工程數(shù)學(xué)-積分變換(第4版)

工程數(shù)學(xué)——積分變換(第4版)2023REPORTING積分變換基本概念與性質(zhì)傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換拉普拉斯變換及其性質(zhì)離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析積分變換在電路分析中應(yīng)用數(shù)值計(jì)算方法在積分變換中應(yīng)用目錄CATALOGUE2023PART01積分變換基本概念與性質(zhì)2023REPORTING積分變換定義及分類定義積分變換是通過積分運(yùn)算，將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)函數(shù)的方法。分類根據(jù)變換核的不同，積分變換可分為傅里葉變換、拉普拉斯變換、梅林變換等。VS積分變換具有線性性質(zhì)，即對(duì)于任意常數(shù)a、b和函數(shù)f(x)、g(x)，有∫[a*f(x)+b*g(x)]dx=a*∫f(x)dx+b*∫g(x)dx。疊加原理若f1(x)、f2(x)分別是輸入函數(shù)，F(xiàn)1(u)、F2(u)是對(duì)應(yīng)的輸出函數(shù)，則f1(x)+f2(x)的輸出函數(shù)為F1(u)+F2(u)。線性性質(zhì)線性性質(zhì)與疊加原理收斂性對(duì)于某些積分變換，如傅里葉變換和拉普拉斯變換，需要滿足一定的收斂條件才能保證變換的存在性和有效性。例如，傅里葉變換要求函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處趨于零或具有有限個(gè)間斷點(diǎn)。存在性條件不同的積分變換有不同的存在性條件。例如，拉普拉斯變換要求函數(shù)在實(shí)軸上的增長(zhǎng)速度不能超過指數(shù)函數(shù)e^st(s為實(shí)數(shù))的增長(zhǎng)速度。收斂性與存在性條件常見函數(shù)空間及其性質(zhì)在積分變換中，常見的函數(shù)空間包括連續(xù)函數(shù)空間、平方可積函數(shù)空間、絕對(duì)可積函數(shù)空間等。函數(shù)空間不同的函數(shù)空間具有不同的性質(zhì)。例如，平方可積函數(shù)空間中的函數(shù)具有有限的能量；絕對(duì)可積函數(shù)空間中的函數(shù)可以進(jìn)行傅里葉變換等。這些性質(zhì)對(duì)于理解和應(yīng)用積分變換具有重要意義。性質(zhì)PART02傅里葉級(jí)數(shù)與傅里葉變換2023REPORTING三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系在一定區(qū)間內(nèi)具有正交性，即不同頻率的三角函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)的積分為零。這一性質(zhì)使得傅里葉級(jí)數(shù)展開成為可能。傅里葉系數(shù)求解利用三角函數(shù)系的正交性，可以通過求解函數(shù)與三角函數(shù)系的積分來(lái)得到傅里葉系數(shù)。這些系數(shù)決定了周期函數(shù)在傅里葉級(jí)數(shù)展開中的各項(xiàng)振幅和相位。收斂性與吉布斯現(xiàn)象傅里葉級(jí)數(shù)展開的收斂性取決于原函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)于某些函數(shù)，傅里葉級(jí)數(shù)在間斷點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)振蕩現(xiàn)象，稱為吉布斯現(xiàn)象。周期函數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)展開非周期函數(shù)的傅里葉變換公式包括傅里葉正變換和傅里葉反變換。正變換將時(shí)域函數(shù)轉(zhuǎn)換為頻域函數(shù)，而反變換則將頻域函數(shù)轉(zhuǎn)換回時(shí)域函數(shù)。通過傅里葉變換，可以分析非周期函數(shù)的頻域特性，如頻譜、帶寬等。這些特性在信號(hào)處理和通信等領(lǐng)域具有重要意義。非周期函數(shù)傅里葉變換公式頻域特性傅里葉變換對(duì)123傅里葉變換是線性的，即多個(gè)函數(shù)的線性組合進(jìn)行傅里葉變換等于各函數(shù)分別進(jìn)行傅里葉變換后的線性組合。線性性質(zhì)函數(shù)在時(shí)域中的平移對(duì)應(yīng)于其頻域中的相移。這一性質(zhì)使得我們可以通過調(diào)整信號(hào)的相位來(lái)改變其在時(shí)域中的位置。時(shí)移性質(zhì)函數(shù)在頻域中的平移對(duì)應(yīng)于其時(shí)域中的調(diào)制。這一性質(zhì)在通信中用于實(shí)現(xiàn)信號(hào)的頻率搬移。頻移性質(zhì)傅里葉變換基本性質(zhì)卷積定理指出，兩個(gè)時(shí)域函數(shù)的卷積等于它們頻域函數(shù)的乘積，反之亦然。這一定理在信號(hào)處理和圖像處理等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用。卷積定理卷積定理在信號(hào)濾波、圖像模糊處理等方面有重要應(yīng)用。例如，在圖像處理中，可以通過對(duì)圖像和濾波器進(jìn)行卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)圖像的平滑或銳化效果。應(yīng)用舉例卷積定理及應(yīng)用舉例PART03拉普拉斯變換及其性質(zhì)2023REPORTING拉普拉斯變換定義$F(s)=int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$，其中$s$為復(fù)數(shù)，$f(t)$為原函數(shù)。收斂域確定拉普拉斯變換的收斂域是使得積分收斂的所有$s$的集合。通?？梢酝ㄟ^分析原函數(shù)的性質(zhì)，如增長(zhǎng)性、周期性等，來(lái)確定收斂域。拉普拉斯變換定義及收斂域確定位移性質(zhì)若$f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$e^{at}f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s-a)$。線性性質(zhì)若$a$和$b$為常數(shù)，$f_1(t)$和$f_2(t)$的拉普拉斯變換分別為$F_1(s)$和$F_2(s)$，則$af_1(t)+bf_2(t)$的拉普拉斯變換為$aF_1(s)+bF_2(s)$。微分性質(zhì)若$f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$f'(t)$的拉普拉斯變換為$sF(s)-f(0^-)$。積分性質(zhì)若$f(t)$的拉普拉斯變換為$F(s)$，則$int_{0}^{t}f(tau)dtau$的拉普拉斯變換為$frac{F(s)}{s}$。拉普拉斯變換基本性質(zhì)查表法通過查閱已知的拉普拉斯變換對(duì)表，找到對(duì)應(yīng)的原函數(shù)。部分分式法將拉普拉斯變換的表達(dá)式化為部分分式的形式，然后分別求出每個(gè)部分分式對(duì)應(yīng)的原函數(shù)。冪級(jí)數(shù)法將拉普拉斯變換的表達(dá)式展開為冪級(jí)數(shù)形式，然后通過逐項(xiàng)積分求出原函數(shù)。拉普拉斯逆變換求解方法如$y'+y=f(t)$，通過拉普拉斯變換可轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解。如$y''+y=f(t)$，同樣可以通過拉普拉斯變換轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解。在求解過程中，需要注意初始條件的處理和方程的簡(jiǎn)化。一階常微分方程二階常微分方程線性常微分方程求解舉例PART04離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)分析2023REPORTING用時(shí)間序列表示離散時(shí)間信號(hào)，即$x[n]$，其中$n$為整數(shù)。序列表示法圖形表示法頻域表示法通過繪制信號(hào)的波形圖或時(shí)域圖來(lái)表示離散時(shí)間信號(hào)。通過傅里葉變換將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，用頻譜表示信號(hào)。030201離散時(shí)間信號(hào)表示方法描述離散時(shí)間系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)方程，一般為線性常系數(shù)差分方程。差分方程描述系統(tǒng)特性的函數(shù)，通常表示為$H(z)$，是$z$變換的結(jié)果。系統(tǒng)函數(shù)用狀態(tài)變量和狀態(tài)方程來(lái)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為。狀態(tài)空間表示法離散時(shí)間系統(tǒng)描述方式對(duì)于離散時(shí)間信號(hào)$x[n]$，其Z變換定義為$X(z)=sum_{n=-infty}^{infty}x[n]z^{-n}$，其中$z$為復(fù)數(shù)變量。Z變換定義Z變換的收斂域是使得級(jí)數(shù)$sum_{n=-infty}^{infty}|x[n]z^{-n}|$收斂的所有$z$的集合。常用的判斷方法有比值法、根式法和積分法。收斂域判斷Z變換定義及收斂域判斷線性性質(zhì)若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z變換分別為$X_1(z)$和$X_2(z)$，則$ax_1[n]+bx_2[n]$的Z變換為$aX_1(z)+bX_2(z)$。若$x[n]$的Z變換為$X(z)$，則$x[n-k]$的Z變換為$z^{-k}X(z)$。若$x[n]$的Z變換為$X(z)$，則$x[n]e^{jomegan}$的Z變換為$X(ze^{jomega})$。若$x_1[n]$和$x_2[n]$的Z變換分別為$X_1(z)$和$X_2(z)$，則它們的卷積$y[n]=sum_{k=-infty}^{infty}x_1[k]x_2[n-k]$的Z變換為$Y(z)=X_1(z)X_2(z)$。通過Z變換可以求出離散時(shí)間信號(hào)的初值和終值。初值定理指出，當(dāng)$n=0$時(shí)，$x[0]=lim_{ztoinfty}X(z)$；終值定理指出，當(dāng)$ntoinfty$時(shí)，若$lim_{ntoinfty}x[n]$存在且有限，則$lim_{ntoinfty}x[n]=lim_{zto1}(z-1)X(z)$。時(shí)移性質(zhì)卷積性質(zhì)初值定理和終值定理頻移性質(zhì)Z變換基本性質(zhì)和定理PART05積分變換在電路分析中應(yīng)用2023REPORTING阻抗函數(shù)的定義與性質(zhì)阻抗函數(shù)是描述電路元件對(duì)電流阻礙作用的函數(shù)，具有實(shí)部和虛部，其實(shí)部表示電阻，虛部表示電抗。阻抗函數(shù)與頻率相關(guān)，反映了電路元件在不同頻率下的阻抗特性。阻抗函數(shù)的求解方法根據(jù)電路元件的伏安特性，可以建立阻抗函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于線性時(shí)不變電路元件，其阻抗函數(shù)可以通過拉普拉斯變換或傅里葉變換求解。具體方法包括部分分式展開、留數(shù)定理等。電路元件阻抗函數(shù)求解一階動(dòng)態(tài)電路的特點(diǎn)一階動(dòng)態(tài)電路是指包含一個(gè)儲(chǔ)能元件（如電感或電容）和一個(gè)電阻的電路。其暫態(tài)過程是指電路從一種穩(wěn)態(tài)過渡到另一種穩(wěn)態(tài)的過程。要點(diǎn)一要點(diǎn)二一階動(dòng)態(tài)電路暫態(tài)過程分析方法對(duì)于一階動(dòng)態(tài)電路，可以采用經(jīng)典法或拉普拉斯變換法進(jìn)行分析。經(jīng)典法通過列寫電路方程并求解得到暫態(tài)過程的解析解；拉普拉斯變換法則是將電路方程轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域方程，通過求解復(fù)頻域方程得到暫態(tài)過程的象函數(shù)，再通過反變換得到原時(shí)域的解析解。一階動(dòng)態(tài)電路暫態(tài)過程分析二階動(dòng)態(tài)電路的特點(diǎn)二階動(dòng)態(tài)電路是指包含兩個(gè)儲(chǔ)能元件（如兩個(gè)電感或兩個(gè)電容）和一個(gè)電阻的電路。其暫態(tài)過程比一階動(dòng)態(tài)電路更為復(fù)雜，具有振蕩和衰減等特性。二階動(dòng)態(tài)電路暫態(tài)過程分析方法對(duì)于二階動(dòng)態(tài)電路，同樣可以采用經(jīng)典法或拉普拉斯變換法進(jìn)行分析。經(jīng)典法需要列寫二階常系數(shù)線性微分方程并求解；拉普拉斯變換法則是將微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域方程進(jìn)行求解。在求解過程中，需要注意二階電路的固有頻率、阻尼比等參數(shù)對(duì)暫態(tài)過程的影響。二階動(dòng)態(tài)電路暫態(tài)過程分析高階動(dòng)態(tài)電路的特點(diǎn)高階動(dòng)態(tài)電路是指包含三個(gè)或三個(gè)以上儲(chǔ)能元件的電路。其暫態(tài)過程更為復(fù)雜，具有多個(gè)振蕩頻率和衰減時(shí)間常數(shù)等特性。高階動(dòng)態(tài)電路暫態(tài)過程分析方法對(duì)于高階動(dòng)態(tài)電路，由于其復(fù)雜性，一般采用數(shù)值計(jì)算方法進(jìn)行分析，如龍格-庫(kù)塔法、歐拉法等。這些方法通過迭代計(jì)算逐步逼近真實(shí)解，可以得到較為準(zhǔn)確的結(jié)果。同時(shí)，也可以采用近似方法進(jìn)行簡(jiǎn)化分析，如主導(dǎo)極點(diǎn)法、帕德近似法等。這些方法可以在一定程度上降低計(jì)算復(fù)雜度，但需要注意其適用范圍和精度要求。高階動(dòng)態(tài)電路暫態(tài)過程分析PART06數(shù)值計(jì)算方法在積分變換中應(yīng)用2023REPORTING將積分區(qū)間劃分為若干小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間上的函數(shù)值用矩形面積近似表示。矩形法將積分區(qū)間劃分為若干小區(qū)間，每個(gè)小區(qū)間上的函數(shù)值用梯形面積近似表示。梯形法在梯形法的基礎(chǔ)上，采用拋物線對(duì)函數(shù)進(jìn)行插值，得到更精確的近似值。辛普森法數(shù)值積分方法簡(jiǎn)介利用傅里葉變換的對(duì)稱性和周期性，將原序列分解為多個(gè)子序列，分別進(jìn)行傅里葉變換，再合并結(jié)果。算法原理將原序列按奇偶性分解為兩個(gè)子序列，對(duì)子序列進(jìn)行傅里葉變換，利用旋轉(zhuǎn)因子合并結(jié)果。實(shí)現(xiàn)步驟降低了計(jì)算復(fù)雜度，提高了計(jì)算效率。優(yōu)點(diǎn)010203快速傅里葉變換算法原理及實(shí)現(xiàn)定義將時(shí)間域