向量與平面的位置關(guān)系的問(wèn)

向量與平面的位置關(guān)系的問(wèn)匯報(bào)人：XX2024-01-25目錄向量基本概念與性質(zhì)平面方程及其性質(zhì)向量與平面位置關(guān)系判斷方法典型例題分析與解答拓展延伸：空間直線與平面位置關(guān)系總結(jié)回顧與思考題01向量基本概念與性質(zhì)向量是具有大小和方向的量，通常用帶箭頭的線段表示，線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。向量定義向量可以用有向線段來(lái)表示，有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)。向量也可以用坐標(biāo)表示，例如平面上的向量可以表示為(x,y)，空間中的向量可以表示為(x,y,z)。向量表示方法向量定義及表示方法向量加法01向量加法滿足平行四邊形法則或三角形法則，即兩個(gè)向量相加等于以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形所得的對(duì)角線，或以這兩個(gè)向量為兩邊作三角形所得的第三邊。向量減法02向量減法滿足三角形法則，即兩個(gè)向量相減等于以這兩個(gè)向量構(gòu)成的線段為鄰邊作三角形所得的第三邊，方向由被減向量指向減向量。向量數(shù)乘03向量與實(shí)數(shù)的乘法滿足數(shù)乘的運(yùn)算法則，即實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，它的模等于這個(gè)實(shí)數(shù)與向量的模的積，它的方向與這個(gè)實(shí)數(shù)大于零時(shí)與向量的方向相同，小于零時(shí)與向量的方向相反。向量線性運(yùn)算規(guī)則向量數(shù)量積與性質(zhì)a·b=b·a。交換律(a+b)·c=a·c+b·c。分配律向量數(shù)量積與性質(zhì)010203結(jié)合律：(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)，其中λ是實(shí)數(shù)。零向量與任何向量的數(shù)量積為零。當(dāng)兩個(gè)非零向量的夾角為90°時(shí)，它們的數(shù)量積為零。向量數(shù)量積與性質(zhì)02平面方程及其性質(zhì)一般形式$Ax+By+Cz+D=0$，其中$A,B,C$不全為0。點(diǎn)法式給定平面上一點(diǎn)$P(x_0,y_0,z_0)$和平面的法向量$vec{n}=(A,B,C)$，則平面方程為$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$。三點(diǎn)式給定平面上不共線的三點(diǎn)$P_1(x_1,y_1,z_1),P_2(x_2,y_2,z_2),P_3(x_3,y_3,z_3)$，則平面方程為$begin{vmatrix}平面一般方程表示法平面一般方程表示法x-x_1&y-y_1&z-z_1x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1end{vmatrix}=0$。平面法向量求解方法通過(guò)平面方程求解對(duì)于一般形式的平面方程$Ax+By+Cz+D=0$，其法向量可以直接讀取為$vec{n}=(A,B,C)$。通過(guò)向量叉積求解若已知平面上兩個(gè)不共線的向量$vec{a}$和$vec$，則平面的法向量可以通過(guò)$vec{a}$和$vec$的叉積求得，即$vec{n}=vec{a}timesvec$。123若兩平面的法向量成比例，即$vec{n}_1=kvec{n}_2(kneq0)$，則兩平面平行或重合。平行或重合若兩平面的法向量不成比例，即$vec{n}_1neqkvec{n}_2$，則兩平面相交。相交若兩平面的法向量點(diǎn)積為0，即$vec{n}_1cdotvec{n}_2=0$，則兩平面垂直。垂直平面間位置關(guān)系判斷03向量與平面位置關(guān)系判斷方法03如果向量與平面的法向量共線，則向量在平面上。01如果向量與平面的法向量垂直，則向量在平面上或與平面平行。02如果向量與平面的法向量不垂直，則向量與平面相交或不在平面上。利用法向量判斷位置關(guān)系將向量投影到平面上，如果投影為零向量，則向量與平面垂直。如果投影不為零向量，則向量在平面上或與平面平行。如果投影長(zhǎng)度小于向量長(zhǎng)度，則向量與平面相交或不在平面上。利用投影法判斷位置關(guān)系利用坐標(biāo)法判斷位置關(guān)系01在平面內(nèi)選擇兩個(gè)不共線的向量作為基向量，將目標(biāo)向量表示為這兩個(gè)基向量的線性組合。02如果線性組合的系數(shù)滿足一定條件（如系數(shù)之和為零），則目標(biāo)向量在平面上。否則，目標(biāo)向量與平面相交或不在平面上。0304典型例題分析與解答例題已知向量a=(1,2,3)，向量b=(4,5,6)，求過(guò)原點(diǎn)且與向量a、b都垂直的平面方程。分析根據(jù)向量的點(diǎn)積性質(zhì)，兩個(gè)向量垂直當(dāng)且僅當(dāng)它們的點(diǎn)積為零。因此，我們可以設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z)，則有n·a=0和n·b=0。解這個(gè)方程組，可以得到法向量n的一個(gè)非零解，從而得到平面方程。已知向量求平面方程問(wèn)題解答：設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z)，則有n·b=4x+5y+6z=0解這個(gè)方程組，得到法向量n的一個(gè)非零解為(1,-2,1)。因此，所求平面方程為x-2y+z=0。n·a=x+2y+3z=0已知向量求平面方程問(wèn)題例題已知平面π的方程為x+y+z=1，求與平面π平行且過(guò)點(diǎn)P(1,-1,2)的直線的方向向量。平面的法向量與直線的方向向量垂直。因此，我們可以先求出平面π的法向量，然后求出與法向量垂直的向量，即為所求直線的方向向量。平面π的方程為x+y+z=1，其法向量為n=(1,1,1)。設(shè)所求直線的方向向量為v=(x,y,z)，則有v·n=0，即x+y+z=0。又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)P(1,-1,2)，所以v與OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）不共線。取x=1，得v=(1,-2,1)。因此，所求直線的方向向量為(1,-2,1)。分析解答已知平面求向量問(wèn)題例題已知三個(gè)不共線的點(diǎn)A(1,2,-1)、B(-1,-2,1)、C(3,-2,-5)和一個(gè)平面π：x+y-z=0，判斷點(diǎn)A、B、C與平面π的位置關(guān)系。分析首先求出向量AB和AC，然后判斷它們與平面π的法向量的關(guān)系。如果兩個(gè)向量都與法向量垂直，則三點(diǎn)共線且都在平面上；如果只有一個(gè)向量與法向量垂直，則只有一點(diǎn)在平面上；如果兩個(gè)向量都不與法向量垂直，則三點(diǎn)都不在平面上。解答首先求出向量AB=B-A=(-2,-4,2)和AC=C-A=(2,-4,-4)。平面π的法向量為n=(1,1,-1)。計(jì)算得AB·n=-2-4+2=-4≠0和AC·n=2-4+4=2≠0。因此，點(diǎn)A、B、C與平面π的位置關(guān)系是：三點(diǎn)都不在平面上。復(fù)雜場(chǎng)景下位置關(guān)系判斷問(wèn)題05拓展延伸：空間直線與平面位置關(guān)系

空間直線方程表示法對(duì)稱式方程利用兩個(gè)點(diǎn)確定直線，形式為$frac{x-x_1}{l}=frac{y-y_1}{m}=frac{z-z_1}{n}$，其中$l,m,n$為方向向量的分量。參數(shù)式方程將直線表示為參數(shù)形式，即$x=x_0+lt,y=y_0+mt,z=z_0+nt$，其中$t$為參數(shù)。一般式方程將直線表示為兩個(gè)平面的交線，即$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$和$A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$。直線的方向向量與平面的法向量垂直，且直線上有一點(diǎn)在平面內(nèi)。直線在平面內(nèi)直線的方向向量與平面的法向量垂直，但直線上沒(méi)有點(diǎn)在平面內(nèi)。直線與平面平行直線的方向向量與平面的法向量不垂直，且直線與平面有唯一交點(diǎn)。直線與平面相交空間直線與平面位置關(guān)系判斷方法典型例題分析與解答例題1：已知直線$l$的方程為$\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z-2}{1}$，平面$\pi$的方程為$x+2y-z+4=0$，判斷直線$l$與平面$\pi$的位置關(guān)系。解：首先求出直線$l$的方向向量$\vec{s}=(2,-1,1)$，平面$\pi$的法向量$\vec{n}=(1,2,-1)$。由于$\vec{s}\cdot\vec{n}=2\times1+(-1)\times2+1\times(-1)=-1eq0$，因此直線$l$與平面$\pi$不平行。又因?yàn)辄c(diǎn)$(1,3,2)$在直線$l$上，且滿足平面$\pi$的方程，所以點(diǎn)$(1,3,2)$在平面$\pi$內(nèi)。因此，直線$l$在平面$\pi$內(nèi)。例題2：已知直線$l$的方程為$\left{\begin{array}{l}x+y-z=0\x-y+z=0\end{array}\right.$，平面$\pi$的方程為$x+y+z=0$，判斷直線$l$與平面$\pi$的位置關(guān)系。解：首先求出直線$l$的方向向量$\vec{s}=(1,-1,0)\times(1,1,-2)$，即$\vec{s}=(1,1,2)$。平面$\pi$的法向量$\vec{n}=(1,1,1)$。由于$\vec{s}\cdot\vec{n}=1\times1+1\times1+2\times1=4eq0$，因此直線$l$與平面$\pi$不平行。又因?yàn)辄c(diǎn)$(0,0,0)$在直線$l$上，且滿足平面$\pi$的方程，所以點(diǎn)$(0,0,0)$在平面$\pi$內(nèi)。因此，直線$l$與平面$\pi$相交于一點(diǎn)。06總結(jié)回顧與思考題包括向量的基本概念、向量的運(yùn)算、平面的方程和性質(zhì)等。向量與平面的基本定義和性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量都垂直時(shí)，該向量與平面垂直。向量與平面垂直的判定定理當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)向量可以表示為平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量的線性組合時(shí)，該向量與平面平行。向量與平面平行的判定定理向量在平面上的投影可以通過(guò)向量的數(shù)量積和平面的法向量求得。向量在平面上的投影關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)總結(jié)回顧思考題布置及討論思考題1已知向量a、b和平面π，其中a=(1,2,3)，b=(2,-1,2)，π的方程為x+y+z=0。判斷向量a、b與平面π的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由。思考題3已知向量