高考數(shù)學(xué)考前60天沖刺50題六大解答題圓錐曲線

高考數(shù)學(xué)考前60天沖刺50題【六大解答題】

圓錐曲線

2

1..如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中。橢圓。:三+產(chǎn)=1的右焦點(diǎn)為尸，右準(zhǔn)線

為/。

(1)求到點(diǎn)F和直線/的距離相等的點(diǎn)G的軌跡方程。

(2)過(guò)點(diǎn)尸作直線交橢圓。于點(diǎn)4,8,又直線。4交/于點(diǎn)T,若07=204,求

線段的長(zhǎng)；

(3)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為優(yōu),為),與工0,直線OM交直線當(dāng)+%y=l于點(diǎn)N,且

和橢圓。的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P,是否存在實(shí)數(shù)/I,使得OP?=〃)MON?,若存在,

求出實(shí)數(shù)4;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

22

2.設(shè)A8分別為橢圓二+與=1(。乃〉0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于焦

ab"

距，且x=4是它的右準(zhǔn)線，

(1)求橢圓方程；

(2)設(shè)夕為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任一點(diǎn)，若直線4"、跖分別與橢圓

交于異于4、8兩點(diǎn)風(fēng)N,證明：點(diǎn)8在以肥為直徑的圓內(nèi).

22

3.如圖，已知橢圓與+[=1(4＞。＞0)的長(zhǎng)軸為4?,過(guò)點(diǎn)B的直線/與X軸垂

Th

第1頁(yè)共38頁(yè)

直.直線(2—A)x-(1+2&)y+(1+2左)=0(左eR)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂

點(diǎn)，且橢圓的離心率e=?.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P是橢圓上異于A、8的任意一點(diǎn)，軸，〃為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)

。使得HP=PQ,連結(jié)A。延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)M,N為MB夕中點(diǎn).試判斷直線。N

M

與以AB為直徑的圓。的位置關(guān)系.

N

-->

一X

4.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為婦，且經(jīng)

2

過(guò)點(diǎn)"(4,1),直線/:y=x+機(jī)交橢圓于不同的兩點(diǎn)A,B.

(I)求橢圓的方程；

(II)求相的取值范圍；

(III)若直線/不過(guò)點(diǎn)M,試問(wèn)%也是否為定值？并說(shuō)明理由。

5.已知橢圓的焦點(diǎn)耳(1,0),瑪(-1,0),過(guò)作垂直于y軸的直線被橢圓所截

線段長(zhǎng)為指,過(guò)耳作直線/與橢圓交于46兩點(diǎn).

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(H)是否存在實(shí)數(shù)f使胡+。6=次耳，若存在，求，的值和直線/的方程；若

不存在，說(shuō)明理由.

第2頁(yè)共38頁(yè)

6.已知橢圓C:=+與=l(a>8>0)的離心率為工，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半

ab~2

軸為半徑的圓與直線x-y+&=0相切，過(guò)點(diǎn)P(4,0)且不垂直于x軸直

線/與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)。

(1)求橢圓C的方程；

(2)求Q4,03的取值范圍；

(3)若B點(diǎn)在于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是E,證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)。

7.已知橢圓r+，=1(4>。>0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直

角三角形，直線x-y+b=0是拋物線V=4x的一條切線.

(I)求橢圓的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)S(0,-：)的動(dòng)直線￡交橢圓。于A.6兩點(diǎn).問(wèn)：是否

存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T?若存在，求點(diǎn)7坐標(biāo)；

若不存在，說(shuō)明理由。

V-2

8.設(shè)橢圓C:一■+丁=1(。>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)是耳(―c,0)和居(c,0)(c>0),且橢圓C上

a-

的點(diǎn)到焦點(diǎn)艮的最短距離為6-0.

(1)求橢圓的方程；

(2)若直線/:y=依+〃Z(ZNO)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N,線段MN垂直平

分線恒過(guò)點(diǎn)A(0,-1),求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

第3頁(yè)共38頁(yè)

->2

9.已知橢圓C:'+方=1的短軸長(zhǎng)等于焦距，橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)廠的最短

距離為0-1.

(I)求橢圓C的方程；

(H)過(guò)點(diǎn)七(2,0)且斜率為％(%>0)的直線/與C交于M、N兩點(diǎn)，P是點(diǎn)

M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，證明：N、F、P三點(diǎn)共線.

13

10.橢圓少的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在X軸上，離心率為5.點(diǎn)/(1,5)、4、8

在橢圓后上，且蘇1+屈=勿游(加￡心.

(1)求橢圓￡的方程及直線4?的斜率；

(2)當(dāng)勿=—3時(shí)，證明原點(diǎn)。是△/8的重心，并求直線的方程.

11.已知拋物線V=4x,點(diǎn)M(l,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N,直線/過(guò)點(diǎn)M交拋物

線于4,8兩點(diǎn).

(1)證明：直線M4,NB的斜率互為相反數(shù)；

(2)求AANB面積的最小值；

(3)當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，〃,0),(加〉0且mwl).根據(jù)(1)(2)推測(cè)并回答下列問(wèn)

題(不必說(shuō)明理由)：

第4頁(yè)共38頁(yè)

22/y

12.已知橢圓E5+與=1(a>6>o)的離心率疔注，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(后，1),0

ah~2|y

為坐標(biāo)原點(diǎn)。

(I)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；~~?

(II)圓。是以橢圓￡的長(zhǎng)軸為直徑的圓，"是直線I沖?

x=-4在x軸上方的一點(diǎn)，過(guò)"作圓。的兩條切線，

切點(diǎn)分別為只Q，當(dāng)NP給60°時(shí)，求直線尸0的方程.

13.設(shè)拋物線C：/=4y的焦點(diǎn)為凡曲線C2與G

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(I)求曲線G的方程；

(II)曲線C2上是否存在一點(diǎn)尸(異于原點(diǎn))，過(guò)

點(diǎn)2作G的兩條切線用，PB,切點(diǎn)4B,

滿足I四|是|必|與|知|的等差

中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.在平面直角坐標(biāo)系％。中，已知圓q：(x+3)2+(y-l)2=4和圓

22

C2:(X-4)+(^-5)=4,

(1)若直線/過(guò)點(diǎn)A(4,0),且被圓G截得的弦長(zhǎng)為2嶼，求直線/的方程；

(2)設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線(和

12,它們分別與圓G和圓C2相交，且直線4被圓G截得的弦長(zhǎng)與直線4被圓C2

截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

第5頁(yè)共38頁(yè)

3

15.已知，橢圓C過(guò)點(diǎn)A(l,1),兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0)o

(1)求橢圓C的方程；

(2)E、F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如.果直線AE的斜率與AF的斜率互為相

反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，，并求出這個(gè)定值。

16.已知雙曲線E：土一21=1的左焦點(diǎn)為F,左準(zhǔn)線/與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓

2412

心，圓C恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。，設(shè)G是圓C上任意一點(diǎn).

(I)求圓C的方程；

(II)若直線FG與直線/交于點(diǎn)T,且G為線段FT的中點(diǎn)，求直線EG被圓C

所截得的弦長(zhǎng)；

(HI)在平面上是否存在定點(diǎn)P,使得對(duì)圓C上任意的點(diǎn)G有些｝=」？若存在,

\GP\2

求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

橢圓C：下方=1

17.a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,右頂點(diǎn)為A,

P為橢圓C上任意一點(diǎn).已知助?。巴的最大值為3,最小值為2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/：y=foc+〃7與橢圓C相交于M、N兩點(diǎn)(M、N不是左右

頂點(diǎn))，且以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)4.求證：直線/過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的

坐標(biāo).

18.已知拋物線。的頂點(diǎn)是橢圓片+亡=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重

43

合.

第6頁(yè)共38頁(yè)

(1)求拋物線。的方程；

(2)已知?jiǎng)又本€I過(guò)點(diǎn)P(4,0),交拋物線。于A、8兩點(diǎn).

⑺若直線/的斜率為1,求A8的長(zhǎng)；

(")是否存在垂直于x軸的直線機(jī)被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為

定值？如果存在，求出〃，的方程；如果不存在，說(shuō)明理由.

19.已知圓G的方程為爐+(丁—2)2=1,定直線/的方程為y=-l.動(dòng)圓C與圓

G外切，且與直線,相切.

(I)求動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程；

(II)斜率為A的直線/與軌跡M相切于第一象限的點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作直線1

的垂線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,6),并交軌跡M于異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q,記S為APOQ

(0為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積，求S的值.

222

20.已知橢r圓=+v==1(。＞人＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(—,遙)，它的焦距為2,它的左、

ab2

右頂點(diǎn)分別為a，A2,片是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(非頂點(diǎn))，點(diǎn)外是點(diǎn)片關(guān)于工

軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線A/與相交于點(diǎn)E.

(I)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(II)求點(diǎn)E的軌跡方程.

21.橢圓。的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)。，焦點(diǎn)在y軸上，離心率e=乎，橢圓上的點(diǎn)到

焦點(diǎn)的最短距離為1坐直線1與y軸交于點(diǎn)P(0,加，與橢圓C交于相

第7頁(yè)共38頁(yè)

異兩點(diǎn)4B,且AP=/lPB.

(1)求橢圓方程；

(2)若OA+XOB=40P,求加的取值范圍.

22.設(shè)拋物線M方程為V=2PHp>0),其焦點(diǎn)為F,P(〃向(aH0)為直線y=x

與拋物線M的

一個(gè)交點(diǎn)，IP用=5

(1)求拋物線的方程；

(2)過(guò)焦點(diǎn)F的直線/與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，試問(wèn)在拋物線M的準(zhǔn)線上是否

存在一點(diǎn)Q,使得AQAB

為等邊三角形，若存在求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

23.已知點(diǎn)R(-3,0),點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)。在x軸的正半軸上，點(diǎn)股在直線PQ上,

且滿足2PM+3MQ=0,RP-PM=0.

(I)當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程;

(11)設(shè)42,必)、為軌跡C上兩點(diǎn)，且$>1,y>0,N(l,0),求實(shí)數(shù)2,

—*—?.16

使A3=/IAN,且AB二一.

3

7

24.如圖，在AABC中，|ABHAC|=/J|=2,以B、C為焦點(diǎn)的橢圓恰好過(guò)AC

的中點(diǎn)P.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

第8頁(yè)共38頁(yè)

(2)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)4作直線/與圓E:(x-l)2+y2=2相交于〃、N兩

點(diǎn)，試探究點(diǎn)M、N能將圓E分割成弧長(zhǎng)比值為1：3的兩段弧嗎？若能，求出

直線/的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

25.如圖所示，尸是拋物線y2=2pMp>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)A(4,2)為拋

物線內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，|P4|+|「目的最小值為

8.

(1)求拋物線方程；

(2)若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，問(wèn)是否存在定點(diǎn)使過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線

與拋物線交于8,C兩點(diǎn)，且以3c為直徑的圓恰過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，若

存在，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

26.已知橢圓二+2=1(。乂〉0)上有一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離分別為

ab

3+272,3-2V2o

(1)求橢圓的方程；

(2)如果直線x=9eR)與橢圓相交于AB,若C(T)，證明直線CA與

直線8。的交點(diǎn)K必在一條確定的雙曲線上；

(3)過(guò)點(diǎn)Q(l,0)作直線/(與x軸不垂直)與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)R,若=RN=RNQ,證明：4+〃為定值。

27.已知拋物線C:y2=4x,F是C的焦點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線1與C交于A,B兩點(diǎn)，

0為坐標(biāo)原點(diǎn)。

第9頁(yè)共38頁(yè)

(1)求。A?。8的值；(2)設(shè)A尸=2~8,求AABO的面積S的最小值;

(3)在(2)的條件下若SW石，求4的取值范圍。

22

28.已知拋物線。的頂點(diǎn)是橢圓±+±=1的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重

43

合.

(1)求拋物線。的方程；

(2)已知?jiǎng)又本€/過(guò)點(diǎn)P(4,0),交拋物線。于A、8兩點(diǎn).

(i)若直線/的斜率為1,求A8的長(zhǎng)；

(")是否存在垂直于x軸的直線〃?被以AP為直徑的圓M所截得的弦長(zhǎng)恒為

定值？如果存在，求出機(jī)的方程；如果不存在，說(shuō)明理由.

高考數(shù)學(xué)(理)考前60天沖刺【六大解答題】圓錐曲線專練答案

2

1..如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中。橢圓C:5+y2=i的右焦點(diǎn)為尸，右準(zhǔn)線

為/。

(1)求到點(diǎn)F和直線/的距離相等的點(diǎn)G的軌跡方程。

(2)過(guò)點(diǎn)/作直線交橢圓。于點(diǎn)又直線交/于點(diǎn)T,若OT=2Q4,求

線段的長(zhǎng)；

(3)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為優(yōu)，先),X0N0,直線OM交直線當(dāng)+為y=l于點(diǎn)N,且

7

和橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)尸，是否存在實(shí)數(shù)丸，使得OP-=2OMON?,若存在,

求出實(shí)數(shù)幾；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

第10頁(yè)共38頁(yè)

解：(1)由橢圓方程為5+9=1

可得〃2=2,b2=\9c=l,

/(1,0),l:x=2.

設(shè)G(x,y),貝0由題意可矢口Ja—iy+J耳％_2|,

化簡(jiǎn)得點(diǎn)G的軌跡方程為V=—2尢+3...............4分

(2)由題意可知xA=xF=c=\,

X22

故將％=i代入萬(wàn)+y=i,

可得1%1=#，從而4?=夜..........8分

(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)2滿足題意.

由已知得=①

%

當(dāng)+%y=i②

2

橢圓ay+y2=l③

由①②解得漏=-2^--y-2%

V+2%-,/2+2%2?

由①③解得xj=/反亍2=_^y￡_

年+2媼"年+2城

12分

尸2_X2+V2_

?u0r2xJ2yJ_2(xj+yj)

,,-Xp十yp-2八2十2c2-2c2‘

X。+2y0/+2yox0+2yo

OMON=xx+yv=———+―—=土

°"2年+2%\+2%2心2城?

故可得4=1滿足題

意.16分

2.設(shè)46分別為橢圓=l(a,0>0)的左、右頂點(diǎn)，橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于焦

靛+F

距，且x=4是它的右準(zhǔn)線，

(1)求橢圓方程；

(2)設(shè)尸為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)(4,0)的任一點(diǎn)，若直線力只分別與橢圓交

于異于4、8兩點(diǎn)KN,證明：點(diǎn)6在以助V為直徑的圓內(nèi).

第11頁(yè)共38頁(yè)

22

---F—=1..........................................................6分

43

(2)A(-2,0),B(2,0),令"(后,%)M在橢圓上，.??用2=》4一七2),

又M異于A、B點(diǎn)，—2</<2,令P4)yP、A、M三點(diǎn)共線，.?.匕b=上工,

%_()x0+2

...y...P(4,-^y=(x°-2,y°),3P=(2,-^)..........

10

x0+2x0+2x0+2

分

3

2(/24)+6Xz(4/2)_205/2

6%2

BMBP=2(xn-2)+

x0+2x()+22(x0+2)

2

-2<xa<2,:.xo+2>O,20-5AQ>0BM-BP>0,.................14

分

ZPBM<90°,ZNBM>90°,5在以新V為直徑的圓內(nèi)

22

3.如圖，已知橢圓三+斗=l(a>6>0)的長(zhǎng)軸為加，過(guò)點(diǎn)8的直線/與％軸垂

ah~

直.直線(2-&)x-(1+2k)y+(1+2k)=O(keR)所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂

點(diǎn)，且橢圓的離心率e=g.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P是橢圓上異于4、8的任意一點(diǎn)，尸"，x軸，”為垂足，延長(zhǎng)“P到點(diǎn)

2使得HP=PQ，連結(jié)A。延長(zhǎng)交直線/于點(diǎn)M,N為的中點(diǎn).試判斷直線。N

y，

與以AB為直徑的圓。的位置關(guān)系.

(1)將(2—&)x—(1+2左)y+(l+2C)=0整理得(一x—2y+2)左+2x-y+l=0

解方程組［―"―2丁+2=0得直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)（0,1）,所以b=i.

2x-y+1=0

由離心率6=且得。=2.

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

—+y2=1---------------------------------------------------------------------4分

4

2

（2）設(shè)尸■，先）,則年■+為』.

,HP=PQ,...?OQ=Jx；+(2y＜：)=2

二。點(diǎn)在以。為圓心，2為半徑的的圓上.即。點(diǎn)在以至為直徑的圓。上.……6

分

又A（-2,0）,.?.直線A。的方程為廣烏1"+2）.

X八十Z

令x=2,得M2,3^.又B(2,0),N為MB的中點(diǎn)，,N2,3上...8分

、公+2JI%)+2,

2%%、

/.OQ=(x,2y),NQ=x-2,

000X。+2,

.?.。0.3=%(%-2)+2%.筆=%(%-2)+誓=%伉_2)+^^

X()*1/十乙I乙

=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0.

二OQLNQ..,.直線QN與圓。相切.

A

4.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為”,且經(jīng)

2

過(guò)點(diǎn)A/（4,l）,直線/:y=x+機(jī)交橢圓于不同的兩點(diǎn)A,B.

第13頁(yè)共38頁(yè)

（I）求橢圓的方程；

（II）求，”的取值范圍；

（III）若直線/不過(guò)點(diǎn)M,試問(wèn)K是否為定值？并說(shuō)明理由。

c,b_1

2分

a2a2

22

依題意設(shè)橢圓方程為:方+方=1,把點(diǎn)（4,1）代入，得。2=5

22

橢圓方程為二+±=1.---------------------------------4分

205

(II)把y=%+加代入橢圓方程得：5x2+8/7HX+4/??2-20=0,

由△>(),可得-5(加<5.6分

（III）設(shè)A（x,,y）,3優(yōu),必），A,B與M不重合,

4m2-20

%,+x8分

25

),|_1I乃_1=()1_1>(毛_4)+()’2_1>(為_(kāi)4)

一”"A+

—4%2-4(%—4),(X2—4)

(X+〃2——4)+(九0+/T2—1),(%一4)2X|X9+(/%—5)(玉+%2)—8(〃2—1)

(X,-4)-(X2-4)(X,-4)-(JC2-4)’

二左MA+kMB為定值0--------------12分

5.已知橢圓的焦點(diǎn)6（1,0）,6過(guò)P（0,，作垂直于y軸的直線被橢圓所截

線段長(zhǎng)為指，過(guò)耳作直線/與橢圓交于48兩點(diǎn).

（I）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（H）是否存在實(shí)數(shù)"吏P4+P3=fP￡,若存在，求，的值和直線/的方程；若

不存在，說(shuō)明理由.

（I）設(shè)橢圓方程為「+￡=1,由題意點(diǎn)[乎,g）在橢圓上，/=〃+]

61Y2

所以而由■+加=1,解得5+y、i............5分

第14頁(yè)共38頁(yè)

(H)當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，易求A1,,81,-,所以

PA=(1,^1),PS=西=(1,-1)

由PA+PB=fPK得t=2,直線/的方程為x=l.7分

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，

■Wi-g、、

所以PA=,PB=入2，%3，PR=

7乙)7

由B4+P3=/P6得

x}+x2=t%14-X2=Z

<11「即，

=1

I12222y+必-2

因?yàn)镸+%=%(X+9一2),所以女

2

此時(shí)，直線/的方程為y=-g(x-l)

22

6.已知橢圓C：f++~=1(。＞人＞0)的離心率為:，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的短半

軸為半徑的圓與直線x-y+灰=0相切，過(guò)點(diǎn)P(4,0)且不垂直于X軸直

線/與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)。

(1)求橢圓c的方程;

(2)求。4,03的取值范圍;

(3)若B點(diǎn)在于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是E,證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)。

a2-tr

⑴解:由題意知八？［,“哈即〃=與

a243

又/?=仆=y/i，**.a2=4,h2=3

Vl+1

2,

故橢圓的方程為f+==1

43

(2)解：由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線用的方程為y=A(x-4)

y=k(x-4)

由尤2[得：(4k2+3)x2-32k2x+Mk2-12=0

-+r.

I43

由△=(-32公>-4(4/+3)(64公一12)>0得：k2<-

4

32k2Mk2-12

設(shè)4(用，%)，8(%，%)，則西+馬=—；，X.JC,=——；①

4&2+34F+3

22

??y%=k(X]—4)々(％2-4)=kx}x2—4k(x]+/)+16公

第15頁(yè)共38頁(yè)

64A:2-1232k287

OA?OB=x.x+y.y=(1+X:2)----；-----4公+I6&2=25-

024K+34k2+34k2+3

??八一c1.87.8787-八4「413、

?OW/r<―,??----W--------v----,??OA?OBG[-4,—)

434^+344

...OAOB的取值范圍是[T,?).

⑶證：?；8、￡兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，...以如一㈤

直線46的方程為y-y=2"（x-X）,令y=0得：._）信一%）又

也一乙必+x

_/M/X_4人）,y_—/k/{x-4人）,.??x—2不々-4（西+■■馬）

22X1+/—8

由將①代入得：x=1，???直線/￡與X軸交于定點(diǎn)（1,0）.

r22

7.已知橢圓：+忘v=1（。＞?！?）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直

角三角形，直線x-y+b=0是拋物線V=4x的一條切線.

（I）求橢圓的方程；

（II）過(guò)點(diǎn)S（0,-；）的動(dòng)直線￡交橢圓。于A.6兩點(diǎn).問(wèn)：是否

存在一個(gè)定點(diǎn)T,使得以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)7?若存在，求點(diǎn)7坐標(biāo)；

若不存在，說(shuō)明理由。

解析：（I）由°消去y得：/+磔-4?+反=0

因直線y=x+b與拋物緡2=4%相切，.?.△=（抄一4下一4〃=0,.?"=1,

.............2分

22

?.?圓C：=+二=1（。＞6＞0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直

ab~

角三角

2

形，：.a=B=叵故所求橢圓方程為二+V=1.

2

（II）當(dāng)L與X軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：，+（y+；）2=（g）2

當(dāng)L與X軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2+y2=1

/+(y+，

由＜解得

、=1

/+y2=1

第16頁(yè)共38頁(yè)

即兩圓公共點(diǎn)（0,1）

因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0,1）

（i）當(dāng)直線L斜率不存在時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)T（0,1）

（ii）若直線L斜率存在時(shí)，可設(shè)直線L：y=kx--

3

y=kx——

3

由<消去y得：（18左2+9）x2-12fct-16=0

X22

?1

12k

*+x

2―1812+9

記點(diǎn)A（X|，M）.3（々,%）,則｛

-16

xx=

t2186+9

又因標(biāo)=區(qū),弘-1）,范=區(qū),%-1）

：）（人-。

xx

所以1見(jiàn)?=x]x2+（必一1）（%-1）=i2+（3

2416

—（1+）用工2——+%-））4------

9

=（1+廿）.-126--]2k+3=。

181+9318左2+99

ATA1TB,

綜合（i）（ii）,以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T（0,1）.

2

8.設(shè)橢圓C東+V=13>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)是耳（_go）和鳥(niǎo)（c,O）（c>0）,且橢圓C上

的點(diǎn)到焦點(diǎn)F?的最短距離為6-夜.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線/:y=履+加（左wO）與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N,線段MN垂直平

分線恒過(guò)點(diǎn)A（0,-1）,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

第17頁(yè)共38頁(yè)

解：(I)設(shè)橢網(wǎng)上的點(diǎn)P(工y)到焦點(diǎn)瑪90)的距離為4.

則/=(X-c)1+了2-xJ-2cx+cJ+1——x*-2ex+c'+l

(可以出接用結(jié)論).于是，《

.-.所求桶廁方程為三+y?=1.

y=kx+m,,,

,、得(3K+l)L+6加依+3(用2-1)=0(?)

fx*+3尸=3

.直線/與林M交于不同兩點(diǎn)..?.△>0.即用2<3產(chǎn)十］.①

設(shè)做片,必)、N(x,.y3)，則$、x,是方程(?)的兩個(gè)實(shí)數(shù)解，

、

‘?"』=-環(huán)6mk7'?'線3段6'”7的4中點(diǎn)…為《乂-三3m可4？宿m工)

乂?.線段MN的垂直平分線慣過(guò)點(diǎn)X(0.-l)..'.AQ±MN.

即_m+3K+]=」gp2m=3*2+l(i*0)②

3mkk

由①，②得加’V2m,0<m<2.Xrti(2X!1m>—.

2

，實(shí)數(shù)m的取值范的是

22

9.已知橢圓C:=r+與=1的短軸長(zhǎng)等于焦距，橢圓C上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)尸的最短

ab-

距離為夜-1.

(I)求橢圓C的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)E(2,0)且斜率為左(4>0)的直線/與C交于M、N兩點(diǎn)，P是點(diǎn)、

〃關(guān)于無(wú)軸的對(duì)稱點(diǎn)，證明：N、F、P三點(diǎn)共線.

儂=2c

(I)由題可知：\廠.......2分

a-c=\/2-l

第18頁(yè)共38頁(yè)

解得a—A/2,c=1,:.b=\

橢圓C的方程為C:+y2*4=1....................4分

2

(H)設(shè)直線/：y=k{x-T),〃(七,必),N(x29y2)9.(不，-yj,尸(1,0),

y=-x-2),

由I犬得(2k2+l)x2-Sk2x+8公_2=0........6分

—+k=1,

12

所以玉+馬=含7,內(nèi)々=*................8分

N/C十1乙K十1

而

UUU1

FN=(x2-1,y2)=(x2-1,AX2-2k),

uu

FP=(%j-1,-)=(x,-1,-Ax,+2%),.......10分

Q(x,-1)(AX2-2攵)一(尤2—1)(一區(qū)I+2左)=^2x^-3^4-x2)+4]

24公

+4=0

2

〔2k+12k2+1/

uuuuu

：.FN//FP

N、F、P三點(diǎn)共線

i3

10.橢圓￡的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)0,焦點(diǎn)在X軸上，離心率為5.點(diǎn)。（1,5）、48

在橢圓后上，且再1+屋=勿游（加￡心.

（1）求橢圓￡的方程及直線的斜率；

（2）當(dāng)勿=-3時(shí)，證明原點(diǎn)。是△為6的重心，并求直線的方程.

解：⑴由e2=l-與」及±+==1解得才=4,代3,

a24a24〃

22

橢圓方程為一+J=l；...........................................2分

43

設(shè)/（公，必）、6（羯必），由西+麗=加而得

$+x2=2+m

（川+尼-2,%+%-3）=/（1,一），即“3

2儼+>2=3+］加

2222

又工+2i_=i,上_+江=1,兩式相減得

4343

第19頁(yè)共38頁(yè)

k.乃一M_3$+/_32+m_1

6分

x,2-x,14y.+y432

刀/273+—"2

2

xt+x2=2+m

（2）由（1）知，點(diǎn)力（茍,為）、B（x2,y2）的坐標(biāo)滿足＜.3

%+>2=3+/機(jī)

?2*3

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,—),m=~3,于是崗+1+1=3+加0,%+%+―=3+—-+—=0,

2-222

因此△為6的重心坐標(biāo)為（0,0）.即原點(diǎn)是△為6的重心.

3I3

,.?為+尼=-1，必+%=—-,.,"6中點(diǎn)坐標(biāo)為（——，——），..................10

224

分

2222

又上+21_=1,工+江=i,兩式相減得

4343

k_）'2一）'|_3內(nèi)+/-1.

工2一玉4%+為2

直線”的方程為尸23=-1上（矛+|上），即x+2戶2=0.

422

11.已知拋物線y2=4x,點(diǎn)M（1,O）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為N,直線/過(guò)點(diǎn)M交拋物

線于A,8兩點(diǎn).

（1）證明：直線M4,N8的斜率互為相反數(shù)；

（2）求AAN8面積的最小值；

（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（辦0）,（根＞0且〃[#1）.根據(jù)（1）（2）推測(cè)并回答下列問(wèn)

題（不必說(shuō)明理由）：

①直線NA,NB的斜率是否互為相反數(shù)？②MNB面積的最小值是多少？

(1)設(shè)直線/的方程為y=Mx-l)(bO).

由尸,-1),可得公/-(2z2+4b+%2=0.

設(shè)A(Xi，yJ,B?,%)，則-+.=2,，=1-

二y%=-4

，N（-1,O）

%.%4y,4y

--------1---------=----------r--2------

%+1x2+1y；+4y；+4

第20頁(yè)共38頁(yè)

=心(及+4)+%(#+4)]=4(-4%+4%-4%+4y2)=?

(4+4)(￡+4)(才+4，(只+4)

又當(dāng)/垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)AB關(guān)于x軸，顯然除4+%=。，A附=-勉.

綜上，^NA+&NB=°，力NA=~^NB'5分

(2)S4AMB=帆一%|=/(X+>2『-4)'跖="4(占+%)+8=4,1+,>4.

當(dāng)/垂直于x軸時(shí)，5^=4.

，AAN8面積的最小值等于4.-----10分

(3)推測(cè):①如=-如；

②A/WB面積的最小值為4帆布.------13分

22萬(wàn)

12.已知橢圓公3+與=1Ca>b>o)的離心率4在，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(石，1),0

a-b22y

為坐標(biāo)原點(diǎn)。wLlp

(I)求橢圓6的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)圓。是以橢圓？的長(zhǎng)軸為直徑的圓，"是直線憶卜)~,

產(chǎn)一4在X軸上方的一點(diǎn)，過(guò)"作圓。的兩條切線，

切點(diǎn)分別為只Q，當(dāng)NA的60°時(shí)，求直線倒的方程.

22

解：(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^=1

84

(2)連接QM,OP,0Q,PQ和M0交于點(diǎn)A,

有題意可得M(-4,m),VZPMQ=60°

Z.Z0MP=30°,V\OP\=2A/2/.\OM|=4V24尸+加2=4痣，

Vm>0,：.m=4,AM(-4,4)

，直線0M的斜率K0M=-1,有MP=MQ,OP=OQ可知OM±PQ,

Kp°=1,設(shè)直線PQ的方程為y=x+n

Z0MP=30°,/.ZP0M=60°,/.Z0PA=30°,

-.OP=242:.OA=42,即0到直線PQ的距離為五,

.JI=V2n=+2（負(fù)數(shù)舍去），...PQ的方程為x-y+2=0

13.設(shè)拋物線G：/=4y的焦點(diǎn)為E曲線C2與G

第21頁(yè)共38頁(yè)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

(I)求曲線C的方程；

(II)曲線C2上是否存在一點(diǎn)尸(異于原點(diǎn))，過(guò)

點(diǎn)2作G的兩條切線用，PB,切點(diǎn)4B,

滿足I力6|是|必|與|必|的等差

中項(xiàng)？若存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(I)解；因?yàn)榍€G與G關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又G的方程d=4y,

所以G方程為.......5分

(II)解：設(shè)P(x(p-a)，A(X1,y),8(々，必)，M.

y=；/的導(dǎo)數(shù)為=,則切線PA的方程y-y=；%(%-王),

又得,=/》_凹，

因點(diǎn)P在切線PA上,—XQ=—XjX0—yt.

同理，

2

所以直線——x0=—xQx—y經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn),

即直線A8方程為—=—xox—y,y=—xox+—x0^,

代入f=4y得d-2x()x-片=0,貝lx1=2X(),王士=一片，

所以IA81=+?J(X]+工2『-4X/2=J(8+2速),

由拋物線定義得|B4|=X+1,\FB\=y2+1.

所以|E4|+|尸8|=('+>2)+2=gxo(X|+%)+；片+2,

由題設(shè)知，|E4|+|FB|=2|AB|,即gx；+2)2=4片(8+2片)，

解得.=326-52,從而二4=13-86.

0230423

綜上，存在點(diǎn)P滿足題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

第22頁(yè)共38頁(yè)

，2回(8，-13)13-873.-.2回(8--13)13-8V3.

(,)(，)?

23232323

.....