專題06分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（八大考點(diǎn)）（原卷版）

專題06分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦考點(diǎn)一：分類加法計數(shù)原理考點(diǎn)二：分步乘法計數(shù)原理考點(diǎn)三：兩個原理的綜合應(yīng)用考點(diǎn)四：組數(shù)問題考點(diǎn)五：占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇考點(diǎn)六：涂色問題考點(diǎn)七：種植問題考點(diǎn)八：列舉法知識點(diǎn)一：分類加法計數(shù)原理（也稱加法原理）1、分類加法計數(shù)原理：完成一件事，有類辦法．在第1類辦法中有種不同方法，在第2類辦法中有種不同的方法，……，在第類辦法中有種不同方法，那么完成這件事共有種不同的方法．2、加法原理的特點(diǎn)是：①完成一件事有若干不同方法，這些方法可以分成n類；②用每一類中的每一種方法都可以完成這件事；③把每一類的方法數(shù)相加，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：使用分類加法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對這件事確定一個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，第二步是確定各類的方法數(shù)，第三步是取和．知識點(diǎn)二、分步乘法計數(shù)原理1、分步乘法計數(shù)原理“做一件事，完成它需要分成n個步驟”，就是說完成這件事的任何一種方法，都要分成n個步驟，要完成這件事必須并且只需連續(xù)完成這n個步驟后，這件事才算完成．2、乘法原理的特點(diǎn)：①完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可；②完成每一步有若干種方法；③把每一步的方法數(shù)相乘，就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)．知識點(diǎn)詮釋：使用分步乘法計數(shù)原理計算完成某件事的方法數(shù)，第一步是對完成這件事進(jìn)行分步，第二步是確定各步的方法數(shù)，第三步是求積．知識點(diǎn)三、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：1、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的區(qū)別：兩個原理的區(qū)別在于一個和分類有關(guān)，一個和分步有關(guān)．完成一件事的方法種數(shù)若需“分類”思考，則這n類辦法是相互獨(dú)立的，且無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，則用加法原理；若完成某件事需分n個步驟，這n個步驟相互依存，具有連續(xù)性，當(dāng)且僅當(dāng)這n個步驟依次都完成后，這件事才算完成，則完成這件事的方法的種數(shù)需用乘法原理計算．1、利用兩個基本原理解決具體問題時的思考程序：（1）首先明確要完成的事件是什么，條件有哪些？（2）然后考慮如何完成？主要有三種類型①分類或分步．②先分類，再在每一類里再分步．③先分步，再在每一步里再分類，等等．（3）最后考慮每一類或每一步的不同方法數(shù)是多少？考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一：分類加法計數(shù)原理例1．（2024·廣東梅州·高二?？茧A段練習(xí)）從名女同學(xué)和名男同學(xué)中任選人主持本班的某次專題班會，則不同的選法種數(shù)為（

）A． B． C． D．例2．（2024·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某企業(yè)面試環(huán)節(jié)準(zhǔn)備編號為的四道試題，編號為的四名面試者分別回答其中的一道試題（每名面試者回答的試題互不相同），則每名面試者回答的試題的編號和自己的編號都不同的情況共有（

）A．9種 B．10種 C．11種 D．12種例3．（2024·高二課時練習(xí)）在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是（

）A．18 B．36C．72 D．48變式1．（2024·高二單元測試）如圖所示，在間有四個焊接點(diǎn)1，2，3，4，若焊接點(diǎn)脫落導(dǎo)致斷路，則電路不通,今發(fā)現(xiàn)之間電路不通，則焊接點(diǎn)脫落的不同情況有（）A．9種 B．11種 C．13種 D．15種考點(diǎn)二：分步乘法計數(shù)原理例4．（2024·山東德州·高二?？茧A段練習(xí)）為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校開設(shè)了游泳、武術(shù)和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人從中任選門課程參加，則不同的選法共有（

）A．種 B．種 C．種 D．種例5．（2024·湖南長沙·高二長沙麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校校聯(lián)考階段練習(xí)）用這五個數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．18 B．24 C．30 D．48例6．（2024·河南·高二河南大學(xué)附屬中學(xué)?？迹┌?個不同的小球放入4個不同的盒子中，共有（

）種方法.A．81 B．64 C．12 D．7變式2．（2024·河南周口·高二校聯(lián)考）360的不同正因數(shù)的個數(shù)為（

）A．24 B．36 C．48 D．42考點(diǎn)三：兩個原理的綜合應(yīng)用例7．（2024·遼寧遼陽·高二統(tǒng)考期末）同一個宿舍的8名同學(xué)被邀請去看電影，其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，丙同學(xué)不去，其他人根據(jù)個人情況可選擇去，也可選擇不去，則不同的去法有（

）A．32種 B．128種 C．64種 D．256種例8．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，有8個不同顏色的正方形盒子組成的調(diào)味盒，現(xiàn)將編號為的4個蓋子蓋上（一個蓋子配套一個盒子），要求A，B不在同一行也不在同一列，C，D也是此要求．那么不同的蓋法總數(shù)為（

）12345678A．224 B．336 C．448 D．576例9．（2024·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）為了備戰(zhàn)下一屆排球世錦賽，中國國家隊(duì)甲、乙、丙、丁四人練習(xí)傳球，第1次由甲傳給乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者傳給另外三人中的任意一人，往后依次類推，經(jīng)過4次傳球，球仍回到甲手，則傳法總數(shù)為（

）A．30 B．24 C．21 D．12變式3．（2024·高二單元測試）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上有此圖象，如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四隅黑點(diǎn)為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成一個四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)的個數(shù)有（

）A．120 B．90 C．48 D．12考點(diǎn)四：組數(shù)問題例10．（2024·江蘇常州·高二統(tǒng)考）我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“四位合六數(shù)”（如1203、1005均是四位合六數(shù)），則在“四位合六數(shù)”中首位為1的不同的“四位合六數(shù)”共有個．例11．（2024·浙江臺州·高二臺州市書生中學(xué)校聯(lián)考）如果一個三位正整數(shù)如“”滿足，且，則稱這樣的三位數(shù)為凹數(shù)（如201，325等），那么由數(shù)字0，1，2，3，4，5能組成個無重復(fù)數(shù)字的凹數(shù).例12．（2024·河北石家莊·高二?？茧A段練習(xí)）在一個三位數(shù)中，若十位數(shù)字小于個位和百位數(shù)字，則稱該數(shù)為“駝峰數(shù)”，比如“102”，“546”為“駝峰數(shù)”．由數(shù)字1，2，3，4可構(gòu)成無重復(fù)數(shù)字的“駝峰數(shù)”有個，其中偶數(shù)有個．變式4．（2024·全國·模擬預(yù)測）由數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有個.考點(diǎn)五：占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇例13．（2024·廣東·清遠(yuǎn)市博愛學(xué)校高二階段練習(xí)）3名志愿者，每人從4個不同的崗位中選擇1個，則不同的選擇方法共有（

）A．12種 B．64種 C．81種 D．24種例14．（2024·福建福州·高二期末）6名同學(xué)參加3個課外知識講座，每名同學(xué)必須且只能隨機(jī)選擇其中的一個，不同的選法種數(shù)是（

）A．20 B． C． D．120例15．（2024·廣東廣州·高二期末）3名同學(xué)報名參加足球隊(duì)、籃球隊(duì)，每名同學(xué)限報其中的一個運(yùn)動隊(duì)，則不同的報名方法的種數(shù)是（

）A．8 B．6 C．5 D．9變式5．5位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同報名方法有（

）A．10種 B．20種 C．25種 D．32種考點(diǎn)六：涂色問題例16．（2024·江西新余·高二?？茧A段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有（

）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種例17．（2024·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考）用6種不同的顏色給如圖所示的地圖上色，要求相鄰兩塊涂不同的顏色，則不同的涂色方法有（

）A．240 B．360 C．480 D．600例18．（2024·四川德陽·高二德陽五中?？茧A段練習(xí)）某小區(qū)有5個區(qū)域要種上鮮花（如圖），現(xiàn)有四種不同品種的鮮花可供選擇，每個區(qū)域只能種一種鮮花，要求相鄰區(qū)域不能種同一種鮮花，則符合條件的方案有（）種A．36 B．48 C．54 D．72變式6．（2024·江蘇南京·高二南京師大附中?？迹┤鐖D，用4種不同的顏色給圖中四塊區(qū)域涂色，若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（

）A． B． C． D．考點(diǎn)七：種植問題例19．（2024·河北石家莊·高二石家莊市第四十一中學(xué)?？迹┰谌鐖D所示的四個區(qū)域中，有5種不同的花卉可選，每個區(qū)域只能種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法共有種（用數(shù)字作答）例20．（2024·安徽六安·高二?？迹┤鐖D一個正方形花圃被分成5份．若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，則不同的種植方法有種例21．（2024·吉林·高二開學(xué)考試）．將3種作物種植在如圖5塊試驗(yàn)田里，每塊種植一種作物且相鄰的試驗(yàn)田不能種植同一作物，不同的種植方法共有種.（以數(shù)字做答）變式7．（2024·江蘇淮安·高二統(tǒng)考期末）某學(xué)校有一塊綠化用地，其形狀如圖所示．為了讓效果更美觀，要求在四個區(qū)域內(nèi)種植花卉，且相鄰區(qū)域顏色不同．現(xiàn)有五種不同顏色的花卉可供選擇，則不同的種植方案共有種．（用數(shù)字作答）考點(diǎn)八：列舉法例22．（2024·北京·高二北大附中?？计谀┠彻居屑抑睜I店，現(xiàn)需將箱貨物運(yùn)送至直營店進(jìn)行銷售，各直營店出售該貨物以往所得利潤統(tǒng)計如下表所示.根據(jù)此表，該公司獲得最大總利潤的運(yùn)送方式有（

）A．種 B．種 C．種 D．種例23．（2024·河北邯鄲·高二校聯(lián)考）有序數(shù)對滿足，且使關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，則這樣的有序數(shù)對的個數(shù)為（

）A．15 B．14 C．13 D．10例24．（2024·河南·馬店第一高級中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，某水果店門前用3根繩子掛了6串香蕉，從左往右的串?dāng)?shù)依次為1，2，3．到了晚上，水果店老板要收攤了，假設(shè)每次只取1串（掛在一列的只能先收下面的），則將這些香蕉都取完的不同取法種數(shù)是（

）A．144 B．96 C．72 D．60變式8．元旦來臨之際，某寢室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（

）A．6種 B．9種 C．11種 D．23種過關(guān)檢測一、單選題1．（2024·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校考期末）踢球時甲?乙?丙三人互相傳遞，由甲開始傳球，經(jīng)過3次傳遞后，球又被傳回到甲，則不同的傳遞方式共有（

）A．6種 B．8種 C．2種 D．4種2．（2024·重慶·高三重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）已知集合，且，用組成一個三位數(shù)，這個三位數(shù)滿足“十位上的數(shù)字比其它兩個數(shù)位上的數(shù)字都大”，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為（

）A．14 B．17 C．20 D．233．（2024·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？迹┘?、乙、丙、丁四位同學(xué)決定去黃鶴樓、東湖、漢口江灘游玩，每人只能去一個地方，則不同游覽方案的種數(shù)為（

）A． B． C． D．4．（2024·山東臨沂·高二?？茧A段練習(xí)）集合，，，，5，6，，從兩個集合中各取一個元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個數(shù)是（

）A．2 B．4 C．5 D．65．（2024·新疆伊犁·高二統(tǒng)考）若3名學(xué)生報名參加天文?計算機(jī)?文學(xué)?美術(shù)這4個興趣小組，每人選1組，則不同的報名方式有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種6．（2024·浙江溫州·高二校聯(lián)考）2022年北京冬奧會的順利召開，激發(fā)了大家對冰雪運(yùn)動的興趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花樣滑冰、冰壺和跳臺滑雪這四項(xiàng)運(yùn)動中任選一項(xiàng)進(jìn)行體驗(yàn)，則不同的選法共有（

）A．12種 B．24種 C．64種 D．81種7．（2024·浙江湖州·高二校聯(lián)考）將編號為1、2、3、4、5、6的小球放入編號為1、2、3、4、5、6的六個盒子中，每盒放一球，若有且只有兩個盒子的編號與放入的小球的編號相同，則不同的放法種數(shù)為（

）A．90 B．135 C．270 D．3608．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”.在一個正方體中，由兩個頂點(diǎn)確定的直線與含有四個頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是（）A．48 B．18 C．24 D．36二、多選題9．（2024·甘肅白銀·高二校考期末）用種不同的顏色涂圖中的矩形，要求相鄰的矩形涂色不同，不同的涂色方法總種數(shù)記為，則（

）A． B．C． D．10．（2024·遼寧沈陽·高二?？茧A段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）A．在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同B．在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事C．在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分步完成的，其中任何一個單獨(dú)的步驟都不能完成這件事，只有每個步驟都完成后，這件事情才算完成D．在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法可以相同11．（2024·高二課時練習(xí)）(多選)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，則x·y的值可?。?/p>

）A．－8 B．－12C．11 D．2412．（2024·吉林長春·高二?？茧A段練習(xí)）高二年級安排甲、乙、丙三位同學(xué)到A，B，C，D，E五個社區(qū)進(jìn)行暑期社會實(shí)踐活動，每位同學(xué)只能選擇一個社區(qū)進(jìn)行活動，且多個同學(xué)可以選擇同一個社區(qū)進(jìn)行活動，下列說法正確的有（

）A．所有可能的方法有種B．如果社區(qū)A必須有同學(xué)選擇，則不同的安排方法有61種C．如果同學(xué)甲必須選擇社區(qū)A，則不同的安排方法有25種D．如果甲、乙兩名同學(xué)必須在同一個社區(qū)，則不同的安排方法共有20種三、填空題13．（2024·甘肅白銀·高二?？计谀┬瞧诙挛绲?/p>