廣東省三校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第六次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁(yè)
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廣東省三校2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期第六次檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.2.已知,,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.3.在中,D為的中點(diǎn),E為上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn),且,相交于點(diǎn)P,則()A. B.C. D.4.設(shè),則()A. B. C. D.5.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界矚目的成就,哥德巴赫猜想內(nèi)容是“每個(gè)大于的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”(注:如果一個(gè)大于的整數(shù)除了和自身外無(wú)其他正因數(shù),則稱這個(gè)整數(shù)為素?cái)?shù)),在不超過(guò)的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,則的概率是()A. B. C. D.6.某工廠只生產(chǎn)口罩、抽紙和棉簽,如圖是該工廠年至年各產(chǎn)量的百分比堆積圖(例如:年該工廠口罩、抽紙、棉簽產(chǎn)量分別占、、),根據(jù)該圖,以下結(jié)論一定正確的是()A.年該工廠的棉簽產(chǎn)量最少B.這三年中每年抽紙的產(chǎn)量相差不明顯C.三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩D.口罩的產(chǎn)量逐年增加7.如圖所示程序框圖,若判斷框內(nèi)為“”,則輸出()A.2 B.10 C.34 D.988.已知是的共軛復(fù)數(shù),則()A. B. C. D.9.某部隊(duì)在一次軍演中要先后執(zhí)行六項(xiàng)不同的任務(wù),要求是:任務(wù)A必須排在前三項(xiàng)執(zhí)行,且執(zhí)行任務(wù)A之后需立即執(zhí)行任務(wù)E,任務(wù)B、任務(wù)C不能相鄰,則不同的執(zhí)行方案共有()A.36種 B.44種 C.48種 D.54種10.《易經(jīng)》包含著很多哲理,在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用,《易經(jīng)》的博大精深,對(duì)今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田,圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖,八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長(zhǎng)為,陰陽(yáng)太極圖的半徑為,則每塊八卦田的面積約為()A. B.C. D.11.已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,離心率為,、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng),若為銳角三角形,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知全集,集合,,則陰影部分表示的集合是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在邊長(zhǎng)為的菱形中,點(diǎn)在菱形所在的平面內(nèi).若,則_____.14.若且時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.15.的展開(kāi)式中,的系數(shù)是______.16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且滿足,則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標(biāo)點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;(2)已知點(diǎn)M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn),求的值.18.(12分)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為,求使成立的的最小值.19.(12分)已知函數(shù).(1)若曲線存在與軸垂直的切線,求的取值范圍.(2)當(dāng)時(shí),證明:.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)的極坐標(biāo)為.(1)求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo);(2)設(shè)與交于,兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,求.21.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當(dāng)時(shí),.22.(10分)如圖,在四棱柱中,底面為菱形,.(1)證明:平面平面;(2)若,是等邊三角形,求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo),利用求得參數(shù)m,再用計(jì)算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.2、A【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,借助特殊值即可比較大小.【詳解】因?yàn)?,所?因?yàn)?,所以,因?yàn)?,為增函?shù),所以所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,利用單調(diào)性比較大小,屬于中檔題.3、B【解析】

設(shè),則,,由B,P,D三點(diǎn)共線,C,P,E三點(diǎn)共線,可知,,解得即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,,因?yàn)锽,P,D三點(diǎn)共線,C,P,E三點(diǎn)共線,所以,,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】試題分析:,.故C正確.考點(diǎn):復(fù)合函數(shù)求值.5、B【解析】

先列舉出不超過(guò)的素?cái)?shù),并列舉出所有的基本事件以及事件“在不超過(guò)的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,滿足”所包含的基本事件,利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】不超過(guò)的素?cái)?shù)有:、、、、、,在不超過(guò)的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù),所有的基本事件有:、、、、、、、、、、、、、、,共種情況,其中,事件“在不超過(guò)的素?cái)?shù)中,隨機(jī)選取個(gè)不同的素?cái)?shù)、,且”包含的基本事件有:、、、,共種情況,因此,所求事件的概率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率的計(jì)算,一般利用列舉法列舉出基本事件,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)該廠每年產(chǎn)量未知可判斷A、B、D選項(xiàng)的正誤,根據(jù)每年口罩在該廠的產(chǎn)量中所占的比重最大可判斷C選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】由于該工廠年至年的產(chǎn)量未知,所以,從年至年棉簽產(chǎn)量、抽紙產(chǎn)量以及口罩產(chǎn)量的變化無(wú)法比較,故A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤;由堆積圖可知,從年至年,該工廠生產(chǎn)的口罩占該工廠的總產(chǎn)量的比重是最大的,則三年累計(jì)下來(lái)產(chǎn)量最多的是口罩,C選項(xiàng)正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查堆積圖的應(yīng)用,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

由題意,逐步分析循環(huán)中各變量的值的變化情況,即可得解.【詳解】由題意運(yùn)行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此時(shí)輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖,只需在理解程序框圖的前提下細(xì)心計(jì)算即可,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值,再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi,從而確定a,b的值,求出a+b.【詳解】i,∴a+bi=﹣i,∴a=0,b=﹣1,∴a+b=﹣1,故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查了共軛復(fù)數(shù)的概念,是基礎(chǔ)題.9、B【解析】

分三種情況,任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位;任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位;任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,結(jié)合任務(wù)B和C不能相鄰,分別求出三種情況的排列方法,即可得到答案.【詳解】六項(xiàng)不同的任務(wù)分別為A、B、C、D、E、F,如果任務(wù)A排在第一位時(shí),E排在第二位,剩下四個(gè)位置,先排好D、F,再在D、F之間的3個(gè)空位中插入B、C,此時(shí)共有排列方法:;如果任務(wù)A排在第二位時(shí),E排在第三位,則B,C可能分別在A、E的兩側(cè),排列方法有,可能都在A、E的右側(cè),排列方法有;如果任務(wù)A排在第三位時(shí),E排在第四位,則B,C分別在A、E的兩側(cè);所以不同的執(zhí)行方案共有種.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合問(wèn)題,考查了學(xué)生的邏輯推理能力,屬于中檔題.10、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個(gè)三角形的面積,再計(jì)算出圓面積的,兩面積作差即可求解.【詳解】由圖,正八邊形分割成個(gè)等腰三角形,頂角為,設(shè)三角形的腰為,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面積為:,所以每塊八卦田的面積約為:.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記定理與面積公式,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為,再分別找到為直角三角形的兩種情況,最后再結(jié)合即可解決.【詳解】由已知可得,,所以,從而雙曲線方程為,不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上運(yùn)動(dòng),則,當(dāng)時(shí),此時(shí),所以,,所以;當(dāng)軸時(shí),,所以,又為銳角三角形,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,本題的關(guān)鍵是找到為銳角三角形的臨界情況,即為直角三角形,是一道中檔題.12、D【解析】

先求出集合N的補(bǔ)集,再求出集合M與的交集,即為所求陰影部分表示的集合.【詳解】由,,可得或,又所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了韋恩圖表示集合,集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

以菱形的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,再設(shè),根據(jù)求出的坐標(biāo),進(jìn)而求得即可.【詳解】解:連接設(shè)交于點(diǎn)以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則:設(shè)得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立平面直角坐標(biāo)系求解向量數(shù)量積的有關(guān)問(wèn)題,屬于中檔題.14、【解析】

將不等式兩邊同時(shí)平方進(jìn)行變形,然后得到對(duì)應(yīng)不等式組,對(duì)的取值進(jìn)行分類,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間上恒正、恒負(fù)時(shí)求參數(shù)范圍,列出對(duì)應(yīng)不等式組,即可求解出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以,所以或,?dāng)時(shí),對(duì)且不成立,當(dāng)時(shí),取,顯然不滿足,所以,所以,解得;當(dāng)時(shí),取,顯然不滿足,所以,所以,解得,綜上可得的取值范圍是:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍,難度較難.根據(jù)不等式恒成立求解參數(shù)范圍的兩種常用方法:(1)分類討論法:分析參數(shù)的臨界值,對(duì)參數(shù)分類討論;(2)參變分離法:將參數(shù)單獨(dú)分離出來(lái),再以函數(shù)的最值與參數(shù)的大小關(guān)系求解出參數(shù)范圍.15、【解析】

先將原式展開(kāi)成,發(fā)現(xiàn)中不含,故只研究后面一項(xiàng)即可得解.【詳解】,依題意,只需求中的系數(shù),是.故答案為:-40【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理性質(zhì),關(guān)鍵是先展開(kāi)再利用排列組合思想解決,屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】

由得時(shí),,兩式作差,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,進(jìn)一步求出數(shù)列的和.【詳解】解:數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且滿足,①當(dāng)時(shí),,②①-②得:,整理得:(常數(shù)),故數(shù)列是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,所以(首項(xiàng)不符合通項(xiàng)),故,所以:,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用,數(shù)列的前項(xiàng)和的公式,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)l:,C方程為;(2)=【解析】

(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系,把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

(2)利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),兩式相加得到,進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為.直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1,則轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為.(2)將直線的方程轉(zhuǎn)換為參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入得到(t1和t2為P、Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)),所以,,所以=.【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換,一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題型.18、(1);(2)的最小值為19.【解析】

(1)根據(jù)條件列方程組求出首項(xiàng)、公差,即可寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和化簡(jiǎn),利用裂項(xiàng)相消法求和,解不等式即可求解.【詳解】(1)等差數(shù)列的公差設(shè)為,,,可得,,解得,,則;(2),,前n項(xiàng)和為,即,可得,即,則的最小值為19.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,裂項(xiàng)相消法求和,屬于中檔題19、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】

(1)在上有解,,設(shè),求導(dǎo)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值,得到答案.(2)證明,只需證,記,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,得到函數(shù)的最小值,得到證明.【詳解】(1)由題可得,在上有解,則,令,,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減.所以是的最大值點(diǎn),所以.(2)由,所以,要證明,只需證,即證.記在上單調(diào)遞增,且,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以是的最小值點(diǎn),,則,故.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的切線問(wèn)題,證明不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和轉(zhuǎn)化能力.20、(1),(2)【解析】

(1)利用互化公式把曲線C化成直角坐標(biāo)方程,把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo);(2)把直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程,根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)t的幾何意義可得.【詳解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,將ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=1,設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(x,y),因?yàn)镻的極坐標(biāo)為(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1).(2)將代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因?yàn)椤鳎?102﹣4×41×25=80

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