備戰(zhàn)2024年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練卷(含解析)

備戰(zhàn)2024年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練卷（試卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．）一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．）1.在第七次全國(guó)人口普查中，江蘇常住人口約為人，將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A． B． C． D．若，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是（

）A.a B. C. D.3.估計(jì)的值在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間4.某學(xué)校將國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)——“抖空竹”引入陽(yáng)光特色大課間，某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖所示，若將左圖抽象成右圖的數(shù)學(xué)問(wèn)題：在平面內(nèi)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F；若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5.已知點(diǎn)、、在反比例函數(shù)圖象上，則（

）A． B． C． D．6.某校春季運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽中，七年級(jí)六班和七班的實(shí)力相當(dāng)，關(guān)于比賽結(jié)果，甲同學(xué)說(shuō)：六班與七班的得分比為4∶3，乙同學(xué)說(shuō)：六班比七班的得分2倍少40分，若設(shè)六班得x分，七班得y分，則根據(jù)題意可列方程組（

）A． B． C． D．7.趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）A. B. C. D.8.數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖，小明把矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，其中，且，則矩形的面積為（

）

A． B． C． D．二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）9.若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．10.分解因式：．11.如圖，直線，的直角頂點(diǎn)C在直線b上，若，則的度數(shù)為．12.已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．13.分式方程＝的解是．14.某學(xué)習(xí)小組利用直立在地面上標(biāo)桿測(cè)量直立在同一水平地面上的旗桿的高度（如圖）．同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)分別是．已知B、C、E、F在同一直線上，，則．15.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，如圖，直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，若，每個(gè)直角三角形的面積為15，則c的長(zhǎng)為．

16.如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)O；③作射線，交于點(diǎn)D若點(diǎn)D到的距離為1，則的長(zhǎng)為．17.某快遞公司每天上午為集中攬件和派件時(shí)段，甲倉(cāng)庫(kù)用來(lái)攬收快件，乙倉(cāng)庫(kù)用來(lái)派發(fā)快件，該時(shí)段內(nèi)甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量（件）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，那么從開(kāi)始，經(jīng)過(guò)______分鐘時(shí)，當(dāng)兩倉(cāng)庫(kù)快遞件數(shù)相同．18.如圖，將邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處，折痕為FH，點(diǎn)C落在Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)是________cm．解答題（本大題共有10小題，共96分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）計(jì)算：（1）；（2）．20.解不等式組并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．21.甲、乙、丙三個(gè)家電廠家在廣告中都聲稱，他們的某種電子產(chǎn)品在正常情況下的使用壽命都是8年，經(jīng)質(zhì)量檢測(cè)部門(mén)對(duì)這三家銷售的產(chǎn)品的使用壽命進(jìn)行跟蹤調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：（單位：年）甲廠：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15乙廠：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15丙廠：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16請(qǐng)回答下面問(wèn)題：（1）請(qǐng)把表格補(bǔ)充完整平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)甲廠56乙廠9.68.5丙廠9.44（2）這三個(gè)廠家的銷售廣告分別利用了哪一種表示集中趨勢(shì)的特征數(shù)？（3）你是顧客，你買三家中哪一家的電子產(chǎn)品？為什么？22.甲、乙兩位同學(xué)相約打乒乓球．有款式完全相同的4個(gè)乒乓球拍（分別記為A，B，C，D），若甲先從中隨機(jī)選取1個(gè)，乙再?gòu)挠嘞碌那蚺闹须S機(jī)選取1個(gè)，求乙選中球拍C的概率；雙方約定：兩人各投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發(fā)球，否則乙先發(fā)球．這個(gè)約定是否公平？為什么？23.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊形ADCF是菱形．24.如圖，已知反比例函數(shù)一次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，兩點(diǎn)．(1)求，，的值；(2)求的面積；(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式的解．25.如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥DC，連接AC，BC．（1）求證：AC是∠DAB的角平分線；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的長(zhǎng)．某動(dòng)物園在周年慶來(lái)臨之際，推出、兩種紀(jì)念章，已知每個(gè)種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)比每個(gè)種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)多4元；購(gòu)進(jìn)6件種紀(jì)念章和購(gòu)進(jìn)10件種紀(jì)念章的費(fèi)用相同，且種紀(jì)念章售價(jià)為13元/個(gè)，種紀(jì)念章售價(jià)為8元/個(gè)．每個(gè)種紀(jì)念章和每個(gè)種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，該園計(jì)劃用不超過(guò)2800元的資金購(gòu)進(jìn)、兩種紀(jì)念章共400個(gè)，這400個(gè)紀(jì)念章可以全部銷售，選擇哪種進(jìn)貨方案，該園獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？27.【問(wèn)題情境】在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板分別記作和，設(shè)．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不動(dòng)，連接．（1）當(dāng)時(shí)，________；當(dāng)時(shí)，________；（2）當(dāng)時(shí)，畫(huà)出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；（3）如圖2，取的中點(diǎn)F，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．28.拋物線過(guò)點(diǎn)A(－1，0)，點(diǎn)B(3，0)，與y軸交于C點(diǎn)．圖1

圖2求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖1，設(shè)M是拋物線上的一點(diǎn)，若∠MAB=45°，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖2，點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交直線BC于點(diǎn)E，過(guò)P點(diǎn)作PF⊥BC，交BC與F點(diǎn)，△PEF的周長(zhǎng)是否有最大值，若有最大值，求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．若不存在，說(shuō)明理由．備戰(zhàn)2024年江蘇省揚(yáng)州市中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練卷（解析版）試卷滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘．一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．）1.在第七次全國(guó)人口普查中，江蘇常住人口約為人，將用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，正確確定a的值以及n的值是解此題關(guān)鍵．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，即可解答．【詳解】故選：C．若，則括號(hào)內(nèi)應(yīng)填的單項(xiàng)式是（

）A.a B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將已知條件中的乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：∵，∴（）．故選：A．3.估計(jì)的值在（

）A．3和4之間 B．4和5之間 C．5和6之間 D．6和7之間【答案】B【分析】根據(jù)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：故選：B．4.某學(xué)校將國(guó)家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)——“抖空竹”引入陽(yáng)光特色大課間，某同學(xué)“抖空竹”的一個(gè)瞬間如圖所示，若將左圖抽象成右圖的數(shù)學(xué)問(wèn)題：在平面內(nèi)，，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F；若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：C．5.已知點(diǎn)、、在反比例函數(shù)圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)判斷出反比例函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)反比例函數(shù)的增減性解答即可．【詳解】解：點(diǎn)、、在反比例函數(shù)圖象上，，函數(shù)圖象在第一、三象限，隨的增大而減小，，，即，故選：B．6.某校春季運(yùn)動(dòng)會(huì)比賽中，七年級(jí)六班和七班的實(shí)力相當(dāng)，關(guān)于比賽結(jié)果，甲同學(xué)說(shuō)：六班與七班的得分比為4∶3，乙同學(xué)說(shuō)：六班比七班的得分2倍少40分，若設(shè)六班得x分，七班得y分，則根據(jù)題意可列方程組（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)六班得x分，七班得y分，根據(jù)：六班與七班的得分比為4：3，六班比七班的得分2倍少40分，可列方程組．【詳解】解：設(shè)六班得x分，七班得y分，則根據(jù)題意可列方程組：，故選：A．7.趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋.如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為，拱高約為，則趙州橋主橋拱半徑R約為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，，，主橋拱半徑R，根據(jù)垂徑定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案．【詳解】解：如圖，由題意可知，，，主橋拱半徑R，，是半徑，且，，在中，，，解得：，故選B8.數(shù)學(xué)課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．如圖，小明把矩形沿折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)處，其中，且，則矩形的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，然后根據(jù)同角的余角相等得到，進(jìn)而得到，設(shè)，，則，，根據(jù)定理求出，，最后利用矩形面積公式求解即可．【詳解】解：∵矩形沿折疊，使點(diǎn)C落在邊的點(diǎn)F處，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴設(shè)，，則，，∴，∵，∴，∵，，∴，即，∴解得：，負(fù)值舍去，∴，，∴矩形的面積．故選：A．二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）9.若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是．【答案】【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【詳解】解：∵在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴x-1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．10.分解因式：．【答案】【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【詳解】解：故答案為：．11.如圖，直線，的直角頂點(diǎn)C在直線b上，若，則的度數(shù)為．【答案】50°【分析】如圖：由平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平角的性質(zhì)可得即可求得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故答案為50°．12.已知關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【答案】m≤4【分析】根據(jù)根的判別式大于或等于零求解即可．【詳解】解：由題意得?=(-4)2-4m≥0，解得m≤4．故答案為：m≤4．13.分式方程＝的解是．【答案】x＝－6【分析】去分母后化為整式方程求解后檢驗(yàn)即可．【詳解】方程兩邊同時(shí)乘以x（x－3）得：3x=2(x－3)3x－2x=－6x=－6檢驗(yàn)：當(dāng)x=－6時(shí)，x（x－3）≠0所以x=－6是原分式方程的解．故答案為：x=－614.某學(xué)習(xí)小組利用直立在地面上標(biāo)桿測(cè)量直立在同一水平地面上的旗桿的高度（如圖）．同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)分別是．已知B、C、E、F在同一直線上，，則．【答案】【分析】由題意可得出，即得出，再根據(jù)，即可證，得出，代入數(shù)據(jù)，即可求出，即旗桿的高度為．【詳解】解：∵同一時(shí)刻測(cè)得旗桿和標(biāo)桿在太陽(yáng)光下的影長(zhǎng)分別是，∴，∴．∵，∴，∴，∴，即，解得，∴旗桿的高度為．故答案為：．15.我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時(shí)創(chuàng)制了“趙爽弦圖”，它是由4個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成，如圖，直角三角形的直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，若，每個(gè)直角三角形的面積為15，則c的長(zhǎng)為．

【答案】8【分析】由直角三角形的面積可求出，再把兩邊平方得，再結(jié)合勾股定理可知，從而可求出結(jié)論．【詳解】解：∵每個(gè)直角三角形的面積為15，∴，∴，又，∴，整理得，，又，∴，解得，或（負(fù)值舍去），故答案為：8．16.如圖，在中，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交于點(diǎn)M，N；②分別以M，N為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)O；③作射線，交于點(diǎn)D若點(diǎn)D到的距離為1，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，由尺規(guī)作圖AD平分，可求，然后證明∠EDB=∠B，可得DE=BE=1，在Rt△DEB中，由勾股定理得出，即可得出答案．【詳解】解:過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，由作圖步驟知，AD平分，，點(diǎn)D到的距離為1，∵∴∠B=∠CAB=45°，∴∠EDB=180°-∠DEB-∠B=45°=∠B，∴DE=BE=1，在Rt△DEB中，由勾股定理∴BC=DC+BD=1+．故答案為1+．17.某快遞公司每天上午為集中攬件和派件時(shí)段，甲倉(cāng)庫(kù)用來(lái)攬收快件，乙倉(cāng)庫(kù)用來(lái)派發(fā)快件，該時(shí)段內(nèi)甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量（件）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)圖象如圖所示，那么從開(kāi)始，經(jīng)過(guò)______分鐘時(shí)，當(dāng)兩倉(cāng)庫(kù)快遞件數(shù)相同．【答案】20【分析】利用待定系數(shù)法分別求出甲、乙兩倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量（件）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式，在求出兩直線的交點(diǎn)即可得到答案．【詳解】解：設(shè)甲倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量（件）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)圖象得，，解得：，，設(shè)乙倉(cāng)庫(kù)的快件數(shù)量（件）與時(shí)間（分）之間的函數(shù)關(guān)系式為，根據(jù)圖象得，，解得：，，聯(lián)立，解得：，經(jīng)過(guò)20分鐘時(shí)，當(dāng)兩倉(cāng)庫(kù)快遞件數(shù)相同，故答案為：20．18.如圖，將邊長(zhǎng)為6cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處，折痕為FH，點(diǎn)C落在Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)是________cm．解：由翻折的性質(zhì)得，DF=EF，設(shè)EF=x，則AF=6-x，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE=3，在Rt△AEF中，，即，解得：x=，∴AF=，∵∠FEG=∠D=90°，∴∠AEF+∠BEG=90°，

∵∠AEF+∠AFE=90°，∴∠AFE=∠BEG，又∵∠A=∠B=90°，∴△AEF∽△BGE，∴，即，解得BG=4，三、解答題（本大題共有10小題，共96分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、化簡(jiǎn)二次根式及特殊角的三角函數(shù)，然后計(jì)算加減即可；（2）先計(jì)算分式的除法，然后計(jì)算加減法即可．【詳解】解：（1）；（2）．20.解不等式組并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【答案】，數(shù)軸表示見(jiàn)解析．【解析】【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式①得·，解不等式②，得：，把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：則不等式組解集為：．21.甲、乙、丙三個(gè)家電廠家在廣告中都聲稱，他們的某種電子產(chǎn)品在正常情況下的使用壽命都是8年，經(jīng)質(zhì)量檢測(cè)部門(mén)對(duì)這三家銷售的產(chǎn)品的使用壽命進(jìn)行跟蹤調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：（單位：年）甲廠：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15乙廠：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15丙廠：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16請(qǐng)回答下面問(wèn)題：（1）請(qǐng)把表格補(bǔ)充完整平均數(shù)眾數(shù)中位數(shù)甲廠56乙廠9.68.5丙廠9.44（2）這三個(gè)廠家的銷售廣告分別利用了哪一種表示集中趨勢(shì)的特征數(shù)？（3）你是顧客，你買三家中哪一家的電子產(chǎn)品？為什么？【答案】（1）8，8，8；（2）甲家的銷售廣告利用了平均數(shù)8表示集中趨勢(shì)的特征數(shù)；乙家的銷售廣告利用了眾數(shù)8表示集中趨勢(shì)的特征數(shù)；丙家的銷售廣告利用了中位數(shù)8表示集中趨勢(shì)的特征數(shù)；（3）作為顧客在選購(gòu)產(chǎn)品時(shí)，應(yīng)選乙廠的產(chǎn)品．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義解題，眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按順序排列，位于正中間的一個(gè)數(shù)（或兩個(gè)數(shù)的平均值）；（2）根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義解題；（3）根據(jù)眾數(shù)的實(shí)際意義解題．【詳解】解：（1）甲廠：平均數(shù)為乙廠：數(shù)字8出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為8丙廠：將這組數(shù)據(jù)按順序排列，位于正中間的兩個(gè)數(shù)是，7，9，故中位數(shù)為：；（2）甲家的銷售廣告利用了平均數(shù)8表示集中趨勢(shì)的特征數(shù)乙家的銷售廣告利用了眾數(shù)8表示集中趨勢(shì)的特征數(shù)丙家的銷售廣告利用了中位數(shù)8表示集中趨勢(shì)的特征數(shù)（3）∵平均數(shù)：乙大于丙大于甲眾數(shù)：乙大于甲大于丙中位數(shù)：乙大于丙大于甲∴作為顧客在選購(gòu)產(chǎn)品時(shí)，應(yīng)選乙廠的產(chǎn)品．22.甲、乙兩位同學(xué)相約打乒乓球．有款式完全相同的4個(gè)乒乓球拍（分別記為A，B，C，D），若甲先從中隨機(jī)選取1個(gè)，乙再?gòu)挠嘞碌那蚺闹须S機(jī)選取1個(gè)，求乙選中球拍C的概率；雙方約定：兩人各投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發(fā)球，否則乙先發(fā)球．這個(gè)約定是否公平？為什么？【答案】（1）（2）公平．理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）用列表法或畫(huà)樹(shù)狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，再用乙選中球拍C的結(jié)果數(shù)除以總的結(jié)果數(shù)即可；（2）分別求出甲先發(fā)球和乙先發(fā)球的概率，再比較大小，如果概率相同則公平，否則不公平．【小問(wèn)1詳解】解：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：一共有12種等可能的結(jié)果，其中乙選中球拍C有3種可能的結(jié)果，∴乙選中球拍C的概率；【小問(wèn)2詳解】解：公平．理由如下：畫(huà)樹(shù)狀圖如下：一共有4種等可能的結(jié)果，其中兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上有2種可能的結(jié)果，∴甲先發(fā)球的概率，乙先發(fā)球的概率，∵，∴這個(gè)約定公平．23.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊形ADCF是菱形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意，直接運(yùn)用“角角邊”證明即可；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，先證明其為平行四邊形，然后證明一組鄰邊相等，根據(jù)菱形的定義判定即可．【詳解】（1）∵，∴，∵E是AD的中點(diǎn)，∴，在△AEF與△DEB中，∴；（2）由（1）可知，，∵D是BC的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴四邊形ADCF是平行四邊形，又∵△ABC為直角三角形，∴，∴四邊形ADCF是菱形．24.如圖，已知反比例函數(shù)一次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)，兩點(diǎn)．(1)求，，的值；(2)求的面積；(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出不等式的解．【答案】(1)，(2)(3)或【分析】（1）把代入反比例函數(shù)解析式，可得，再求解的值，再利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式即可；（2）如圖，當(dāng)，，則一次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)計(jì)算即可；（3）根據(jù)一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的上方可得答案.【詳解】（1）解：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖像交于點(diǎn)、，，∴，解得：，∴，∴，解得：，∴；（2）如圖，當(dāng)，，∴一次函數(shù)的圖像與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴；（3）由函數(shù)圖像可得：的解集為：或．25.如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，CD與⊙O相切于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥DC，連接AC，BC．（1）求證：AC是∠DAB的角平分線；（2）若AD＝2，AB＝3，求AC的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCD＝90°，再根據(jù)AD⊥DC，和半徑線段即可證明AC是∠DAB的角平分線；（2）利用圓周角定理得到∠ACB＝90°，再證明Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AC的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）證明：連接OC，如圖，∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠OCD＝90°，∴∠ACD+∠ACO＝90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∴∠ACO＝∠DAC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC是∠DAB的角平分線；（2）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠D＝∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠BAC，∴Rt△ADC∽R(shí)t△ACB，∴，∴AC2＝AD?AB＝2×3＝6，∴AC＝某動(dòng)物園在周年慶來(lái)臨之際，推出、兩種紀(jì)念章，已知每個(gè)種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)比每個(gè)種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)多4元；購(gòu)進(jìn)6件種紀(jì)念章和購(gòu)進(jìn)10件種紀(jì)念章的費(fèi)用相同，且種紀(jì)念章售價(jià)為13元/個(gè)，種紀(jì)念章售價(jià)為8元/個(gè)．每個(gè)種紀(jì)念章和每個(gè)種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)根據(jù)網(wǎng)上預(yù)約的情況，該園計(jì)劃用不超過(guò)2800元的資金購(gòu)進(jìn)、兩種紀(jì)念章共400個(gè)，這400個(gè)紀(jì)念章可以全部銷售，選擇哪種進(jìn)貨方案，該園獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)每個(gè)A種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)為10元，每個(gè)B種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)為6元；(2)該專賣店獲得銷售利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案為購(gòu)進(jìn)A紀(jì)念章100個(gè)，B紀(jì)念章300個(gè)，最大利潤(rùn)為900元．【分析】（1）設(shè)每個(gè)A種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)為x元，則每個(gè)B種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)為元，由等量關(guān)系列出方程即可求解；（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念章a個(gè)，則購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念章(400?a)個(gè)，利潤(rùn)為w元，由題意知，，利潤(rùn)，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)每個(gè)A種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)為x元，則每個(gè)B種紀(jì)念章的進(jìn)價(jià)為元，由題意得，，解得：，∴，答：每個(gè)A種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為10元，每個(gè)B種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為6元；（2）解：設(shè)購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念章a個(gè)，則購(gòu)進(jìn)B種紀(jì)念章(400?a)個(gè)，利潤(rùn)為w元，由題意知，，解得，，，∵，∴w隨著a的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，w最大，值為900，∴（個(gè)），答：該專賣店獲得銷售利潤(rùn)最大的進(jìn)貨方案為購(gòu)進(jìn)A紀(jì)念章100個(gè)，B紀(jì)念章300個(gè)，最大利潤(rùn)為900元．27.【問(wèn)題情境】在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，李老師讓同桌兩位同學(xué)用相同的兩塊含的三角板開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，兩塊三角板分別記作和，設(shè)．【操作探究】如圖1，先將和的邊、重合，再將繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中保持不動(dòng)，連接．（1）當(dāng)時(shí)，________；當(dāng)時(shí)，________；（2）當(dāng)時(shí)，畫(huà)出圖形，并求兩塊三角板重疊部分圖形的面積；（3）如圖2，取的中點(diǎn)F，將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】（1）2；30或210（2）畫(huà)圖見(jiàn)解析；（3）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，與重合，證明為等邊三角形，得出；當(dāng)時(shí)，根據(jù)勾股定理逆定理得出，兩種情況討論：當(dāng)在下方時(shí)，當(dāng)在上方時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可；（2）證明四邊形是正方形，得出，求出，得出，求出，根據(jù)求出兩塊三角板重疊部分圖形的面積即可；（3）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出，即，確定將繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)F在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，求出圓的周長(zhǎng)即可．【小問(wèn)1詳解】解：∵和中，∴，∴當(dāng)時(shí)，與重合，如圖所示：連接，∵，，∴為等邊三角形，∴；當(dāng)時(shí)，∵，∴當(dāng)時(shí)，為直角三角形，，∴，當(dāng)在下方時(shí)，如圖所示：∵，∴此時(shí)；當(dāng)在上方時(shí)，如圖所示：∵，∴此時(shí)；綜上分析可知，當(dāng)時(shí)，或；故答案為：2；30或210．【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵，∴，∴，∵，又∵，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即兩塊三角板重