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學(xué)習(xí)好資料歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載數(shù)列通項公式奇數(shù)項偶數(shù)項分段的類型例76數(shù)列{an}的首項a1=1,且對任意n∈N,an與an+1恰為方程x2-bnx+2n=0的兩個根.(Ⅰ)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項公式;(Ⅱ)求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解:(Ⅰ)由題意n∈N*,an·an+1=2n∴eq\f(an+1·an+2,an·an+1)=eq\f(an+2,an)=eq\f(2n+1,2n)=2'(1分)又∵a1·a2=2'a1=1'a2=2∴a1,a3,…,a2n-1是前項為a1=1公比為2的等比數(shù)列,a2,a4,…,a2n是前項為a2=2公比為2的等比數(shù)列∴a2n-1=2n-1'a2n=2n'n∈N*即an=又∵bn=an+an+1當(dāng)n為奇數(shù)時,bn=2eq\f(n-1,2)+2eq\f(n+1,2)=3·2eq\f(n-1,2)當(dāng)n為偶數(shù)時,bn=2eq\f(n,2)+2eq\f(n,2)=2·2eq\f(n,2)∴bn=(Ⅱ)Sn=b1+b2+b3+…+bn當(dāng)n為偶數(shù)時,Sn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn)=eq\f(3-3·2\f(n,2),1-2)+eq\f(4-4·2\f(n,2),1-2)=7·2eq\f(n,2)-7(當(dāng)n為奇數(shù)時,Sn=b1+b2+…+bn-1+bn=Sn-1+bn=10·2eq\f(n-1,2)-7(Sn=例77數(shù)列的通項,其前n項和為.(1)求;(2)求數(shù)列{}的前n項和.解:(1)由于,故,故()(2)兩式相減得故例78數(shù)列(Ⅰ)求并求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè)證明:當(dāng).解:(Ⅰ)因為所以一般地,當(dāng)時,=,即所以數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列,因此當(dāng)時,所以數(shù)列是首項為2、公比為2的等比數(shù)列,因此故數(shù)列的通項公式為(Ⅱ)由(Ⅰ)知,①②①-②得,所以要證明當(dāng)時,成立,只需證明當(dāng)時,成立.證法一(1)當(dāng)n=6時,成立.(2)假設(shè)當(dāng)時不等式成立,即則當(dāng)n=k+1時,由(1)、(2)所述,當(dāng)n≥6時,.即當(dāng)n≥6時,證法二令,則所以當(dāng)時,.因此當(dāng)時,于是當(dāng)時,綜上所述,當(dāng)時,例79設(shè)個不全相等的正數(shù)依次圍成一個圓圈.(Ⅰ)若,且是公差為的等差數(shù)列,而是公比為的等比數(shù)列;數(shù)列的前項和滿足:,求通項;解:因是公比為d的等比數(shù)列,從而由,故解得或(舍去)。因此又。解得從而當(dāng)時,當(dāng)時,由是公比為d的等比數(shù)列得因此例80已知數(shù)列SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。中,SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。(1)求證:數(shù)列SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。與SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。都是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。前SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。的和SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。;(3)若數(shù)列SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。前SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。的和為SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。,不等式SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。對SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。恒成立,求SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。的最大值。解:(1)∵SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。,∴SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。 2分∴數(shù)列SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。是以1為首項,SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。為公比的等比數(shù)列;數(shù)列SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。是以SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。為首項,SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。為公比的等比數(shù)列。 4分(2)SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。 9分(3)SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。時取等號,所以SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。,即SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。,∴SKIPIF1<0錯誤!未找到引用源。的最大值為-48例82.在單調(diào)遞增數(shù)列中,,,且成等差數(shù)列,成等比數(shù)列,.(1)分別計算,和,的值;(2)求數(shù)列的通項公式(將用表示);(3)設(shè)數(shù)列的前項和為,證明:,.解:(1)由已知,得,,,.(2)∵成等差數(shù)列,∴,;∵成等比數(shù)列,∴,.又,,,……;,,,……∴猜想,,,…以下用數(shù)學(xué)歸納法證明之.①當(dāng)時,,,猜想成立;②假設(shè)時,猜想成立,即,,那么,.∴時,猜想也成立.由①②,根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理,對任意的,猜想成立.∴,.∴當(dāng)為奇數(shù)時,;當(dāng)為偶數(shù)時,.即數(shù)列的通項公式為.(3)由(2),得.顯然,;當(dāng)為偶數(shù)時,;當(dāng)為奇數(shù)()時,.綜上所述,,.例83已知等比數(shù)列的公比為,首項為,其前項的和為.?dāng)?shù)列的前項的和為,數(shù)列的前項的和為.(1)若,,求的通項公式;(2)①當(dāng)為奇數(shù)時,比較與的大小;②當(dāng)為偶數(shù)時,若,問是否存在常數(shù)(與n無關(guān)),使得等式恒成立,若存在,求出的值;若不存在,說明理由.解:(1)∵,∴∴或∴,或.(2)∵常數(shù),=常數(shù),∴數(shù)列,均為等比數(shù)列,首項分別為,,公比分別為,.①當(dāng)為奇數(shù)時,當(dāng)時,,,,∴.當(dāng)時,,,,∴
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