是正數(shù)也可以是負數(shù)

1.1.3.二次根式

一般地，形如五(a20)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能

夠開得盡方的式子稱為無理式.例如3a+yla2+b+2h,證+廿等是無理式,

而及犬+5》+1,x2+\/2xy+y2,等是有理式.

1.分母(子)有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進行分母(子)

有理化，需要引入有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它

們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有理化因式，例如正與

V2,3&與a+?與G-灰，2G-3上與26+3及，等等.一般

地，aG與6，aG+1>6與aG-1>6，a五+)與a4-b互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根

號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中

的根號的過程.

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行,

運算中要運用公式右揚=而伍20/NO）;而對于二次根式的除法，通常先寫

成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算；二次根式的加減法與多項式的加

減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式.

2.二次根式必的意義

4^=同=]a,a>0,

-a,a<0.

例1將下列式子化為最簡二次根式:

(1)V12&；(2)4a^b(a>0)；(3)j4x6y(x<0).

例2計算：6+（3一百）.

例3試比較下列各組數(shù)的大小:

(1)Vi2-ViT^nVn-7io：(2)丁一和2V2-V6.

V6+4

例4化簡：(6+萬嚴4.(6-逝嚴5

例5化簡:79-475；(2)x2+——2(0<x<1).

V3—V25/3+V2

例6已知x------v—.求3*2-5xy+3y2的值.

G+VT'V3-V2

練習

1.填空:

1-V3

(1)

1+V3

(2)若J(5-x)(x-3)2=(x-3)VT7,則x的取值范圍是

(3)4A/24-6754+3796-27150=

若x=gJx+1—y/X—1+1+X—1

(4)則

2Jx+1+Jx-1Jx+1--Jx-1

2.選擇題:

等式、三=-fi=成立的條件是

()

\x-2Jx-2

(A)xw2(B)x>0(C)x>2(D)0<x<2

3.若b=]+',求〃+/7的值.

6Z+1

4.比較大?。?f____小一也(填“>"，或

1.1.4分式

1.分式的意義

AA

形如丑的式子，若8中含有字母，且則稱2為分式.當MRO時,

BB

A

分式芻具有下列性質(zhì)：

B

AAxM

~B~BxM；

AA^M

~B~'

上述性質(zhì)被稱為分式的基本性質(zhì).

2.繁分式

像_匕，“：〃+?這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

〃+p

例1若包巴=4+旦，求常數(shù)A,B的值.

光(x+2)xx+2

例2(1)試證：----——(其中〃是正整數(shù));

〃(〃+1)nn+1

111

(2)計算:--------1------+---???+

1x22x39xl0

⑶證明:對任意大于I的正整數(shù)〃，有*+貴+…+公方？

例3設e=￡，且e>l,2c2—5ac+2a2=0,求e的值.

ci

練習

1.填空題:

對任意的正整數(shù)〃，一一=___(--——);

"(〃+2)n"+2

2.選擇題：

若生I=2,則土=(

)

x+y3y

54

(A)1(B)-(C)-(D)t

45

3.正數(shù)滿足％2一>2=2孫，求二2的值.

x-\-y

計算」-+'+」-1

4.+…H-------------

1x22x33x499x100

習題1.1

A組

1.解不等式：

(1)|x-l|>3；(2)|x+3|+|x-2|<7；

(3)|x-l|+|x+l|>6.

2.已知x+y=l,求V+3孫的值.

3.填空：

⑴(2+后8(2_后9=.

(2)若7(1-?)2+1("A=2,則。的取值范圍是；

11111

(JTW2+V27V3+V37V4+V47V5+V57V6----------■

B組

1.選擇題:

(1)若yl~a-b-2y[ah--J-b-y[-a,則)

(A)a<b(B)a>b(C)a<b<0(D)b<a<Q

(2)計算4(

(A)yf-a(B)4a(C)(D)-4a

2.填空:

則3/-ab

(1)a

23a2+5ab-2b2

(2)若f+盯—2y2=0,則>：「=__________;

x+y

求以;--7正產(chǎn)的值.

3.已知：x=—,y=—

23y/x-yjyJx+Jy

4.解方程2(X2+±)—3(X+L)—1=0.

XX

1111

5.計算:----1-----1+???H

1x32x43x59x11

1.2分解因式

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分組分解法,

另外還應了解求根法及待定系數(shù)法.

1.十字相乘法

例1分解因式：

(1)x2—3x+2；(2)X2+4X-12；

(3)x2-(a+b)xy+aby2；(4)xy-\+x-y.

2.提取公因式法與分組分解法

例2分解因式：

(1)xi+9+3x2+3x；(2)2x2+Ay->,2-4x+5y-6.

3.關(guān)于x的二次三項式ax^+Ax+cm邦)的因式分解.

若關(guān)于x的方程ax?+bx+c=0(。工0)的兩個實數(shù)根是王、工2,則二次三項式

2

ax+bx+c(aH0)就可分解為a(x-x})(x-x2).

例3把下列關(guān)于x的二次多項式分解因式:

(1)X2+2X-1；(2)x2+4xy-4y2.

練習

1.選擇題：

多項式2/一孫一15y2的一個因式為()

(A)2x-5y(B)x-3y(C)x+3y(D)x-5y

2.分解因式：

(1)X2+6X+8；(2)8a3一/；

(3)x2—2x~1；(4)4(x—y+l)+y(y-2x).

1.2

1.分解因式：

(1)a、］；(2)4X4-13X2+9；

(3)h2+c2+lab+lac+2bc；(4)3x?+5xy-2y2+x+9y一4.

2.在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：

(1)X2-5X+3；(2)x2-2y[2x-3；

(3)3x2+4xy-y2；(4)(x2-2x)2-l(x2-2x)+\2.

3.A4BC三邊,c滿足/+〃+。2ab+bc+ca,試判定AA8C的形狀.

4.分解因式：x2+x—(a2—a).

2.1一元二次方程

2.1.1根的判別式

我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=Q（a，0）,用配方法可以將其變

形為

,b、2b2-4ac

(x+—)=--------①

2a4a2

因為存0,所以，4a2>o.于是

（1）當/一4">0時，方程①的右端是一個正數(shù)，因此，原方程有兩個不

相等的實數(shù)根

-b+yjb2—4ac

2a

（2）當反一4"=0時，方程①的右端為零，因此，原方程有兩個等的實數(shù)

根

b

X\=應=———

（3）當b2-4ac<0時，方程①的右端是一個負數(shù)，而方程①的左邊（x+2y

2a

一定大于或等于零，因此，原方程沒有實數(shù)根.

由此可知，一元.：次方程af+/?x+c=0（o/0）的根的情況可以由Z?2—4ac

來判定，我們把從一4雙叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（。/））的根的判別式,

通常用符號“△”來表示.

綜上所述，對于一元二次方程。/+取:+'=0（a,0）,有

(1)當A>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

-b±y]b2—4ac

X\2=---------------------

,2a

(2)當A=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根

X\=X2=-(

（3）當AVO時，方程沒有實數(shù)根.

例1判定下列關(guān)于X的方程的根的情況(其中a為常數(shù))，如果方程有實

數(shù)根，寫出方程的實數(shù)根.

(1)x2—3x+3=0；(2)x2—ax—1=0；

(3)x2—QX+(Q-1)=0；(4)x2—2x+〃=0.

2.1.2根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)

若一元二次方程〃/+云+°=0(〃舛)有兩個實數(shù)根

-b+J/-4-c-b—\Jh2-4ac

x,=------------------，x.=-------------------,

12a22a

則有

-b+y/b2-4ac-b-y/b2-4ac-2bb

x,+x.=------------+------------=---=——；

2a2a2aa

_-b+db2-4ac-b-ylb2-4ac_b2-(Z72-4ac)_4ac_c

122a2a4a24a2a

所以，一元二次方程的根與系數(shù)之間存在下列關(guān)系：

如果ax2+〃x+c=0(存0)的兩根分別是%1，%2，那么％1+必=-2,X1X2

a

=-.這一關(guān)系也被稱為韋達定理.

a

特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程f+px+q=0,若r,M是其

兩根，由韋達定理可知

X\+xz=—p,X\'X2=q,

即p=-（X]+12），C[~X\'X2^

2

所以，方程x2+px+q=0可化為X—（X1+x2）x+xi-%2=0,由于修，X2是一

元;：次方程x2+px+q=0的兩根，所以，修，X2也是一元一二次方程f—（X1+》2）X

+xrX2=0.因此有

以兩個數(shù)X1,X2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是

X2—（XI4-X2）X4-X|'X2=0.

例2已知方程5/+丘一6=0的一個根是2,求它的另一個根及上的值.

例3已知關(guān)于x的方程》2+2（機-2）x+〃/+4=0有兩個實數(shù)根，并且這

兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21,求加的值.

說明：（1）在本題的解題過程中，也可以先研究滿足方程有兩個實數(shù)根所對

應的m的范圍，然后再由“兩個實數(shù)根的平方和比兩個根的積大21”求出m的值,

取滿足條件的根的值即可.

（2）在今后的解題過程中，如果僅僅由韋達定理解題時，還要考慮到根的

判別式△是否大于或大于零.因為，韋達定理成立的前提是一元二次方程有實

數(shù)根.

例4已知兩個數(shù)的和為4,積為一12,求這兩個數(shù).

例5若為和X2分別是一元二次方程2X2+5X—3=0的兩根.

(1)求|修一詞的值；

(2)求4+4的值;

X]x2

(3)XJ+ML

說明：一元二次方程的兩根之差的絕對值是一個重要的量，今后我們經(jīng)常會

遇到求這一個量的問題，為了解題簡便，我們可以探討出其一般規(guī)律：

設R和X2分別是一元二次方程〃/+bx+c=O(aRO),貝IJ

-b+>Jb2-4ac-b-ylb2-4ac

Xi=,Xj=,

12a22a

-b+Yb2-4ac-b-\b2-4ac2yjb2-4ac

2a2a2a

\Jb2-4ac_VA

\a\|?|

于是有下面的結(jié)論:

若X1和X2分別是一元二次方程"2+分x+c=0(。邦)，則|X1—刈=再(其

1?1

中S=b2—4ac').

今后，在求一元二次方程的兩根之差的絕對值時，可以直接利用上面的結(jié)論.

例6若關(guān)于x的一元二次方程7—x+a—4=0的一根大于零、另一根小于

零，求實數(shù)。的取值范圍.

練習

1.選擇題：

(1)方程1-20息+3公=0的根的情況是()

(A)有一個實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根

(C)有兩個相等的實數(shù)根(D)沒有實數(shù)根

(2)若關(guān)于x的方程“/+(2m+l)x+〃?=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)僅

的取值范圍是()

(A)m<—(B)m>——

44

(C)m<—,且加用(D)m>——,且機用

44

2.填空:

(1)若方程》2—3萬一1=0的兩根分別是川和；12,則.

玉x2

(2)方程如^+彳―2m=0("和)的根的情況是.

(3)以-3和1為根的一元二次方程是.

3.已知Jq2+8a+i6+|下一1|=0,當上取何值時，方程匕2+"+6=0有兩個不

相等的實數(shù)根？

4.已知方程3x—1=0的兩根為xi和X2，求(尤1-3)(檢—3)的值.

習題2.1

A組

1.選擇題：

(1)已知關(guān)于x的方程/+日一2=0的一個根是1,則它的另一個根是()

(A)-3(B)3(C)-2(D)2

(2)下列四個說法：

①方程f+2x—"7=0的兩根之和為一2,兩根之積為一7；

②方程/—2》+7=0的兩根之和為一2,兩根之積為7；

③方程3》2—7=0的兩根之和為0,兩根之積為-(；

④方程3f+2x=0的兩根之和為一2,兩根之積為0.

其中正確說法的個數(shù)是()

(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個

(3)關(guān)于x的一元二次方程0?-5%+。2+。=0的一個根是0,則a的值是()

(A)0(B)1(C)-1(D)0,或一1

2.填空：

(1)方程依2+以-1=0的兩根之和為一2,則女=.

(2)方程2?—x—4=0的兩根為a,0,則.

(3)已知關(guān)于x的方程ax—3a=0的一個根是一2,則它的另一個根是

(4)方程2x?+2x—1=0的兩根為X］和刀2，則［X］一刈=.

3.試判定當用取何值時，關(guān)于x的一元二次方程機2%2—Qm+i)x+l=0有兩個

不相等的實數(shù)根？有兩個相等的實數(shù)根？沒有實數(shù)根？

4.求一個一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2—7x—1=0各根的相反數(shù).

B組

1.選擇題：

(1)已知一個直角三角形的兩條直角邊長恰好是方程2f—8x+7=0的兩根，

則這個直角三角形的斜邊長等于()

(A)V3(B)3(C)6(D)9

(2)若修，M是方程2/一張+1=0的兩個根，則土+五的值為()

x2X]

3

(A)6(B)4(C)3(D)-

2

(3)如果關(guān)于x的方程2(1一m)工+m2=。有兩實數(shù)根/p,則a+p的取值

范圍為()

(A)a+PN；(B)a+p<|(C)a+p>l(D)a+p<l

(4)已知a,b,c是A4BC的三邊長，那么方程cx2+(a+b)x+上=0的根的情

4

況是()

(A)沒有實數(shù)根(B)有兩個不相等的實數(shù)根

(C)有兩個相等的實數(shù)根(D)有兩個異號實數(shù)根

(5)若關(guān)于x的方程/+(必一1)x+k+l=0的兩根互為相反數(shù)，則k的值為

()

(A)1,或一1(B)1(C)-1(D)0

2.填空：

(1)若〃?，〃是方程d+ZOOSx-1=0的兩個實數(shù)根，則加2〃+加〃2—〃?〃的值

等于.

(2)如果a,b是方程f+x—1=0的兩個實數(shù)根，那么代數(shù)式"+a2b+"2

+"的值是.

3.已知關(guān)于x的方程匕-2=0.

(1)求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)設方程的兩根為X1和X2，如果2(X]+X2)>X1X2，求實數(shù)人的取值范圍.

4.一"元二次方程af+Ax+cu。(a/0)的兩根為修和X2.求：

（1）⑶一回和土產(chǎn)；

（2）%|3+%2'\

5.關(guān)于x的方程』+4工+用=0的兩根為修，M滿足|xi~~切|=2,求實數(shù)m的值.

6.已知X],M是關(guān)于x的一元-二次方程4日4H+上+1=0的兩個實數(shù)根.

（1）是否存在實數(shù)3使（2萬1一必）（七一2'2）=一]成立？若存在，求出人的

值；若不存在，說明理由；

（2）求使五+三一2的值為整數(shù)的實數(shù)女的整數(shù)值；

x2x}

（3）若女=一2,/1=五,試求4的值.

X2

7.若關(guān)于x的方程/+》+。=0的一個大于1、另--根小于1,求實數(shù)。的取值

范圍.

2.2二次函數(shù)

2.2.1二次函數(shù)7=°3+灰+。的圖像和性質(zhì)

問題1函數(shù)與的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

為了研究這一問題，我們可以先畫出y=2f,y=-2f的圖象，通

過這些函數(shù)圖象與函數(shù)y=f的圖象之間的關(guān)系，推導出函數(shù)與的

圖象之間所存在的關(guān)系.

先畫出函數(shù)丁=》2,y=2f的圖象.

從表中不難看出，要得到27的值，只要把相應

的f的值擴大兩倍就可以了.\）

再描點、連線，就分別得到了函數(shù)y=f,y=\

27的圖象（如圖2—1所示），從圖2—1我們可以\

得到這兩個函數(shù)圖象之間的關(guān)系：函數(shù)y=2f的圖

象可以由函數(shù)的圖象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉硪?/p>

的兩倍得到.

圖2.2-1

同學們也可以用類似于上面的方法畫出函數(shù)y

=；,，y=-2f的圖象，并研究這兩個函數(shù)圖象與

“y

2

函數(shù)的圖象之間的關(guān)系.y=2(x+l)+l

\,1y=2(x+i)2

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)7="2（存0）的圖象可以由y—x2的圖

象各點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼摹１兜玫?在二次函數(shù)

-1j0x

圖2.2-2

y=ax2(a/))中，二次項系數(shù)?決定了圖象的開口方向和在同一個坐標系中的開

口的大小.

問題2函數(shù)y=a(x+〃)2+%與的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？

同樣地，我們可以利用兒個特殊的函數(shù)圖象之間的關(guān)系來研究它們之間的關(guān)

系.同學們可以作出函數(shù)y=2(x+iy+l與y=2f的圖象(如圖2—2所示)，從

函數(shù)的同學我們不難發(fā)現(xiàn)，只要把函數(shù)y=2x2的圖象向左平移一個單位，再向

上平移一個單位，就可以得到函數(shù)y=2(x+iy+l的圖象.這兩個函數(shù)圖象之間

具有“形狀相同，位置不同”的特點.

類似地，還可以通過畫函數(shù)y=-3f,y=—3(x—產(chǎn)+1的圖象，研究它們

圖象之間的相互關(guān)系.

通過上面的研究，我們可以得到以下結(jié)論：

二次函數(shù)y=a(x+/i)2+A：(aH0)中,a決定了二次函數(shù)圖象的開口大小及方向；

h決定了二次函數(shù)圖象的左右平移，而且“正左移，h負右移”；k決定了二次

函數(shù)圖象的上下平移，而且“正上移，A負下移”.

由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y=ad+云+c(今0)的圖象的方

法：

由于y=ax2+/?x+c=a(x2+—x)+c=a(x2+—x+)+c——

aa4a4a

/h、24ac-b2

=Q(X+—)+-----------

2a4a

所以，y=a/+bx+c(#0)的圖象可以看作是將函數(shù)的圖象作左右平

移、上下平移得到的，于是，二次函數(shù)y=a?+z；x+c伍邦)具有下列性質(zhì)：

(1)當?>0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向上；頂點坐標為

對稱軸為直線*=-2;當xV-2時，y隨著x的增大而減

2a4a2a2a

b_A

??；當x>-2時，y隨著x的增大而增大；當x=—2時，函數(shù)取最小值y=

2a2a

4ac-b2

4a

(2)當a<0時，函數(shù)y=ax2+bx+c圖象開口向下；頂點坐標為

（-2,處二里），對稱軸為直線x=-2；當xv-2時，y隨著X的增大而增

2a4a2a2a

b_卜

大；當》＞一己時，y隨著x的增大而減??；當x=—2時，函數(shù)取最大值y=

2。2a

4ac-b~

4a?

上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過圖2.2—3和圖2.2—4直觀地表示出來.因

此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方

法來解決問題.

例2把二次函數(shù)y=f+Z；x+c的圖像向上平移2個單位，再向左平移4個

單位，得到函數(shù)的圖像，求江c的值.

例3已知函數(shù)y=d,-2<x<a,其中這一2,求該函數(shù)的最大值與最小值,

并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量x的值.

說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對。的所有可能情形進行討論.此

外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取部分實

數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題.

練習

1.選擇題：

(1)下列函數(shù)圖象中，頂點不在坐標軸上的是()

(A)y=2x(B)y=2x2~4x+2

(C)y=2x2~\(D)y=2x2~4x

(2)函數(shù)y=2(x—1)z+2是將函數(shù)y=2f()

(A)向左平移1個單位、再向上平移2個單位得到的

(B)向右平移2個單位、再向上平移1個單位得到的

(C)向下平移2個單位、再向右平移1個單位得到的

(D)向上平移2個單位、再向右平移1個單位得到的

2.填空題

(1)二次函數(shù)y=2》2—圖象的頂點坐標為(1,—2),則m=,n

(2)已知二次函數(shù)＞=/+(加-2)x—2機，當機=時，函數(shù)圖象的頂點在

y軸上；當m=時，函數(shù)圖象的頂點在x軸上；當機=時，

函數(shù)圖象經(jīng)過原點.

(3)函數(shù)y=-3(x+2)2+5的圖象的開口向,對稱軸為,

頂點坐標為；當x=時，函數(shù)取最___值y

=；當x時，y隨著x的增大而減小.

3.求下列拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大(小)值及y隨x的變

化情況，并畫出其圖象.

(1)y=x2—2x~3；(2)y=l+6x—x2.

4.已知函數(shù)y=—#—2x+3,當自變量x在下列取值范圍內(nèi)時，分別求函數(shù)的

最大值或最小值，并求當函數(shù)取最大(小)值時所對應的自變量x的值：

(1)爛一2；(2)爛2；(3)—2<%<1；(4)0<x<3.

2.2.2二次函數(shù)的三種表示方式

通過上一小節(jié)的學習，我們知道，二次函數(shù)可以表示成以下兩種形式：

1.一般式：y=ax2+bx+c（a/O）；

2.頂點式：y=a（x+/i）2+Jt（a=0）,其中頂點坐標是（一九k）.

除了上述兩種表示方法外，它還可以用另一種形式來表示.為了研究另一種

表示方式，我們先來研究二次函數(shù)產(chǎn)一+bx+c（行0）的圖象與x軸交點個數(shù).

當拋物線》=。，+法+以中0）與x軸相交時，其函數(shù)值為零，于是有

a，+bx+c=0.①

并且方程①的解就是拋物線y=ax2+bx+c（ar0）與x軸交點的橫坐標（縱坐

標為零），于是，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線y=ax2+bx+c（存0）與x軸交點個數(shù)與方程①

的解的個數(shù)有關(guān)，而方程①的解的個數(shù)又與方程①的根的判別式有

關(guān)，由此可知，拋物線y=af+bx+c（存0）與x軸交點個數(shù)與根的判別式△=/?

—4ac存在下列關(guān)系：

（1）當A>0時，拋物線丁="2+方x+c（a/0與x軸有兩個交點；反過來，

若拋物線y=ax2+必+c（a4））與x軸有兩個交點，則A>0也成立.

（2）當A=0時，拋物線y=?x2+bx+c（a邦）與*軸有一個交點（拋物線的

頂點）；反過來，若拋物線丁=一+"+’（"0）與x軸有一個交點，則A=0也成

立.

（3）當AV0時，拋物線y=ox2+bx+c（a邦）與x軸沒有交點；反過來，若

拋物線y=af+z>x+c（存0）與x軸沒有交點，則A<0也成立.

于是，若拋物線y=a，+6x+c（分0）與x軸有兩個交點4修，0）,B（%2?0）,

則X”是方程qf+bx+c：。的兩根，所以

,bc

X\+X2=——，九送2=一，

aa

bc

即_=_（即+12），——X|%2-

aa

所以，y=ax2-\-bx+c=a(x2+—x+—)

aa

2

=fl[x—(%)+%2)^+^1^2]

=a(x-x\)(%—%2)-

由上而的推導過程可以得到下面結(jié)論：

若拋物線y=?x2+/>x+c(a#))與x軸交于4(*1，0),B(x2,0)兩點，則其函數(shù)

關(guān)系式可以表示為y=a(x—xi)(x—*2)(。黃0).

這樣，也就得到了表示二次函數(shù)的第三種方法：

3.交點式：J=?(x—Xi)(X—x2)(?^0),其中x”X2是二次函數(shù)圖象與X軸交

點的橫坐標.

今后，在求二次函數(shù)的表達式時，我們可以根據(jù)題目所提供的條件，選用一

般式、頂點式、交點式這三種表達形式中的某一形式來解題.

例1已知某二次函數(shù)的最大值為2,圖像的頂點在直線y=x+l上，并且

圖象經(jīng)過點(3,-1),求二次函數(shù)的解析式.

說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂

點坐標，然后設出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題.因此，在解題時，要充

分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題.

例2已知二次函數(shù)的圖象過點(-3,0),(1,0),且頂點到x軸的距離等于

2,求此二次函數(shù)的表達式.

例3已知二次函數(shù)的圖象過點(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函數(shù)

的表達式.

練習

1.選擇題：

(1)函數(shù)y=-/+x—1圖象與x軸的交點個數(shù)是()

(A)0個(B)1個(C)2個(D)無法確

(2)函數(shù)＞=一；(X+1)2+2的頂點坐標是()

(A)(1,2)(B)(L-2)(C)(-1,2)(D)(-1,-2)

2.填空：

(1)已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過與x軸交于點(-1,0)和(2,0),則該二次函數(shù)

的解析式可設為》=a(a/)).

(2)二次函數(shù)y=-d+25x+1的函數(shù)圖象與x軸兩交點之間的距離

為.

3.根據(jù)下列條件，求二次函數(shù)的解析式.

(1)圖象經(jīng)過點(1,-2),(0,-3),(-1,-6)；

(2)當x=3時，函數(shù)有最小值5,且經(jīng)過點(1,11)；

(3)函數(shù)圖象與x軸交于兩點(1一啦，0)和(1+啦，0),并與y軸交于

(0,-2).

2.2.3二次函數(shù)的簡單應用

一、函數(shù)圖象的平移變換與對稱變換

1.平移變換

問題1在把二次函數(shù)的圖象進行平移時，有什么特點？依據(jù)這一特點，可

以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移？

我們不難發(fā)現(xiàn)：在對二次函數(shù)的圖象進行平移時，具有這樣的特點——只改

變函數(shù)圖象的位置、不改變其形狀，因此，在研究二次函數(shù)的圖象平移問題時，

只需利用二次函數(shù)圖象的頂點式研究其頂點的位置即可.

例1求把二次函數(shù)y=f—4x+3的圖象經(jīng)過下列平移變換后得到的圖象所

對應的函數(shù)解析式：

(1)向右平移2個單位，向下平移1個單位；

(2)向上平移3個單位，向左平移2個單位.

2.對稱變換

問題2在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標軸平行的直線進行對稱變換時，有

什么特點？依據(jù)這一特點，可以怎樣來研究二次函數(shù)的圖象平移?

我們不難發(fā)現(xiàn)：在把二次函數(shù)的圖象關(guān)于與坐標軸平行的直線進行對稱變換

時，具有這樣的特點——只改變函數(shù)圖象的位置或開口方向、不改變其形狀，因

此，在研究二次函數(shù)圖象的對稱變換問題時，關(guān)鍵是要抓住二次函數(shù)的頂點位置

和開口方向來解決問題.

二、分段函數(shù)

一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時，函數(shù)由不同的解析式給出，這

種函數(shù)，叫作分段函數(shù).

例3在國內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不

超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封

xg（0V爛100）的信應付多少郵資（單位：分）？寫出函數(shù)表達式，作出函數(shù)圖象.

分析：由于當自變量x在各個不同的范圍內(nèi)時，應付郵資的數(shù)量是不同的.所

以，可以用分段函數(shù)給出其對應的函數(shù)解析式.在解題時，需要注意的是，當x

在各個小范圍內(nèi)（如20<x<40）變化時，它所對應的函數(shù)值（郵資）并不變化

（都是160分）.

解：設每封信的郵資為y（單位：分），則y是x的函數(shù).這個函數(shù)的解析式

80,xe(0,20]

160Xe(20,40]

240,xe940,80]

320xG(60,80]

400,xw(80,100]

400

320

240

160o--?

204060801004克)

圖2.2—9

由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如圖2.2—9所示.

2.3方程與不等式

2.3.1二元二次方程組解法

方程X?+2盯+y2+x+y+6=。是一個含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的

項的最高次數(shù)是2的整式方程，這樣的方程叫做二元二次方程.其中％2,2孫，y2

叫做這個方程的二次項，叫做一次項，6叫做常數(shù)項.

我們看下面的兩個方程組：

x2-4y2+1+3y-1=0,

2x-y-1=0;

x2+/=20,

V

x2-5xy+6y2=0.

第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的，第二個方

程組是由兩個二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組.

下面我們主要來研究由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程

組的解法.

一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元

法來解.

例1解方程組

^+4/-4=0,①

x—2y-2=0.②

例2解方程組

x+y=7,①

孫=12.②

練習

1.下列各組中的值是不是方程組

P